常線性差分方程的解—02

1、7.4常系數(shù)差分方程的求解迭代法時(shí)域經(jīng)典法離散卷積法：利用齊次解得零輸入解，再利用卷積和求零狀態(tài)解。變換域法（Z變換法）狀態(tài)變量分析法一求解差分方程的迭代法和經(jīng)典法迭代法當(dāng)差分方程階次較低時(shí)常用此法)()()() 1()(0.) 2() 1 () 2(20) 1 () 0() 1 (11)(0) 0() 1() 0(0)()()() 1()(2nuanyanxnaynynnaaaxayynaaxayynnxayynnnxnxnaynynn一階線性常系數(shù)差分方程yk0.5yk1=uk, y1=1，用迭代法求解差分方程。解：解：將差分方程寫成： 15 . 0kykuky代入初始條件，可求得5 .

2、115 . 01 15 . 000yuy75. 15 . 15 . 0105 . 0 1 1 yuy875. 175. 15 . 01 1 5 . 022yuy依此類推:缺點(diǎn)：很難得到閉合形式的解。時(shí)域經(jīng)典法差分方程特征根： 有N個(gè)特征根齊次解：l非重根時(shí)的齊次解lL次重根時(shí)的齊次解l共軛根時(shí)的齊次解MrrNkkrnxbknya00)()(0)(0knyaNkkknkNkkCny0)(nkkllklnCny1)(nnjCjC)()(21齊次解的形式(1) 特征根是不等實(shí)根 r1, r2, , rn(2) 特征根是等實(shí)根(3) 特征根是成對(duì)共軛復(fù)根knnkkhrCrCrCky2211knnkkh

3、rkCkrCrCky12102, 1jejbar0201sincoskCkCkykkhn21r.rr特解：（參考p20最后一段)l自由項(xiàng)為 的多項(xiàng)式則特解為自由項(xiàng)含有 且 不是齊次根，則特解自由項(xiàng)含有 且 是單次齊次根，則特解l自由項(xiàng)含有 且 是K次重齊次根則特解1121kkkDnDnDknnanDanaaanaankkkaDnDnD)(1121naDnD)(21特解：自由項(xiàng)為 正弦或余弦表達(dá)式則特解為 是差分方程的特征方程的m次重根時(shí)，則特解是0201cossin)(nDnDnDkkkknDnDnD)(1121kn常用激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解形式 輸入信號(hào)特解ak (a是特征根)kAaak (a不

4、是特征根)kAkank0111AkAkAkAnnnnnkka)(0111AkAkAkAannnnk00cossinkk或0201sincoskAkA00cossinkakakk或)sincos(0201kAkAak完全解=齊次解+特解代入邊界條件求出待定系數(shù) ，于是得到完全解的閉式iC下面對(duì)上次課討論的p39、7-22題的差分方程進(jìn)行求解)n(x) 1n(y)a1 ()n(y) 1n(y)a1 ()n(x)n(y元代入方程將代入方程：將特解解：特征方程為73.14210)003. 1 (06.10003. 01)12(y12n;003. 0aa10)a1)(a1020()n(ya1020c20

5、)0(ya10)a1 (c)n(ya10DD)a1 (10DDD)a1 (c)n(y10)n(xa10)a1 (nnnn2 已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程初始條件y0=0, y1=2, 輸入信號(hào)fk=2k uk，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk。 特征根為齊次解yhk解 (1)求齊次方程yk+3yk1+2yk2 = 0的齊次解yhk特征方程為k f2k y2 1k y3k y02r3r22r , 1r21k2k1h)2(C) 1(Cky解得 C1=1/3，C2= -1由輸入f k的形式，設(shè)方程的特解為將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)D=1/33) 求方程的全解0k,2Dkykp0k,231)2

