D118二重積分概念實用教案

1、1)“大化(d hu)小”用任意(rny)曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域以它們(t men)為底把曲頂柱體分為 n 個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體k),(kk第1頁/共26頁第一頁，共27頁。4)“取極限(jxin)”令),(yxfz ),(kkfk),(kk第2頁/共26頁第二頁，共27頁。2. 平面薄片平面薄片(bo pin)的質(zhì)量的質(zhì)量 有一個平面薄片(bo pin), 在 xOy 平面上占有區(qū)域 D ,計算(j sun)該薄片的質(zhì)量 M .度為設(shè)D 的面積為 ,則若是變量 ,仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D

2、 為 n 個小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小塊 .yxO第3頁/共26頁第三頁，共27頁。yx2)“常代變”中任取一點(y din)3)“近似(jn s)和”4)“取極限(jxin)”k),(kk則第 k 小塊的質(zhì)量第4頁/共26頁第四頁，共27頁。兩個問題(wnt)的共性：(1) 解決問題的步驟(bzhu)相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同(xin tn)“大化小, 常代變, 近似和,取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 第5頁/共26頁第五頁，共27頁。二、二重積分的定義二、二重積分的定義(dngy)及可積性及可積性定義(dngy):將區(qū)域

3、(qy) D 任意分成 n 個小區(qū)域(qy)任取一點若存在一個常數(shù) I , 使可積 , 在D上的二重積分.積分和積分區(qū)域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 第6頁/共26頁第六頁，共27頁。引例(yn l)1中曲頂柱體體積:引例2中平面(pngmin)薄板的質(zhì)量:如果(rgu) 在D上可積,元素d也常記作二重積分記作這時分區(qū)域 D , 因此面積 可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃 yxO第7頁/共26頁第七頁，共27頁。二重積分存在二重積分存在(cnzi)定理定理:若函數(shù)(hnsh),(yxf定理(dngl)2.),(yxf定理1.在D上可積.限個點或有限條光滑曲線外都連

4、續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如, 在 D :上二重積分存在 y1x1DO二重積分幾何意義: 和定積分的幾何意義類似第8頁/共26頁第八頁，共27頁。三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)(xngzh)( k 為常數(shù)(chngsh) 為D 的面積(min j), 則 第9頁/共26頁第九頁，共27頁。特別(tbi), 由于則5. 若在D上),(yxf6. 設(shè)D 的面積(min j)為 ,則有第10頁/共26頁第十頁，共27頁。7.(二重積分的中值(zhn zh)定理)證: 由性質(zhì)(xngzh)6 可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少(zhsho)有一點在

5、閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,則至少存在一點使使連續(xù),因此第11頁/共26頁第十一頁，共27頁。例例1. 比較下列積分比較下列積分(jfn)的大小的大小:其中(qzhng)解: 積分域 D 的邊界(binji)為圓周它在與 x 軸的交點 (1,0) 處與直線從而而域 D 位于直線的上方, 故在 D 上y2x1OD第12頁/共26頁第十二頁，共27頁。例例2. 估計下列估計下列(xili)積分之值積分之值解: D 的面積(min j)為由于(yuy)積分性質(zhì)5即: 1.96 I 210101010DxyO第13頁/共26頁第十三頁，共27頁。xyO8. 設(shè)函設(shè)函數(shù)數(shù)(hnsh),(yxfD 位于(

6、wiy) x 軸上方的部分為D1 , 當(dāng)區(qū)域(qy)關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時, 仍1D在 D 上在閉區(qū)域上連續(xù),域D 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有第14頁/共26頁第十四頁，共27頁。四、二重積分的直角坐標(biāo)四、二重積分的直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)計算法計算法設(shè)曲頂柱的底為X - 型區(qū)域(qy)任取平面(pngmin)故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的)(2xy)(1xy0 xzxyabDO記作 第15頁/共26頁第十五頁，共27頁。同樣(tngyng), 曲頂柱體的底為Y - 型區(qū)域 則其體積可按如下兩次積分(jfn)計算DyxfVd

7、),(xyxfyyd),()()(21Oydcx)(2yx)(1yxy記作 第16頁/共26頁第十六頁，共27頁。xyOxyDO說明說明(shumng): (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是 X - 型型區(qū)域又是區(qū)域又是Y - 型區(qū)域型區(qū)域 , 為計算方便(fngbin),可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序.badc則有(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成(fn chn)若干X - 型域或Y - 型域 , 則 第17頁/共26頁第十七頁，共27頁。1212例例3. 計算計算(j sun)其中(qzhng)D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域(qy). 解法1. 將D看作X -

8、型區(qū)域, 則解法2. 將D看作Y - 型區(qū)域, 則:DI89xy xxyO第18頁/共26頁第十八頁，共27頁。例例4. 計算計算(j sun)其中(qzhng)D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域(qy). 解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:DDxy 2214Oyxy及直線則 第19頁/共26頁第十九頁，共27頁。例例5. 計算計算(j sun)其中(qzhng)D 是直線 所圍成的閉區(qū)域(qy).OxyDxxy 解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X - 型域 :先對 x 積分不行, 說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.第20頁/共26頁第二十頁，共27頁。2例例6.

9、交換交換(jiohun)下列下列積分順序積分順序解: 積分域由兩部分(b fen)組成:822 yx2D22yxO2視為Y - 型區(qū)域(qy) , 則1D第21頁/共26頁第二十一頁，共27頁。例例7. 求兩個求兩個(lin )底圓半徑為底圓半徑為R 的直交圓的直交圓柱面所圍的體積柱面所圍的體積.解: 設(shè)兩個(lin )直圓柱方程為利用(lyng)對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為222RzxDxyzRRO第22頁/共26頁第二十二頁，共27頁。被積函數(shù)(hnsh)相同, 且非負(fù), 思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)解: 由它們的積分域范圍(fnwi)可知1xyO1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:第23頁/共26頁第二十三頁，共27頁。2. 計算計算(j sun)其中(qzhng)D 由所圍成.Oyx24xy解: 令積分區(qū)域(qy)關(guān)于第24頁/共26頁第二十四頁，共27頁。3. 計計算算(j sun)解:202第25頁/共26頁第二十五頁，共27頁。感謝您的欣賞(xnshng)！第26頁/共26頁第二十六頁，共27頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)1)“大化小”。用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域。以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個。計算(j sun)該薄片的質(zhì)量 M .。設(shè)D 的面積為 ,。