常線性差分方程的解—01

1、6.4 6.4 常系數(shù)線性差分方程的求解常系數(shù)線性差分方程的求解 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 重點：重點：用時域經(jīng)典法求常系數(shù)線性差分方程用時域經(jīng)典法求常系數(shù)線性差分方程求解常系數(shù)線性差分方程的方法求解常系數(shù)線性差分方程的方法零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng) 線性時不變離散系統(tǒng)的差分方程是常系數(shù)線性線性時不變離散系統(tǒng)的差分方程是常系數(shù)線性差分方程，基本形式：差分方程，基本形式：)() 1() 1()(110NnyaNnyanyanyaNNM)x(nb)Mx(b)x(nbx(n)bNN11110MrrNkkrnxbknya00)()(或?qū)懗苫驅(qū)懗?在差分方程中，各序列的序號自在差分方程中，各序

2、列的序號自n n以遞減方式給以遞減方式給出，稱為后向出，稱為后向( (或右移序或右移序) )差分方程。差分方程。4 4、變換域法（、變換域法（Z Z變換法）變換法）逐次代入求解，逐次代入求解， 概念清楚，概念清楚， 比較簡便，比較簡便， 適用于計算機，缺點是不易得出通式解答。適用于計算機，缺點是不易得出通式解答。1 1、迭代法、迭代法2 2、時域經(jīng)典法、時域經(jīng)典法3 3、全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)求解與齊次通解方法相同零輸入響應(yīng)求解與齊次通解方法相同零狀態(tài)響應(yīng)求解利用卷積和法求解，十分重要。零狀態(tài)響應(yīng)求解利用卷積和法求解，十分重要。求解過程比較麻煩求解過程

3、比較麻煩 一、求解常系數(shù)線性差分方程的方法一、求解常系數(shù)線性差分方程的方法全響應(yīng)齊次解全響應(yīng)齊次解 特解特解自由響應(yīng)自由響應(yīng) 強迫響應(yīng)強迫響應(yīng) 本章著重介紹時域中求常系數(shù)線性差分方本章著重介紹時域中求常系數(shù)線性差分方法，下一章詳細研究法，下一章詳細研究Z Z變換方法。變換方法。 下面我們學(xué)習(xí)時域經(jīng)典法解常系數(shù)線性差下面我們學(xué)習(xí)時域經(jīng)典法解常系數(shù)線性差分方程。分方程。 時域經(jīng)典解法時域經(jīng)典解法1 1、齊次解、齊次解一般差分方程對應(yīng)的齊次方程的形式為一般差分方程對應(yīng)的齊次方程的形式為一般情況下，對于任意階的差分方程，它們的齊次一般情況下，對于任意階的差分方程，它們的齊次解的形式為解的形式為 的項組

4、合而成。的項組合而成。nC00NkknkCa消去常數(shù)消去常數(shù)C C，并逐項除以，并逐項除以 得到：得到：Nn011100NNNNNkkNkaaaaCa 上式稱為齊次微分方程的特征方程，其根上式稱為齊次微分方程的特征方程，其根 稱為差分方程的特征根。稱為差分方程的特征根。N,210)() 1() 1()(110NnyaNnyanyanyaNN非重根時的齊次解非重根時的齊次解NknkknNNnnCCCC02211K K次重根次重根時的齊次解時的齊次解KiniKinKKKKnCCnCnCnC11112211)( 共軛根共軛根時的齊次解時的齊次解02, 1jejbannjbaCjbaCny)()()(

5、21 有一個有一個K K重復(fù)根重復(fù)根時的齊次解時的齊次解012211012211sin)(cos)()(nDnDnDnDnCnCnCnCnynKKKKnKKKK0201sincosnCnCnn0)(6) 1(5) 2(nynyny初始條件為初始條件為y(0)=2y(0)=2和和y(1)=3y(1)=3，求方程的齊次解。，求方程的齊次解。例例.系統(tǒng)的差分方程系統(tǒng)的差分方程特征根為特征根為. 3, 221nnhCCny) 3()2()(21于是于是由初始條件由初始條件212)0(CCy21323) 1 (CCy解得：解得：1, 321CC故齊次解故齊次解nnhny3)2( 3)(0) 3)(2(6

6、52解：特征方程為解：特征方程為2 2、特解、特解 特解得求法：將激勵特解得求法：將激勵x(n)x(n)代入差分方程右端得到代入差分方程右端得到自由項，特解的形式與自由項及特征根的形式有關(guān)。自由項，特解的形式與自由項及特征根的形式有關(guān)。（1 1）自由項為）自由項為n nk k的多項式的多項式1 1不是特征根：不是特征根：kkkpDnDnDny110)(1 1是是K K重特征根：重特征根：)()(110kkkKpDnDnDnny（2 2）自由項為）自由項為na 不是特征根，不是特征根，則特解則特解anpDany)( 是特征單根，是特征單根，則特解則特解anpaDnDny)()(21 是是k k重

