2021-2022學年新教材高中數(shù)學第三章函數(shù)3.1.2函數(shù)的單調性練習(含解析)新人教B版必修

1、3.1.2函數(shù)的單調性新如初探最新課程標準：借助函數(shù)圖像，會用符號語言表達函數(shù)的單調性、最大值、最小值，理 解它們的作用和實際意義.:泰：他：后 辦 :審.她.海&.鼬必儂，歲論&”知識點一定義域為A的函數(shù)f(x)的單調性M匚兒對任意狀元隨筆定義中的xi, X2有以下3個特征(1)任意性，即“任意取 X1, X2”中“任意二字絕不能去掉，證明時不能以特殊代替一 般；(2)有大小，通常規(guī)定 Xi<X2；(3)屬于同一個單調區(qū)間.知識點二單調性與單調區(qū)間如果函數(shù)y = f(X)在區(qū)間M上是單調遞增或單調遞減，那么就說函數(shù)y=f(X)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，區(qū)間 M叫

2、做y = "X)的單調區(qū)間.狀元隨筆一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調區(qū)間時，不能用"U”連接，而應該11用“和”連接.如函數(shù)y=-在(8, 0)和(0, +8)上單調遞減，卻不能表述為：函數(shù) y=- XX在(8, 0) U (0 , +8)上單調遞減.知識點三函數(shù)的最值一般地，設函數(shù)f(X)的定義域為n且X0CD:如果任意XCD,都有f(X)wf(X。)，那么稱f ( X)的最大值為f ( Xo)(記作f (X) max= f ( Xo),而Xo稱為f ( X)的最大值點；如果對任意X D, 都有f (X) >f(Xo),那么稱f(X)的最小值為f(Xo)(記作f(

3、X)min=f (Xo),而Xo稱為f(X)的最小 值點.最大值和最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點和最小值點統(tǒng)稱為最值點.狀元隨筆|最大(小)值必須是一個函數(shù)值，是值域中的一個元素，如函數(shù)y=x2(x C R) 的最大值是0,有f(0) =0.根底自測1.以下說法中正確的有()假設xi, X2 I ,當xi<X2時，f(xi)<f(X2),那么y=f(x)在I上是增函數(shù)；函數(shù)y=x2在R上是增函數(shù)；_ _1函數(shù)y=在定義域上是增函數(shù)； x1y =-的單調遞減區(qū)間是 (一00, 0)u (0 ,+8).xA. 0個 B. 1個C. 2個D . 3個解析：由于中的xi, x2不是任意的，因此

4、不正確；顯然不正確.答案：A2.函數(shù)y=(2m- 1)x+b在R上是減函數(shù)，那么()A. n>。B . n<。221 1C. n>-2 D . n<-2 _，一一，r 1解析：使y = (2m- 1)x+b在R上是減函數(shù)，那么 2m- 1<0,即n<2.答案：B一，,1 ，3 .函數(shù)f (x)=一在1 ,+8)上()xA.有最大值無最小值B .有最小值無最大值C.有最大值也有最小值 D .無最大值也無最小值1解析：函數(shù)f(x)是反比例函數(shù)，當 xC(0, +8)時，函數(shù)圖像下降，所以在 1 , 十 x8)上f(x)為減函數(shù)，f(1)為f(x)在1 , +8)

5、上的最大值，函數(shù)在1 ,+8)上沒有最小值.應選A.答案：A4 .假設f(x)在R上是增函數(shù)，且f(x1)>f(x2),那么必，x2的大小關系為 .解析：: f(x)在 R 上是增函數(shù)，且 f(x1)>f(x2), . x1>x2.答案：x1>x2匯琳修佛前二魏捌依艷淞第：5：漱渺如題型一利用函數(shù)圖像求單調區(qū)間經(jīng)典例題例1函數(shù)y=f(x)的圖像如下圖，那么該函數(shù)的減區(qū)間為()A. (-3,1) U(1,4) B . (5, 3) U( 1,1)C. ( 3, -1) , (1,4) D . (-5, 3), (-1,1)【解析】在某個區(qū)間上，假設函數(shù)y=f(x)的圖像是

6、上升的，那么該區(qū)間為增區(qū)間，假設是下降的，那么該區(qū)間為減區(qū)間，故該函數(shù)的減區(qū)間為(一3, 1), (1,4).【答案】C觀察圖像，假設圖像呈上升(下降)趨勢時為增(減)函數(shù)，對應的區(qū)間是增(減)區(qū)間.跟蹤訓練1函數(shù)f(x)的圖像如下圖，那么()A.函數(shù)f(x)在 1,2上是增函數(shù)B.函數(shù)f (x)在1,2上是減函數(shù)C.函數(shù)f(x)在 1,4上是減函數(shù)D.函數(shù)f(x)在2,4上是增函數(shù)解析：函數(shù)單調性反映在函數(shù)圖像上就是圖像上升對應增函數(shù)，圖像下降對應減函數(shù), 應選A.答案：A圖像上升或下降趨勢判斷.題型二函數(shù)的單調性判斷與證明教材P93例1例2 求證：函數(shù)f(x)=2x在R上是減函數(shù).【證明】

