概率論1-4章課后習(xí)題

1、上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2第一章第一章 隨機(jī)事件及概率隨機(jī)事件及概率上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)3P P2323習(xí)題習(xí)題1.1 有數(shù)字有數(shù)字0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5能組成多少個(gè)沒(méi)有能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？這這6 6個(gè)數(shù)字選出個(gè)數(shù)字選出5 5個(gè)來(lái)排列的方法有個(gè)來(lái)排列的方法有56A解解：由題意可知，：由題意可知，種；而種；而首位為首位為0 0的有的有45A種，故首位不能為種，故首位不能為0 0的為：的為：5465600AA上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)4P P2323習(xí)題習(xí)題1.2 從含從含3

2、3件次品、件次品、7 7件正品的產(chǎn)品中任取件正品的產(chǎn)品中任取 5 5件，其中有件，其中有4 4件正品與件正品與1 1件次品，試問(wèn)有多少種取法？件次品，試問(wèn)有多少種取法？解解：由題意可知，：由題意可知， 任取任取5 5件，其中有件，其中有4 4件正品與件正品與1 1件次品的取件次品的取法為：法為：4173105C C 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)5P P2323習(xí)題習(xí)題1.3 試證試證()( )( )( )() ()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC證明：證明：由概率的加法公式得任意的兩個(gè)事件由概率的加法公式得任意的兩個(gè)事件A,B有有故故()( )( )()P A

3、BP AP BP AB ()()P ABCPABC ()( )() )P ABP CPAB C( )( )()( )()P AP BP ABP CP ACBC ( )( )( )()P AP BP CP AB()()()P ACP BCP ABC上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)6P P2323習(xí)題習(xí)題1.4 從含從含4545件正品、件正品、5 5件次品的產(chǎn)品中任取件次品的產(chǎn)品中任取 3 3件產(chǎn)品，試求其中恰有一件次品的概率件產(chǎn)品，試求其中恰有一件次品的概率. .解解：由題意可知，：由題意可知， A A表示任取表示任取3 3件中有一件為次品事件，件中有一件為次品事件，5050件件21455C C330C

4、中任取中任取3 3件的取法為件的取法為。而有一件為次品的取法為而有一件為次品的取法為21455350( )C CP AC 故故上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)7P P2323習(xí)題習(xí)題1.5 一袋中裝有一袋中裝有6 6只白球，只白球，4 4只紅球，只紅球，2 2只黑球，只黑球，求：求：解解（1 1）任取）任取4 4個(gè)球都是白球的取法為個(gè)球都是白球的取法為45C（1）從中任?。闹腥稳?個(gè)球都是白球的概率；個(gè)球都是白球的概率；46412133CC 4個(gè)球的取法有個(gè)球的取法有（2）從中任取）從中任取6個(gè)球恰好個(gè)球恰好3白、白、2紅、紅、1黑的概率；黑的概率；，而任取，而任取412C，故任取，故任取4個(gè)球都是

5、白球的概率個(gè)球都是白球的概率:（2）從中任?。闹腥稳?個(gè)球恰好個(gè)球恰好3白、白、2紅、紅、1黑的概率：黑的概率：4216426122077C C CC 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)8P P2323習(xí)題習(xí)題1.6 將將1010個(gè)不同的質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)地放入個(gè)不同的質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)地放入1010只不同只不同的盒子中，求：的盒子中，求：解解（1 1）每個(gè)盒子都放有的方法有）每個(gè)盒子都放有的方法有10!（1）沒(méi)有一個(gè)空盒子的概率；）沒(méi)有一個(gè)空盒子的概率；法有法有（2）至少有一個(gè)空盒子的概率；）至少有一個(gè)空盒子的概率；，而總共的方，而總共的方1010,故沒(méi)有一個(gè)空盒子的概率故沒(méi)有一個(gè)空盒子的概率: P(A)=1010!1

6、0（2）至少有一個(gè)空盒子的概率為：）至少有一個(gè)空盒子的概率為： P(B)=1-P(A)=1010!110 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)9251715454211)56(YXPP P2323習(xí)題習(xí)題1.7 在區(qū)間在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地抽取兩個(gè)數(shù)，求事件中隨機(jī)地抽取兩個(gè)數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于兩數(shù)之和小于6/5”6/5”的概率。的概率。解：用解：用x,y分別表示從分別表示從(0,1)中取出的中取出的2個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)，則樣本空間則樣本空間為正形：為正形：01, 01.xy如圖所示，如圖所示，K為區(qū)域：為區(qū)域：01,01,5/ 6xyxyK所以由幾何概型得所以由幾何概型得: :x+y=6/5上一頁(yè)上一頁(yè)下一

