現(xiàn)代數(shù)字信號處理課件Chapter3

1、第三章 自適應(yīng)數(shù)字濾波器 3.1 引言引言 3.2 LMS橫向自適應(yīng)濾波器橫向自適應(yīng)濾波器 3.3 LMS格型自適應(yīng)濾波器格型自適應(yīng)濾波器 3.4 LS自適應(yīng)濾波自適應(yīng)濾波 3.5 自適應(yīng)濾波的應(yīng)用自適應(yīng)濾波的應(yīng)用 3.1 引引 言言n自適應(yīng)數(shù)字濾波器n自適應(yīng)數(shù)字濾波器的應(yīng)用n本章討論的主要內(nèi)容1、自適應(yīng)數(shù)字濾波器n維納濾波存在的問題：適用于平穩(wěn)隨機(jī)信號的最佳濾波；維納濾波器的參數(shù)是固定的；必須已知信號和噪聲的有關(guān)統(tǒng)計(jì)特性。n自適應(yīng)的概念是從仿生學(xué)中引伸出來的，生物能以各種有效的方式適應(yīng)生存環(huán)境。n實(shí)際上，自適應(yīng)濾波器是一種能自動調(diào)節(jié)本身的單位脈沖響應(yīng)h(n)以達(dá)到最優(yōu)化的維納濾波器。n自適應(yīng)

2、數(shù)字濾波器自適應(yīng)數(shù)字濾波器：利用前一時(shí)刻已獲得的濾波器參數(shù)等結(jié)果，自動地調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號與噪聲未知的或隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。 H(z) x(n)=s(n)+(n) )( )(nsny( 維納濾波器的輸入輸出關(guān)系101( )( )( ) ()NNiiimiy ns nh m x nmh xy22( )minE e nEss自適應(yīng)濾波器原理圖 H(z)y(n)x(n)d(n)e(n)e(n)=d(n)-y(n) 自適應(yīng)濾波器H(z)的系數(shù)根據(jù)誤差信號，通過一定的自適應(yīng)算法，不斷地進(jìn)行改變， 使輸出y(n)最接近期望信號d(n)。 實(shí)際中，d(n)要根據(jù)具體情況進(jìn)

3、行選取。圖 3.1.3 自適應(yīng)線性組合器 x1jx2jxNjdjejyjw1w2wN1Njiijiyw xz1z1x(n1)x(n2)x(n N)z1d(n)e(n)y(n)x(n)w2w3wN1wNw1圖 3.1.4 橫向FIR結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)濾波器 n自適應(yīng)濾波器的特點(diǎn)自適應(yīng)濾波器的特點(diǎn)：濾波器的參數(shù)可以自動地按照某種準(zhǔn)則調(diào)整到最佳濾波，是一種最佳的時(shí)變數(shù)字濾波器；實(shí)現(xiàn)時(shí)不需要任何關(guān)于信號和噪聲的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識；具有學(xué)習(xí)和跟蹤的性能。2、自適應(yīng)數(shù)字濾波器的應(yīng)用n1967年由美國B.Windrow 及Hoff等人提出自適應(yīng)數(shù)字濾波算法，主要用于隨機(jī)信號處理。n自提出以來，自適應(yīng)濾波器發(fā)展很快，在各

4、個(gè)方面得到了廣泛的應(yīng)用：系統(tǒng)模型識別；通信信道的自適應(yīng)均衡；雷達(dá)與聲納的波束形成；消除心電圖中的電源干擾；噪聲中信號的檢測、跟蹤、 增強(qiáng)和線性預(yù)測等。n 自適應(yīng)濾波器分類： FIR自適應(yīng)濾波器、IIR自適應(yīng)濾波器 最小均方誤差（LMS）自適應(yīng)濾波器、最小二乘（LS）自適應(yīng)濾波器 橫向結(jié)構(gòu)、格型結(jié)構(gòu)3、本章討論的主要內(nèi)容n主要內(nèi)容：LMS自適應(yīng)濾波器、LS自適應(yīng)濾波、自適應(yīng)濾波的應(yīng)用；n分析思路：根據(jù)LMS或LS準(zhǔn)則，求得自適應(yīng)濾波器的最佳單位脈沖響應(yīng)w(n) ，或者說求其最佳的濾波器加權(quán)系數(shù)wj。2( )( )jmin E e nw nw或2*minjjeW3.2 LMS自適應(yīng)濾波器自適應(yīng)濾波

5、器n本節(jié)討論的主要問題及方法本節(jié)討論的主要問題及方法nLMS自適應(yīng)濾波器的基本原理自適應(yīng)濾波器的基本原理n最陡下降法最陡下降法nWidrow-Hoff LMS算法算法 nLMS算法的收斂性質(zhì)算法的收斂性質(zhì)1、本節(jié)討論的主要問題及方法本節(jié)討論的主要問題及方法n討論的主要問題討論的主要問題：LMS自適應(yīng)濾波器的基本原理、最佳權(quán)系數(shù)的求解方法（最陡下降法和Widrow-Hoff LMS算法）。n分析方法：分析方法：2( )jmin E e nw2、LMS自適應(yīng)橫向?yàn)V波器的基本原理自適應(yīng)橫向?yàn)V波器的基本原理H(z)y(n)x(n)d(n)e(n)e(n)=d(n)-y(n) 2( )min E e n

