函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開ppt課件

1、 1. 函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開 一.傅里葉級(jí)數(shù)的引進(jìn) 在物理學(xué)中,我們已經(jīng)知道最簡(jiǎn)單的波是諧波(正弦波),它是形如 的波,其中 是振幅, 是角頻率, 是初相位.其他的波如矩形波,鋸形波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來.這就是說,設(shè) 是一個(gè)周期為 的波,在一定條件下可以把它寫成其中 是 階諧波,我們稱上式右端的級(jí)數(shù)是由 所確定的傅里葉級(jí)數(shù)tAsinA tfT 10sinnnntnAAtf10sincosnnntnbtnaAtnbtnatnAnnnnsincossinnT2 tf二二. 三角函數(shù)的正交性三角函數(shù)的正交性設(shè)設(shè) 是任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù), 是長度為是長度為 的區(qū)間的區(qū)間,由于三由于三角

2、函數(shù)角函數(shù) 是周期為是周期為 的函數(shù)的函數(shù),經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算,有有利用積化和差的三角公式容易證明利用積化和差的三角公式容易證明還有還有c2, cc2kxkx sin,cos2,2 , 1, 0sinsin, 0coscos220220kkxdxkxdxkxdxkxdxcccc 1, 2 , 1;0coscos0sinsin0cossin222llklxdxkxlxdxkxlxdxkxcccccc 2我們考察三角函數(shù)系我們考察三角函數(shù)系其中每一個(gè)函數(shù)在長為其中每一個(gè)函數(shù)在長為 的區(qū)間上定義，其中任何的區(qū)間上定義，其中任何兩個(gè)不同的函數(shù)乘積沿區(qū)間上的積分等零兩個(gè)不同的函數(shù)乘積沿區(qū)間上的積分

3、等零 ，而每個(gè)函數(shù)自身平方的積分非零而每個(gè)函數(shù)自身平方的積分非零 。我們稱這個(gè)。我們稱這個(gè)函數(shù)系在長為函數(shù)系在長為 的區(qū)間上具有正交性。的區(qū)間上具有正交性。, 2 , 121sin22cos1coscos22222202022kdxkxdxdxkxkxdxkxdxcccccc 3,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx22 2,1見 3見三、傅里葉系數(shù) 設(shè)函數(shù) 已展開為全區(qū)間設(shè)的一致收斂的三角級(jí)數(shù) 現(xiàn)在利用三角函數(shù)系數(shù)的正交性來研究系數(shù) 與 的關(guān)系。將上述展開式沿區(qū)間 積分，右邊級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分，由 得到即又設(shè) 是任一正整數(shù)，對(duì) 的展開式兩邊乘以 沿 積分，由

4、假定，右邊可以逐項(xiàng)積分，由和 ，得到 xf kxbkxaaxfkkksincos210, 2 , 1,0kbaakk xf, 1 0022aadxxf dxxfa10n xfnxcos, 2,1 3即同樣可得因此得到歐拉-傅里葉公式 nnkkkanxdxanxdxkxbnxdxkxanxdxanxdxxf210coscossincoscoscos2cos nxdxxfancos1 nxdxxfbnsin1 , 2 , 1 , 0sin1kkxdxxfbk , 2 , 1 , 0cos1kkxdxxfak自然，這些系數(shù)也可以 沿別的長度為 的區(qū)間來積分。 以上是在 已展開為一致收斂的三角級(jí)數(shù)的假

5、定下得到系數(shù)的表達(dá)式的。然而從歐拉-傅里葉公式的形式上看，只要周期為 的函數(shù) 在區(qū)間 上可積和絕對(duì)可積假如 式有界函數(shù)，則假定它是可積的。這時(shí)它一定式絕對(duì)可積的；假如 是無界函數(shù)，就假定他是絕對(duì)可積，因而也是可積的，這樣，不論在哪一種情形，都是可積和絕對(duì)可積了），就可以按歐拉-傅里葉公式來確定所有的數(shù) ，從而作出三角級(jí)數(shù)2 xf2 xf, xf xfkkba ,10sincos2kkkkxbkxaa我們稱這級(jí)數(shù)是 關(guān)于三角函數(shù)系 的傅里葉級(jí)數(shù)，而 稱為 的傅里葉系數(shù)，記為 xf,sin,cos, 1xxkkba , xf 10sincos2kkkkxbkxaaxf四、收斂判別法四、收斂判別法