7、頁(yè)下一頁(yè)10P P2323習(xí)題習(xí)題1.8 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)落在設(shè)一質(zhì)點(diǎn)落在解解：如右圖所示：如右圖所示, ,由題意可知所求由題意可知所求的概率為：的概率為：x軸、軸、y軸及直線軸及直線1xy所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)是等可能的，求這點(diǎn)在所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)是等可能的，求這點(diǎn)在直線直線 左邊的概率左邊的概率.13x ABSxyoBA1311AOBA OBAOBAOBSSSPSS 11222233121 151 19 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)11解：解：設(shè)設(shè)A=第一次取得紅球第一次取得紅球 ，B=第二次取得紅球第二次取得紅球 P23習(xí)題習(xí)題1.9 袋中有袋中有1010個(gè)球，其中個(gè)球，其中8 8個(gè)紅球，個(gè)

8、紅球，2 2個(gè)白球，個(gè)白球，現(xiàn)從中任取兩次，每次一球，作不放回抽樣，求下現(xiàn)從中任取兩次，每次一球，作不放回抽樣，求下列事件的概率：列事件的概率： (1) (1) 兩次都取紅球；兩次都取紅球； (2) (2) 兩次中一次取得紅球，另一次取得白球；兩次中一次取得紅球，另一次取得白球； (3) (3) 至少一次取得白球；至少一次取得白球； (4) (4) 第二次取得白球。第二次取得白球。上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)12解解 (1) P(AB)=P(A)P(B|A)118711109CCCC28.45 2 ()()( ) (|)( ) (|)P ABP ABP A P B AP A P B A111188

9、221111109109CCCCCCCC1645 2817(3) 1()14545P ABP AB (4) ( )( ) (|)( ) (|)P BP A P B AP A P B A111182211111109109CCCCCCCC822109 15 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)13解：解：設(shè)設(shè)A=甲譯出密碼甲譯出密碼,B =乙譯出密碼乙譯出密碼,P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4則則A,B,C相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且C=丙譯出密碼丙譯出密碼.則此密碼被譯出的概率為則此密碼被譯出的概率為()( )( )( )() ()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP B

10、CP ABC11111110.6.53415122060P23習(xí)題習(xí)題1.10 甲、乙、丙三人獨(dú)立地翻譯一個(gè)密碼，甲、乙、丙三人獨(dú)立地翻譯一個(gè)密碼，他們譯出的概率分別是他們譯出的概率分別是1/5，1/3，1/4，試求此密碼被試求此密碼被譯出的概率。譯出的概率。上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)14P23習(xí)題習(xí)題1.11 玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱2020只，假設(shè)各箱只，假設(shè)各箱含含0 0，1 1，2 2只殘次品的概率相應(yīng)為只殘次品的概率相應(yīng)為0.80.8，0.10.1和和0.10.1，一顧客欲購(gòu)買(mǎi)一箱玻璃杯，在購(gòu)買(mǎi)時(shí)時(shí)，售貨員隨一顧客欲購(gòu)買(mǎi)一箱玻璃杯，在購(gòu)買(mǎi)時(shí)時(shí)，售貨員隨意取一箱，而顧客隨

11、機(jī)地查看意取一箱，而顧客隨機(jī)地查看4 4只，若無(wú)殘次品，則只，若無(wú)殘次品，則購(gòu)買(mǎi)下該箱玻璃杯購(gòu)買(mǎi)下該箱玻璃杯, ,否則退回，求：否則退回，求：(1) (1) 顧客買(mǎi)下該箱的概率；顧客買(mǎi)下該箱的概率； (2) (2) 在顧客買(mǎi)下的一箱中，確實(shí)沒(méi)有殘次品的概率。在顧客買(mǎi)下的一箱中，確實(shí)沒(méi)有殘次品的概率。上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)15解解 (1)(1)設(shè)設(shè)Ai 一箱玻璃杯中含有一箱玻璃杯中含有i個(gè)殘次品個(gè)殘次品,i=0,1,2;B=從一箱玻璃杯中任取從一箱玻璃杯中任取4只無(wú)殘次品只無(wú)殘次品,由題設(shè)可知由題設(shè)可知20( )() (|)iiiP BP A P B A P(A0)=0.8, P(A1)=0.

