大學(xué)物理 振動(dòng)和波.

1、第第 十五章十五章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)基本內(nèi)容：基本內(nèi)容： 諧振動(dòng)的特征諧振動(dòng)的特征 諧振動(dòng)的描述諧振動(dòng)的描述 諧振動(dòng)的合成諧振動(dòng)的合成 機(jī)械振動(dòng)：機(jī)械振動(dòng)： 物體在一定位置附近來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。其軌跡可以是直線，也可以是平面曲線或空間曲線。 機(jī)械振動(dòng)可分為周期性振動(dòng)和非周期性振動(dòng)，最簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)是周期性的直線振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任何復(fù)雜的振動(dòng)都可認(rèn)為是由若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的。15.1 15.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn) A位置位置A：小球所受合力為零的位置，稱(chēng)為：小球所受合力為零的位置，稱(chēng)為振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置。 將小球推離平衡位置并釋放，小球來(lái)回振動(dòng)，如果摩擦阻力小，將小球推離

2、平衡位置并釋放，小球來(lái)回振動(dòng)，如果摩擦阻力小，小球振動(dòng)的次數(shù)就多。假如一點(diǎn)阻力也沒(méi)有，小球只受彈性回復(fù)力，小球振動(dòng)的次數(shù)就多。假如一點(diǎn)阻力也沒(méi)有，小球只受彈性回復(fù)力，振動(dòng)將永久持續(xù)下去，這種理想化的振動(dòng)是振動(dòng)將永久持續(xù)下去，這種理想化的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。一、一、諧振動(dòng)中的理想模型諧振動(dòng)中的理想模型彈簧振子彈簧振子 如果振動(dòng)物體可表示為一質(zhì)點(diǎn)，而與之相連接的所有彈簧等效如果振動(dòng)物體可表示為一質(zhì)點(diǎn)，而與之相連接的所有彈簧等效為一輕彈簧，忽略所有摩擦，可用彈簧振子描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)。為一輕彈簧，忽略所有摩擦，可用彈簧振子描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)。mkX0 以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為正，則小球所受彈性力以平

3、衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為正，則小球所受彈性力F與小球離開(kāi)平衡位置的位移與小球離開(kāi)平衡位置的位移x有以下關(guān)系：有以下關(guān)系：KxF 二、諧振動(dòng)的特點(diǎn)：二、諧振動(dòng)的特點(diǎn)：1、動(dòng)力學(xué)特征：、動(dòng)力學(xué)特征： 從從動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)，若物體僅受線性回復(fù)力作用，它就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。，若物體僅受線性回復(fù)力作用，它就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。動(dòng)力學(xué)特征：質(zhì)點(diǎn)所受得力大小與位移成正比，方向相反。動(dòng)力學(xué)特征：質(zhì)點(diǎn)所受得力大小與位移成正比，方向相反。xmkdtxdamakxF 22K是彈簧的彈性系數(shù)，負(fù)號(hào)表示力和位移方向相反。是彈簧的彈性系數(shù)，負(fù)號(hào)表示力和位移方向相反。KxF 回復(fù)力回復(fù)力2、運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：、運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：022 xm

4、kdtxd令令mk 2 0222 xdtxd 積分得：積分得：)cos( tAx 從從運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，若物體離開(kāi)平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，若物體離開(kāi)平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是正弦或余弦的函數(shù)，它就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。是正弦或余弦的函數(shù)，它就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：物體離開(kāi)平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是正運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：物體離開(kāi)平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是正弦或余弦的函數(shù)。弦或余弦的函數(shù)。3、能量特征：、能量特征：)sin()sin( tVtAdtdxvm其中其中AVm)(22221221tSinmAmEk)(2221221tCoskAkxEp)(22221tCosmA恒值2212

5、212221mpkmkAmAEE能量特征：能量特征：諧振動(dòng)的機(jī)械能等于x為A時(shí)的彈性勢(shì)能，或速度最大時(shí)（平衡位置）的動(dòng)能。振動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，機(jī)械能守恒。機(jī)械能守恒。一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能與平均勢(shì)能：241kAEEpk例例6.6.諧振子在相位為諧振子在相位為 , ,其動(dòng)能為其動(dòng)能為 , ,求其機(jī)械能。求其機(jī)械能。 3kE解：解：)(sin2tE3sin2E43 EEkkEE34故)(sin2122tmvEmk1 1、方程中各參量的物理意義、方程中各參量的物理意義)cos( tAxx : 表示表示 t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移。時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移。 A: 質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移

