線性代數(shù)第二章矩陣及其運算2-3

1、引例引例引例引例 2 2 坐標旋轉變換坐標旋轉變換坐標旋轉變換坐標旋轉變換在平面直角坐標系在平面直角坐標系 xOy 中，將兩個坐標軸同中，將兩個坐標軸同時繞原點旋轉時繞原點旋轉 角角( (逆時針為正，順時針為負逆時針為正，順時針為負) )，任何一點任何一點在兩個坐標系中的坐標分別記為在兩個坐標系中的坐標分別記為（x，y）與（與（u，v）則不難得到則不難得到就得到一個新的直角坐標系就得到一個新的直角坐標系 (見圖見圖 2. 4) 平面上平面上 如果不存在滿足（）的矩陣如果不存在滿足（）的矩陣 B，則稱矩陣，則稱矩陣 A 是不可逆的是不可逆的 現(xiàn)在的問題是，矩陣現(xiàn)在的問題是，矩陣 A 滿足什么條件

2、時可逆？滿足什么條件時可逆？可逆方陣的逆陣是否唯一，如何求逆陣？可逆可逆方陣的逆陣是否唯一，如何求逆陣？可逆矩陣有什么性質？這是本節(jié)要討論的問題矩陣有什么性質？這是本節(jié)要討論的問題 設矩陣設矩陣 B 與與 C 都是都是 A 的逆矩陣，則有的逆矩陣，則有ABBAE，ACCAE ，因而因而BBEB(AC)(BA)CECC 證畢證畢證畢證畢證明證明證明證明設矩陣設矩陣 B 與與 C 都是都是 A 的逆矩陣，則有的逆矩陣，則有ABBAE，ACCAE ，因而因而BBEB(AC)(BA)CECC 證畢證畢證畢證畢證明證明證明證明,A|A|A*11 由由 可得下述推論：可得下述推論：ABE，因而因而 A-1

3、 存在，于是存在，于是B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1.證畢證畢證畢證畢證明證明證明證明ABE，因而因而 A-1 存在，于是存在，于是B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1.證畢證畢證畢證畢證明證明證明證明若若 n 階方陣階方陣 A 的行列式不為零，即的行列式不為零，即 | |A| | 0，則稱則稱 A 為為，否則稱，否則稱 A 為為.說明，方陣說明，方陣 A 可逆與方陣可逆與方陣非奇異是非奇異是等價的概念等價的概念.定理不僅給出了方陣可逆的充要條件，而定理不僅給出了方陣可逆的充要條件，而且給出了求方陣逆陣的

4、一種方法，稱這種方法為且給出了求方陣逆陣的一種方法，稱這種方法為. 練習：練習：A,B均為均為n（n3）階方陣，且）階方陣，且AB=0，則，則A與與B（ ）A) 均為零矩陣均為零矩陣B) 至少有一個零矩陣至少有一個零矩陣C) 至少有一個奇異陣至少有一個奇異陣D) 均為奇異陣均為奇異陣解答：可以等式兩邊同取行列式解答：可以等式兩邊同取行列式AB=0 AB=0 |AB|=0 |AB|=0 |A|B|=0 |A|B|=0，故選，故選C C練習：練習：A,B,C為同階方陣，為同階方陣，A可逆，則下列命題正確的是可逆，則下列命題正確的是( )A) 若若AB=0，則，則B=0B)若若BA=BC,則則A=C

5、 C) 若若AB=CB,則則A=C D) 若若BC=0,則則B=0或或C=0解答：可以等式兩邊同乘解答：可以等式兩邊同乘A A-1-1AB=0 AB=0 A A-1-1AB = AAB = A-1-10 0 EB=0 EB=0，故選，故選A A練習：練習：設設n階方陣階方陣A滿足滿足A2 2+2A-4E=0，則必有，則必有( )A) A=EB)A=-3EB)A=-3E C) A- -E可逆可逆 D) A+3E不可逆不可逆解答：因為解答：因為A A與與E E是可交換的，依題意可得：是可交換的，依題意可得：A2 2+2A-4E=0 A2 2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E (A-E)(

6、A+3E)=E，根據(jù)逆矩陣的定義，根據(jù)逆矩陣的定義，(A-E)(A-E)與與(A+3E)(A+3E)互逆。故選互逆。故選C C;AkkA111)(設設 A, B, Ai , (i = 1, 2, , m), 為為 n 階可逆方陣，階可逆方陣，k 為非零常數(shù)，則為非零常數(shù)，則 A-1, kA, AB, A1A2Am , AT 也都是可逆矩陣，且也都是可逆矩陣，且 (A-1)-1 = A; (AB)-1 = B-1A-1, (A1A2Am)-1 = Am-1A2-1A1-1 ; (AT)-1 = (A-1)T ;|A|A11 (Am)-1 = (A-1)m , m 為正整數(shù)為正整數(shù).我們只證（）和

7、（）我們只證（）和（）（）（） (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1=AEA-1 =AA-1= E.（）（） AT(A-1)T= (A-1A)T= (E)T= E, 所以所以(AT)-1= (A-1)T.證畢證畢證畢證畢證明證明證明證明我們只證（）和（）我們只證（）和（）（）（） (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1=AEA-1 =AA-1= E.（）（） AT(A-1)T= (A-1A)T= (E)T= E, 所以所以(AT)-1= (A-1)T.證畢證畢證畢證畢證明證明證明證明練習：練習：設設A為為n階可逆矩陣，下列等式成立的是階可逆矩陣，下列等式成立的是( )

