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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：李**（實(shí)名認(rèn)證）

IP屬地：浙江

IP屬地：浙江 上傳時(shí)間：2022-05-20 格式：PPT 頁數(shù)：88 大?。?.35MB 積分：20 舉報(bào) 版權(quán)申訴

1、第一章 矩陣(j zhn)理論(Matrix Theory)第一節(jié) 線性變換及其矩陣(j zhn)表示第一頁，共88頁。第二頁，共88頁。第三頁，共88頁。nnRRnn由線性代數(shù)的知識(shí)我們可以得到， 維向量的全體，在通常定義的向量加法和實(shí)數(shù)與向量的數(shù)乘運(yùn)算下，構(gòu)成實(shí)線性空間。再看如下的例子：例1：判斷下列集合對(duì)于所指運(yùn)算是否為（ 上的） 線性空間。 (1)分量之和等于0的 維向量的全體，對(duì)向量加和數(shù)乘； (2)分量之和等于1的 維向量的全體，對(duì)向量加和數(shù)乘。第四頁，共88頁。1111111111(1)()|0()()0 ()0 8(2)nTnniiTnnnnniiiiiiiTnnniiiiXx

2、xxRxxyXxyxyxyxyxyxyXRxxxxxxRXXX 解： 記，則任 ，其分量和對(duì)任，分量和。即 對(duì)加法和數(shù)乘封閉。易證 滿足 個(gè)條件， 為線性空間。111()|11(),nTnniiTnXxxxRxxxxXXX記，由于對(duì)任，即 對(duì)數(shù)乘運(yùn)算不封閉， 不是線性空間。第五頁，共88頁。111 111112nnnnnnnnXnxxxxXxxxxxxXXnxR線性空間中的一系列定義：基：如果線性空間 中有 個(gè)元素 ，滿足： （） ，線性無關(guān)； （ ） 中任一元素 都可以由它們線性表示， 即，則稱 ，為 的 一組基。維數(shù)： 中基組中元素的個(gè)數(shù) 。坐標(biāo)：表出系數(shù)，稱為 在這組基下的 坐標(biāo)，記為，

3、。注：由于中線性相關(guān)、無關(guān)、組合只涉及線性 運(yùn)算，故對(duì)線性空間也適用。第六頁，共88頁。1211 1112(100)(010)(0 01)()nTTTnnnnnnnnReeeRxRxxxxx ex exxxee例 ：中的， ， ， ， ， ， ， ， ， 構(gòu)成中的一組基，對(duì)于任意的，其中，都有。記 坐標(biāo)為，故稱為坐標(biāo)基。第七頁，共88頁。11111 11111 nnnnnnnnnXpppp設(shè)和是線性空間 中兩組不同的基，則其中一組基可由另一組基線性表出，設(shè)，。即： 111111111 nnnnnnnnnnppppppPPppPP ，簡記為 稱由 到 的過渡矩陣?？勺C，過渡矩陣 是可逆的。第八頁

4、，共88頁。22212111222()3()(0)()TTXYTXYTXXTXTxyTxTyXYTRRxRxxxTxxxyTxyTxy、線性變換及其矩陣表示變換（算子）：非空集合 到 的映射，記 ： （若 ：，則稱 為 上的變換。）線性變換：滿足線性性的變換： （注：這里 與 為線性空間）例 ：考慮變換 ：，對(duì)任， ，則有：1111221120 (0)(0)TTxyxyTxyxyTxTyTR，是上的線性變換。第九頁，共88頁。11111 1111: nmmmnnmnmTT XYXYnmXYTaaTaa的矩陣表示：設(shè)映射，其中 與 維數(shù)分別為 和 ，和分別是 和 中的一組基，又設(shè)，1111111

5、111 nnmmmnnmmnaaTTaaaaAaaTAATKMOMLKMOML即：，記 ， 則上式簡記為，稱 為線性變換 關(guān)于基 、 的一個(gè)矩陣表示（簡稱矩陣）。第十頁，共88頁。1111 1111: nnnnnnnnT XXXnXTTaaTaa思考：若映射為， 的維數(shù)為 ，是 中的一組基，則 的矩陣表示應(yīng)為： ，即：1111111111 nnnnnnnnnnaaTTaaaaAaaTAATKMOMLKMOML，記 ， 則上式簡記為，稱 為線性變換 關(guān)于基 的一個(gè)矩陣表示。第十一頁，共88頁。121AnnxAxxAxAxAkkxxxAx方陣的特征值：設(shè) 為 階方陣，如果 與 維非零的列向量 ，使