6、傅里葉級(jí)數(shù)的收斂判別法。設(shè)函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的收斂判別法。設(shè)函數(shù) 在在 上可上可積和絕對(duì)可積積和絕對(duì)可積假設(shè)假設(shè) 在在 點(diǎn)的左右極限點(diǎn)的左右極限 和和 都存在，都存在，并且兩個(gè)廣義單側(cè)導(dǎo)數(shù)并且兩個(gè)廣義單側(cè)導(dǎo)數(shù)都存在，那么都存在，那么 的傅里葉級(jí)數(shù)在的傅里葉級(jí)數(shù)在 點(diǎn)收斂。當(dāng)點(diǎn)收斂。當(dāng) 是是 的連續(xù)點(diǎn)時(shí)它收斂與的連續(xù)點(diǎn)時(shí)它收斂與 ，當(dāng)，當(dāng) 是是 的間斷點(diǎn)一的間斷點(diǎn)一定是第一類間斷點(diǎn)時(shí)收斂于定是第一類間斷點(diǎn)時(shí)收斂于 xf, 10sincos2kkkkxbkxaaxf xfx0 xf0 xfxxfxxfxxfxxfxx0lim,0lim00 xfxx xf xfx xf0021xfxf例1 在 上展開函

7、數(shù) 為傅里葉級(jí)數(shù)。例2 在 上展開函數(shù)為傅里葉級(jí)數(shù)。例3 在 上展開 為傅里葉級(jí)數(shù)。, xxf, xcxcxf0 ,0,212 , 0 xxf例4 將 在 上展開為余弦級(jí)數(shù)。例5 將以下函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù) xxf, 0 lxxlxxf21, 0210 ,sin五、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式 傅里葉級(jí)數(shù)的 階諧波 可以用復(fù)數(shù)形式表示。由歐拉公式得如果記 那么上面的傅里葉級(jí)數(shù)就化成一個(gè)簡(jiǎn)潔的形式n, 2 , 1sincosntnbtnanniiiiiieeieeiee221sin21cos10sincos2nnntnbtnaa10222ntinnntinnneibaeibaa, 2 , 1,00ncib

8、acibacannnnnn這就是傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式， 為復(fù)振幅， 與 是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)tinnnec21ncncnc六、收斂判別法的證明六、收斂判別法的證明 1、狄利克雷積分、狄利克雷積分 為了研究傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性問題，我們必須把傅為了研究傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性問題，我們必須把傅里葉級(jí)數(shù)的部分和表示為一個(gè)特定形式的反常積里葉級(jí)數(shù)的部分和表示為一個(gè)特定形式的反常積分分 狄利克雷積分。狄利克雷積分。 設(shè)設(shè) 在在 上可積和絕對(duì)可積，它的傅里葉級(jí)數(shù)上可積和絕對(duì)可積，它的傅里葉級(jí)數(shù)為為其中其中 xf, 10sincos2kkkkxbkxaaxf , 2 , 1 , 0cos1kktdttfak , 2 ,

9、 1 , 0sin1kktdttfbk傅里葉級(jí)數(shù)的部分和由三角公式當(dāng) ，有公式 10sincos2kkknkxbkxaaxfS dtkxktkxkttfnk1sinsincoscos211 dtxtktfnk1cos211212sincos2coscos212sin2nn02sin2sin2212sincos2coscos21nn當(dāng) 時(shí)把右邊理解為 時(shí)的極限值，值一等式也就成立。把它應(yīng)用到 的表達(dá)式中，得到經(jīng)過驗(yàn)證知道，被積函數(shù)是 的周期為 的函數(shù)，可以把積分區(qū)間換為 ，因而作代換 ，得00 xfSn dtxtxtntfxfSn2sin2212sin1t2xx, dtxtxtntfxfSxxn

10、2sin2212sin1uxt duuunuxfxfSn2sin2212sin1duuunuxf2sin2212sin100duuunuxfuxf2sin2212sin10上面 的幾種積分表達(dá)式都稱為狄利克雷積分。 xfSn2、黎曼引理、黎曼引理 黎曼引理黎曼引理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上可積和絕對(duì)可積，上可積和絕對(duì)可積，那么以下的極限式成立那么以下的極限式成立局部性定理局部性定理 函數(shù)函數(shù) 的傅里葉級(jí)數(shù)在的傅里葉級(jí)數(shù)在 點(diǎn)的收斂和點(diǎn)的收斂和發(fā)散情況，只和發(fā)散情況，只和 在這一點(diǎn)的充分領(lǐng)近區(qū)域的值有在這一點(diǎn)的充分領(lǐng)近區(qū)域的值有關(guān)。關(guān)。 uba, 0coslim, 0sinlimpuduu

