二次函數(shù)識講解基礎(chǔ)

1、二次函數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固一知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達(dá)式，并體會二次函數(shù)的意義；2 .會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)；3 .會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸（公式不要求記憶和推導(dǎo)），并能解決簡單的實際問題；4 .會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解【知識網(wǎng)絡(luò)】1際問題用函數(shù)觀點酉一元二次方程r匕次函蔽的微怠?-=三-以0，0*=ax+far+匯儲HL目數(shù)的對礴7話點至標(biāo)廠I一元二次方程與二次函數(shù)的吳系_劇用二次的效的圖*求一元二次方程的*廠一軍距離-實際同修與二正福I時莪糊量大而!最天面帙是至不【要點梳理

2、】要點一、二次函數(shù)的定義一般地，如果y=4+bx+c（q,b,e是常數(shù),aw,那么/叫做X的二次函數(shù).要點詮釋：如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aw0）,那么y叫做x的二次函數(shù).這里，當(dāng)a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零.a的絕對值越大，拋物線的開口越小.要點二、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1 .二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：y二儀/;）二鼻/+發(fā)；了二杰一獷;了二4（X人丫+上,其中A=-一，k=；y=蘇+以+E.（以上式子aw。）2a4a幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下:1函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)1當(dāng)白0時工三。（J軸）(0,0)y-ax

3、2-k開口向上當(dāng)a40時開口向卜X-U(J軸)（0,上）1y-乩工-京yA=(%,0)y-應(yīng)+k齊二h（限上）1y,三+出工hx=2abAac-g(2J4ts)2 .拋物線的三要素:開口方向、對稱軸、頂點（i）口的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)a（。時，開口向下；。相等，拋物線的開口大小、形狀相同.（2）平行于y軸（或重合）的直線記作工二身.特別地，y軸記作直線工二0.3 .拋物線y=ax2+bx+c（aw0）中，a,b,c的作用：（1） Q決定開口方向及開口大小，這與y-a中的4完全一樣.（2）人和口共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y-a+bx+c的對稱軸是直線I=-,J

4、2I占b故：6二。時，對稱軸為y軸；一o（即q、b同號）時，對稱軸在y軸左側(cè)；一,0,與了軸交于正半軸；e0,與P軸交于負(fù)半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則一o.a4 .用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：（1） 一般式：y=ax2+c（aw。）.已知圖象上三點或三對I、的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：了=小了一/1丫+上（aw。）.已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式（可以看成y二一的圖象平移后所對應(yīng)的函數(shù).）（3） “交點式”：已知圖象與X軸的交點坐標(biāo)可、X,通常選用交點式：了二窗一再）卜一1（aw。）.（由此得根與系數(shù)的關(guān)系：否+為二一白，可為

5、二工）.aa要點詮釋：求拋物線y=ax2+bx+c(aw0)的對稱軸和頂點坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用.要點三、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系函數(shù)y=/+注0),當(dāng)y=Q時，得到一元二次方程+t=0),那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時卜二按_&配)Q,則方程有兩個不相等實根；x軸有且只有一個交點，這時A二戶_4前二0，則方程有兩個相等實根;(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這

6、時R=中_啦0,則方程有兩個不相等實根；(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時-4如=。,則方程有兩個相等實根;(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時A=b-4ac0,又一0,.b0,y=的圖象在第一、二象限.xb+c0的解集是x軸的交點A的坐標(biāo)可知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo)，觀察圖【思路點撥】根據(jù)拋物線的對稱性和拋物線與象可得不等式ax2+bx+c0的解集【答案】*3或乂0時，x的取值范圍.當(dāng)x3或xv-1時，y0,因此不等式ax2+bx+c0的解集為x3或xv-1.【點評】弄清ax2+bx+ca0與y=ax2+bx+c的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合在圖象上找出不等式ax2十bx