6、等式 成立，則稱數(shù) 為方陣 的一個(gè)特征值。特征向量：非零列向量 稱為 的相應(yīng)于（屬于）特征值 的特征向量。特征向量的性質(zhì)： (1)如果 是 的相應(yīng)于 的特征向量，那么對(duì)任意非零數(shù) ，也是相應(yīng)于 的特征向量； (2)如果 和 都是 的相應(yīng)于 的特征向量，那么2x 也是相應(yīng)于 的特征向量。即對(duì)加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉。第十二頁，共88頁。 ()0 0 | 0 AxxEA xxxEAEA由于可以改寫為這可以看作是以 為變量的齊次線性方程組。它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于 ，而 是特征向量為非零，故 必滿足：于是有以下定義：特征矩陣： | | 0 EAEAAAAxA特征多項(xiàng)式：特征方程：由上述分析可知

7、，方陣 的特征值 是 的特征方程的根（因此特征值又稱特征根）。 的相應(yīng)于 的特征向量是以 的特征矩陣為系數(shù)陣的齊次線性方程組的解。第十三頁，共88頁。212341 1 0 4 3 0 1 0 21 1 0 | 4 3 0(2)(1)0 1 0 221AAEAA 例 ：求方陣的特征值與特征向量。解： 的特征方程為求出 的特征值為： ， 112121 2(2)030 40 0EA xxxxxx。對(duì) ，解齊次線性方程組，即第十四頁，共88頁。111 112312121320 012(0)1()020 4200 1 21kkEA xxxxxxx 求出它的基礎(chǔ)解系： ，相應(yīng)于特征值 的特征向量是。對(duì) ，

8、解齊次線性方程組，即求出它的基礎(chǔ)解系：23222,1(0)kk相應(yīng)于 的特征向量是。第十五頁，共88頁。1111 11111101sssssssAxxxxssssk xkxk x 定理 ：若 ， 是方陣 的互異的特征值， 是分別相應(yīng)于它們的特征向量，則， 線性無關(guān)。 證：對(duì) 使用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)，因?yàn)槿我粋€(gè)非零向量線性無關(guān)，所以定理成立。設(shè)對(duì)個(gè)互異的特征值定理成立，要證對(duì) 個(gè)互異的特征值定理也成立，為此令 ， （）第十六頁，共88頁。111 1 11111111111102(1)(1)03(3) (2)()()0(1sssssiiisssssssssssSiskxkxAxx isAkxkxkxk

9、xkxxxi在上式兩邊同乘以得 ， （ ）因?yàn)椋?，用 左乘式得 ， （ ）將、 二式兩邊分別相減得 由于 ，線性無關(guān)，且，1111)00sssskkkxx ，故必有，從而。即 ， 線性無關(guān)。第十七頁，共88頁。三、相似矩陣及其性質(zhì)(xngzh)11111 11111111 ()() () (nnnnnnnnnTXXTXXPPTBABTTPTPT ppppTp T、相似矩陣：考慮 ：，易知 在 不同基組下的表示矩陣是不同的。設(shè) 和 是線性空間 的兩組不同的基， 為過渡矩陣。 關(guān)于 、 的矩陣分別為 和 ，則有：，線性11111111) ()() ()nnnnnnnnnp Tp Tp TTTPT

10、PAPP APBP APAB，。稱滿足此關(guān)系式的 、 矩陣為相似的。第十八頁，共88頁。11 2ABnnPBP APABABP APAPTXTX相似矩陣：設(shè) 、 均為 階方陣，若存在 階可逆矩陣 ，使則稱 相似于 ，記為。這時(shí)可稱為對(duì) 施行相似變換，其中 稱為相似變換陣。定理 ：設(shè) 是線性空間 上的線性變換，則 在 兩組不同基下的表示陣是相似的。第十九頁，共88頁。111123 ()1| ABABABABABPBP APABEBEP APPEA PPP、相似矩陣的性質(zhì)：若，則 與 有相同的行列式、秩和特征值。定理 ：設(shè)方陣 與 相似，則 與 有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值。證：因?yàn)?，?/p>