12、1, P(A2)=0.1.根據(jù)全概率公式得根據(jù)全概率公式得4442019184442020CCCCCC448475 00()0.895(2) (|)448( )112475P A BP ABP B上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)16P23習(xí)題習(xí)題1.12 設(shè)設(shè)8 8支槍中有支槍中有3 3支未經(jīng)試射校正，支未經(jīng)試射校正， 5 5支支已經(jīng)試射校正，一射手用校正的槍射擊時(shí)，中靶已經(jīng)試射校正，一射手用校正的槍射擊時(shí)，中靶概率為概率為0.80.8，而用未校正過(guò)的槍射擊時(shí)，中靶概率，而用未校正過(guò)的槍射擊時(shí)，中靶概率為為0.30.3，現(xiàn)假定從，現(xiàn)假定從8 8支槍中任取一支進(jìn)行射擊，結(jié)支槍中任取

13、一支進(jìn)行射擊，結(jié)果中靶，求所用的槍是已校正過(guò)的概率。果中靶，求所用的槍是已校正過(guò)的概率。上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)17解解 設(shè)設(shè)A 經(jīng)過(guò)校正的槍經(jīng)過(guò)校正的槍,C=射擊中靶射擊中靶,由題設(shè)可知由題設(shè)可知( )( ) (|)( ) (|)P CP A P C AP B P C BP(A)=5/8, P(B)=3/8, P(C|A)=0.8, P(C|B)=0.3.根據(jù)全概率公式得根據(jù)全概率公式得49.80 ( ) (|)40 (|).( )49P A P C AP A CP CB 未未經(jīng)校正的槍經(jīng)校正的槍, , 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)18P23習(xí)題習(xí)題1.13 對(duì)飛機(jī)進(jìn)行對(duì)飛機(jī)進(jìn)行3 3次獨(dú)立射擊

14、次獨(dú)立射擊, , 第第1 1次射擊的命次射擊的命中率為中率為0.4、第、第2次為次為0.5、第、第3次為次為0.7. 飛機(jī)被擊中飛機(jī)被擊中1 1次次而墜落的概率為而墜落的概率為0.2,被擊中被擊中2 2次而墜落的概率為次而墜落的概率為0.6, 若若被擊中被擊中3 3次飛機(jī)必墜落次飛機(jī)必墜落, ,求射擊求射擊3 3次使飛機(jī)墜落的概率次使飛機(jī)墜落的概率. .設(shè)設(shè)B=飛機(jī)墜落飛機(jī)墜落，Ai=飛機(jī)被擊中飛機(jī)被擊中i次次, i=1,2,3由全概率公式由全概率公式 則則 B=A1B+A2B+A3B,解解: :依題意，依題意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 P(B)=

15、P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)19可求得可求得: : 為求為求P(Ai ) , 將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得: :3123()()P AP H H H 2123123123()()P AP H H HH H HH H H1123123123()()P AP H H HH H HH H H設(shè)設(shè) Hi=飛機(jī)被第飛機(jī)被第i次射擊擊中次射擊擊中, i=1,2,3 P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)20于是于是=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.1

16、4 1即飛機(jī)墜落的概率為即飛機(jī)墜落的概率為0.458.P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3)上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)21P24習(xí)題習(xí)題1.14 某人每次射擊的命中率為某人每次射擊的命中率為0.6，獨(dú)立射，獨(dú)立射擊擊5次，求：次，求：（1）擊中擊中3 3次的概率；次的概率；（2 2）至少有）至少有1 1次未擊中的概率次未擊中的概率. .解解 (1)(1)33255(3)0.6(10.6)0.3456PC(2) (2) 考慮至少有考慮至少有1 1次未擊中的對(duì)立事件，次未擊中的對(duì)立事件，即每次都擊中，其概率為：即每次都擊中，其概率為： 5550.

