BS期權(quán)定價模型及其應(yīng)用PPT課件

1、Black-Scholes 期權(quán)定價模型期權(quán)定價模型王 春 雷王 春 雷第1頁/共30頁2引引 言言二叉樹期權(quán)定價模型： 變量離散、時間離散當(dāng)股價的變動是一個連續(xù)的運(yùn)動過程 變量連續(xù)、時間連續(xù) 如何對以它為標(biāo)的資產(chǎn)的衍生品定價？本節(jié)討論的問題第2頁/共30頁31 1、股票價格的運(yùn)動過程、股票價格的運(yùn)動過程, dSdtdzdzdtS ：股票的瞬間收益率 ：股票的期望瞬間收益率 ：股價收益率的瞬間標(biāo)準(zhǔn)差dSS第3頁/共30頁4波動率估計(jì)1 觀測證券價格的歷史數(shù)據(jù)S0 、 S1 、 、 Sn ，觀測時間間隔為t（以年為單位）2 計(jì)算每期以復(fù)利計(jì)算的回報(bào)率 uiLn(Si / Si-1 ), i=1,

2、n3 計(jì)算回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差s4 波動率估計(jì)211()1niisuunst第4頁/共30頁5 2 2、伊藤引理、伊藤引理（Itos lemma）若已知 x 的運(yùn)動過程，利用伊藤引理能夠推知函數(shù) G (x, t ) 的運(yùn)動過程由于任何衍生品價格均為其標(biāo)的資產(chǎn)價格及時間的函數(shù)，因而可利用伊藤引理推導(dǎo)衍生品價格的運(yùn)動過程第5頁/共30頁6伊藤引理（Ito，1951） 若隨機(jī)過程 x 遵循伊藤過程： 則G (x, t )將遵循如下伊藤過程： bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222dztxbdttxadx),(),(第6頁/共30頁722221()2ffffdfSS dtSdzStSSSdzSdt

3、dS股價運(yùn)動是一種簡單的伊藤過程：以股票為標(biāo)的資產(chǎn)的衍生品價格 f (S, t ) ，其運(yùn)動過程可通過伊藤引理得到：第7頁/共30頁8例1 1：伊藤引理的運(yùn)用 若 ，則該微分方程的解為： ( , )lnf S tS22211, 0, fffSStSS 2ln()2dSdtdz2(/2)(), (0, )T tzTtSS ezNTt 2lnln(/2)()( ( )( )TtSST tz Tz t 第8頁/共30頁93 3、Black-Scholes 微分方程微分方程（1）原理衍生品與標(biāo)的資產(chǎn)（股票）價格不確定性的來源相同與二叉樹期權(quán)定價模型的思想類似，我們 通過構(gòu)造股票與衍生品的組合來消除這種

4、 不確定性第9頁/共30頁10（2）假設(shè)條件 股價遵循幾何布朗運(yùn)動 股票交易連續(xù)進(jìn)行，且股票無限可分 不存在交易費(fèi)用及稅收 允許賣空，且可利用所有賣空所得 在衍生品有效期間，股票不支付股利 在衍生品有效期間，無風(fēng)險(xiǎn)利率保持不變 所有無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會均被消除第10頁/共30頁11（3）B-S微分方程的推導(dǎo)股票及衍生品的運(yùn)動過程分別為： 為消除不確定性，構(gòu)造投資組合： 衍生品：1；股票：fS第11頁/共30頁12 投資組合的價值為：投資組合的價值變動為： 價值變動僅與時間 dt 有關(guān)，因此該組合 成功消除了 dz 帶來的不確定性第12頁/共30頁13 根據(jù)無套利定價原理，組合收益率應(yīng)等于無風(fēng)險(xiǎn)利率

5、r (無套利機(jī)會)：rfSfSSfrStf222221 此即 Black-Scholes 微分方程微分方程。第13頁/共30頁14l任意依賴于標(biāo)的資產(chǎn) S 的衍生品價格 f 應(yīng) 滿足該方程l衍生品的價格由微分方程的邊界條件決定 例：歐式看漲期權(quán)的邊界條件為： C(0，t) 0 C(ST ,T)= max（ST K，0） 理論上通過解B-S微分方程，可得 Call 的價格。 問題：微分方程難于求解！第14頁/共30頁154 4、風(fēng)險(xiǎn)中性定價方法、風(fēng)險(xiǎn)中性定價方法 觀察B-S微分方程及歐式Call 的邊界條件發(fā)現(xiàn)：C(S, t)與 S、r、t、T、以及 K 有關(guān)，而與股票的期望收益率無關(guān)。這說明歐