6、(C) 1(Ckykyk ykk2k1ph031CC0 y21232C2C1 y210k,231)2() 1(32k ykkk0k22D22D32Dk2k1kk討論1) 若初始條件不變，輸入信號(hào) fk = sin0 k uk，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk=？2) 若輸入信號(hào)不變，初始條件y0=1, y1=1, 則系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk=？經(jīng)典法不足之處若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。 若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。 若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。 這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。二.離散時(shí)間系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子： 1.定義a.E算子：又稱超前算子，它表示將序列向前（

7、向左）移一位的運(yùn)算。)nk(y)k(yE.)2k(y)k(yE)1k(y)k(Eyn2；即：等等。（向右）移一位的運(yùn)算表示將序列向后算子：又稱遲后算子).2k(y)k(yE1) 1k(y)k(yE1.E1. b2)()()()()(1)()(1.)() 1()2()()(;)()(.01012kfkyEDkfEDkyEDdkyakyakykyENaEaEENENc子。算子：又稱廣義遲后算則：子。如算子：又稱廣義超前算)E(D)E(N)E(H: )E(H. e轉(zhuǎn)移算子)k(f )E(N)k(y)E(D2.離散系統(tǒng)的算苻方程式)k(faEa.EaEabEb.EbEb)k(y) rn(xb)kn(y

8、a) rn(xb)kn(ya. a011n1nmn011m1mmmN0kM0rrkM0rrN0kk后向：前向：b.因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)對(duì)于差分方程來說，激勵(lì)的最高序號(hào)不能大于響應(yīng)函數(shù)的最高序號(hào),即mn,否則系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。Ef(k)Y(k)=f(k+1)c.遞歸系統(tǒng)和非遞歸系統(tǒng) )()1()()1()()(kbekaykykaykbeky存在著輸出對(duì)輸入的反饋(遞歸)b-ae(k)Y(k)Y(k-1)1E)k( eaEbE)k( eaE1b)k( e )E(H)k(y1饋都存在輸出對(duì)輸入的反的系統(tǒng)的分母中含有因子凡是,E)E(H非遞歸系統(tǒng)反饋。存在輸出對(duì)輸入的輸出只與輸入有關(guān)，不)k( e

9、)Ebb()k( e )E(H)k(y) 1k( eb)k( eb)k(y11010.E)E(HEbb)k( e )E(H)k(y110的分母中不含有因子1b0b)(ke) 1( ke)(ky1E三.離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 0)(.)1()(0)(01kyankyankykfn0)().0111kyaEaEaEnnn（應(yīng)用移序算子.1)1(;2)0(0)(2)1(3)2(rizyykykyky的例題求：0)1E)(2E(0)2E3E(0)k(y)2E3E(22的特征方程為：解：122112) 1 (2)0(;) 1()2()(212121ccyccycckykk由起始條件5321cc0;)1(5

10、)2(3)(kkykk?n,)Fibnacci(一共有幾對(duì)兔子個(gè)月時(shí)問第個(gè)月內(nèi)有一對(duì)大兔子且不會(huì)死亡。在最初一而長(zhǎng)成大兔子而每對(duì)小兔子一個(gè)月后個(gè)月生一對(duì)小兔子兔子每數(shù)列問題。假設(shè)每對(duì)大著名的斐波那契由此得到之和小兔子對(duì)數(shù)等于大兔子的對(duì)數(shù)與月中兔子的總個(gè)數(shù)而第月中大兔子的個(gè)數(shù)為第使個(gè)月中依然存在對(duì)兔子在第個(gè)月的第因?yàn)榧僭O(shè)兔子不會(huì)死亡兔子個(gè)小個(gè)月中生出從而在第長(zhǎng)成大兔子個(gè)月后在第個(gè)月的兔子無論大小第顯然,)k(y)2k(y)2k().1k(y)2k(,)2k() 1k(y) 1k(,;)k(y)2k(,) 1k(,k,個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)為第設(shè)解k)k(y:)k(y) 1k(y)2k(y0)k(y) 1