6、最大值的絕對(duì)值質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移最大值的絕對(duì)值振幅。振幅。 15.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述一、諧振動(dòng)的代數(shù)描述法一、諧振動(dòng)的代數(shù)描述法 ：)(cos)cos(TtAtAcosTtA又又)2cos()cos(tAtA比較知比較知 222 TT稱(chēng)為圓頻率稱(chēng)為圓頻率mk 僅決定于振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)。僅決定于振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)。 t + :稱(chēng)位相或相位或周相，是表示任意稱(chēng)位相或相位或周相，是表示任意 t 時(shí)刻振動(dòng)物體動(dòng)時(shí)刻振動(dòng)物體動(dòng)狀態(tài)的參量。狀態(tài)的參量。 :稱(chēng)為初位相，是表示稱(chēng)為初位相，是表示 t=0 時(shí)刻振動(dòng)物體狀態(tài)的參量。時(shí)刻振動(dòng)物體狀態(tài)的參量。2、位移、速度、位移、速度 加速度加速

7、度)sin()sin( tVtAdtdxvm)cos( tAxv 的位相超前的位相超前 x /2)(2tCosm)cos(2tAdtdvaxtam2)cos(其中其中2Aam是加速度的幅值是加速度的幅值a 與與 x 的位相相反的位相相反atvxaxv0問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 是描述是描述t=0時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)，當(dāng)給定計(jì)時(shí)時(shí)刻振動(dòng)物時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)，當(dāng)給定計(jì)時(shí)時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)（體的狀態(tài)（t=0 時(shí)的位置及速度：時(shí)的位置及速度：x0 v0 )，如何求解相對(duì)應(yīng)的，如何求解相對(duì)應(yīng)的 ？（1）、已知）、已知 t = 0 振動(dòng)物體的狀態(tài)振動(dòng)物體的狀態(tài)x(0), v(0)求求 cos)0(Ax22) 0(2)

8、0 (vxA可得：可得：A與與 由系統(tǒng)的初始條件由系統(tǒng)的初始條件x(0), v(0)決定決定 sin)0(Av)0()0(xvtg（2）已知）已知 t = 0 振動(dòng)物體的狀態(tài)振動(dòng)物體的狀態(tài)x(0)及及A時(shí)求時(shí)求 cos)0(AxAx)0(arccos)0(sin, 0)0(sin, 000vv最終確定初位相最終確定初位相 的值的值mkX0例例1：如圖所示，將小球拉至：如圖所示，將小球拉至A釋放，小球作諧振動(dòng)。如果已知釋放，小球作諧振動(dòng)。如果已知 k, ，以小球運(yùn)動(dòng)至以小球運(yùn)動(dòng)至A/2處，且向處，且向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)的起點(diǎn)，求小球的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)的起點(diǎn)，求小球的振動(dòng)方程。振動(dòng)方程。解：?jiǎn)?/p>

9、題歸結(jié)于求解：?jiǎn)栴}歸結(jié)于求 )sin()cos( tAvtAxoAAxt60cos20 t = 0 小球向小球向 x 負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，因而負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，因而 v 0 = +600 例例2 如圖所示如圖所示,彈簧處于原長(zhǎng)彈簧處于原長(zhǎng),當(dāng)子彈射入后當(dāng)子彈射入后,求系統(tǒng)的振動(dòng)方程。求系統(tǒng)的振動(dòng)方程。m1kX0vm2解：解：vmmmvvmmvm212212)( t =0, x(0) = 0, v(0) = v 2)0()0(xvtg)2cos( tAxmk ,)(21222020vmmmvxA 例例3 垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為簧伸長(zhǎng)量為b 。求

10、證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出。求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫(xiě)出振動(dòng)方程。振動(dòng)方程。b自然長(zhǎng)度自然長(zhǎng)度mg平衡位置平衡位置F取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，靜取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，靜平衡受力分析如圖平衡受力分析如圖kb - mg = 0證明：證明：則有：則有：x任意位置時(shí)小球所受到任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：的合外力為：F =mg -k ( b+x ) = -kx小球作諧振動(dòng)小球作諧振動(dòng)=kmgb=A=b , = 由由mg - kb = 0得：得：由題知：由題知：t=0時(shí)，時(shí)， x0=-b， v0=0則可得：則可得：)(tbCosxbg所以運(yùn)動(dòng)方程為：所以運(yùn)動(dòng)方程為：二、諧振動(dòng)的圖線描述法二、諧

