高等數(shù)學(xué)-概率83 區(qū)間估計(jì)1

1、 第八章第三節(jié) 區(qū)間估計(jì) （一） 引言引言 前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì)前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它是它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù)用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大差范圍，使用起來把握不大. 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷 . 譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)N的極大的極大似然估計(jì)為似然估計(jì)為10

2、00條條. 若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信我們合理地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中. 這這樣對魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了樣對魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了.實(shí)際上，實(shí)際上，N的真值可能大于的真值可能大于1000條，條， 也可能小于也可能小于1000條條.也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的們能以比較高的可靠程度可靠程度相信它包含真參相信它包含真參數(shù)值數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值湖中魚數(shù)的真值 這里所說的這里所說的“可靠程度可靠程度”是用概率來度量的，是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平稱為置信概率

3、，置信度或置信水平. 習(xí)慣上把置信水平記作習(xí)慣上把置信水平記作 1 ，這里，這里 是一是一個(gè)很小的正數(shù)個(gè)很小的正數(shù).置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.例如，通常可取置信水平例如，通常可取置信水平 =0.95或或0.9等等. 1 121P根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我 ,21 小的區(qū)間小的區(qū)間 ，使，使們求出一個(gè)盡可能們求出一個(gè)盡可能,21 1置信水平為置信水平為 的的置信區(qū)間，其中置信區(qū)間，其中 為兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量為兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量. 稱區(qū)間稱區(qū)間 為為 的的21, 尋找置信區(qū)間的方法尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定一般是從

4、確定誤誤差限差限入手入手. 1|P使得使得稱稱 為為 與與 之間的誤差限之間的誤差限 . 我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量 ，根，根據(jù)置信水平據(jù)置信水平 ，可以找到一個(gè)正數(shù)，可以找到一個(gè)正數(shù) ， 1 只要知道只要知道 的概率分布，確定誤差限并不難的概率分布，確定誤差限并不難. 下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義下面我們就來正式給出置信區(qū)間的定義,并并通過例子說明求置信區(qū)間的方法通過例子說明求置信區(qū)間的方法. 由不等式由不等式 |可以解出可以解出 ：這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間.為便于應(yīng)用，這里我們簡要介紹一下概率分為便于應(yīng)用，這里我們

5、簡要介紹一下概率分布的上側(cè)分位數(shù)布的上側(cè)分位數(shù).在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位數(shù)在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位數(shù). )(xXP 設(shè)設(shè)0 1, 對隨機(jī)變量對隨機(jī)變量X，稱滿足，稱滿足 的點(diǎn)的點(diǎn) 為為X的概率分布的上的概率分布的上 分位數(shù)分位數(shù). x 例如例如:0.051.645z 0.0251.96z 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 上上 分位數(shù)分位數(shù)z z例如例如:23(0.025)9.348 23(0.975)0.216 分布的上分布的上 分位數(shù)分位數(shù) 2( )n 2 自由度為自由度為n的的F分布的上分布的上 分分位數(shù)位數(shù) 12,( )n nF自由度為自由度為n1,n2的的 書末附有書末附有 分布

6、、分布、t 分布、分布、F分布的上側(cè)分布的上側(cè)分位數(shù)表，供使用分位數(shù)表，供使用. 需要注意的事項(xiàng)在教需要注意的事項(xiàng)在教材上有說明材上有說明.2 至于如何由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表求至于如何由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表求得分位數(shù)，若你對分布函數(shù)定義熟悉的話，得分位數(shù)，若你對分布函數(shù)定義熟悉的話，這個(gè)問題不難解決這個(gè)問題不難解決.現(xiàn)在回到置信區(qū)間題目上來現(xiàn)在回到置信區(qū)間題目上來. 一、一、 置信區(qū)間定義：置信區(qū)間定義： 121P),(2111nXXX ),(2122nXXX )(21 滿足滿足 設(shè)設(shè) 是是 一個(gè)待估參數(shù)，給定一個(gè)待估參數(shù)，給定, 0 若由樣本若由樣本X1,X2,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量確定的