6、w n10)()()(Nmmnxmwny1Njiijiyw xnLMS自適應(yīng)橫向?yàn)V波器的基本原理：自適應(yīng)橫向?yàn)V波器的基本原理：自適應(yīng)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)受誤差信號e(n)控制；根據(jù)e(n)的值而自動調(diào)節(jié)，使之適合下一刻(n+1)的輸入x(n+1)，以使輸出y(n+1)更接近于所期望的響應(yīng)d(n+1),直至均方誤差 達(dá)到最小值；y(n)最佳地逼近d(n)，系統(tǒng)完全適應(yīng)了所加入的兩個(gè)外來信號，即外界環(huán)境。n注意：注意： x(n)和d(n)兩個(gè)輸入信號可以是確定的，也可以是隨機(jī)的，可以是平穩(wěn)的隨機(jī)過程，也可以是非平穩(wěn)的隨機(jī)過程。n從圖中可見：自適應(yīng)數(shù)字濾波器是由（普通數(shù)字濾波器+相關(guān)抵消

7、回路）構(gòu)成。2( )E e n表示成矩陣形式： jjjXWWXyTT式中 T21T21,NjjjjNxxxXwwwW誤差信號表示為 jjjjjjjXWdWXdydeTT1Njiijiyw xn 利用利用LMSLMS準(zhǔn)則求最佳權(quán)系數(shù)和最小均方誤差準(zhǔn)則求最佳權(quán)系數(shù)和最小均方誤差 誤差信號被用來作為權(quán)系數(shù)的控制信號。均方誤差（性能函數(shù)）為 222TTT2TT() 2 2jjjjjjjjjdxxxE eE dyE dE d XWW E X XWE dR WW R W 上式表明，當(dāng)輸入信號和期望信號是平穩(wěn)隨機(jī)信號時(shí)， 均方誤差信號Ee2j是權(quán)系數(shù)的二次函數(shù)，它是一個(gè)中間上凹的超拋物形曲面，是具有唯一最小

8、值的函數(shù)。圖 3.2.5 二維權(quán)矢量性能表面 minw1optw2optw1w2v2v1 調(diào)節(jié)加權(quán)系數(shù)調(diào)節(jié)加權(quán)系數(shù)W使均方誤差最小，相當(dāng)于沿超拋物使均方誤差最小，相當(dāng)于沿超拋物形曲面下降到最小值。形曲面下降到最小值。 在數(shù)學(xué)上，可用梯度法沿著該曲面調(diào)節(jié)權(quán)矢量的各在數(shù)學(xué)上，可用梯度法沿著該曲面調(diào)節(jié)權(quán)矢量的各元素得到均方誤差元素得到均方誤差Eej2的最小值。的最小值。n用 表示Eej2的梯度向量，用公式表示如下： jT22212,NjjjjweEweEweE為求最佳權(quán)系數(shù)，令 即0j 122,2 0TjjjjjjjNeeeE eE e Xwww 當(dāng)濾波器的單位脈沖響應(yīng)取最佳值時(shí)，其誤差信號和輸入信

9、號是正交的?？梢缘玫?22jxxdxR WR 最佳權(quán)矢量最佳權(quán)矢量W*： dxxxRRW1*均方誤差將取最小值均方誤差將取最小值：22*min2*2TTjjdxxxTjdxE eE dR WWR WE dR W或者將上式取轉(zhuǎn)置，用下式表示： dxTjjRWdEeE*2min2*11TTTTdxxxdxxxWRRRR 例例 .1 一個(gè)單輸入的二維權(quán)矢量自適應(yīng)濾波器如圖 所示，圖中輸入信號與期望信號分別為 jNdjNxjj2cos2,2sin求：該濾波器的最佳權(quán)矢量和最小均方誤差。 兩個(gè)權(quán)的自適應(yīng)濾波器w1z1xjw2djyjej1121211T11222sinsin()0.5co

10、s0,12222cossin()sin0,120.50.5cos20.5cos0.5,0, sNjj njNjj njjjjxxjjjdxjjjjE x xjjnnnNNNNE d xjjnnnNNNNxx xNRExxxNRE d x d x T2inN解： （1）、計(jì)算相關(guān)矩陣Rxx和Rdx（2）、求梯度向量NwNwNwwNwwNNRWRdxxxj2sin22cos2cos2sin0212cos2cos122212121j22T*min22cot220sin022cscjjdxNE eE dR WNN（3）、求最佳權(quán)矢量和最小均方誤差：TT21*2csc2,2cot2NNwwW*1*0jx

11、xdxWR RW 利用或求3、 最陡下降法最陡下降法n存在問題：存在問題：自適應(yīng)濾波過程是尋求W*的過程 ，需要知道Rxx和Rdx。n解決方法：解決方法：采用最優(yōu)化的數(shù)學(xué)算法最陡下降法（Steepest Descent Method），搜索性能函數(shù)表面尋找最佳權(quán)系數(shù)。 dxTjjRWdEeE*2min2dxxxRRW1* 自適應(yīng)過程的物理意義2*(1)( ) ( )0,jW jW jdEe nWw wdw 自適應(yīng)的物理意義：根據(jù)遞推式，連續(xù)地調(diào)節(jié) ，去尋找“碗”的底點(diǎn)：即點(diǎn)。n 最陡下降法的遞推公式最陡下降法的遞推公式1jjjWW 其中,是一個(gè)控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量，稱之為收斂因子。 方向