7、特征根，重特征根，則特解則特解ankkkpaDnDnDny)()(1121（3 3）自由項為正弦）自由項為正弦 或余弦或余弦 表達式表達式0cosn0201cossin)(nDnDnyp0sinn（4 4）自由項為正弦）自由項為正弦)cossin(0201nAnAn 不是特征根不是特征根0je)cossin()(0201nDnDnynp)cossin()(0201nDnDnnynkp 是特征根是特征根0je例例6-96-9： 求下示差分方程的完全解求下示差分方程的完全解) 1()() 1(2)(nxnxnyny其中激勵函數(shù)其中激勵函數(shù) ，且已知，且已知2)(nnx1) 1(y解：特征方程：解：

8、特征方程：02 2齊次通解：齊次通解：nc)2(將將 代入方程右端，得代入方程右端，得)(nx12)1()1()(22nnnnxnx設(shè)特解為設(shè)特解為 形式，代入方程得形式，代入方程得21DnD12) 1( 22211nDnDDnD比較兩邊系數(shù)得比較兩邊系數(shù)得12323121DDD解得解得完全解為完全解為9132)2()(ncnyn代入邊界條件代入邊界條件 ，求，求1) 1(yc91) 1(32)2(1nc98c得得9132)2(98)(nnyn91,3221DD經(jīng)典法不足之處經(jīng)典法不足之處(1).(1).若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解。若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解。(2).(2)

9、.若差分方程右邊激勵項較復(fù)雜，則難以處理。若差分方程右邊激勵項較復(fù)雜，則難以處理。(3).(3).若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。(4).(4).這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。響應(yīng)的物理概念。 二、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)二、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的完全響應(yīng)（差分方程的完全解）可表示為自由系統(tǒng)的完全響應(yīng)（差分方程的完全解）可表示為自由響應(yīng)分量與強迫響應(yīng)分量（齊次解與特解）之和。響應(yīng)分量與強迫響應(yīng)分量（齊次解與特解）之和。)()(1nDCnyNknkk根據(jù)邊界條件及激勵的不同，完全響應(yīng)也可

10、分為根據(jù)邊界條件及激勵的不同，完全響應(yīng)也可分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和。零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和。)()()(nynynyzszi 當(dāng)起始狀態(tài)當(dāng)起始狀態(tài)y(-1)=y(-2)= =y(-N) y(-1)=y(-2)= =y(-N) =0=0時，由系統(tǒng)的激勵時，由系統(tǒng)的激勵xnxn所產(chǎn)生的響應(yīng)。它是自所產(chǎn)生的響應(yīng)。它是自由響應(yīng)的另外部分加上強迫響應(yīng)。由響應(yīng)的另外部分加上強迫響應(yīng)。)(nyzs 當(dāng)激勵當(dāng)激勵x(n)=0 x(n)=0時，由系統(tǒng)的起始狀態(tài)時，由系統(tǒng)的起始狀態(tài)y(-1), y(-1), y(-2), y(-N)y(-2), y(-N)所產(chǎn)生的響應(yīng)。它是齊次解所產(chǎn)生的響應(yīng)。它是齊次解

11、的形式，它是自由響應(yīng)的一部分。的形式，它是自由響應(yīng)的一部分。)(nyzi1 Nnkkpky nCyn 強 迫 響 應(yīng)自 由 響 應(yīng)11 NNnnzikkzskkpkkCCyn 零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)()kzikzskCCC1 1、零輸入響應(yīng)、零輸入響應(yīng) 輸入為零，響應(yīng)由齊次差分方程求得，是僅由初輸入為零，響應(yīng)由齊次差分方程求得，是僅由初始儲能引起的響應(yīng)。始儲能引起的響應(yīng)。注意：注意： 確定零輸入響應(yīng)的系數(shù)時，必須用僅由初始狀態(tài)確定零輸入響應(yīng)的系數(shù)時，必須用僅由初始狀態(tài)引起的初始條件；引起的初始條件； 初始條件為初始條件為 M 個任意時刻的響應(yīng)值，故零輸入響個任意時刻的響應(yīng)值，故零輸入響應(yīng)的表達式

12、不再加寫后綴應(yīng)的表達式不再加寫后綴 n n0。例例 描述離散時間系統(tǒng)的差分方程為描述離散時間系統(tǒng)的差分方程為，)()(8) 1(12)2(6) 3(nxnynynyny解：特征方程為解：特征方程為0)2(8126323nzinCnCCny)2)()(232123) 3(2)2(1) 1 ()()(yyynunx，初始條件為初始條件為激勵激勵在差分方程中，令在差分方程中，令n=-1,n=-1,得得0) 1() 1(8)0(12) 1 (6)2(xyyyy可見可見 y(2) , y(1) , y(0) 和和 y(-1) 與激勵無關(guān)與激勵無關(guān),僅由初始儲能引起。僅由初始儲能引起。1) 1 () 1