11、振動(dòng)的圖線描述法tx0t1A兩類(lèi)問(wèn)題：兩類(lèi)問(wèn)題：1、已知諧振動(dòng)方程，描繪諧振動(dòng)曲線、已知諧振動(dòng)方程，描繪諧振動(dòng)曲線2、已知諧振動(dòng)曲線，描繪諧振動(dòng)方程、已知諧振動(dòng)曲線，描繪諧振動(dòng)方程三、三、 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法 1、旋轉(zhuǎn)矢量、旋轉(zhuǎn)矢量AMx0P（t+）x旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度：振幅振幅 A旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的角速度：旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)矢量與參考方向旋轉(zhuǎn)矢量與參考方向x 的夾角的夾角：振動(dòng)周相振動(dòng)周相圓頻率圓頻率 M 點(diǎn)在點(diǎn)在x 軸上投影軸上投影P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為規(guī)律為振動(dòng)方程振動(dòng)方程： )cos

12、(tAxMPxA注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第1 1象限速度象限速度v 0MPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMP 注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第2 2象限速度象限速度v 0 MPxAMPxAMPAMPAMPAMPA 注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第4 4象限速度象限速度v 0 MPAMPAMPAMPAMPA則稱(chēng)振動(dòng)則稱(chēng)振動(dòng) 2 超前超前振動(dòng)振動(dòng) 1，振動(dòng)振動(dòng) 1 滯后滯后振動(dòng)振動(dòng) 2 若周相差若周相差= 2-10A1A20A2A10AA22110 x2、用旋轉(zhuǎn)矢量分析位相與振動(dòng)的關(guān)系、用旋轉(zhuǎn)矢量分析位相與振動(dòng)的關(guān)系)(11tACosx)(22tACosx若周相差若周相差=

13、 0，則稱(chēng)兩振動(dòng)，則稱(chēng)兩振動(dòng)同步同步若周相差若周相差=，則稱(chēng)兩振動(dòng)，則稱(chēng)兩振動(dòng)反相反相A2xxAA21.00tt =1時(shí)時(shí)x1=0d10v=dxt 例例4 4 一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，求求、以及振動(dòng)以及振動(dòng)方程方程。xA3t = 0時(shí)時(shí)0 x=A200v =31=2解：解：1=t1+=56x = A cos ( 56t3)本題本題的另一種求法的另一種求法:3xAt = 02At =12+32=T1T =125=56 15.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率兩個(gè)諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率兩個(gè)諧振動(dòng)的合成)(111tCosAx)(222tCosA

14、x1、利用三角函數(shù)公式合成、利用三角函數(shù)公式合成)()(221121tCosAtCosAxxx11111tSinSinAtCosCosAx22222tSinSinAtCosCosAxtSinSinASinAtCosCosACosAxxx)()(2211221121令令A(yù)CosCosACosA2211ASinSinASinA2211則可得：則可得：)(tACosx其中：其中：)(212212221CosAAAAA22112211CosACosASinASinAtg2、利用旋轉(zhuǎn)矢量合成、利用旋轉(zhuǎn)矢量合成)(tACosx)(212212221CosAAAAA22112211CosACosASinAS

15、inAtgxA1A2A結(jié)論：同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為一簡(jiǎn)諧振結(jié)論：同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為一簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率與分振動(dòng)頻率相同。動(dòng)，其頻率與分振動(dòng)頻率相同。討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)與減弱討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)與減弱12AA合振動(dòng)加強(qiáng)合振動(dòng)加強(qiáng)1合振動(dòng)減弱合振動(dòng)減弱AA2 相位相反相位相反12=AAA、+（1） 若若=2k12( k =012.、+)12=AAA+ 相位相同相位相同、+( k =012.、+)（2）若）若(2k+1)12= 一般情形：二分振動(dòng)既不同相位也不反相位，合振動(dòng)一般情形：二分振動(dòng)既不同相位也不反相位，合振動(dòng)振幅在振幅在A1+A2與與|A1-A2| 之間。之間。