12、是性能函數(shù)下降最快的方向，因此稱為最陡梯度下降法。j- Ee2(j)與W的關(guān)系在幾何上是一個(gè)“碗形”的多維曲面。 收索方向?yàn)樘荻蓉?fù)方向，每一步更新都使目標(biāo)函數(shù)值減小。4、 Widrow-Hoff LMS算法算法 n存在問題：存在問題：采用最陡下降法遞推求最佳權(quán)系數(shù)W*時(shí)，關(guān)鍵是如何適時(shí)地求得（或估計(jì)得） ？ n解決方法：解決方法：由Widrow等人提出，采用梯度的估計(jì)值代替梯度的精確值。jjj T222212222212,jjjjjNjjjjjNE eE eE eE ewwweeeewww n LMS LMS算法的權(quán)值計(jì)算算法的權(quán)值計(jì)算 LMS(Least Mean Square)算法的梯度估

13、計(jì)值用一條樣本曲線進(jìn)行計(jì)算，公式如下： Njjjjjwewewee222122因?yàn)?jjjXWdeT所以 jNjjjXweweweT21,jjjXe2對梯度估計(jì)值求統(tǒng)計(jì)平均， 得到 jjjjXeEE2 上式說明梯度估計(jì)值是無偏估計(jì)的，梯度的估計(jì)量在理想梯度j附近隨機(jī)變化。 12jjjjjjjjWWWWe X 最陡下降法的遞推公式修改為： 權(quán)系數(shù)也是在理想情況下的權(quán)軌跡附近隨機(jī)變化的 搜索方向?yàn)樗矔r(shí)梯度負(fù)方向，不能保證每一步更新都使目標(biāo)函數(shù)值減小，但總趨勢使目標(biāo)函數(shù)值減小。圖 3.2.8 FIR第i個(gè)支路的控制電路 z1wi(n1)xi(n)wi(n)2e(n)控制電路Nixewwijjijij

14、, 3 , 2 , 12, 1控制1控制2控制 Nx1(n)x2(n)xN(n)w1w2wNy(n)d(n)e(n)圖 3.2.8 LMS自適應(yīng)濾波器總計(jì)算框圖5、 LMS算法的收斂性質(zhì)122 22jjjjTjjjjjjTjjjjjWWe XWX dX X WIX XWX d對加權(quán)矢量取統(tǒng)計(jì)平均： *T12)2()(2(22WRWERIWERRWEWXXEXdEWEXeEWEWExxjxxjxxdxjjjjjjjjjjj*1*10*212*01*100(2) 20(2) 21(2) 2(2)2 (2)2(2)2(2)jxxjxxxxxxxxxxxxxxxxxxjjijxxxxxxiE WIRE

15、 WR WjE WIRE WR WjE WIRE WR WIRE WIRR WR WE WIRE WIRR W 將Rxx進(jìn)行分解，得到 Rxx=QTQ,=QTRxxQ 其中，Q稱為正交矩陣或特征矩陣，是由特征值組成的對角矩陣， 用下式表示： ),(Diag21NTT1QQIQQ-11-1-1*100(2)2(2)jjijiE WIQQE WIQQQQ W其中-11-111(2)(2)(2)(2)jjjjIQQQQQQQ IQQIQ11-1-1*100(2)2(2)jjijiE WQIQ E WQIQ QQ W 欲使上式收斂必須滿足max1lim200jjI2maxtr( )()tr()xxix

16、xiRE XP的對角元素 收斂條件還可以表示為21100()xxiitr RE X或 LMS算法加權(quán)矢量是在最陡下降法加權(quán)矢量附近隨機(jī)變化的， 其統(tǒng)計(jì)平均值等于最陡下降法的加權(quán)矢量。-1-1*101-1-1*lim 2(2)122jijjiE WQIQ QQ WQQ QQ WW1011lim(2)(2)2jijiIII 值對收斂穩(wěn)定性和收斂速度影響很大，首先必須選擇得足夠小，使之滿足收斂條件，同時(shí)，它還影響收斂速度。 n 加權(quán)矢量的收斂性質(zhì)加權(quán)矢量的收斂性質(zhì)偏大收斂快跟蹤性能差偏小收斂慢跟蹤性能好*1jjjjWWWWWW假設(shè)2jWW 2jjWWW 2jWW W*W WjWEej2jWW 圖 3

17、.2.7 值的影響(a) 較小時(shí)的情況； （b） 較大時(shí)的情況 (a)(b)w2w1w(0)w(0)w1w2 性能函數(shù)和最小均方誤差分別為： WRWWRdEeExxdxjjTT222令 =Ee2j, 則 WRWWRRWxxdxdxTTT*min2dxxxRRW1*又n 最陡下降法的過渡過程最陡下降法的過渡過程dxTjjRWdEeE*2min2可得 T*T*TTmin*TTmin*T*TTmin*TT*TTmin* T*min*2()()dxTdxdxxxTdxxxxxxxxxxxdxxxxxxxRRWRWRR WW R WWRWWW R WWR WWWW R WWWR WWRWR WRWWWW