11、puduubapbap xfx xf3、迪尼判別法及其推論、迪尼判別法及其推論 迪尼定理迪尼判別法）迪尼定理迪尼判別法） 設(shè)能取到適當(dāng)設(shè)能取到適當(dāng) ，使由函，使由函數(shù)數(shù) 以及以及 點(diǎn)所作出的點(diǎn)所作出的滿足條件：對(duì)某正數(shù)滿足條件：對(duì)某正數(shù) ，使在，使在 上，上， 為可積為可積和絕對(duì)可積，那么和絕對(duì)可積，那么 的傅里葉級(jí)數(shù)在的傅里葉級(jí)數(shù)在 點(diǎn)收于點(diǎn)收于 。 利普希茨判別法地理判別法的一個(gè)推論）利普希茨判別法地理判別法的一個(gè)推論）如果函數(shù)如果函數(shù) 在在 點(diǎn)連續(xù)，并且對(duì)于充分小的正數(shù)點(diǎn)連續(xù)，并且對(duì)于充分小的正數(shù) 在在 點(diǎn)的利普希茨條件點(diǎn)的利普希茨條件 成成立，其中立，其中 皆是正數(shù)，且皆是正數(shù)，且 ，

12、那么，那么 的傅的傅里葉級(jí)數(shù)在里葉級(jí)數(shù)在 點(diǎn)收斂于點(diǎn)收斂于 ，更一般地，如果對(duì)于，更一般地，如果對(duì)于充分小的充分小的 成立成立s xfx suxfuxfu2hh, 0 uu xfxs xfxux huLuxfuxf0,L1 xfx xfuLuxfuxf0 同前，那么同前，那么 的傅里葉級(jí)數(shù)在的傅里葉級(jí)數(shù)在 點(diǎn)收斂于點(diǎn)收斂于一個(gè)重要推論一個(gè)重要推論 假如假如 在在 點(diǎn)有有限導(dǎo)數(shù)點(diǎn)有有限導(dǎo)數(shù) ，或是有兩個(gè)單，或是有兩個(gè)單側(cè)的有限導(dǎo)數(shù)側(cè)的有限導(dǎo)數(shù),L xfx200 xfxf xfx xf uxfuxfxfuxfuxfxfuu00limlim甚至只是有更一般的有限導(dǎo)數(shù)那么 的傅里葉級(jí)數(shù)在 點(diǎn)收斂于 或

13、因?yàn)檫@時(shí)對(duì)于函數(shù) 在 點(diǎn)的 的利普希茨條件是成立的。uxfuxfuxfuxfuu0lim,0lim00 xfx xf200 xfxf xfx1七、傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)七、傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)一、一致收斂性一、一致收斂性 1設(shè)周期為設(shè)周期為 的可積和絕對(duì)可積函數(shù)的可積和絕對(duì)可積函數(shù) 在比在比 更寬的區(qū)間更寬的區(qū)間 上有有限導(dǎo)數(shù)上有有限導(dǎo)數(shù) ，那么，那么的傅里葉級(jí)數(shù)在區(qū)間的傅里葉級(jí)數(shù)在區(qū)間 上一致收斂于上一致收斂于 。 2設(shè)周期為設(shè)周期為 的可積和絕對(duì)可積函數(shù)的可積和絕對(duì)可積函數(shù) 在比在比 更寬的區(qū)間更寬的區(qū)間 上連續(xù)且為分段單調(diào)函數(shù)，那上連續(xù)且為分段單調(diào)函數(shù)，那么么 的傅里葉級(jí)數(shù)在區(qū)間的傅里葉級(jí)數(shù)在區(qū)間

14、 上一致收斂于上一致收斂于 。2 xfba,ba, xf xfba, xf2 xfba,ba, xfba, xf二，傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)二，傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo) 設(shè)設(shè) 是是 上分段連續(xù)函數(shù)，它的傅里葉級(jí)數(shù)上分段連續(xù)函數(shù)，它的傅里葉級(jí)數(shù)是是我們并不假定右端級(jí)數(shù)的和是我們并不假定右端級(jí)數(shù)的和是 甚至也不假定它收甚至也不假定它收斂，然而它卻可以逐項(xiàng)積分，設(shè)斂，然而它卻可以逐項(xiàng)積分，設(shè) 和和 是是 上任上任意兩點(diǎn)，則有意兩點(diǎn)，則有三，最佳平方平均逼近三，最佳平方平均逼近 設(shè)設(shè) 是任意一個(gè)是任意一個(gè) 次三角多項(xiàng)式次三角多項(xiàng)式 xf, 10sincos2nnnnxbnxaaxf xfcx, 1000sincos2nxnnxdtntbntacxadttf xTnn nkkknkxBkxAAxT10sincos2其中