6、式Call 的價格與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)。 在對歐式Call 定價時，可假設(shè)投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性的（對所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)不要求額外回報(bào)，所有證券的期望收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率）第15頁/共30頁16用風(fēng)險(xiǎn)中性方法對歐式 Call 定價 假設(shè)股價期望收益率為無風(fēng)險(xiǎn)利率 r，則： 歐式 Call 到期時的期望收益為： 將該期望收益以無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)，得到歐式 Call 價格：第16頁/共30頁17得：其中：此即 Black-Scholes 期權(quán)定價公式期權(quán)定價公式。()12 ( , )()() r T tC S tSN dKeN d21ln( /)(/2)() ()S KrTtdTt第17頁/共30頁18如何理解

7、B-S期權(quán)定價公式（1） 可看作證券或無價值看漲期權(quán)的多頭； 可看作K份現(xiàn)金或無價值看漲期權(quán)的多頭。()2()r TtKeN d（2）可以證明， 。為構(gòu)造一份歐式看漲期權(quán)，需持有 份證券多頭，以及賣空數(shù)量為 的現(xiàn)金。1/()fSN d2 ()rTK eN d第18頁/共30頁19 Black-Scholes 期權(quán)定價公式用于不支付股利的 歐式看漲期權(quán)的定價（通過 Call-Put 平價公式 可計(jì)算歐式看跌期權(quán)的價值）。 注意： 該公式只在一定的假設(shè)條件下成立，如市場完美（無稅、無交易成本、資產(chǎn)無限可分、允許賣空）、無風(fēng)險(xiǎn)利率保持不變、股價遵循幾何布朗運(yùn)動等。第19頁/共30頁20例：Black

8、-Scholes公式的運(yùn)用 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為42元， 某投資者購買一份以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的歐式 看漲期權(quán)，6個月后到期，執(zhí)行價格為40元。假設(shè)該股票年波動率為20%，6月期國庫券年利率為10%，問：該份期權(quán)價格應(yīng)為多少元？ 解：由上述條件知： 第20頁/共30頁21 42 (0.7693) 38.049 (0.6278)4.76 ()CNN元第21頁/共30頁22 根據(jù) Call - Put 平價公式 有： 計(jì)算得到歐式看跌期權(quán)價格為：P =0.81(元)- ( - ) r T tPSCKe- ( - )()21 ()() r T tr T tPCKeSKeNdSNd第22頁

9、/共30頁23影響歐式看漲期權(quán)價格的因素 當(dāng)期股價 S 越高，期權(quán)價格越高 到期執(zhí)行價格 K 越高，期權(quán)價格越低 距離到期日時間 T-t 越長，期權(quán)價格越高 股價波動率越大，期權(quán)價格越高 無風(fēng)險(xiǎn)利率 r 越高，期權(quán)價格越高第23頁/共30頁24B-S期權(quán)定價公式的擴(kuò)展：紅利 股價運(yùn)動過程 風(fēng)險(xiǎn)中性定價 僅需要將St變成St e-q(T-t) ，帶入原來的B-S微分方程即可第24頁/共30頁25B-S期權(quán)定價公式的運(yùn)用（1）對公司負(fù)債及資本進(jìn)行估值 一家公司A發(fā)行兩種證券：普通股100萬股及 1年后到期的總面值8000萬元的零息債券。已知 公司總市值為1億元，問：公司股票及債券如何 定價？ 令V

10、為當(dāng)前A公司資產(chǎn)市場價值，E為A公司資 本市場價值，D為A公司債券市場價值。V = E + D第25頁/共30頁26 考慮股東1年之后的收益：當(dāng)A公司價值VT大于債券面值時，收益為VT -8000；當(dāng)A公司價值小于債券面值時，收益為0。股東相當(dāng)于持有一個執(zhí)行價格為8000萬元的歐式Call, 標(biāo)的資產(chǎn)為公司價值.當(dāng)前資本價值為： 給出其它具體數(shù)值，公司價值的波動率為0.3,無風(fēng)險(xiǎn)利率為8%，根據(jù)B-S公司得到E=2824萬元.公司負(fù)債價值D=V-E=7176萬元。12 ()() rTEVN dBeN d第26頁/共30頁27（2）確定貸款擔(dān)保價值或擔(dān)保費(fèi)用 假設(shè)某銀行為公司發(fā)行的債券提供了信用擔(dān)保。 1年之后，若公司價值VT大于債券面值時，銀行無須支付；若公司價值VT小于債券面值時,銀行須支付 VT B。這相當(dāng)于銀行出售了一個歐式put, 標(biāo)的資產(chǎn)仍為公司價值，執(zhí)行價格為債券面值B。 利用上面的例子，可采用B-S看跌期權(quán)定價公式或看漲看跌期權(quán)平價公式，得到歐式put 的價值為209萬元，A公司應(yīng)支付209萬元的擔(dān)保費(fèi)。第27頁/共30頁28（3）帶有可轉(zhuǎn)化特征的融資工具的定價 認(rèn)股權(quán)證指賦予投資者在某一時期以約定價格向發(fā)行人購買公司新股的權(quán)利。 假設(shè)公司有N股流通股，M份流通歐式認(rèn)股權(quán)證，一份認(rèn)股權(quán)證使持有人在時刻T以每股K的價