18、W令 V=W-W*=v1, v2, , vNT V稱為偏差權(quán)向量，它表示權(quán)向量對最佳權(quán)向量的偏差。這樣性能函數(shù)可以表示得更簡單： VRVxxTmin*1122)22(WRWRIWWRRWWxxjxxjjxxdxjj在上式兩邊都減去W *,并令Vj=W j-W*, 得到 Vj+1=I-2RxxVj dxxxjWRWR21jjjWW因?yàn)?所以 dxxxRRW1*0(2)jjxxVIRV 將Rxx進(jìn)行分解，得到 Rxx=QTQ, =QTRxxQ 其中，Q稱為正交矩陣或特征矩陣，是由特征值組成的對角矩陣， 用下式表示： 12Diag(,)N 由此可得 TTminTminV Q Q VVV令 ,T21T

19、QVVvvvVQVN 得到最陡下降法的性能函數(shù)遞推公式： 2min00(2)TjVIV假設(shè)起始值是V V0，可得到上式的遞推解為 0(2)jjVI V 當(dāng) 。且 隨 增加的衰減比 快一倍。 min,j jWj111(2)(2)(2)jxxjjjjVIRVQ IQ VVIV下面用二維權(quán)矢量的情況說明它的幾何意義。對于二維權(quán)矢量情況，有下面公式： 21*21,vvWWVwwW* T*min()()xxWWRWW(0)(1)(1)(0)xxxxxxxxxxrrRrr圖 3.2.5 二維權(quán)矢量性能表面 minw1optw2optw1w2v2v1圖 3.2.6 等均方誤差的橢圓曲線族0w1w2v1v2v

20、1v2woptcVRVxxTmin1TcVRVxx1T cVV1/212 2112 1cvcv0(2)jjVI V110100(1 2)(1 2)(1 2)jjjjiiijjNNNvvvvvv 權(quán)矢量的過渡過程權(quán)矢量的過渡過程：第i個(gè)權(quán)系數(shù)遞推方程是 0(1 2)jjiiivv令 Niii, 3 , 2 , 1e211- 上式說明第i個(gè)分量v i按指數(shù)規(guī)律變化，其時(shí)常數(shù)為 11 (1 2)iini=1, 2, 3, , N j-0eijiivv因?yàn)橐话闳〉帽容^小，可以近似得到ii21i=1, 2, 3, , N 因?yàn)?jjVQV所以 Nkjkikjivqv1得到 01kjNjiikkkvq v

21、 e-*1ekjNjiijiiikkwwvwc式中 0kikikvqc ii21i=1, 2, 3, , N 第i個(gè)權(quán)矢量的時(shí)間常數(shù)為22min122min01iNjijiijNiiiE evv e 性能函數(shù)的過渡過程性能函數(shù)的過渡過程： 性能函數(shù)的時(shí)常數(shù)，即自適應(yīng)學(xué)習(xí)的時(shí)間常數(shù)為 ii412imse 最終的收斂要取決于最慢的指數(shù)過程，它的時(shí)常數(shù)最大，對應(yīng)最小的特征值，公式如下： minmaxmseminmax4121n 穩(wěn)態(tài)誤差和失調(diào)系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差和失調(diào)系數(shù) 存在問題：存在問題：實(shí)際中，工作于實(shí)時(shí)的自適應(yīng)算法，權(quán)系數(shù)不能完全收斂于最佳值，只是其平均值可以收斂到最佳值。這是由于采用梯度的估計(jì)值代

22、替梯度值而產(chǎn)生的估計(jì)誤差。 解決方法：解決方法：引入失調(diào)系數(shù)M進(jìn)行描述，其定義為 minminminxxinMtr RNP均方誤差的平均超量或 上式說明，和輸入功率加大都會增加失調(diào)系數(shù)。跟蹤能力越好，曲線穩(wěn)態(tài)越接近橫軸。 minminlimexexnnnn 剩余均方誤差：穩(wěn)態(tài)剩余均方誤差：加權(quán)系數(shù)的變化均方誤差的變化minvv w woptj圖 3.2.10 LMS算法穩(wěn)態(tài)誤差1111111221124NNNiiiiiiiimseaveaveMNN 上式說明，當(dāng)選擇足夠長的 ，M可以做到任意小。但當(dāng) 一定時(shí)，M隨著權(quán)數(shù)目N的增加而增大。另一方面， 越小，收斂也會越快。如此，便產(chǎn)生了動態(tài)特性和靜

