數(shù)列的極限與函數(shù)的極限

1、 第2章 極限與連續(xù) 第3章 導(dǎo)數(shù)與微分 第4章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第5章 不定積分微積分（上）的章節(jié)內(nèi)容 一、數(shù)列的極限 二、函數(shù)的極限 三、無窮大量與無窮小量 四、極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則 五、極限存在的定理與兩個(gè)重要極限 六、函數(shù)的連續(xù)性第二章 極限與連續(xù) 概念的引入 數(shù)列的定義 數(shù)列的極限 小結(jié)思考題第一節(jié) 數(shù)列的極限1 1、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;112l第第一一天天截截下下的的杖杖長長度度為為, ,nl ll12一、概念的引入;2212l第第二二天天截截下下的的杖杖長長度度為為;12nnl第第n n天天截截下下的的杖杖長長

2、度度為為“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”2 2、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽2 2、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽2 2、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以

3、至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”2 2、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”2 2、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”2 2、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”2 2、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉

4、徽劉徽“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”2 2、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”2 2、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽R正六邊形的面積正六邊形的面積1S正正 邊形的面積邊形的面積126 nnS,123nS SSS正十二邊形的面積正十二邊形的面積2S二、數(shù)列的定義定義定義:按一定次序排列起來的按一定次序排列起來的無窮無窮多個(gè)多個(gè)數(shù)數(shù) ,12na aa (1) 稱為稱為無窮

5、數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的列的項(xiàng)項(xiàng),na稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)(一般項(xiàng)一般項(xiàng)).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為na. 例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn 1( 1) nnn注意：注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一 動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取12,.na aa1a3ana2a2.數(shù)列是下標(biāo)函數(shù)數(shù)列是下標(biāo)函數(shù) 其實(shí)質(zhì)上是定義在正整數(shù)集其實(shí)質(zhì)上是定義在正整數(shù)集N*上的函數(shù)上的函數(shù)4a*),

6、(Nnnfan.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn播放播放三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)

7、觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的

8、極限.)1(11時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限1( 1),11.nnnan 當(dāng)當(dāng)無無限限增增大大時(shí)時(shí)無無限限接接近近于于無限趨近于n21無限趨近于nn) 1(1不趨近于確定常數(shù)n) 1(00, 時(shí)無限增大當(dāng) n 研究當(dāng) 時(shí)， an 是否無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)，這就是數(shù)列極限的思想.n數(shù)列極限的直觀數(shù)列極限的直觀定義定義: 設(shè)設(shè) na是一個(gè)數(shù)列， 如果存在常數(shù)是一個(gè)數(shù)列， 如果存在常數(shù) A， 使得當(dāng)， 使得當(dāng) n無限增大時(shí)，無限增大時(shí)，an 無限趨近于無限趨近于 A，則稱，則稱 A 是是數(shù)列的極數(shù)列的極限，記為限，記為 limnnaA，或，或n

9、aA，. n 例如例如2n21n)1(1 n)1(1nnn 這時(shí)這時(shí)，也稱數(shù)列也稱數(shù)列an收斂于收斂于 A，否則，如果不存在這，否則，如果不存在這樣的常數(shù)樣的常數(shù) A，則稱數(shù)列，則稱數(shù)列an發(fā)散。發(fā)散。 收斂收斂發(fā)散發(fā)散問題問題: “無限增大無限增大”和和“無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.1na nnn11)1(1 ,1001給定,100時(shí)時(shí)只要只要 n11,100na 有有,10001給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n, 0給定,)1(時(shí)時(shí)只要只要 Nn1.na有有成成立立1( 1),11.nnnan 當(dāng)當(dāng)無無限限增增大大時(shí)時(shí)無無限限接接近近于于