16、二、同方向、不同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成二、同方向、不同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成一般情況下合成后的振動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。一般情況下合成后的振動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。一種特殊情況一種特殊情況拍現(xiàn)象拍現(xiàn)象12拍頻拍頻=1221xx =AAcoscos2tt2x=xx+12 221111122=2A cos2()2costt2+2tttxx12x=20.25s0.75s0.50s=216181利用旋轉(zhuǎn)矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）利用旋轉(zhuǎn)矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）三、相互垂直的同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成三、相互垂直的同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成例例5已知已知,)43100cos(61mmtx,)4

17、100cos(82mmtx求：合振動(dòng)的振幅及初相位，并寫(xiě)出合振動(dòng)的表達(dá)式。求：合振動(dòng)的振幅及初相位，并寫(xiě)出合振動(dòng)的表達(dá)式。解：解： ,2120)2cos(mmAAA108622222182108cos451mmtx)82100cos(101A2AA44337ox例例6一物體沿一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.12m,周期為周期為2s，當(dāng)，當(dāng)t=0時(shí)位移為時(shí)位移為0.06m，且向，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求（軸正方向運(yùn)動(dòng)，求（1）振動(dòng)表達(dá)式；）振動(dòng)表達(dá)式；（2）t=0.5s時(shí)，物體的位置、速度和加速度；時(shí)，物體的位置、速度和加速度；（3）從）從x=-0.06m且向且向x軸負(fù)方向運(yùn)

18、動(dòng)到返回平衡位置所需的時(shí)間軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)到返回平衡位置所需的時(shí)間解解:（1）mxt06. 0,00 時(shí)3,21cos由于物體此時(shí)向由于物體此時(shí)向x正向運(yùn)動(dòng)，正向運(yùn)動(dòng)，3故故)3cos(12.0tx),(2sradT（2）)(104. 06cos12. 0,5 . 0mxst)(06. 0)3sin(12. 0smtv)(306. 0)3cos(12. 0222smta（3）注意相位與狀態(tài)相對(duì)應(yīng)。）注意相位與狀態(tài)相對(duì)應(yīng)。21)3cos(1t質(zhì)點(diǎn)沿質(zhì)點(diǎn)沿x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，3231t1tt 設(shè)設(shè) 時(shí)，時(shí)，x=-0.06m.st11故故質(zhì)點(diǎn)返回平衡位置的相位為質(zhì)點(diǎn)返回平衡位置的相位為 ，設(shè)該時(shí)刻

19、為，設(shè)該時(shí)刻為 。232t2332tst6112所以所以)(65161112sttt第十六章第十六章 波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ) 波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過(guò)程，也是動(dòng)量和能量傳播的過(guò)程。波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過(guò)程，也是動(dòng)量和能量傳播的過(guò)程。機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播過(guò)程。機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播過(guò)程。電磁波：交變電磁場(chǎng)在空間的傳播過(guò)程。電磁波：交變電磁場(chǎng)在空間的傳播過(guò)程?；緝?nèi)容：基本內(nèi)容： 機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播 機(jī)械波的幾個(gè)特征量機(jī)械波的幾個(gè)特征量 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 波的疊加原理波的疊加原理（特例）波的干涉。（特例）波的干涉。 各類(lèi)波的本質(zhì)不同，但都伴有能量的傳播，都能產(chǎn)生各類(lèi)波的本質(zhì)

20、不同，但都伴有能量的傳播，都能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象，且有相似的數(shù)學(xué)描述。反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象，且有相似的數(shù)學(xué)描述。 16.1 機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播1、波源波源 2、 彈性媒質(zhì)彈性媒質(zhì)橫波：橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直縱波：縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向平行質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向平行二、機(jī)械波的分類(lèi)二、機(jī)械波的分類(lèi) 一、產(chǎn)生機(jī)械波的條件一、產(chǎn)生機(jī)械波的條件特點(diǎn)：具有波峰和波谷特點(diǎn)：具有波峰和波谷（如繩子上的波）（如繩子上的波）特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域（如聲波）（如聲波）橫波的波動(dòng)橫波的

