顯然中的不顯然——由課本中的一道習(xí)題引發(fā)的探究

1、顯然中的不顯然由課本中 的一道習(xí)題引發(fā)的探究作者:日期:2顯然中的不顯然由課本中的一道習(xí)題引發(fā)的探究中學(xué)數(shù)學(xué)論文顯然中的不顯然一一由課本中的一道習(xí)題引發(fā)的探究江蘇省鹽城中學(xué)李國強 關(guān)于橢圓內(nèi)接平行四邊形的問題，我們都有一個感性認(rèn)識，即平行四邊形的對稱 中心就是橢圓的對稱中心。例如在任意橢圓內(nèi)接矩形問題，一般都默認(rèn)內(nèi)接矩形 的對稱中心即為橢圓的對稱中心，且各邊平行于橢圓的對稱軸。雖然這種處理方 式在某些特定環(huán)境下有可取之處，但倘若不加分析，總以顯然（其實不顯然）成 立來加以處理，就有悖于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，從而陷入誤區(qū)。F面先從蘇教2 - 1教材第67頁練習(xí)第5題開始研究:F已知橢圓歹:，直線

2、y=x+1與該橢圓交于A，B兩點，求線段AB的中點 坐標(biāo)和線段AB的長。易謝皿的中點坐標(biāo)詢L話 yX役段加的氏為 svT思考：當(dāng)直線斜率不變、截距變化時，線段的中點有何規(guī)律?變：已知橢圓，直線y=x+m與該橢圓交于A，B兩點，求線段AB的中點的軌跡方程。解：設(shè) A （x1，y1 ），B （ x2，y2 ），則（x1，y1 ），（x2，y2 ）是方程組V" 1衛(wèi)'的解將rt線/擺05代人鼻I,化簡 得:3x+4mj;+2rrr-6=）»則壬十工產(chǎn)-牛m , 4 /J的中點的-樹;坐 標(biāo)“峠亠嶺隔代人直線方程E 5得仙的中點的 縱坐標(biāo)y=-j-nr,消去m得線段4曲的中

3、點的軌跡Zr程為x+2y=0 （橢圓內(nèi)的部分）。（注意直線過原點）推廣一：已知橢圓/林（a>b >0）,直線y=kx+m 與該橢圓交于 A, B兩點，則線段AB的中點的軌跡為過原點的一條線段。證明：將直線方程y=kx+m 代入橢圓方程（a> b>0）并化簡整理得：（b2+a2k2 ）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0A 5 ,yi KK l則.*丫產(chǎn)-譽乎備' 加的中點的糊樂麻2-耒賂，代人f戰(zhàn)方程尸虹+冊得皿的中點的縱 坐擁噸品淪次訊得線段M的中皮的軸跡方程為b2x+ka2y=0 (橢圓內(nèi)的部分）。（注意直線過原點）很顯然：當(dāng)直線斜率不存在，即直線與

4、y軸平行時結(jié)論同樣成立。思考1 ：當(dāng)橢圓（a>b>0）變?yōu)閳Ax2+y2=1時，結(jié)論如何?由圓的性質(zhì)結(jié)論顯然成立。思考2 :當(dāng)橢圓（a> b >0）變?yōu)殡p曲線=1 (a> 0 , b >0)時，結(jié)論如何？ 類似橢圓，雙曲線=1 （a>0 , b >0）,直線y=kx+m 與該雙曲線交于A, B兩點，則線段AB的中點的軌跡為過原點的一條直線 b2x-ka2y=0 位于雙曲線內(nèi)的 部分。推廣二：設(shè)AB是橢圓（a> b > 0）的弦.弦AB所在直線的斜率k存在且k工0，M為弦AB的中點，直線0M的斜率為k',貝k k*=證明！由能廣一

5、的證轟過程知/汗的巾點的橫坐標(biāo) 工廬-律幕，代人葭線方程4工仙得AR的中點的縱坐 標(biāo)口=A .i；十E -詁:加*/. ft線的黑*率為A-"-嚴(yán)_ -q J n fl. u推廣三：橢圓內(nèi)接四邊形為平行四邊形的充要條件是橢圓內(nèi)接四邊形的對角線交 于原點。證明：一方面，若橢圓內(nèi)接四邊形為平行四邊形，由推廣一知平行四邊形對邊中 點的連線必過原點，即對邊中點的連線交于原點，由平面幾何知識易知，平行四 邊形對邊中點的連線的交點與平行四邊形對角線的交點重合， 所以橢圓內(nèi)接平行 四邊形的對角線交于原點。另一方面，若橢圓內(nèi)接四邊形的對角線交于原點， 則由橢圓的對稱性知，橢圓內(nèi) 接四邊形的對角線互相

6、平分，所以橢圓內(nèi)接四邊形為平行四邊形。綜上：橢圓內(nèi)接四邊形為平行四邊形的充要條件是橢圓內(nèi)接四邊形的對角線交于 原點。應(yīng)用一：已知匚iAh鼻匚橢 2 >2國心+牛=k四邊形氏KS 為ffi兩府內(nèi)接玉儀若P為 楠®上伍恿一點，試探討菱形 MRU M C,的位直體系，一 1一解：巧氏線 繆 箭啟率存鋰n不為0時殳直線 W的 7j kx+b工2.H）舟自纟殳力程 LjMI® jj 程聯(lián)列律J寸4亍J .I 磺 711 得:（+ lr+2A'-3 H）.則 尋齊-»y典H（ ftxj ）（后計b ）詁今吐（-+Jfj +滬三 /H 2A g）弊2甘堆憐嚴(yán):Y

7、乂由推廣二知OP丄卩斫以也心+ 2A41 2tqi"口,代人化簡得*77.從而原點到聞線/V的距離 4” "所以直純理月G相切"同理證明英它三V1+P邊所在直線也與C1相切;當(dāng)直線PQ的斜率不存在或為0時，結(jié)論顯然成立；所以菱形 PQRS的每條邊與C1都相切。11-推廣四：橢圓內(nèi)接矩形的邊必平行于橢圓的對稱軸。，/-=:= O二m2證明：以橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系：由推廣三 知 B，D 關(guān)于原點對稱，設(shè) A（ x0，y0），B（ -x1，-y1），D（ x1，y1），顯然若x0=x1或x0=-x1 ，矩形的邊必平行于橢圓的對稱軸;若*0鼻JCj ,工卄站號0 則丄-佃* 站戸血吐止準(zhǔn)M辱卑-1, 乂 琢工'工I也_巧點在橢圓匕 所以務(wù)於兒*_ +非九阿式相減得;132123r盾，所以x0=x1或x0=-x1，即橢圓內(nèi)接矩形的邊必平行于橢圓的對稱軸。反之，“橢圓內(nèi)接矩形的邊必平行于橢圓的對稱軸”此結(jié)論也可進一步說明推廣7中弦AB所在直線的斜率