10、11,1000na 有有數(shù)列極限的分析數(shù)列極限的分析定義定義 設(shè)設(shè)有有數(shù)列數(shù)列na和和常常數(shù)數(shù)A，如果對于任意給定如果對于任意給定的正數(shù)的正數(shù) ， 存在正存在正整整數(shù)數(shù)N, ,使得使得當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), ,總有總有不不等式等式 naA 成立成立, ,則則稱常數(shù)稱常數(shù)A是數(shù)列是數(shù)列 na 的極限的極限。 注意：注意：.;1不不等等式式刻刻劃劃了了與與 的的無無限限接接近近nnaAaA.;2刻刻劃劃了了 無無限限增增大大nNn的值不唯一。越大，并且越小有關(guān)，與任意給定的NNN. 31a2a2Na1Na3a幾何解釋幾何解釋: : 2AAA,(,),().nnNaAAN當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 所所有有的的點(diǎn)點(diǎn)都都落落

11、在在內(nèi)內(nèi)只只有有有有限限個(gè)個(gè) 至至多多只只有有個(gè)個(gè) 落落在在其其外外:定義定義N lim0,0,.nnnaANnNaA 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 恒恒有有數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.目前僅能用其證明極限。目前僅能用其證明極限。注意：注意：（其中（其中;:每每一一個(gè)個(gè)或或任任給給的的 .:至至少少有有一一個(gè)個(gè)或或存存在在 ）借助記號，數(shù)列極限的分析定義還可表達(dá)為借助記號，數(shù)列極限的分析定義還可表達(dá)為例例 1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證1na1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1na要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn 1)

12、1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即 . 021lim nn證明：證證, 0021 n由 .021limnn 021 nn2112 n1log2 n,1log, 1max2N故取則 n N 時(shí),由極限的定義, 得). 1 | ( 0lim aann一般有例例 2四.小結(jié)數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想極限思想,精確定義精確定義,幾何意義幾何意義;練練 習(xí)習(xí) 題題 自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限 自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限 思考 小結(jié)第二節(jié) 函數(shù)的極限一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過

13、過程程中中,對對應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf 000.表表示示的的過過程程xxxxx0 x 0 x 0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點(diǎn)點(diǎn) x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) , ,存在正數(shù)存在正數(shù) , ,使使得當(dāng)?shù)卯?dāng) 00 xx時(shí)時(shí), ,總有不等式總有不等式 Axf)( 成立成立, ,則常數(shù)則常數(shù)A為函數(shù)為函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或 定義定義 .)(,0, 0, 00 A

14、xfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)1.1.定義定義: :2.2.幾何解釋幾何解釋: :)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個(gè)個(gè)顯顯然然 例例1).( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明CCCxx 證證Axf )(CC ,成立成立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0

15、任取任取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx例例2.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例3. 211lim21 xxx證明證明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx雖然函數(shù)在點(diǎn)雖然函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx3.3.單側(cè)極限單側(cè)極限: :例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00

16、xx,0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近000();xxxx記記作作或或,0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近000();xxxx記記作作或或yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作000: lim( )lim( )lim( ).xxxxxxf xAf xf xA定定理理.lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xx

17、xyx11 o00limlimxxxxxx左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例4證證0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx0lim11x.sin時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx播放播放二、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一

18、、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函

19、數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過過程程中中, 對對應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時(shí)無限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問題問題: :如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近無限

20、接近”.定義定義 對于任意給定的正數(shù)對于任意給定的正數(shù) , ,一定一定存在存在 0X, ,使得使得當(dāng)當(dāng)Xx 時(shí)，總有時(shí)，總有 Axf)(, , 成立， 則稱成立， 則稱常數(shù)常數(shù)A為函為函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作 )()()(lim xAxfAxfx當(dāng)當(dāng)或或. . 定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim1.1.定義定義: :xxysin 2.2.幾何解釋幾何解釋: :AAX X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxA:.10情形

21、情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng):.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Axfx )(lim3.3.另兩種情形另兩種情形: : Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfxfxxxxysin 例例1. 0sinlim xxx證明證明證證xxxxsin0sin要使x1, 0 ,1 X取取時(shí)恒有時(shí)恒有則當(dāng)則當(dāng)Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.1|x只需使四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時(shí)刻