21、波動(dòng)波的傳播方向波的傳播方向xy振振動(dòng)動(dòng)方方向向特點(diǎn)：具有波峰和波谷特點(diǎn)：具有波峰和波谷縱波的波動(dòng)縱波的波動(dòng)波的傳播方向波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向疏疏密密疏疏密密疏疏特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域三、波的形成和傳播（以橫波為例）三、波的形成和傳播（以橫波為例）1、過(guò)程分析：由于媒質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間存在相互作用力，故、過(guò)程分析：由于媒質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間存在相互作用力，故當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)后，在媒質(zhì)內(nèi)部的彈性力作用下，將帶當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)后，在媒質(zhì)內(nèi)部的彈性力作用下，將帶動(dòng)其周?chē)渌馁|(zhì)點(diǎn)也相繼振動(dòng)起來(lái)動(dòng)其周?chē)渌馁|(zhì)點(diǎn)也相繼振動(dòng)起來(lái)如此依次帶如此依次帶動(dòng)，振動(dòng)狀態(tài)由近及遠(yuǎn)地傳播開(kāi)去動(dòng)，

22、振動(dòng)狀態(tài)由近及遠(yuǎn)地傳播開(kāi)去形成機(jī)械波。形成機(jī)械波。0t（靜止）（靜止） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 134Tt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13（振動(dòng)狀態(tài)傳（振動(dòng)狀態(tài)傳至至4）2Tt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13（振動(dòng)狀態(tài)（振動(dòng)狀態(tài)傳至傳至7）43Tt Tt （振動(dòng)狀（振動(dòng)狀態(tài)傳至態(tài)傳至10 )（振動(dòng)狀（振動(dòng)狀態(tài)傳至態(tài)傳至13） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 132.結(jié)論結(jié)論（1）各質(zhì)點(diǎn)僅在自己的平衡位置附近振動(dòng)，并不）各質(zhì)點(diǎn)僅在

23、自己的平衡位置附近振動(dòng)，并不 隨波前進(jìn)。隨波前進(jìn)。（2）振動(dòng)狀態(tài)振動(dòng)狀態(tài)以一定的速度傳播以一定的速度傳播波速。（注意波速。（注意 波速不是質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度）波速不是質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度）（3）波的周期與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期相同。）波的周期與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期相同。 沿波的傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后。沿波的傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后。（4）波形在空間移動(dòng)）波形在空間移動(dòng)行波。行波。四、波的幾何描述四、波的幾何描述 同相面（波面）：同相面（波面）：由振動(dòng)周相相同的點(diǎn)所組成的面。由振動(dòng)周相相同的點(diǎn)所組成的面。波陣面（波前波陣面（波前)：某時(shí)刻波動(dòng)所到達(dá)的點(diǎn)所組成的面。某時(shí)刻波動(dòng)所到達(dá)的點(diǎn)所組成的面。波線（波法

24、線）：波線（波法線）：表示波的傳播方向的線。在各向同性介表示波的傳播方向的線。在各向同性介質(zhì)中與波面法線相同。質(zhì)中與波面法線相同。在各向同性媒質(zhì)中波線和波陣面垂直在各向同性媒質(zhì)中波線和波陣面垂直平面波平面波波波線線波波陣陣面面球面波球面波波波陣陣面面波波線線平面波：平面波：球面波：球面波：波陣面為一球面。波陣面為一球面。波陣面為一平面。波陣面為一平面。橫波波速橫波波速sFFG 切變彈性模量切變彈性模量密度（單位體積質(zhì)量）密度（單位體積質(zhì)量）波長(zhǎng)波長(zhǎng) 在同一條波線上在同一條波線上,周相差為周相差為2 的兩的兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。質(zhì)點(diǎn)間的距離。周期周期 傳播一個(gè)波長(zhǎng)距離所用的時(shí)間。傳播一個(gè)波長(zhǎng)距離所用的

25、時(shí)間。頻率頻率 在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一觀察點(diǎn)的完整波數(shù)目。在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一觀察點(diǎn)的完整波數(shù)目。波速波速 波在單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離。波在單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離。Gv SFG 16.2 機(jī)械波的幾個(gè)特征量機(jī)械波的幾個(gè)特征量頻率頻率和和周期周期只決定于波源，和媒質(zhì)無(wú)關(guān)。只決定于波源，和媒質(zhì)無(wú)關(guān)?？v波波速縱波波速流體（氣體、液體）流體（氣體、液體）固體固體Y:楊氏彈性模量楊氏彈性模量VVPPB:容變彈性模量容變彈性模量Bu Yu VVBP波速是與媒質(zhì)有關(guān)的一個(gè)物理量波速是與媒質(zhì)有關(guān)的一個(gè)物理量任意點(diǎn)（任意點(diǎn)（B點(diǎn)）的振動(dòng)方程為：點(diǎn)）的振動(dòng)方程為：參考點(diǎn)參考點(diǎn)O點(diǎn)的振動(dòng)方程為：點(diǎn)的振動(dòng)方程為：uyx