11、以存在可逆矩陣 ，使得于是 與 的特征矩陣有如下關(guān)系：等式兩端取行列式，顯然，于是1 | | |EBPEAPEAABAB，即 與 有相同的特征多項(xiàng)式，從而 與 有相同的特征值。第二十頁，共88頁。-1111( )(1)2( )11knnnEAkEAAkDknAEAEAnDnC2一、方陣的行列式因子、不變因子、初等因子、行列式因子（）定義：中所有非零 級(jí)子行列式的首項(xiàng)（即最高次項(xiàng)）系數(shù)為的最大公因式稱為的（簡稱 的）級(jí)行列式因子（因式），記為，（ ）計(jì)算步驟：根據(jù)定義，先由 得到特征矩陣；然后計(jì)算的 級(jí)子式（只有一個(gè)），即為；再計(jì)算所有的級(jí)子式（有()個(gè)），取其中首項(xiàng)系數(shù)為的11( )( )nD

12、D最大公因式，即為；依此類推，直至得到。第二十一頁，共88頁。2 1 050 2 10 0 22 1 2 1 2 2 1 2AAEA例 ： 求 的各級(jí)行列式因子。解：， 考慮其所有的3級(jí)子式（只有一個(gè)）： 33321 12 ) 2( )2 ) 1 02212 1( )111( )1DDEAD( 所以(。 考慮其所有的 級(jí)子式，因?yàn)橛幸粋€(gè) 級(jí)子式， 所以。 考慮其所有的 級(jí)子式，因?yàn)橹杏性?，所以。第二十二頁，?8頁。111214( )( )( )(1)1( )|( )( )( )1niiiiiEAddEAdinddddinEAO、不變因子（）定義 我們先看一個(gè)定理： 定理 ：總可經(jīng)初等變換化

13、為 的形式（稱為在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形），其中， 的首項(xiàng)系數(shù)為，且即可被整除 ， 。 可以證明，在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)( )(1)idin形中，對(duì)角元，不會(huì)隨所采用的初等變換的不同而改變。第二十三頁，共88頁。1121( )( )( )(1)1( )|( )|( )( )( )ninnEAdddindddddEAAEAO 由以上定理我們可以得到不變因子的定義： 設(shè)在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為 ， 其中， ，首項(xiàng)系數(shù)為，且，稱，為的（簡稱 的）不變因子。 可以證明，在初等變換下秩與行列式因子不變，由此不難111( )( )2( )( )( )kkkDdknDdD得出不變因子與行列式因子間的關(guān)系： ， ， 。

14、第二十四頁，共88頁。NoImage111( ) ( )( )( )( )( )( )nnkkkEAddddEAADdDO（2）計(jì)算方法：方法一：由定義，將經(jīng)初等變換成 的形式，其中的，滿足定義條件，即為的不變因子。具體算例見書13頁例1.11。方法二：先計(jì)算出 的行列式因子，再根據(jù)不變因子與行列式因子間的關(guān)系 ，112( )( )kndD， ， 。計(jì)算出不變因子。具體算例見書12頁例1.10。第二十五頁，共88頁。11112121121231( )(1) ( )()()() ( )()()()0()(snnnsijkkkkskkknskijjAdknddkAi、初等因子（）定義： 的不變因子

15、，在復(fù)數(shù)域可分解為一次因式冪的積的形式：， ，其中凡是冪次的一次因式冪均稱的初等因子（組）11)ijijnjskn， ；， ；。第二十六頁，共88頁。112( )()141.121.135( ) ( )( )( )15ikiinnAdEAhhhhAO（ ）計(jì)算方法：方法一：由定義，先求 的不變因子，再分解為具體例子見頁例和。方法二：我們先看定理 ：設(shè)經(jīng)初等變換化為下面的形式： ， 則，分解出的全部一次因式冪（冪次）就是 的初等因子。 由定理 知，可5( )iEAh先將經(jīng)初等變換化為形如定理中的對(duì)角形，再由分解即可。第二十七頁，共88頁。2121212 060 12 0( )(2)(1) 0 1