23、態(tài)特性的矛盾，這就要求我們在收斂速度和失調(diào)量間取得適當(dāng)?shù)恼壑?。一般而言，迭代次?shù)選擇為 。 iii4imse例 設(shè)M=10%（一般M=10%可以滿足大多數(shù)工程設(shè)計(jì)的要求）并設(shè)N=10，問應(yīng)該取多少次迭代數(shù)？解：1010.1425msemse按經(jīng)驗(yàn)實(shí)際迭代次數(shù)應(yīng)取100（=10濾波器長度N）或取4imse圖 3.2.11 LMS算法的學(xué)習(xí)曲線 3.3 LMS格型自適應(yīng)濾波器格型自適應(yīng)濾波器n本節(jié)討論的主要內(nèi)容及方法本節(jié)討論的主要內(nèi)容及方法n預(yù)測誤差濾波器預(yù)測誤差濾波器n預(yù)測誤差格型濾波器預(yù)測誤差格型濾波器nLMS格型自適應(yīng)濾波器格型自適應(yīng)濾波器1、本節(jié)討論的主要內(nèi)容及方法n討論的主要內(nèi)容：討論的

24、主要內(nèi)容：前、后向橫向預(yù)測誤差濾波器、預(yù)測誤差格型濾波器和LMS格型自適應(yīng)濾波器n主要方法：主要方法：基于前、后向橫向預(yù)測誤差濾波器，導(dǎo)出預(yù)測誤差格型濾波器2、 線性預(yù)測誤差濾波器線性預(yù)測誤差濾波器n 前向預(yù)測誤差為 ,10( )( )( )( )()()ppp kp kkke nx nx nx nax nkax nk 將前向預(yù)測誤差用 表示，上式重寫為 )(nefppkkpfpknxanxne1,)()()(前向預(yù)測誤差濾波器 z1ap,0z1z1ap,1ap,2ap, p1ap, px(n)(nefp111,1( )( )()pfppkkenx nax nk,10( )( )1( )fpp

25、pkkfp kp kkkEzHzazazX z pkkpfpknxanxne1,)()()(pixxipxxppixxipxxirarpkikrakr1,21,)()0(, 3 , 2 , 10)()(將上式用矩陣方程表示為 2,1,(0)(1)( )1(1)(0)(1)00( )(1)(0)xxxxxxppxxxxxxp pxxxxxxrrrparrrparprpr其Yule-Walker方程式為：n 假設(shè)前、后向預(yù)測器具有相同的系數(shù)，則后向預(yù)測誤差為,000( )()()1ppbpp kp p kpkkenax npkax nka,1( )()()()()pp kkb nx npx npx

26、 npax npk 后向預(yù)測誤差用 表示，上式可寫為：)(nebp后向預(yù)測誤差濾波器 111,1(1)()()pbppkkenx npax npkz1ap,0z1z1ap,1ap,p1ap,px(n)(nebpap,p2()x np(1)x npkkkppbpbzazzXzEzH1,1)()()(,1( )()()pbpp kkenx npax npkn 前、 后向預(yù)測誤差濾波器的系數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系是 )()(1zHzzHfpb 為了求解前、后向預(yù)測誤差濾波器的最佳系數(shù)，需要解Yule-Walker方程，求解方法采用Levinson-Durbin算法。 Levinson-Durbin的一般遞推

27、公式如下： )()0()1 (1, 3 , 2 , 1 )()(2202122, 1, 1,21111nxErkpkakaaakkpraprkxxpppkpppkpkppppppkxxpxxp 其中，kp稱為反射系數(shù)。2p和2p-1是預(yù)測誤差的均方值，因此1-k2p必須大于等于0，這樣kp應(yīng)要求滿足下式： 1|pk由上式可知，預(yù)測誤差隨遞推次數(shù)增加而減少。212pp3、預(yù)測誤差格型濾波器預(yù)測誤差格型濾波器n 由預(yù)測誤差濾波器導(dǎo)出格型濾波器由預(yù)測誤差濾波器導(dǎo)出格型濾波器 將前面已推導(dǎo)的前向預(yù)測誤差公式重寫如下: pkkpfpknxanxne1,)()()( 將系數(shù)ap,k(k=1,2,3,p)的

28、遞推公式代入上式，并令kp=ap,p，得到 1,111,1,111,111,11,1111( )( )()()( )() ()()()()()()()(pfpp kpkppkppppp kpkpppp kkpfpppkkfkpkenx nax nkk x npx nak ax nkk xxnpknpax npx nax nx npax nkkkenek11)()bppnekn 由此，便可得到前向預(yù)測誤差的遞推公式， 即 ) 1()()(11neknenebppfpfp 類似地，得到后向預(yù)測誤差的遞推公式為 )() 1()(11neknenefppbpbp對于p=0的情況， 得到 )()()(0

29、0nxnenebf圖 3.3.5 全零點(diǎn)格型濾波器 n 格型濾波器的性質(zhì)格型濾波器的性質(zhì) (1) 各階后向預(yù)測誤差相互正交。 用公式表示如下： jineneEbjbi 0)()( (2) 平穩(wěn)隨機(jī)序列可由自相關(guān)函數(shù)或反射系數(shù)表征。 (3) 前向預(yù)測誤差濾波器是最小相位濾波器，即它的全部零點(diǎn)在單位圓內(nèi)。后向預(yù)測誤差濾波器是一個(gè)穩(wěn)定的最大相位濾波器，全部零點(diǎn)在單位圓外。 4、LMS格型自適應(yīng)濾波器格型自適應(yīng)濾波器n在滿足預(yù)測誤差的均方值最小的準(zhǔn)則下，最佳自適應(yīng)格型濾波器求解關(guān)鍵在于計(jì)算出反射系數(shù)。其方法有：222min( )( ) pfbpppLevinsonDurbinkE enenBurgk1