26、xoB y表示在波線上任意一點(diǎn)（距原點(diǎn)為表示在波線上任意一點(diǎn)（距原點(diǎn)為 x 處）質(zhì)點(diǎn)在任意處）質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位移時(shí)刻的位移, 也就是平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。也就是平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。 16. 3 波動(dòng)方程波動(dòng)方程一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程)(tACosy)(uxtACosy22Tu質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度：平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為:)(2)(2)(uxxTtuxtACosCosAtACosy其中減號(hào)表示波向其中減號(hào)表示波向x軸正向傳播，加號(hào)表示波向軸正向傳播，加號(hào)表示波向x軸負(fù)向傳播軸負(fù)向傳播)(uxtytSinA表示在表示在t1 時(shí)刻的波形時(shí)

27、刻的波形yto3 3、 t 與與 x 都發(fā)生變化都發(fā)生變化t=t1時(shí)時(shí)yxo表示表示x1處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程二、波動(dòng)方程的物理意義二、波動(dòng)方程的物理意義)(1uxtACosy1、x=x1（常數(shù)）（常數(shù)）2、t=t1（常數(shù)）（常數(shù)）)(1uxtACosy)(1uxtACosyt=t1+t時(shí)時(shí))(1uxttACosyyy1xutxytx表示在表示在t1時(shí)刻時(shí)刻x處的位移處的位移y1，在經(jīng)過(guò)在經(jīng)過(guò)t時(shí)間后，同樣的位移發(fā)生在時(shí)間后，同樣的位移發(fā)生在x 處，波向前傳播了處，波向前傳播了ut的距離，即某一固定周相傳播了的距離，即某一固定周相傳播了ut的距的距離。離。y1=令令yxx=+ ut得

28、：得：)(1uxtACosy)(1uxttACosy可以證明三維的波動(dòng)方程為：可以證明三維的波動(dòng)方程為：其中其中為為質(zhì)點(diǎn)的位移質(zhì)點(diǎn)的位移從上兩式可得波動(dòng)方程：從上兩式可得波動(dòng)方程： 三、波動(dòng)方程的一般形式三、波動(dòng)方程的一般形式)(cosuxtAy)(cos222uxtAty)(cos2222uxtuAxy222221tyuxy2222222221tuzyx例例1、已知波源在原點(diǎn)的平面簡(jiǎn)諧波的方程為已知波源在原點(diǎn)的平面簡(jiǎn)諧波的方程為)cos(CxBtAy式中式中A、B、C為正值恒量。為正值恒量。試求：試求：（1）波的振幅、波速、頻率、周期與波長(zhǎng)；）波的振幅、波速、頻率、周期與波長(zhǎng)；（3）任何時(shí)刻

29、，在波傳播方向上相距為）任何時(shí)刻，在波傳播方向上相距為D的兩的兩點(diǎn)的周相差。點(diǎn)的周相差。（2）寫(xiě)出傳播方向上距離波源）寫(xiě)出傳播方向上距離波源l處一點(diǎn)的振動(dòng)處一點(diǎn)的振動(dòng)方程；方程；解：（解：（1）波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式）波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(cosuxtAy)(2cosxtA)(cos)cos(CBxtBACxBtAy)22(2cosCxtBA波的振幅為波的振幅為A, 波速波速,CBv 頻率頻率,2B波長(zhǎng)波長(zhǎng)C2（2），已知lx )cos(ClBtAy（3）DCCDD222r2 例例2 以以P 點(diǎn)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，點(diǎn)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)方程。寫(xiě)出波動(dòng)方程。y