16、( )1( )1( )(2)(1)21AAEADDDddD例 ：求 的不變因子和初等因子。解：， ，。 初等因子為，。第二十八頁，共88頁。21622 11 07 0 1 3 22 1 ( )(2)(1)( ) 0 1ABABABABABABADD二、方陣相似的條件定理 ：方陣 與 相似的充要條件是： 與 有全同的不變因子。推論 ：方陣 與 相似的充要條件是： 與 有全同的初等因子（或行列式因子）。例 ：已知，證明 與 相似。證： 的行列式因子為，211 1 0 ( )(2)(1)( )1 3 2 BDDABAB，的行列式因子為，。與 有全同的行列式因子，故。第二十九頁，共88頁。121217

17、()()() 1 1 skkksiisiinAknAJJJJOOOO三、方陣在相似變換下的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理 ：設(shè) 階方陣 的全部初等因子為：，。則 必相似于 。其中1 iiikkis， 。第三十頁，共88頁。1 1 1 1iisiiikkEJEJEJEJOOOOO證： ，其中 1 ()iiikikk，第三十一頁，共88頁。1111 () 1 1 ()skksEJOOO所以 115() ()skksJAAJ。 由定理 ， 的初等因子為，與 的初等因子全同，由推論2得。第三十二頁，共88頁。 23123()8(2) (2) (2)22 1 2 2 1 2 1iiiJAJordanJJkAAJJJJJ

18、 稱 為 在相似變換下的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，或稱若當(dāng)法式。 中對(duì)角塊 稱為相應(yīng)于 的一個(gè) 階若當(dāng)塊。例 ：已知 的初等因子為，寫出的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 。 217191.161.17 其他例子見書頁例和。第三十三頁，共88頁。111173()() 4() 1 nnnnAAJnAAJO下面介紹定理 的幾個(gè)推論。推論 ：設(shè) 階方陣 的初等因子均為一次式，即為，則 的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為對(duì)角陣：。推論 ：設(shè) 階方陣 的初等因子只有一個(gè)，即，則 的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形只有一個(gè)若當(dāng)塊：111 1 5()()skksijnAijAOOO。推論 ：設(shè) 階方陣 的初等因子中無重復(fù)因子，即，中，則 的每個(gè)特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)若當(dāng)塊。第三十四頁，共8

19、8頁。11100111 ( )( )0 1 0 1 nnnfaaafnAaaOOOOL四、方陣在相似變換下的有理標(biāo)準(zhǔn)形、伴侶方陣（）定義：給定多項(xiàng)式，由構(gòu)成的 階方陣1 ( )naf稱為的伴侶（相伴）方陣。第三十五頁，共88頁。 39( ) ( )1 ( )1 (1)10 1 (2) 0 11 0 0fffAA例 ：寫出下列的伴侶方陣：（1）；（2）。解：；第三十六頁，共88頁。01112( )11( ) 1 ( ) | 1 1 () 1 nnnfAfAnDEAaaaaOOLOOO（ ）性質(zhì)：的伴侶方陣 的不變因子為， ，。證： 的 級(jí)行列式因子212 1 ( 1) 1 0 1nnaOOO第三

20、十七頁，共88頁。1012120121201 ( 1) 1 () nnnnnnnnnnaaaaaaaOLO OLL1-111-121 ( )( )( ) 1( )( )( )( )( ) 1( )( )( ) 1nnnnnfDDADdfdDDdd。而顯然，所以 的不變因子為 ， 。第三十八頁，共88頁。1112811( )( ): ( )1n lnlin lnAddALLLLLdilLA O、有理標(biāo)準(zhǔn)形定理 ：設(shè) 階方陣 的不變因子為： ， ，則 必相似于 ， 其中 是的伴侶方陣（，）。稱為 在相似變換下的有理（自然）標(biāo)準(zhǔn)形，也稱有理法式。第三十九頁，共88頁。11 11 ( ) 1 1ln