17、6C 故至少有故至少有1 1次未擊中的概率為次未擊中的概率為55510.60.92224C上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)22P24習(xí)題習(xí)題1.15 某車(chē)間有某車(chē)間有1212臺(tái)車(chē)床，由于工藝上的原因，臺(tái)車(chē)床，由于工藝上的原因，時(shí)常發(fā)生故障，設(shè)每臺(tái)車(chē)床在任一時(shí)刻出故障的概率時(shí)常發(fā)生故障，設(shè)每臺(tái)車(chē)床在任一時(shí)刻出故障的概率為為0.30.3，且各臺(tái)車(chē)床的工作是相互獨(dú)立的，計(jì)算在任，且各臺(tái)車(chē)床的工作是相互獨(dú)立的，計(jì)算在任一指定時(shí)刻有一指定時(shí)刻有3 3臺(tái)以上車(chē)床發(fā)生故障的概率臺(tái)以上車(chē)床發(fā)生故障的概率. .解：解：設(shè)設(shè)A=任一指定時(shí)刻有任一指定時(shí)刻有3 3臺(tái)以上車(chē)床發(fā)生故障臺(tái)以上車(chē)床發(fā)生故障,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閯t則A=在

18、任一指定時(shí)刻有少于在任一指定時(shí)刻有少于3 3臺(tái)車(chē)床發(fā)生故障臺(tái)車(chē)床發(fā)生故障 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)23有有0 0臺(tái)車(chē)床發(fā)生故障的概率為臺(tái)車(chē)床發(fā)生故障的概率為有有1 1臺(tái)車(chē)床發(fā)生故障的概率為臺(tái)車(chē)床發(fā)生故障的概率為有有2 2臺(tái)車(chē)床發(fā)生故障的概率為臺(tái)車(chē)床發(fā)生故障的概率為故故0012120.30.7C1111120.30.7C2210120.30.7C( )1( )P AP A有有3 3臺(tái)車(chē)床發(fā)生故障的概率為臺(tái)車(chē)床發(fā)生故障的概率為923127 . 03 . 0C93312102212111112127 . 03 . 07 . 03 . 07 . 03 . 07 . 01CCC上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)2

19、4P24習(xí)題習(xí)題1.16 若若1 1人負(fù)責(zé)維修同類型的設(shè)備人負(fù)責(zé)維修同類型的設(shè)備2020臺(tái)，臺(tái)，設(shè)各臺(tái)設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，在一天內(nèi)發(fā)生設(shè)各臺(tái)設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率都是故障的概率都是0.010.01，維修用不了多長(zhǎng)時(shí)間，求，維修用不了多長(zhǎng)時(shí)間，求設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理的概率，若設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理的概率，若3 3人人共同負(fù)責(zé)維修共同負(fù)責(zé)維修8080臺(tái)呢？臺(tái)呢？上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)25解解: (1) 設(shè)設(shè)A=設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理,則則A=在任一時(shí)刻至多有在任一時(shí)刻至多有1 1臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障 20

20、11920( )(0.99)(0.99)0.01,P AC故故( )1( )P AP A20119201(0.99)(0.99)0.01C0.01686. 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)26(2) 設(shè)設(shè)A=設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理,則則A=在任一時(shí)刻至多有在任一時(shí)刻至多有3 3臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障 8017980( )(0.99)(0.99)0.01P AC故故( )1( )P AP A0.00866. 278280(0.99)(0.01)C377380(0.99)(0.01)C上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)27第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布上一

21、頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)28 P P4343習(xí)題習(xí)題2.1 2.1 設(shè)在設(shè)在1515只同類型的零件中有只同類型的零件中有2 2只只次品次品, ,在其中取在其中取3 3次次, ,做不放回抽樣做不放回抽樣, ,以以X X表示取表示取出次品的個(gè)數(shù)，求出次品的個(gè)數(shù)，求X X的分布率。的分布率。解：解：設(shè)設(shè)X X表示取出次品的個(gè)數(shù)，則表示取出次品的個(gè)數(shù)，則 X X的取值可的取值可能是能是0 0，1 1，2 2， pX=0= pX=1=3522315313CC351231512213CCC上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)29 pX=2= 所以所以X X的分布律為的分布律為 351315212113CCCX012P35

22、223512351上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)30P43習(xí)題習(xí)題2.2 一實(shí)習(xí)生用一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地一實(shí)習(xí)生用一臺(tái)機(jī)器接連獨(dú)立地制造了制造了3 3個(gè)不同的零件，第個(gè)不同的零件，第i i個(gè)零件是不合個(gè)零件是不合格的概率為格的概率為Pi=1/(i+1),(i=1Pi=1/(i+1),(i=1、2 2、3),3),以以X X表示表示3 3個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)，求個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)，求X X的分布的分布律。律。解解： 設(shè)設(shè)AiAi為第為第i i個(gè)零件為不合格品事件，顯個(gè)零件為不合格品事件，顯 然然A1A1、A2A2、A3A3為相互獨(dú)立事件。為相互獨(dú)立事件。 由題設(shè)可知由題設(shè)可知:X:X的取值只能是的取值