30、xPoud解：解：p=2yp=AAAcoscoscosddttt)(222y=o+uuyxu 例例3 波速波速 u =400m/s, t = 0 s時(shí)刻的波形如圖所示。時(shí)刻的波形如圖所示。寫(xiě)出波動(dòng)方程。寫(xiě)出波動(dòng)方程。uy(m)p4532ox(m)23=0pt =Ayv000(o點(diǎn)點(diǎn))220=yv00t0(p點(diǎn)點(diǎn))= 00得：得：得：得：2p=0d0p=2d=2235()34 (m)y(m)23=0pup4532ox(m)dy=2 2002u=2400404 cos)(2003tS1 = 4 (m)() 例例4一橫波在弦上傳播，其方程是一橫波在弦上傳播，其方程是)2005(cos02. 0txy

31、式中式中x、y以米計(jì)，以米計(jì)，t與秒計(jì)。與秒計(jì)。（1）求波長(zhǎng)、周期、波速；）求波長(zhǎng)、周期、波速；（2）畫(huà)出）畫(huà)出 t=0, 0.0025s, 0.005s時(shí)弦的形狀。時(shí)弦的形狀。解：（解：（1）方法一：）方法一：與標(biāo)準(zhǔn)方程相比較與標(biāo)準(zhǔn)方程相比較)40(200cos02. 0)5200(cos02. 0 xtxty)4 . 001. 0(2cos02. 0 xt,4 . 0 m波長(zhǎng)波長(zhǎng)周期周期 T=0.01S, 波速波速。smv40方法二、方法二、依各量的物理意義求解依各量的物理意義求解)2005(cos02. 0txy2)2005()2005(12txtxmxx4 . 012)2005()20

32、05(1122txtxsmttxxv401212（2）方法一：根據(jù)各時(shí)刻的波形方程逐一畫(huà)出波形。）方法一：根據(jù)各時(shí)刻的波形方程逐一畫(huà)出波形。方法二：只畫(huà)出方法二：只畫(huà)出t=0的波形，然后采用移動(dòng)波形的方法。的波形，然后采用移動(dòng)波形的方法。0.40.2yxo例例5、一平面簡(jiǎn)諧波在空間以速度、一平面簡(jiǎn)諧波在空間以速度u 傳播，已知傳播，已知p點(diǎn)的振點(diǎn)的振),cos(tAy就下面四種選定的坐標(biāo)系，寫(xiě)出各自的波函數(shù)。就下面四種選定的坐標(biāo)系，寫(xiě)出各自的波函數(shù)。動(dòng)方程為動(dòng)方程為opyxuuxyopuxyoplopyxul)(cosuxtAy)(cosuxtAy)(cosulxtAy)(cosulxtAy例

33、例6、沿沿x軸軸負(fù)向負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在傳播的平面簡(jiǎn)諧波在t=2s時(shí)的波形曲線時(shí)的波形曲線如圖，設(shè)波速如圖，設(shè)波速u(mài)=0.5m/s求原點(diǎn)求原點(diǎn)0的振動(dòng)表達(dá)式。的振動(dòng)表達(dá)式。t=0 x0y0.5-112t=2su 解：由圖知解：由圖知,4,2suTm,22sradT,125 . 02mutxst內(nèi)，波形移動(dòng)的距離在2)(2cos5 . 0uxtyt=0原點(diǎn)原點(diǎn)0:2)22cos(5 . 00ty例例7、一平面簡(jiǎn)諧波沿一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為軸正向傳播，其振幅和圓頻率為,A、波速為波速為 u，設(shè)，設(shè)t=0時(shí)的波形曲線如圖。時(shí)的波形曲線如圖。（1）寫(xiě)出該波的波函數(shù)；）寫(xiě)出該波的

34、波函數(shù)；83（2）求距）求距0點(diǎn)為點(diǎn)為 （3）求距）求距0點(diǎn)為點(diǎn)為處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；8處的質(zhì)點(diǎn)在處的質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)的振動(dòng)速度。時(shí)的振動(dòng)速度。yx0u解：（解：（1）t=0時(shí)，時(shí)，0點(diǎn)的相位，即初相位點(diǎn)的相位，即初相位,2故波函數(shù)故波函數(shù)2)(cosuxtAy（2） 2)83(cos83utAyx2832cosuTtA)4cos(tA（3）2)(sinuxtAtyvAAv224sin代入上式，將8,0 xt 16.4 16.4 波的能量波的能量 能流密度能流密度一、能量密度一、能量密度pdEdE=可以證明：可以證明：kdmdV取體積元取體積元dV，體元內(nèi)質(zhì)量為體元內(nèi)質(zhì)量