21、lELELELd OOOO證： ( )nd第四十頁，共88頁。111 1 ( ) ( ) 11( )( )n lnn lnddddALALA OO由于 ， ，是 的不變因子，必能一個(gè)整除一個(gè)，所以它們是 的不變因子。 與有全同的不變因子，由定理6可得，L。第四十一頁，共88頁。321212102)2)43180 1 3 0 118 3 43 0 1 0 LLLLL 22例 ：已知A的不變因子為1，1， +3，( +3)(， 求A的有理標(biāo)準(zhǔn)形。解：( +3)(， 1 18 3 423241.191.20其余例子見書和頁的例和。第四十二頁，共88頁。8611( )( )nnnAdAdAA 由定理

22、可很容易得到以下推論： 推論 ：設(shè) 階方陣 的不變因子是 ， ，則 的有理標(biāo)準(zhǔn)形只有一塊，即的伴侶方陣。 推論7：方陣 的有理標(biāo)準(zhǔn)形只有一塊的充要條件是 的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中每個(gè)特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)若當(dāng)塊。第四十三頁，共88頁。 1 () ( )|(1)ijn niiiijj innAaG AaaAi in 一、特征值的估計(jì)點(diǎn)估計(jì)近似值估計(jì)區(qū)間估計(jì)范圍特征值復(fù)平面上的 個(gè)點(diǎn)，故其范圍是個(gè)區(qū)域。、圓盤設(shè) 階方陣，稱集合為 的第，個(gè)圓盤（蓋爾圓）。第四十四頁，共88頁。123 1 0.8 0.1110.5 0 0.20.1 0.4 2( )|10.9 ( )|0.7 ( )|20.5AG AGAG A 例

23、：求的圓盤。解：2 連通部分：交結(jié)在一起的圓盤所構(gòu)成的最大連通區(qū)域。如上圖中，共有 個(gè)連通部分。1G2G3G201第四十五頁，共88頁。29 () 1 ijn niiijj inAnAnAaaain、圓盤定理定理 ： 階方陣 的 個(gè)特征值均落在 的 個(gè)圓盤的并集之內(nèi)。即：的每一個(gè)特征值均至少滿足下列不等式之一：， 。第四十六頁，共88頁。000000001111max0 (Tniiiii nii jjijnni iAAaaaa MMMM證：設(shè) 是 的任一特征值，是屬于 的特征向量。令，則。由于，所以或?qū)懽?0000 00000000001) | |( )( )ii jjj ijji ii ji

24、 ji jj ij ij iiinijjaaaaaGAGAAnU，所以，即 屬于 的 個(gè)圓盤的并集之內(nèi)。第四十七頁，共88頁。1239113310AGGGGAmGAmUU 將定理 應(yīng)用于例 可以得到， 的 個(gè)特征值均落在中。 然而這樣的估計(jì)比較粗略，它并沒有說明是否有可能 個(gè)特征值均落在一個(gè)圓盤中。為解決這個(gè)問題，我們給出下面的定理。 定理：設(shè) 是由方陣 的 個(gè)圓盤組成的一個(gè)連通部分，則在 中必有且只有 的 個(gè)特征值（圓盤相重時(shí)重復(fù)計(jì)數(shù)，特征值相同時(shí)也重復(fù)計(jì)數(shù)）。第四十八頁，共88頁。3121211101131211()1 1ijn nniiiijjj iiAGGGGGAabbSaa binb

25、ASS UUU 將定理應(yīng)用于例 可以得到， 的 個(gè)特征值分布為：中 個(gè)，中 個(gè)。 這樣的估計(jì)仍比較粗略，它沒有說明中特征值的具體分布情況，為此，我們給出定理11。 定理 ：設(shè)方陣， ， 是任意一組正實(shí)數(shù)，記， 。則 的任意特征值均落在并集nSU之內(nèi)。第四十九頁，共88頁。1111111111 10(1) 1 1 1 ninnnnnnbBbbbinBBbbbaaDB ABaabOOOMOMOL證：記矩陣 ，則因， ， 可逆，且 。記 nb第五十頁，共88頁。21112111121222221212 9nnnnnnnnnnbbaaabbbbaabbDabbaaabbDADADDSASLLMML，