7、+c0的解集.類型四、函數(shù)與方程4.已知拋物線yx2+x+c與x軸沒有交點.2求c的取值范圍；試確定直線y=cx+1經(jīng)過的象限，并說明理由.【答案與解析】1（1）二.拋物線與x軸沒有交點，./0,即1-2c-2（2）二七在政府出臺補貼措施前，該商場銷售彩電的總收益額為多少元？,直線y=1x+1隨x的增大而增大，22：b=1,直線y=lx+1經(jīng)過第一、二、三象限.2【點評】拋物線y=1x2+x+c與x軸沒有交點，0,可求c的取值范圍.2舉一反三：【變式1】無論x為何實數(shù)，二次函數(shù)GX+C的圖象永遠(yuǎn)在x軸的下方的條件是（）A廠/一4：）B11-11C.可；D.-11【答案】二次函數(shù)嬴+尿+。的圖象

8、與x軸無交點，則說明y=0時，方程。/+歷+C=0無解，即獷一4比又圖象永遠(yuǎn)在x軸下方，則以40答案：b【變式2】對于二次函數(shù)y=,我們把使函數(shù)值等于0的實數(shù)x叫做這個函數(shù)的零點，則二次函數(shù)一加X+那一2（m為實數(shù)）的零點的個數(shù)是（）A.1B.2C.0D.不能確定【答案】當(dāng)y=0時,/一加工+冽一2=0,.一4四二(-溺日一4伽一2)=/-4煙+8=(濯-2y+40,即二次函數(shù))二/鹿+那2的零點個數(shù)是2.故選B.類型五、分類討論C5.已知點A(1,1)在二次函數(shù)y=x1在政府補貼政策實施后，分別求出該商場銷售彩電臺數(shù)y和每臺家電的收益z與政府補貼款額x之間的函數(shù)關(guān)系式；2ax+b的圖象上.(

9、1) 用含a的代數(shù)式表示b；(2) 如果該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，求這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo).【思路點撥】(1)將A(1,1)代入函數(shù)解析式.(2)由4=b2-4ac=0求出a.【答案與解析】(1)因為點A(1,1)在二次函數(shù)y=x22ax+b的圖象上，所以1=1-2a+b,所以b=2a.(2)根據(jù)題意，方程x22ax+b=0有兩個相等的實數(shù)根，所以4a24b=4a28a=0,解得a=0或a=2.當(dāng)a=0時，y=x2,這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)是(0,0).當(dāng)a=2時，y=x2-4x+4=(x-2)2,這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為(2,0).所以，這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)

10、為(0,0)或(2,0).【點評】二次函數(shù)y=ax2+b+c(a=0)的圖象與x軸只有一個交點時，方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根，所以z=b2-4ac=0.類型六、二次函數(shù)與實際問題6.為了擴(kuò)大內(nèi)需，讓惠于農(nóng)民，豐富農(nóng)民的業(yè)余生活，鼓勵送彩電下鄉(xiāng)，國家決定對購買彩電的農(nóng)戶實行政府補貼.規(guī)定每購買一臺彩電，政府補貼若1兀，經(jīng)調(diào)查某商場銷售彩電臺數(shù)y(臺)與補貼款額x(元)之間大z(元)會致滿足圖1所示的一次函數(shù)關(guān)系.隨著補貼款額x的不斷增大，銷售量也不斷增大，但每臺彩電的收益相應(yīng)降低且z與x之間也大致滿足圖2所示的一次函數(shù)關(guān)系.(3) 要使該商場銷售彩電的總收益3(元)最大，政府應(yīng)將

11、每臺補貼款額X定為多少？并求出總收益3的最大值.【思路點撥】(2)依題意設(shè)y=kix+800,z=k2X+200,分別將(400,1200)和(200,160)代入兩式求出ki、k2；(3) 由題意w=yz.【答案與解析】(1) 在政府出臺補貼措施前，該商場銷售家電的總收益為800X200=160000(元).2(2) 依題意可設(shè)y=k1X+800,z=k2X+200,則有400k1+800=1200,200k+200=160,1一1斛得匕=1,k2=-一，所以y=x+800,z=x+200.55-I119(3) ，.f=yzKx800)1-x200=-(x-100)2162000.政府應(yīng)將每

12、臺補貼款額x定為100元，總收益有最大值，其最大值為162000元.【點評】求最大值問題一般需列出二次函數(shù)關(guān)系式.二次函數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固一鞏固練習(xí)(基礎(chǔ))【鞏固練習(xí)】一、選擇題1 .將二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是().A.y=(x1)2十2B.y=(x+1)2+2C.y=(x1)22D.y=(x+1)22abc2 .一次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所不，則一次函數(shù)y=bx+b24ac與反比例函數(shù)y=在同3.拋物線y=x2+bx+c圖象向右平移2個單位長度，再向下平移x3個單位長度，所得圖象的解析式為2y=x-2x-3,則b、c的值為