35、為dVdm=)(cosuxtAy)(sinuxtAtyv)(sin21212222uxtdVAdmvdEKdEdE=2k+dEp=dEk能量密度能量密度:平均能量密度：平均能量密度：)(sin2122222uxtdVAdmvdEdtuxtAwdtwTT)(sin22200)(sin222uxtAdVdEw2221A能流能流P :單位時(shí)間通過(guò)某一面積的波能。單位時(shí)間通過(guò)某一面積的波能。 P = S w u二、能流密度二、能流密度平均能流平均能流P : 能流在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。能流在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。uuSuwSP 波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度 I（能流度）（能流度）:通過(guò)垂直于波的傳播方向的單通過(guò)垂直于

36、波的傳播方向的單位面積的平均能流。位面積的平均能流。w1222uI=u =A總結(jié)：總結(jié)：波是能量傳播的一種形式。波是能量傳播的一種形式。波真正傳播的是振動(dòng)、波形和能量。波形傳波真正傳播的是振動(dòng)、波形和能量。波形傳播是現(xiàn)象，振動(dòng)傳播是本質(zhì)，能量傳播是量度。播是現(xiàn)象，振動(dòng)傳播是本質(zhì)，能量傳播是量度。t+ tututt+ tt時(shí)刻波陣面時(shí)刻波陣面t時(shí)刻波陣面時(shí)刻波陣面16.5 惠更斯原理惠更斯原理一、惠更斯原理一、惠更斯原理 波動(dòng)所到達(dá)的媒質(zhì)中各點(diǎn)，都可以看作為發(fā)射子波的波動(dòng)所到達(dá)的媒質(zhì)中各點(diǎn)，都可以看作為發(fā)射子波的波源，而后一時(shí)刻這些子波的包跡便是新的波陣面。波源，而后一時(shí)刻這些子波的包跡便是新的

37、波陣面。用惠更斯原理解釋折射定律用惠更斯原理解釋折射定律sinsinir=CBABADAB=u u 1122=u2u=nn1n12ttiuut12trnn12CBADiru t12二、惠更斯原理的應(yīng)用二、惠更斯原理的應(yīng)用沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加兩水波的疊加兩水波的疊加 16.6 波的疊加原理波的疊加原理一、波的疊加原理一、波的疊加原理 1、波的獨(dú)立傳播原理波的獨(dú)立傳播原理: 有幾列波同時(shí)在媒質(zhì)中傳播時(shí)有幾列波同時(shí)在媒質(zhì)中傳播時(shí)，它們的傳播特性（波長(zhǎng)、頻率、波速、波形）不會(huì)因其，它們的傳播特性（波長(zhǎng)、頻率、波速、波形）不會(huì)因其它波的存在而發(fā)生影響。它波的存

38、在而發(fā)生影響。 2、波的疊加原理波的疊加原理:在幾列波相遇的區(qū)域內(nèi)在幾列波相遇的區(qū)域內(nèi),媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)同媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與這幾列波所引起振動(dòng)，其位移為各波單獨(dú)存在時(shí)在時(shí)參與這幾列波所引起振動(dòng)，其位移為各波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起振動(dòng)的合振動(dòng)。該點(diǎn)所引起振動(dòng)的合振動(dòng)。 二、波的干涉二、波的干涉 相干波源：相干波源：若有兩個(gè)波源，它們的振動(dòng)方向相同、若有兩個(gè)波源，它們的振動(dòng)方向相同、頻率相同、周相差恒定，稱(chēng)這兩波源為頻率相同、周相差恒定，稱(chēng)這兩波源為相干波源相干波源。波源波源cos=+ty222A)(St=y111A cos)(+S1r*2sr11y*22sPy.P點(diǎn)點(diǎn)rr=22211()yt2+r=2222cos)A(+t=y211A cos)(11r干涉加強(qiáng)干涉加強(qiáng)(A最大最大)條件：條件：干涉減弱干涉減弱(A最小最小)條件：條件：=2kk = 0,1,2,+2k=(1)k = 0,1,2,111Acoscossinsin=+2rr()(211tg222AAA221rr)+2222AAAAcos =2+22211A)2221=rr(12波程差波程差rr1=+ k干涉加強(qiáng)干涉加強(qiáng)r2()波程差波程差r1+2k2=+1干涉減弱干涉減弱=12若：若：則有：則有：+2k(