7、任取 x1, xzC R且 x«x2,那么 x1-x2<0,那么 f (x。f (x2) = (2x1) ( 2x2)= 2(x2x1)>0,從而 f (x1)> f (x2).因此，函數(shù)f(x)=2x在R上是減函數(shù).狀元隨筆先根據(jù)單調性白定義任取X1, X2C(8,+8),且X1<X2,再判斷f(x 1)-f(x 2)的符號.教材反思設小 ,是該區(qū)同內的任意兩個值.目利用定義證明函數(shù)單調性的步驟作差僮卜/lR或門口上毒工小 井通過限式分部、配方:右理化等方法.向有利于判斷關的將斗的方面變第1根據(jù)定義得出結坨確定毛門”上八明卜或門行-汽I I的符號，當符號不確

8、定 時.可收進行分類討論注：作差變形是解題關鍵.x+2跟蹤訓練2利用單調性的定義，證明函數(shù) y=x在(一1, +8)上是減函數(shù).Xi + 2證明：設Xi, X2是區(qū)間(一1, +8)上任息兩個頭數(shù)且 Xi<X2,那么f (Xi) - f(X2)= X1+ 1 X2+ 2X2X1X2+ 1X1 + 1 X2+ 1 '- 1<X1<X2, 1, X2-X1>0, X1 + 1>0, X2+1>0.X2 X1X1+ 1 X2+ 1f(X1) f ( X2)>0 ,f(X1)>f(X2).x+ 2 ,，,，y = X7在(一1, 十00)上是減函

9、數(shù).利用四步證明函數(shù)的單調性.題型三 利用函數(shù)的單調性求最值經(jīng)典例題,一，2x 1例 3 函數(shù) f(x)=x工1, x 3,5(1)判斷函數(shù)在區(qū)間3,5上的單調性，并給出證明;(2)求該函數(shù)的最大值和最小值.【解析】(1)函數(shù)f(x)在3,5上是單調遞增的，證明：設任意 X1, X2,滿足3< X1<X2< 5.因為 f (X1) f (X2)=2X1 1 2X21一X1+1X2+12x11 X2+1 2x21 X1+1X1+ 1 X2+ 13 X1 X2X1+ 1 X2+ 1 '因為 3WXi<X2W5,所以 Xi+1>0, X2+1>0, Xi

10、X2<0.所以 f(xi)f(X2)<0 ,即 f (xi)< f (X2).2x1所以f(x)=-r7在3,5上是單調遞增的.x+ 1(2) f(X)min=f (3)2X3 13+ 154'2X51 3f(x)max=f(5)=1方法歸納5 .利用單調性求函數(shù)的最大 (小)值的一般步驟(1)判斷函數(shù)的單調性.(2)利用單調性求出最大(小)值.6 .函數(shù)的最大(小)值與單調性的關系(1)假設函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上是增(減)函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間a, b上的最小(大) 值是f (a),最大(小)值是f (b).(2)假設函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上是增(減)函

11、數(shù)，在區(qū)間b, c上是減(增)函數(shù)，那么 f(x)在區(qū)間a, c上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f (a)與f(c)中較小(大)的一個.3跟蹤訓練3函數(shù)f(x)=求函數(shù)f (x)在1,5上的取值.2X 1解析：先證明函數(shù)f(x)=7j的單調性，設X1, X2是區(qū)間1, +8 上的任意兩個實數(shù)，2X 12-1且 X2>X1 >2 ,336 X2 X1( (X1) "x"-2xl 1 2x2- 1- 2X11 2x2- 1 .由于 X2>X1>2,所以 X2- X1>0,且(2x1-1) - (2 X2- 1)>0 ,所以 f(X1

12、) - f (X2)>0 ,即f (xj>f (X2),所以函數(shù)f (x) =3 在區(qū)間+°°上是單調遞減的，所以函數(shù)f (x)在1,52x 12 3上是單調遞減的，因此，函數(shù)f(x)=廠在區(qū)間1,5的兩個端點上分別取得最大值與最小4XI值，即最大值為f(1) =3,最小值為f(5) =1.31判斷函數(shù)的單調性.2利用單調性求出最大小值.題型四由函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍經(jīng)典例題例4函數(shù)f(x)=x2+2(a1)x+2在區(qū)間(一8, 4上是減函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍. 【解析】.f(x) =x2 2(1 -a)x+2=x-(1 - a) 2+2-(1 -a)