7、兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平（置信的置信水平（置信度、置信概率）為度、置信概率）為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. ,21 121 和分別稱為置信下限和置信上限分別稱為置信下限和置信上限. 一旦有了樣本，就把一旦有了樣本，就把 估計(jì)在區(qū)間估計(jì)在區(qū)間 ,21 內(nèi)內(nèi).自然地，這里有兩個(gè)要求自然地，這里有兩個(gè)要求:可見，可見，11 對參數(shù)對參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量) 22 )(21 (X1,Xn) (X1,Xn)2. 估計(jì)的精度要盡可能的高估計(jì)的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間如要求區(qū)間12 長

8、度長度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則它準(zhǔn)則.,21 1. 要求要求 以很大的可能被包含在區(qū)間以很大的可能被包含在區(qū)間 21 P內(nèi)，就是說，概率內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠即要求估計(jì)盡量可靠. 可靠度與精度是一對矛盾，可靠度與精度是一對矛盾， 一般是在保證可靠度的條件下一般是在保證可靠度的條件下 盡可能提高精度盡可能提高精度. N(0, 1) 選選 的點(diǎn)估計(jì)為的點(diǎn)估計(jì)為X求參數(shù)求參數(shù) 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. （1）設(shè)）設(shè)X1,Xn是取自是取自 的樣本，的樣本， ,2已知 ),(2 N 1nXU 取二、置信區(qū)間的

9、求法二、置信區(qū)間的求法 尋找未知參數(shù)的尋找未知參數(shù)的 一個(gè)良好估計(jì)一個(gè)良好估計(jì). 解：解： 尋找一個(gè)待估參數(shù)和尋找一個(gè)待估參數(shù)和 估計(jì)量的函數(shù)估計(jì)量的函數(shù) ，要求，要求 其分布為已知其分布為已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出 U取值于任意區(qū)間的概率取值于任意區(qū)間的概率. ,1 對給定的置信水平對給定的置信水平查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得,2 Z對于給定的置信水平對于給定的置信水平(大概率大概率), 根據(jù)根據(jù)U的分布，的分布， 確定一個(gè)區(qū)間確定一個(gè)區(qū)間, 使得使得U取值于該區(qū)間的概率為取值于該區(qū)間的概率為 置信水平置信水平. 1|2ZnXP使使為什么為什么 這樣?。窟@樣??？ ,1 對

10、給定的置信水平對給定的置信水平查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得,2 Z 122ZnXZnXP 1|2ZnXP使使從中解得從中解得,22 ZnXZnX 也可簡記為也可簡記為2 ZnX 122ZnXZnXP于是所求于是所求 的的 置信區(qū)間為置信區(qū)間為 從解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間從解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下的一般步驟如下: 1. 明確問題明確問題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間是求什么參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 尋找參數(shù)尋找參數(shù) 的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)T (X1,X2,Xn) 3. 尋找一個(gè)待估參數(shù)尋找一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量和估計(jì)量 T

11、 的函的函數(shù)數(shù) S ( T, ), 且其分布為已知且其分布為已知. 4. 對于給定的置信水平對于給定的置信水平 ，根據(jù)，根據(jù)S(T, )的分布，確定常數(shù)的分布，確定常數(shù)a, b，使得，使得 1 1 P(a S(T, )b)= 5. 對對“aS(T, )b”作等價(jià)變形作等價(jià)變形,得到如下得到如下 形式形式: 121P,21 1 則則 就是就是 的的100( )的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 這里，我們主要討論總體分布為這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)正態(tài)的的情形情形. 若樣本容量很大，即使總體分布未若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近似知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近似分布

12、，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì)計(jì). 某工廠生產(chǎn)的零件長度某工廠生產(chǎn)的零件長度X被認(rèn)為服從被認(rèn)為服從N( ,0.04), 現(xiàn)從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取現(xiàn)從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè)個(gè), ,其長其長度度的測量值如下的測量值如下( (單位毫米單位毫米): ): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 求求: :該零件長度的置信系數(shù)為該零件長度的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估的區(qū)間估計(jì)計(jì). . n=6, =0.05, Z /2 =Z0.025=1.96 2=0.22 .解解:例例1 114.95,0.20.214.951.96 , 14.951.96