11、k(y)2k(y的表達(dá)式。求其解假設(shè)初始條件為)k(y, 1)2(y, 1) 1 (y01EE:2特征方程為251v2, 1特征根為k2k1)251(c)251(c)k(y代入初始條件1)251(c)251(c) 1 (y211)251(c)251(c)2(y222151c51c21)251()251(51)k(ykk表示。具有的一組樣值，用加入以后系統(tǒng)已初始樣值：在激勵(lì)信號(hào)表示。具有的一組樣值，用加入以前系統(tǒng)已起始樣值：在激勵(lì)信號(hào))()(nynyriz . .rc.rcnynynynynnynynn.),()()()(0)()(00再求系統(tǒng)求出用迭代法由時(shí)，但：時(shí)，則：時(shí)接入在對(duì)于因果系統(tǒng)，

12、若激勵(lì)1)0(y)n(u2) 1n(y3)n(y:例解條件如何選取差分方程的邊.*下面結(jié)合本例說明把初值y(0)分別理解為起始和初始樣值時(shí)求解差分方程的具體過程。方法一,迭代法nnnynyyynyynyynnnynyyy3)31() 1(31)(.)31()2(31)3(:2)31() 1(31)2(:131)0(31) 1(:00; 0) 1(3)(1)0()0(.132時(shí)，用迭代法當(dāng)應(yīng)滿足方程若應(yīng)滿足方程則起始樣值作為激勵(lì)加入前系統(tǒng)的若把初值1)0(y),0(y1)0(y. 1nn3)31() 1n(y31)n(y時(shí)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解。此解是的程因此上式也就是差分方接入的是在由于假設(shè)系統(tǒng)

13、是因果系統(tǒng)0n0n,0n)n(u,31) 1(y) 1(y:)n(u) 1n(y3)n(y0n由于因果性時(shí)，當(dāng).23331311) 3 (67)231 ( 31 31) 2 (3) 3 () 3 (22) 231 ( 31) 1 (3) 2 () 2 (7231) 0 (3) 1 () 1 (211) 1(3) 0 () 0 (22yyuyyuyyuyyuy：由以上兩式用迭代法得nnn1n23 . 2) 13(213 . 23.331)n(y:0n時(shí))() 13 . 5(21) 1(3)(nununynn所示。則差分方程的解為上式看著系統(tǒng)的起始樣值若把),0(y)0(ynn3)31() 1n(

14、y31)n(y:0n時(shí)求和公式利用q1q1s1nn) 13 . 5(21)3 . 413(21nnn時(shí)：；時(shí)：由迭代法求得為初始樣值；則若00)(01)0(. 2nnyny)n(u)13(213.331)n(y.13331)1 (y3)2(u)2(y431)0(y3)1 (u)1 (y2)1(y3)0(u)0(y1nn22的解也不同。所得差分方程的理解不同這也說明對(duì)初值態(tài)響應(yīng)。所以上式是系統(tǒng)的零狀時(shí)由于,)0(y, 0)n(y,0n)(21;21133)() 1(3)(nuDDDDDnunyny；得為，設(shè)特解的特征根為方法二：經(jīng)典法52c2)0(y)0(y),0(y1)0(y. 1)n(u)2

15、13 . c ()n(yn代入上式得出由不滿足上式則看為系統(tǒng)起始樣值若把完全解：)()21325()(nunyn.,0n方程的解時(shí)以上為 ncnyn3 .)(0 時(shí)，方程的解為當(dāng)合并時(shí)和時(shí)，由系統(tǒng)的因果性，)n(y0n) 1n(u3)n(y0n31) 1(y) 1(yn)n(u) 13(213)n(y3)n(y.)n(u) 13 . 5(21) 1n(u3)n(y1nnnnn為零輸入響應(yīng)；所以與迭代法得出的解相同z.I.rz.s.r)n(u)13(21)n(y0n;23c)n(u)213 . c()n(y, 1)0(y.21nn時(shí)定出由若線性時(shí)不變的特性。完全解不滿足若系統(tǒng)不是零狀態(tài)，則應(yīng)由初始樣值決定。決定；完全響零輸入響應(yīng)由起始樣值等于零。零狀態(tài)：系