13、2,，f(x)的減區(qū)間是(一00, 1 - a.f (x)在(8, 4上是減函數(shù),，對稱軸x = 1 a必須在直線x= 4的右側或與其重合. - 1 一 a > 4,解得 a w 一 3.故a的取值范圍為(8, 3.狀元隨筆|首先求出f(x)的單調減區(qū)間，求出 f(x)的對稱軸為x=1-a,利用對稱軸 應在直線x=4的右側或與其重合求解.方法歸納“函數(shù)的單調區(qū)間為 I ''與"函數(shù)在區(qū)間I上單調的區(qū)別單調區(qū)間是一個整體概念，說函數(shù)的單調遞減區(qū)間是I ,指的是函數(shù)遞減的最大范圍為區(qū)間I ,而函數(shù)在某一區(qū)間上單調，那么指此區(qū)間是相應單調區(qū)間的子區(qū)間.所以我們在解決函

14、 數(shù)的單調性問題時，一定要仔細讀題，明確條件含義.跟蹤訓練4 例4中，假設將“函數(shù)在區(qū)間(一8, 4上是減函數(shù)改為“函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(一00, 4",那么a為何值？解析：由例4知函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(一8, 1 切， - 1 - a= 4, a= - 3.求出函數(shù)的減區(qū)間，用端點值相等求出a.課時作業(yè)17堞時訓回國理事一、選擇題1 .定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù) a, b,總有f aab b >0,那么必有()A.函數(shù)f (x)先增后減B. f(x)是R上的增函數(shù)C.函數(shù)f (x)先減后增D.函數(shù)f (x)是R上的減函數(shù).,_,fafb，,，一一解

15、析：由>0 知，當 a>b 時，f (a)>f (b)；當 a<b 時，f(a)<f(b),所以函數(shù) f(x)a b是R上的增函數(shù).答案：B2.以下函數(shù)中，在(0,2)上為增函數(shù)的是()3A. y= 3x+2 B . y=xC. y=x24x + 5 D , y=3x2+8x10解析：顯然A、B兩項在(0,2)上為減函數(shù)，排除；對 C項，函數(shù)在(一8, 2)上為減函數(shù)，也不符合題意；對 D項，函數(shù)在 4, +0°上為增函數(shù)，所以在(0,2)上也為增函數(shù)，應選 3D.答案：D3.函數(shù)f(x)在 2,2上的圖像如下圖，那么此函數(shù)的最小值、最大值分別是 ()A

16、. f( - 2) , 0 B , 0,2C. f( 2) , 2 D . f(2) , 2解析：由圖像知點(1,2)是最tWj點,故ymax= 2.點(一2, f ( 2)是最低點,故 ymin = f (2) .答案：C4 .函數(shù)y = f(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)>f( m+ 9),那么實數(shù) m的取值范圍是()A. ( 8, - 3) B . (0 ,+8)C. (3 , +8) D .(巴-3) U (3 , i)解析：因為函數(shù)y=f(x)在R上為增函數(shù)，且f(2m)>f(m+ 9),所以2m>m+ 9,即m>3.答案：C二、填空題5 .如下圖為函數(shù)y=

17、f(x), xC 4,7的圖像，那么函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是解析：由圖像知單調遞增區(qū)間為1.5,3和5,6答案：1.5,3和5,66 .函數(shù)y = x+51的最小值為解析：令由1 = t , t >0,那么x=t2+1,所以 y=t2+t+1= t+：2+g, 24當t >0時，由二次函數(shù)的性質可知，當 t = 0時，ymin= 1.答案：17 .函數(shù)y= | x2 4x|的單調減區(qū)間為 .2,4解析：畫出函數(shù)y= | x2 4x|的圖像，由圖像得單調減區(qū)間為：(00, 0,答案：(一巴 0, 2,4三、解答題 一一一18.判斷并證明函數(shù) f(x) = -+1在(0 , +8)

18、上的單調性.x1解析：函數(shù)f(x)=-+1在(0 , +°°)上是增函數(shù).證明如下: x設x1, x2是(0 , +8)上的任意兩個實數(shù)，且x«x2,那么f(x1)f(x2)= -1+1 - -1+ 1 =笠聲， x1x2x1x2由 x1, x2C(0, 十00),得 x1x2>0,又由 x1<x2,得 x1- x2<0,于是 f (x1) f (x2)<0 ,即 f ( x1)< f ( x2),1，一一，f(x)=-+1在(0 , 十0°)上是增函數(shù).xx 3, x w 1,9.作出函數(shù)f(x) =2的圖像，并指出函數(shù)的單調區(qū)間.x-2 +3, x>1x 3, x w 1,解析：f(x)=2+3 >1的圖像如下圖.由圖像可知：函數(shù)的單調減區(qū)間為(一8, 1和(1,2;單調遞增區(qū)間為(2,