13、()A.b=2,c=2B.b=2,c=0C.b=-2,c=-1D.b=-3,c=24 .拋物線的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知，拋物線的解析式可能是()2A.y=x-x-22y-xx2B.yx2+x+1C.yx2225 .已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a00)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：b24ac0；abc0；8a+c0;9a+3b+cv0.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.46 .已知點（x1,y1）,（x2,y2）（兩點不重合）均在拋物線y=x21上，則下列說法正確的是（）A右yi=y2,則Xi=x2B右xi=-x2,則yi=-y2C.若00時，y隨x的增大而減小，則二次函數(shù)

14、y=ax-ax的圖象大致是圖中的28 .已知一次函數(shù)y=ax+bx+c（其中a0,b0,c0）的對稱軸為直線x=1,且經(jīng)過點（1,y1），（2,y2），試比較y/口y2的大小：yy2（填或）.10 .拋物線y=-x2+bx+c的圖象如圖所示，則此拋物線的解析式為.11 .拋物線y=2（x-2）2-6的頂點為C,已知y=-kx+3的圖象經(jīng)過點C,則這個一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為.12 .已知二次函數(shù)y=-x2+2x+m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m=0的解為，少：x=l第10題第12題第13題13 .如圖所示的拋物線是二次函數(shù)y=ax23x+a21的圖象

15、，那么a的值是.14 .煙花廠為揚州“418”煙花三月經(jīng)貿(mào)旅游節(jié)特別設(shè)計制作了一種新型禮炮，這種禮炮的升空高度h(m)與飛52行時間t(s)的關(guān)系式是h=t2+20t+1,若這種禮炮在點火升空到最高點處引爆，則從點火升空到引爆2需要的時間為.15 .已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-1,4),B(5,4),C(3,-6),則該拋物線上縱坐標(biāo)為-6的另一個點的坐標(biāo)是.16 .若二次函數(shù)y=x26x+c的圖象過A(-1,y1)、B(2,y2)、C(3+J2,y3)三點，則y1、y2、y3大小關(guān)系是.三、解答題17 .雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體運動

16、(看成一點)的路線是拋“八32_物線y=x+3x+1的一部分，如圖所示.5(1) 求演員彈跳離地面的最大高度；(2) 已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4米，問這次表演是否成功？請說明理由.18.如圖所示，要設(shè)計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上、下底相距80米，在兩腰中點連線(虛線)處有一條橫向甬道，上、下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等，設(shè)甬道的寬為x米.(1) 用含x的式子表示橫向甬道的面積；(2) 當(dāng)三條甬道的面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬；(3) 根據(jù)設(shè)計的要求，甬道的寬不能超過6米.如果修建甬道的總費用(萬元)與

17、甬道的寬度成正比例關(guān)系,比例系數(shù)是5.7,花壇其余部分的綠化費用為每平方米0.02萬元，那么當(dāng)甬道的寬度為多少米時，所建花壇的總費用最少？最少費用是多少萬元？19.為迎接第四屆世界太陽城大會，德州市把主要路段路燈更換為太陽能路燈.已知太陽能路燈售價為5000元/個，目前兩個商家有此產(chǎn)品.甲商家用如下方法促銷：若購買路燈不超過100個，按原價付款；若一次購買100個以上，且購買的個數(shù)每增加一個，其價格減少10元，但太陽能路燈的售價不得低于3500元/個.乙店一律按原價的80%肖售.現(xiàn)購買太陽能路燈x個，如果全部在甲商家購買，則所需金額為y1元；如果全部在乙商家購買，則所需金額為y2元.(1) 分

18、別求出yi、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 若市政府投資140萬元，最多能購買多少個太陽能路燈20.王亮同學(xué)善于改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，他發(fā)現(xiàn)對解題過程進(jìn)行回顧反思，效果會更好.某一天他利用了30分鐘時間進(jìn)行自主學(xué)習(xí).假設(shè)他用于解題的時間x(單位：分鐘)與學(xué)習(xí)收益量)y的關(guān)系如圖1所示，用于回顧反思的時間x(單位：分鐘)與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖2所示(其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點)，且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間.(1) 求王亮解題的學(xué)習(xí)收益量y與用于解題的時間x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;(2) 求王亮回顧反思的學(xué)習(xí)收益量y與用于回顧反思的時間x之間的函數(shù)關(guān)系