13、 ,14.79,15.1166X 置信區(qū)間為就是未知22,),(NX(2) 已知已知1nXttSn 因方差未知，取因方差未知，取 對給定的置信度對給定的置信度 ,確定分位數(shù)確定分位數(shù) 11(),2nt 使使1| |()12nPtt 1|()12nXPtSn 即即 先求均值先求均值 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì): 1、11(),()22nnSSXtXtnn 均值均值 的置信水平為的置信水平為 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì).即為即為 1從中解得從中解得11()()122nnSSP XtXtnn 2212(1)nnS 由于由于222112(1)(12)(2)1nnnSP 從中解得從中解得2222211(1)(1)1

14、(2)(12)nnnSnSP 2 2 求方差求方差 的置信水平為的置信水平為 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì). 1 對給定的置信度對給定的置信度 ,確定分位數(shù)確定分位數(shù) 121(2) ,n 使使21(12) ,n 于是于是 即為所求即為所求.222211(1)(1),(2)(12)nnnSnS 為了估計(jì)一件物體的重量為了估計(jì)一件物體的重量 , ,將其稱了將其稱了1O1O次次, ,得到的重量得到的重量( (單位：千克單位：千克) )為為: : 10.l, 10, 9.8, 10.5, 9.7,l0.l, 9.9, 10.l, 10, 9.8, 10.5, 9.7,l0.l, 9.9, 10.2, 1O.3

15、, 9.9 10.2, 1O.3, 9.9 設(shè)所稱出的物體重量設(shè)所稱出的物體重量X X服從服從N(N( , , 2 2). ). 求求: :該物體重量該物體重量 的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間解解:例例2 2 n=10, =0.05, t10-1( /2)=t9(0.025)=2.2622 210.05,0.0583,0.24150.24150.241510.052.2622 , 10.052.2622,10109.87, 10.22XSS置信區(qū)間為即 求求: : 2 2的置信系數(shù)為的置信系數(shù)為0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .解解:例例3( (續(xù)例續(xù)例2

16、)2)n=10, =0.05, S2=0.0583,查附表得查附表得: 2299(0.025)19.023(0.975)2.7090.058390.0583,19.0232.700.028,0.194置信區(qū)間為即三、單側(cè)置信區(qū)間三、單側(cè)置信區(qū)間 上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對于有些實(shí)際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一于有些實(shí)際問題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限個(gè)方向的界限. 例如對于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均例如對于設(shè)備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了壽命過長沒什么問題，過短就有問題了. 這時(shí)，可將置信上限取這時(shí)，可將

17、置信上限取為為+，而只著眼于置信下，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義： 11P),(2111nXXX 滿足滿足 設(shè)設(shè) 是是 一個(gè)待估參數(shù)，給定一個(gè)待估參數(shù)，給定, 0 若由樣本若由樣本X1,X2,Xn確定的統(tǒng)計(jì)量確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的的單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間. ),1 11 稱為單側(cè)置信下限稱為單側(cè)置信下限.),(2122nXXX 又若統(tǒng)計(jì)量又若統(tǒng)計(jì)量 滿足滿足 12P2 則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平為的置信水平為 的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間. ,(2 1 稱為單側(cè)置信上限稱為單側(cè)置信上限.設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命均求燈泡壽命均值值 的置信水平為的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限的單側(cè)置信下限. 例例4 從一批燈泡中隨機(jī)抽取從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試只作壽命試驗(yàn)，測得壽命驗(yàn)，測得壽命X（單位：小時(shí)）如下：（單位：小時(shí)）如下： 1050，1100，1120，1250，1280 1nXtSn 由于方差由于方差 未知，取樞軸量未知，取樞軸量2 解：解： 的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值 X 對給定的置信水平對給定的置信水平