8、A) (2A)T=2ATB)(2A)B)(2A)-1=2A=2A-1 C) AAT=ATA D) |2A|=2|A|解答：解答：B)項項=A A-1/2，C)項不滿足交換律，項不滿足交換律，D)項項=2n|A|故選故選A A 求二階矩陣求二階矩陣的逆矩陣的逆矩陣.dcbaA例例例例 1010求二階矩陣求二階矩陣的逆矩陣的逆矩陣.dcbaA解解解解矩陣矩陣 A 的行列式的行列式 | A | = ad bc ,伴隨矩陣伴隨矩陣.*acbdA利用逆陣公式利用逆陣公式,|1*1AAA當當 | A | 0 時，有時，有.1|1*1acbdbcadAAA最最后后用用 |A| 去去除除 A的的每每一一個個元

9、元素素, 即即可可得得 A的的逆逆矩矩bc.ad|A|,dcbaA“ “兩兩調調一一除除兩兩調調一一除除” ”法法法法求求二二階階矩矩陣陣的的逆逆陣陣可可用用“兩兩調調一一除除兩兩調調一一除除”的的方方法法,其其方方法法是是: 先先將將矩矩陣陣 A中中的的主主對對角角線線上上的的元元素素調調換換位位置置,再再將將次次對對角角線線上上的的元元素素調調換換其其符符號號,陣陣.練習：練習：12,34A設設則則A*= , A-1= 。解答：解答：*42,31A121421,3131222A 用伴隨矩陣法求下列矩陣的逆陣用伴隨矩陣法求下列矩陣的逆陣325121321)2(2A213011322(1)1A

10、5341172332124131) 3(3A矩陣的求逆模型矩陣的求逆模型矩陣的求逆模型矩陣的求逆模型.C,B,A021102341010100001100001010 解下列矩陣方程解下列矩陣方程AXB = C 其中其中.C,B,A021102341010100001100001010單單擊擊這這里里可可求求逆逆單單擊擊這這里里可可求求逆逆,1000010101A例例例例1212解解下下列列矩矩陣陣方方程程AXB = C其其中中解解解解下下面面求求 A 和和 B 的的逆逆陣陣.由由已已知知易易得得 X = A-1CB-1, 設設,2001,4121PAPP求求 An .例例例例 1313設設,

11、2001,4121PAPP求求 An.解解解解因為因為 | P | = 2，所以所以 P 可逆，可逆，由二階矩由二階矩陣逆陣陣逆陣的的“兩調一除兩調一除”法，得法，得.1124211P在在等式等式 AP = P 兩邊右乘兩邊右乘 P -1，得得A = P P -1，于是于是A2= P P -1P P -1= P 2P 1， ，An= P nP 1，設設 (x) = a0 + a1x + + amxm 為為 x 的的 m 次多次多項式，項式，A 為為 n 階矩陣，記階矩陣，記 (A) = a0 E + a1 A + + am A m ， (A) 稱為稱為.從而從而 A 的幾個多項式可以像數(shù)的幾個

12、多項式可以像數(shù) x 的多項式一樣相的多項式一樣相乘或分解因式乘或分解因式.（P37） 例如例如( E + A )( 2E A ) = 2E + A A2 ,( E A )3 = E 3A + 3A2 A3 .因為矩陣因為矩陣 Ak、 Al 和和 E 都是可交換的，所以都是可交換的，所以矩陣矩陣 A 的兩個多項式的兩個多項式 (A) 和和 f (A) 總是可交換的，總是可交換的，即總有即總有 (A) f (A) = f (A) (A)，如果如果 A = P P -1，則，則 Ak = P k P 1，從而，從而 (A) = a0 E + a1 A + + am A m = Pa0EP -1 +

13、Pa1 P -1 + + Pam mP 1= P ( )P -1 .如果如果 = diag( 1 , 2 , , n)為對角矩陣為對角矩陣,則，則， k = diag( 1k , 2k , , nk)，從而，從而 ( ) = a0 E + a1 + + am m mnmmmnaaa212110111.)()()(21n 設設,321,111201111PAPP求求 (A) = A3 + 2A2 3A . 設方陣設方陣 A 滿足滿足OEAA22證明證明EAA2及都可逆，并求都可逆，并求.)2(11 EAA及例例例例 1 1設設方方陣陣 A 滿滿足足移移項項 得得OEAA22證證明明EAA2及都都

14、可可逆逆，并并求求.)2(11 EAA及變變形形所所給給的的等等式式，得得,22OEAA,22EAA,2)(EEAA分分解解因因式式 得得解解解解 設設,A321011324求求 B.B,AAB2例例例例 2 2設設,A321011324求求 B.已已知知方方程程變變形形得得B,AAB2,2ABAB,)2(ABEA兩兩邊邊左左乘乘,)2(1 EA得得分分解解因因式式 得得解解解解 設設 n 階矩陣階矩陣 A, B, A + B 均可逆均可逆, 證明證明 (A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A. 設設 A 為為 n 階方陣階方陣( n 2 ) ,證明證明 |A*| = |A|n-1.例例例例 4