19、式；王亮如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這30分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？(注：學(xué)習(xí)收益總量=解題的學(xué)習(xí)收益量+回顧反思的學(xué)習(xí)收益量)【答案與解析】一、選擇題1 .【答案】A;【解析】y=x2向右平移1個單位后，頂點為(1,0),再向上平移2個單位后，頂點為(1,2),開口方向及大小不變，所以a=1,即y=(x-1)2=2.2 .【答案】D;b_2【斛析】由上圖可知a0,c0,.b0.a+b+c0,2a-.反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，因此選D.3 .【答案】B;222【解析】y=x2x3=(x1)4,把拋物線y=(x1)4向左平移2個單位長度，再向上平移3

20、個單位長度后得拋物線y=(x+1)21,y=x2+bx+c=(x+1)21=x2+2x,b=2,c=0.因此選B.4 .【答案】D;【解析】由圖象知，拋物線與x軸兩交點是(-1,0),(2,0),又開口方向向下，所以a0,拋物線與y軸交點縱坐標(biāo)大于1.顯然A、B、C不合題意，故選D.5 .【答案】D;【解析】拋物線與x軸交于兩點，則b0,c0,則b0.當(dāng)x=-2時，y=4a-2b+c0.4a-(-2a)X2+O0,即8a+c0.當(dāng)x=3時，y=9a+3b+c0,故4個結(jié)論都正確.6 .【答案】D;【解析】畫出y=x2-1的圖象，對稱軸為x=0,若y1=y2,則x1=x2；若x1=x2，則y1=

21、y2;若0xiyi;若xx2y2.7 .【答案】A;a2【解析】因為y=,當(dāng)x0時，y隨x增大而減小，所以a0,因此拋物線y=axax=a(x1)x開口x向上，且與x軸相交于(0,0)和(1,0).8 .【答案】C;b【解析】a0,b0,.拋物線開口向上，x=-0,因此拋物線頂點在y軸的左側(cè)，2ac一不可能在第四象限；又c0,xx2=;【解析】根據(jù)題意畫出拋物線大致圖象，找出x=-1,x=2時的函數(shù)值，比較其大小，易如y1Ay2.10 .【答案】y=-x2+2x+3;【解析】由題意和圖象知拋物線與x軸兩交點為(3,0)、(-1,0),拋物線解析式為y=-(x3)(x+1),即y=x2+2x+3

22、.11.【答案】1;992-【斛析】k=,y=x+3,與坐標(biāo)軸父點為(0,3),.,0.22312 .【答案】*1=3或*2=-1;【解析】由二次函數(shù)y=-x2+2x+m部分圖象知，與x軸的一個交點為(3,0).代入方程得m=3,解方程得x1=3或x2=-1.13 .【答案】-1;【解析】因為拋物線過原點，所以a21=0,即a=1,又拋物線開口向下，所以a=-1.14 .【答案】4s；20【斛析】t=-:=4(s).52215 .【答案】(1,-6);【解析】常規(guī)解法是先求出關(guān)系式，然后再求點的坐標(biāo)，但此方法繁瑣耗時易出錯，仔細(xì)分析就會注意到：A、15B兩點縱坐標(biāo)相同，它們關(guān)于拋物線對稱軸對稱，由A(-1,4),B(5,4)得，對稱軸x=2,2而拋物線上縱坐標(biāo)為-6的一點是(3,-6),所以它關(guān)于x=2的對稱點是(1,-6).故拋物線上縱坐標(biāo)為-6的另一點的坐標(biāo)是(1,-6).16 .【答案】yiy3y2.【解析】因為拋物線的對稱軸為x=6=3.而A、B在對稱軸左側(cè)，且y隨x的增大而減小,23.-1y2,又C在對稱軸右側(cè)，且A、B、C三點到對稱軸的距離分別為2,1,四,由對稱性可知：yiy3y2.三、解答題17 .【答案與解析】23x1二-3x-