30、、觀測數(shù)據(jù)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)遞推求、觀測數(shù)據(jù)法求 采用使前、后向預(yù)測誤差功率的和為最小的原則求反射系數(shù)。 公式為 0)()(22pbpfpkneneE即 111111112( )(1)2( )( )02( )(1)(1)2(1)( )( )0fbbfppppfbbppppbffppppEen enen enEenk enenEenk enen可以得到)1()()1()(2212111neEneEneneEkbpfpbpfpp實(shí)際計(jì)算時(shí)，上式中的統(tǒng)計(jì)平均值用時(shí)間平均計(jì)算， 公式為 1122112( )(1)( )(1)fbppipfbppiiei eikeiei對于復(fù)信號情況，公式為 | ) 1(|

31、 )(|) 1()(22121*11ieieieiekbpifpbpifpp 如果輸入數(shù)據(jù)為x(i), i=0, 1, 2, , n， 當(dāng)p=1時(shí)， 00122002( )(1)( )(1) fbifbiei e ikeie i這里 )()()(00ixieiebf因此 112212( ) (1)( )(1)ninix i x ikx ix i當(dāng)p=2時(shí)， ibfibfieieieiek)1()() 1()(22121112其中 101 01101 01( )( )(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )ffbbbfeieik e ix ik x ie ie ik eix ik x i

32、1122221122( )(1)( )(1) nfbinfbiei e ikeie i 以此類推，可以得到 的具體計(jì)算公式為 pknpibpfpnpibpfppieieieiek)1()() 1()(2212111 這種算法必須從低階推起，要求較大的存儲時(shí)間，有較大的計(jì)算延遲，使應(yīng)用受到限制。 采用梯度算法計(jì)算反射系數(shù)22(1)( )( )( ) pfbppkppknknenen 其中，222211( )( ) ( )( ) 2( )(1)( )( )pfbfbkpppppfbbfppppenenenenken enen en將上式代入前一式中， 得到 )()() 1()()() 1(11ne

33、nenenenknkfpbpbpfppp式中，=2，為步長因子。3.4 最小二乘自適應(yīng)濾波最小二乘自適應(yīng)濾波n本節(jié)討論的主要內(nèi)容及方法n最小二乘（LS）濾波n遞推最小二乘（RLS）算法1、本節(jié)討論的主要內(nèi)容及方法n主要內(nèi)容：討論一種以誤差的平方和最小作為最佳準(zhǔn)則的誤差準(zhǔn)則最小二乘準(zhǔn)則，及其遞推算法。n分析方法：2*min ( )jjneWWXdydeTjjjjj2、最小二乘濾波22min( )( )( )optmin E e nhnE e n 最小均方誤差(LMS)濾波（統(tǒng)計(jì)分析法）2*min ( )jjneW 最小二乘(LS)濾波（精確分析法）n 最小二乘的基本問題最小二乘的基本問題 已知n

34、個(gè)數(shù)據(jù)x(1),x(2),x(n)，采用M個(gè)權(quán)的FIR濾波器對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，假設(shè)期望信號為d(i)，濾波器的輸出 是對期望信號d(i)的估計(jì) )(idnikixiwidMkk, 1 , 0) 1()()(1 n時(shí)刻的估計(jì)誤差為 Mkkknxnwndndndne1) 1()()()()()(圖 3.4.1 M個(gè)權(quán)的FIR濾波器z1z1x(i1)x(i M1 )z1d(i)x(i)e(i)d(i)w1(i)w2(i)wM(i) 誤差信號的平方加權(quán)和為 21( )( )nn iine i 為了后面敘述方面，引入一些符號。TT21)1(,),1(),()()(,),(),()(Mnxnxnxnxnwn

35、wnwnwMMMe(n)=e(1), e(2), , e(n)T d(n)=d(1), d2), , d(n)T XM(n)=xM(1),xM(2),xM(n) TT)(,),2(),1 ()(nxxxnXCMMMM 應(yīng)用這些符號，期望信號的估計(jì)、估計(jì)誤差和誤差信號能量分別為 T1T( )( ) (1)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )MkMMMkMMMd nw i x ikXn wnCwne nd nd nd nXn wnd nCwn)()()()()(T21nenneienniin式中 100000021nn為了推導(dǎo)簡單起見， 取=I，則誤差信號能量重新表示

36、為)()(d)()(d)()()(TTnCwnnCwnnenenMM要使(n)取得最小值，滿足 ( )( )( )0( )MwnMnnwnTTTT2 ( )( )0( ) ( )0 ( )( )MMMCd nCwnXn e nC CwnC d n引入M維向量pM(n)以及MM維矩陣RM(n)， niTMMTMMMMniMMixixnXnXCCnRixidndnXndCnp1T1T)()()()()()()()()()()(TTT ( )( )( )( )( )MMMMC CwnC d nRn wnpn可以轉(zhuǎn)換為可得wM(n)的最小二乘估計(jì)wLS(n) )()()()()()()()(11T1n