26、則，故 與 有全同的特征值。而由定理 ，的特征值均落在 的圓盤的并集 內(nèi)，于是 的特征值也全落在 內(nèi)。第五十一頁，共88頁。111120.9 0.01 0.12 0.01 0.8 0.130.01 0.02 0.4 |0.90.13 AAG 定理 的意義在于，通過縮小圓盤的半徑，可以把相交的圓盤分開。下面我們來看一個(gè)具體的例子。例 ：估計(jì)方陣的特征值的分布范圍。解： 的圓盤為23 |0.80.14 |0.40.03GG 第五十二頁，共88頁。312GAGGA 易見，是一個(gè)孤立的連通部分，其中恰有 的一個(gè)特征值，而和構(gòu)成一個(gè)連通部分，其中有 的兩個(gè)特征值。如下圖所示：1G2G3

27、G12312311/10 |0.90.01 0.12 1/100.022 |0.80.01 0.13 1/100.023 |0.40.01 100.02 100.3bbbSSS 為了使估計(jì)更精確，取，則：，第五十三頁，共88頁。123123113 0.90.022 0.80.023 0.40.3ASSSSSSAA 于是由定理 ， 的特征值均落在 、 、 的并集之中，而 、 、 都是孤立的，所以每個(gè)圓盤中恰有的一個(gè)特征值。于是可得 的 個(gè)特征值的范圍如下：如圖所示：第五十四頁，共88頁。111 1 ( )max nnnnAA二、譜半徑的估計(jì)、譜與譜分析譜 階方陣 的全體特征值

28、，組成的集合，即，。譜半徑，。其幾何意義如下圖：即為所有特征值中的最大的模（與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)）。第五十五頁，共88頁。0000011129 max ( )max iiijiiiiijj ij inniiijijijij ijjnijijTTAiaaaaaaaaaAaAAA、譜半徑的估計(jì)由圓盤定理 可知，對(duì) 的任一特征值 ，均存在，使即由于 與有相同的特征值，對(duì)應(yīng)用以上結(jié)論，有111 ( )max( )min maxmaxnijjinnijijijjiAaAaa，故譜半徑估計(jì)：，第五十六頁，共88頁。21144412113( )1555113666 ( )min 11AAAA例 ：證明方陣的譜半徑

29、。57證： 的行和最大值為1，列和最大值為。6057，。60第五十七頁，共88頁。1211121012,nnnnnAAnAnnxxxR三、主特征值及主特征向量的估計(jì)、定義主特征值：設(shè) 階方陣 的特征值按模的大小排列為，稱 為 的主特征值（或占優(yōu)特征值）。主特征向量：相應(yīng)于 的特征向量。、估計(jì)方法冪法 設(shè) 階方陣 的 個(gè)特征值互異，即則相應(yīng)的 個(gè)特征向量 ， 線性無關(guān)，任意向量可由其線性表出，即第五十八頁，共88頁。01 10111 1 101 11 nnnnnnnmmmnnnxxxAAxAxAxxxAA xxx 兩端左乘 ，有重復(fù)左乘 ，可得211 122111()011 111()(1)01

30、1 11 ()0 mmmnnnmmmmmmmmmxxxmA xxxAxxxx 設(shè)，易見當(dāng) 充分大時(shí)，上式中第一項(xiàng)成為主要的，從而，則第五十九頁，共88頁。0(1)()1()131()(1)0 (2)(3)(1)mmmijn nijijjiijikkjAxmxxxAaaaaAAaaaijknA 說明：依次用 的乘冪去乘任意向量 ，當(dāng)冪次充分大時(shí)，其結(jié)果與之間的倍數(shù)即為的近似值，而即為主特征向量的近似值。這種方法稱為冪法。、正互反矩陣主特征值及主特征向量估計(jì)定義：若矩陣滿足：，則稱 為正互反矩陣。若 還滿足， ， ，則稱 為一致性正互(3)反矩陣。條件稱一致性或傳遞性條件。第六十頁，共88頁。ma