13、(, 2)2()2(ziziyyyy。試求零輸入響應(yīng)試求零輸入響應(yīng)在差分方程中，令在差分方程中，令 n = 0n = 0，得，得 可見，可見，y(3)y(3)與激勵有關(guān)與激勵有關(guān), ,是初始儲能和激勵共同引起的是初始儲能和激勵共同引起的, ,不能用來確定零輸入響應(yīng)的待定系數(shù)。不能用來確定零輸入響應(yīng)的待定系數(shù)。 將將y(1)=1,y(2)=2,y(3)=-23y(1)=1,y(2)=2,y(3)=-23代入上式代入上式, ,可得第三個零輸可得第三個零輸入條件：入條件：)0(0)0(ziyy1)0()0(8) 1 (12)2(6) 3(xyyyy10)0(Cyzi3212221) 1 (CCCyz

14、i32116842)2(CCCyzi于是得到于是得到43450321CCC，解解得得nzinnny) 2)(4345()(2所所以以nzinCnCCny)2)()(23211) 1 (, 2)2(ziziyy0)0(ziy2 2、零狀態(tài)響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng) 離散時間系統(tǒng)求解零狀態(tài)響應(yīng)，可以直接求解非齊離散時間系統(tǒng)求解零狀態(tài)響應(yīng)，可以直接求解非齊次差分方程得到。求解方法與經(jīng)典法計算連續(xù)時間系次差分方程得到。求解方法與經(jīng)典法計算連續(xù)時間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)相似。即首先求齊次解和特解，然后代統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)相似。即首先求齊次解和特解，然后代入僅由激勵引起的初始條件入僅由激勵引起的初始條件 若激勵在若激勵在n= 0

15、時接系統(tǒng)，時接系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的因果性，零狀態(tài)條件為根據(jù)系統(tǒng)的因果性，零狀態(tài)條件為y(-1)=y(-2)=. . .=0 確定待定系數(shù)。但當(dāng)激勵信號較復(fù)雜，且差分方程階確定待定系數(shù)。但當(dāng)激勵信號較復(fù)雜，且差分方程階數(shù)較高時，上述求解非齊次差分方程的過程相當(dāng)復(fù)雜，數(shù)較高時，上述求解非齊次差分方程的過程相當(dāng)復(fù)雜，因此，與連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析一樣，離散時間系因此，與連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析一樣，離散時間系統(tǒng)計算零狀態(tài)響應(yīng)也常用卷積分析法。統(tǒng)計算零狀態(tài)響應(yīng)也常用卷積分析法。差分方程的邊界條件不一定差分方程的邊界條件不一定由由 這一組數(shù)字給出。對于因果系統(tǒng)，常給定這一組數(shù)字給出。對于因果系統(tǒng)，常給定 為邊

16、界條件為邊界條件。若激勵信號在若激勵信號在n=0n=0時接入系統(tǒng)時接入系統(tǒng)，所謂零狀態(tài)是指所謂零狀態(tài)是指 都等于零，而不是指都等于零，而不是指 等于零等于零。如果已知如果已知 欲求欲求可用迭代求出可用迭代求出。) 1(,),2(),1 (),0(Nyyyy)(,),3(),2(),1(Nyyyy) 1(,),2(),1 (),0(Nyyyy) 1(,),2(),1 (),0(Nyyyy)(,),3(),2(),1(Nyyyy)(,),3(),2(),1(Nyyyy例例: 已知描述系統(tǒng)的一階差分方程為已知描述系統(tǒng)的一階差分方程為（1）邊界條件）邊界條件 ，求，求（2）邊界條件）邊界條件 ，求，求

17、 , ;zizsynyny n和11 1 23y ny nu n 11y 10y , zizsynyny n和。解解:（1）起始時系統(tǒng)處于零狀態(tài)，所以，）起始時系統(tǒng)處于零狀態(tài)，所以， 0ziyn 3121DD,32D12 ( )23nzsy nynC齊次解為齊次解為 , 設(shè)特解為設(shè)特解為D, 1( )2nC 由由y-1=0可求出可求出,31C所以，所以，1 12 ( )(0)3 23nzsy nynn （2 2） 先求零狀態(tài)響應(yīng)，此即為（先求零狀態(tài)響應(yīng)，此即為（1 1）的結(jié)果）的結(jié)果1 12 ( )(0)3 23nzsynn 再求零輸入響應(yīng)，令再求零輸入響應(yīng)，令 1 ( )2nziziynC 由由y-1=1y-1=1可求出可求出12ziC所以，所以，1 1 ( )2 2nziyn 完全響應(yīng)完全響應(yīng) 1 11 12( )( )2 23 231 12( )(0)6 23zizsnnny nynynn 1 11 12( )( )2 23 231 12( )(0)6 23zizsnnny nynynn 1 11 12( )( )2 23 231 12( )(0)6 23zizsnnny nynynn3 3、離散時間系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子：、離散時間系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子：a.a. E E算子：又稱超前