37、dnXnXnXndCCCnpnRnwMTMMTMMLS若rankXM(n)M, 則wM(n)不能唯一辨識。 當(dāng) 存在時(shí)，最小二乘的估計(jì)值 為 )(nwLS)(nd)()()(TnwnXndLSM 最小二乘估計(jì)的誤差信號能量min為 TminTTTTT( )( ) ( )( ) ( )2( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )LSMLSMLSLSMnen e ndn d nwn pnwn Rn wndn d nwn pn2T1T1Tmin()TLSLSzAnzAddewC CC dA AA zn 最小二乘估計(jì)的模型描述最小二乘估計(jì)的模型描述 令誤差信號能量為J，并取加權(quán)矩陣=I，

38、則 )()()()(TTAzAzAzAzJ3、 遞推最小二乘法遞推最小二乘法(RLS)n基本思想：新的估計(jì)值是在老的估計(jì)值的基礎(chǔ)上修正而成的。新的估計(jì)值(k)=老的估計(jì)值(k-1)+修正項(xiàng) 最小二乘遞推算法的關(guān)鍵是得到修正項(xiàng)的表達(dá)式n 遞推最小二乘法遞推最小二乘法(RLS)(RLS) 根據(jù)最小二乘估計(jì)式,用a(i)表示第i步迭代時(shí)A的取值，Ak表示前k步A的數(shù)值構(gòu)成的向量。定義一個(gè)變量P： 1111T11T1def)()() 1(def)()()(kTkkikTkkiAAiaiakPAAiaiakP其中 T)(,),2(),1 (kaaaAk那么 1T11TT1T11T1)()() 1()()

39、()()() 1()()()()()(kakakPAAkPkakakPkakaiaiakPkkkik-1時(shí)刻的估計(jì)值為 )()()1()() 1(111T111T1kikkkkLSiziakPzAAAk上式兩邊同時(shí)左乘P-1(k-1)，得 )()() 1() 1(111kiLSiziakkPT11TT1T1 ( )( )()( )( ) ( )( )(1)(1)( ) ( )( )(1)( ) ( )(1()( ) ( )(1)() ()kLSkkkkiLSLSLSLSkA AA zP ka i z iP kka k z kP kka k z kkPkPkPz kakak akka kk定義q

40、(k)為)()()(kakPkq)1()()()() 1()(Tkkakzkqkk 根據(jù)矩陣反演公式 T111T11T1()()ACCAA C IC A CC A1T1T1TTT1TT( )(1)( )( )(1)(1) ( )1( ) (1) ( )( ) (1)(1)(1) ( )( ) (1)( ) (1) ( ) 1(1) ( )( )1(1)( ) (1) ( ) 1P kPka k akP kP ka kak P ka kak P kP kP ka k ak P kak P ka kP ka k akP kak P ka k由此可得 最小二乘遞推算法： TTT( )( )( )(1

41、)(1) ( )( )( )1(1)( ) (1) ( ) 1( )(1)( ) ( ) ( )LSe kz kakkP ka k akP kP kak P ka kkkP k a k e k3.5 自適應(yīng)濾波的應(yīng)用自適應(yīng)濾波的應(yīng)用n自適應(yīng)抵消器n自適應(yīng)陷波濾波器n自適應(yīng)逆濾波n自適應(yīng)信號分離器1、自適應(yīng)抵消器、自適應(yīng)抵消器n自適應(yīng)濾波器的重要特性：能有效地在未知環(huán)境中跟蹤時(shí)變的輸入信號，使輸出信號達(dá)到最優(yōu)。n自適應(yīng)噪聲抵消器，利用干擾源的輸出，通過一個(gè)數(shù)字濾波器，最佳地估計(jì)出干擾值，從而從混有干擾的輸入中減去干擾估值，實(shí)現(xiàn)了干擾與信號相當(dāng)完善的分離。輸入：原始信號（含信號與噪聲），參考信號（

42、與待抵消噪聲信號相關(guān)）；輸出：無噪聲信號圖 3.5.1 自適應(yīng)對消系統(tǒng) 信 號 源噪 聲 源自 適 應(yīng)濾 波 器原 始 輸 入系 統(tǒng) 輸 出參 考 輸 入xj n1dj sj n0yjZjn 對消原理對消原理原始輸入端：dj=sj+n0, n0是要抵消的噪聲，并且與s不相關(guān)；參考輸入端：xj =n1，n1是與n0相關(guān)、與s不相關(guān)的噪聲信號；系統(tǒng)的輸出：zj=dj-yj；u濾波器的傳輸函數(shù)可以根據(jù)系統(tǒng)的輸出信號自動調(diào)整，假定s, n0, n1是零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程jjjjjynsydz0 輸出信號的均方值 )(2)()()(02022022jjjjjjjjjynsEynEsEynsEydEzE由

43、于s與n0, n1不相關(guān)，因此s與yj也不相關(guān)，則 2220() jjjE zE sE ny2200min() min,jjjjjjE nyE zsyn zs （輸出信號只包含有用信號）jjjjjynsydz0n 性能分析性能分析 參考輸入端噪聲與原始輸入端噪聲相關(guān)性； 參考輸入端存在一定的有用信號。 2220222002220() 2 jjjjjjjjE zE sE nyE sE nE yE n yE sE nE y 由此可知，原始信號進(jìn)來什么信號，出來什么信號，這時(shí)自適應(yīng)濾波器關(guān)閉。要使其完成自適應(yīng)噪聲抵消任務(wù)，則參考輸入必須與被抵消信號相關(guān)。若n0與 n1不相關(guān)，其與yj也不相關(guān)，則 n