31、x1111ma(1)(1)(2)(1)(3)(4) niijjniiTniTniniiWAMa innwM inWwwwWwwwWw 估計(jì)正互反矩陣主特征值和主特征向量，可用如下的方根法：將 中的元素按行相乘，乘積記作， ；將這些乘積開 次方根，方根記作， ；將方根組成的向量歸一化，得，其中，即主特征向量；計(jì)算主特征值x1()()()()(1)niiiiiAWnWAWAWinWnWiin， 其中表示第 個(gè)分量，表示的第 個(gè)分量， 。具體算例見書33頁例1.27。第六十一頁，共88頁。( )1( )1()lim(11)()kkijm nkkkijijkijm nkkm nAaAAAaa imjn

32、AaAAA一、矩陣序列、定義矩陣序列由階矩陣組成的序列，記為。矩陣序列的極限若， ；， ，則稱為的極限，也稱收斂于 。第六十二頁，共88頁。1411(1)1 ln(1)1sin lim1 lim010 1kkkkkkkkkkkAkkkkAAkeAA 例 ：設(shè)求。解：對(duì) 中的每個(gè)元素取極限（令），則得到。第六十三頁，共88頁。11 2(1)limlimlimlimlim(2)limlimkkkkkkkkkkkkkkkkkAm lBlnAABBA BABABAAP A PP AP既然矩陣序列的收斂等價(jià)于元素的收斂，由微積分中極限的性質(zhì)可得到如下結(jié)論：、性質(zhì) 設(shè)為階矩陣，為階矩陣，則：若，則 ；若，

33、則。第六十四頁，共88頁。21111011 ()limlim()kskkkkkkkkAAnAAAAAP APJJAJJJP A PP APJJJJP APO二、方陣冪級(jí)數(shù)、冪收斂方陣 冪收斂設(shè) 為 階方陣，若 ，收斂，則稱 冪收斂。 方陣 冪收斂的條件： 設(shè)，其中 是 的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，設(shè) 。由于，若收斂于 ，則 1010limlimkkkkPA PJAPJ P。所以 。第六十五頁，共88頁。1() (1) 1 ( ) 1 kkksimAJJJJJJismJOOOO 于是 的冪收斂問題等價(jià)于其若當(dāng)形 的冪收斂問題。又， 因此，對(duì) 的冪收斂的討論，可以轉(zhuǎn)化為對(duì)其若當(dāng)塊 的討論， 。 考慮 階若當(dāng)塊0

34、 11 1 1 0ENO OOO第六十六頁，共88頁。()()112221111222111101( )()()0( ) mmmkkkkkkkkkkkkkkkkmk mmkkkkkkNmNmJENECNCNCNNkkmNJECNCNCNC 其中 為 階冪零矩陣，即。因?yàn)槊砍艘淮?，矩陣中的就向右上方移一排?階時(shí)即已為零矩陣。 當(dāng) 充分大，。所以 11111 mk mkkkkCCLOOMO，第六十七頁，共88頁。11111lim(1)!(1)! !()!10()11(2) kkkjkjkkkjkjkkjkjkkkkuCukuCj kjkkuCj kjuukm 對(duì)其中對(duì)角元，當(dāng)或時(shí)，存在。對(duì)于其他

35、元素，一般記，考慮冪級(jí)數(shù)：，。由冪級(jí)數(shù)收斂判定定理，時(shí)，收斂，從而由級(jí)數(shù)收斂必要條件，有。時(shí)，若階以上 ，則! !()!1lim1jkkkkkkuCkj kjum ，發(fā)散。只有當(dāng)時(shí)，才收斂。于是得到以下定理：第六十八頁，共88頁。()12( ) (1)1(2)1113111150.80.3 0.3 0.10.5mmJmAAAEA定理： 階若當(dāng)塊冪收斂的充要條件是：，或者，且。定理 ：方陣 冪收斂的充要條件是： 的任一特征值 滿足，若，應(yīng)是，且對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊為一階若當(dāng)塊。例 ：判斷矩陣解：21.30.3711 (1.31.69 1.48)(1.30.21)22 1A，特征值為：，