44、參考輸入端存在一定的有用信號參考輸入端存在一定的有用信號 當(dāng)有信號分量泄漏到參考輸入中時(shí)，噪聲的抵消能力可以通過比較輸入端的信噪比、參考輸入端的信噪比及輸出端的信噪比數(shù)值大小來評價(jià)。AFs(n)v(n)H(z)G(z)d(n)x(n)y(n)e(n)原始輸入端參考輸入端2outopt2outopt( )( )|1( )( )|( )( )|1( )( )|ssssnnvvPzPzG z WzPzPzH z Wz 噪聲抵消后，輸出端信號為sout(n)= spri(n)- sref(n)，噪聲為 nout(n)= npri(n)- nref(n) ,其功率譜分別為 噪聲抵消前，原始輸入端的信號為

45、spri(n)= s(n)，噪聲為npri(n)= v(n) ，其功率譜分別為 pripri( )( ),( )( )ssssnnvvPzPzPzPz 參考輸入端信號 spri(n)= s(n)*g(n) ,噪聲為nref(n)= v(n)*h(n)，其功率譜分別為 22refref( )( ),( )( )|( )|ssssnnvvPzPz G zPzPzH z輸入端的信噪比為 )()(prizPzPvvss參考輸入端的信噪比為 22ref| )(| )(| )(| )(zHzPzGzPvvss輸出端的信噪比為 2optout2opt( )|1( )( )|( )|1( )( )|ssvvP

46、zG z WzPzH z Wz 參考輸入端的總功率為 22| )(| )(| )(| )()(zHzPzGzPzPvvssxx 參考輸入端與原始輸入端的互功率為 11*( )( ) ()( )()xdssgvvhxdssvvd ns nv nx ns ng nv nh nrmrm rmrm rmPzPz G zPz H z 由此可得， 一個(gè)自適應(yīng)對消器的穩(wěn)態(tài)解為 2211| )(| )(| )(| )()()()()()()()(zHzPzGzPzHzPzGzPzPzPzWvvssvvssxxxdopt22optout22optref( )|1( )( )|( )|( )|1( )|1( )(

47、 )|( )|( )|ssvvvvssPzG z WzPzH zPzH z WzPzG z 結(jié)論：只要參考輸入端的信噪比足夠小，輸出就可以得到好的信噪比。即泄露到參考輸入端的有用信號越少，抵消效果越好。 在參考輸入端存在信號s時(shí)，自適應(yīng)抵消器輸出端的信號分量將比原始輸入端的信號分量有一定損失，損失大小用D(z)表示： 2opt2opt2refpripriref( )|( )( )|( )|( )( )|( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )ssssPzG z WzD zG z WzPzG zzG zD zH zzG zH zD zzz通常很小，則只要比小很多，

48、輸出端的信號損失也會較小。要小，就要求原始輸入信噪比大，且參考輸入端信噪比小。prirefrefoutrefpri1( )1( )20( )1120( )( )20205%zzzD zz以上分析說明，參考輸入端存在少量信號分量，并不會使自適應(yīng)抵消器失效。例如，當(dāng)，時(shí)，輸出端信噪比，此時(shí)，輸出端信噪比仍可比原始輸入端改善倍，信號通過自適應(yīng)抵消器的功率譜損失僅為。 3. 3. 應(yīng)用應(yīng)用 1) 消除心電圖中的電源干擾 2) 胎兒心電監(jiān)護(hù) 其中原始輸入a(t)=f(t)+m(t)+n(t)f(t):胎兒心臟產(chǎn)生信號m(t):母親心臟產(chǎn)生信號n(t):噪聲干擾信號（主要由肌肉起的，有時(shí)稱“肌肉噪聲”）。

49、 采用自適應(yīng)噪聲抵消器消除胎兒心電圖中母體心臟信號（干擾）。一般采用：四個(gè)普通胸導(dǎo)（每路信號相同）記錄母親心跳，作為參考輸入信號。經(jīng)過自適應(yīng)噪聲抵消器處理后，母親心臟干擾信號被顯著消弱，胎兒心聲可辨。圖 3.5.5 胎兒心電的監(jiān)護(hù)（a） 胸部導(dǎo)聯(lián)心電（參考輸入）；（b） 腹部導(dǎo)聯(lián)的心電（原始輸入）； (c) 自適應(yīng)對消器的輸出 2、自適應(yīng)陷波器（自適應(yīng)陷波器（NF）n 當(dāng)需要抵消掉的噪聲是單色干擾（即單一頻率的正弦波干擾）時(shí)，這樣的系統(tǒng)稱為自適應(yīng)陷波器(Notch Filter,簡稱NF)，又稱為點(diǎn)阻濾波器。n 自適應(yīng)譜線增強(qiáng)器：將正弦波與寬帶噪聲分離開來，并提取正弦信號。1( )sin()( )piiiix nAnv n0( )( )sin()x ns nn陷波器的理想頻率特