36、顯然，所以 為冪收斂。第六十九頁，共88頁。00002limkkkNkNkNNkkkkkkkAna AAAa AASa ASSa A、方陣冪級(jí)數(shù)（1）定義：設(shè) 為 階方陣，稱為關(guān)于 的方陣冪級(jí)數(shù)。記，若，稱方陣冪級(jí)數(shù)收斂，其和為 ，記為。（2）收斂條件： 在研究冪級(jí)數(shù)的收斂條件之前，我們先來復(fù)習(xí)一下微積分中函數(shù)項(xiàng)冪級(jí)數(shù)的收斂條件：第七十頁，共88頁。0012( )10lim00( )(0)(0)( )(0)(0)2!kkkkkkkkknna xRxRxRxRRa xRaRaRf xfxfxf xffxn 冪級(jí)數(shù)收斂半徑 ：若時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散，時(shí)不定，則稱 為的收斂半徑。，則；設(shè)， 有，則；，則。

37、若的各階導(dǎo)數(shù)存在，則可展開為：第七十一頁，共88頁。001114( )(1)( )( )(2) (1) kkkkkksiiiAnf xa xRAARf Aa AAJJP APJJk isO定理：設(shè) 為 階方陣，的收斂半徑為 ，則當(dāng) 的譜半徑時(shí)，方陣冪級(jí)數(shù)收斂；的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為，其中 為相應(yīng)于特征值 的， 階若當(dāng)塊，則110 ( ) sfkkkfJf Aa APPJO，第七十二頁，共88頁。(1)()()() () 2!(1)! () 2! iikiiiiiifffffkfJLOOOMOO其中 () ()iiffO第七十三頁，共88頁。1001016!21( )10( )!11(1)!01(1)!

38、14!( ) skkkxkkkkkffAkf AAxf xekakkRakkAAkJf APJ QO例 ：判斷方陣冪級(jí)數(shù)的冪收斂性，若收斂，求其和，其中 。解：由微積分的知識(shí)可知，是的展開式，（）， 收斂半徑。由定理，無論 的特征值為何，均收斂。其和 1P第七十四頁，共88頁。 222122121112122122121211212211( )(2) 121(1)( )1( )1( )(1)(1)1101 11 01( JEADDddJppPPPPJAPppP PA P PP PPAP AP 先求 。，。，。即初等因子為。令，則由，有121)0 (1)() (2)EA PEA PP 第七十五頁

39、，共88頁。1111211211212222221111110 1(1)0110111 1 1(2)111121 12 12 1 121111( )0ApppPppppPpPPeef AePe 由，由，11111111 12 10 121102Peeeeee第七十六頁，共88頁。2303571211246201( )( )( )12!3!( 1)sin3!5!7!(21)!( 1)cos12!4!6!(2 )!kxkkkkkkkf Af xf xxxxexkxxxxxxkxxxxxkR 三、方陣函數(shù)、 對(duì)于函數(shù)，若各階導(dǎo)均存在，則可展開成冪級(jí)數(shù)： 其收斂半徑均為。第七十七頁，共88頁。1210

40、120( )sincos( 1)sin!(21)!( 1)cos(2 )!( )sincosAkkkAkkkkkAf AeAAAAeAkkAAkAAAReAA下面討論方陣函數(shù)，我們主要討論，。 定義： ， 分別稱為 的指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)。 由以上分析可知，對(duì)于這三種函數(shù)，無論 的特征值為何，總有。 故，相應(yīng)的方陣14sincosAeAA冪級(jí)數(shù)收斂，可由定理分別求出，。第七十八頁，共88頁。11114(1) (2)( ) ssffAJJJPJf APPJOO 根據(jù)定理，我們得到方陣函數(shù)的計(jì)算步驟： 求 的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形及其變換陣 。 求第七十九頁，共88頁。(1)()()() () 2!(1)! () 2! iikiiiiiifffffkfJLOOOMOO其中 () ()41431.31 1.32iiffO具體算例見書至頁例和。第八十頁，共88頁。11112() 1 () 1 ttsiisififikkf AtnAJP APJJJJf AtPPJOOOOO、 設(shè) 方陣 的若當(dāng)標(biāo)