23、只能是0 0、1 1、2 2、3,3, P(A1)=1/2 P(A2)=1/3P(A1)=1/2 P(A2)=1/3 P(A3)=1/4 P(A3)=1/4 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)31 P(X=0)=1/24 P(X=1)=6/24 P(X=0)=1/24 P(X=1)=6/24 P(X=2)=11/24 P(X=3)=1/4 P(X=2)=11/24 P(X=3)=1/4 所以所以X X的分布列為的分布列為: : X 0 1 2 3 P1/24 6/2411/24 1/4上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)32P43習(xí)題習(xí)題2.3 一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)

24、有紅綠燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信設(shè)有紅綠燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)顯示的概號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)顯示的概率為率為1/21/2。以。以X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口數(shù)。路口數(shù)。上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)33解解: : X的取值為的取值為0,1, 2, 3PX=0=1/2X的概率分布為的概率分布為X 0 1 2 3P 1/2 1/4 1/8 1/8PX=1=1/21/2=1/4PX=2=1/21/21/2=1/8PX=3=1/21/21/2=1/8上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)34P P4343習(xí)

25、題習(xí)題2.42.4 將一枚硬幣連投將一枚硬幣連投n n次，次，X X表示表示n n次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，求次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，求X X的分布律。的分布律。解：解：X XB(n,1/2),則則X的分布律為的分布律為 X 0 1 2 . n-1 n P.12n12nnc22nnc12nnnc2nnnc上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)35求求X X的分布函數(shù)的分布函數(shù)P P4343習(xí)題習(xí)題2.5 2.5 已知離散型隨機(jī)變量已知離散型隨機(jī)變量X X的分布率為的分布率為 10.2P X 20.3P X 30.5P X 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)36 解解：由分布函數(shù)的定義，則：由分布函數(shù)的定義，則X X的分布函數(shù)的

26、分布函數(shù) 00.2()0.51F X112233xxxx上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)37 （1 1）求系數(shù)）求系數(shù)A A （2 2）X X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(xF(x) )P P4343習(xí)題習(xí)題2.62.6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X的密度為的密度為 cos( )20.Axxf x，其他上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)38 所以所以 A=1/2A=1/2（2 2）因?yàn)椋┮驗(yàn)椋? 1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?22( )cos1f x dxAxdx( )( )cosxxF xf t dtAtdt上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)39 所以所以0211( )sin222212xF xxxx上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)40求求X X的

27、分布函數(shù)。的分布函數(shù)。解：解： 當(dāng)當(dāng) X0 X0 X0 時(shí)時(shí)( )( )xF xf x dx001122xttedte dt112xe 102( )1012xxexF xxe上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)42P44習(xí)題習(xí)題2.8 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為求求:(:(1)A; (2)P0.3X0.7; (3)X的概率密度的概率密度f(wàn)(x)解解:(:(1)F(x)在在x=1點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù), ,由連續(xù)性得由連續(xù)性得: :所以所以, , A=1200( )011 1xF xAxxx 1) 1 ()(lim1FAxFx上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)430， x02x， 0 x3,3,

28、 則則P P( (A A)=)=P P X X3=3= 5331dx2/3125( )30 xXf x 其其它它設(shè)設(shè)Y Y表示三次獨(dú)立觀測(cè)中表示三次獨(dú)立觀測(cè)中A A出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù), ,則則. r v(3,2 3)YB(2,5)XU上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)54故所求為：故所求為：PY=2+PY=30333223)31()32()31()32(CC =20/27PY2=上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)55P P4444習(xí)題習(xí)題2.13 2.13 設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間的時(shí)間X(X(單位單位: :分分) )服從參數(shù)為服從參數(shù)為1/51/5的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，若等

29、待的時(shí)間超過(guò)若等待的時(shí)間超過(guò)1010分鐘，則他就離開(kāi)，設(shè)分鐘，則他就離開(kāi)，設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來(lái)銀行他一個(gè)月內(nèi)要來(lái)銀行5 5次，以次，以Y Y表示一個(gè)月內(nèi)表示一個(gè)月內(nèi)他沒(méi)有等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，求他沒(méi)有等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，求Y Y的分的分布律及布律及PY=1PY=1。上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)56解解（1 1）因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以 5( )1xF xe (10)(10)P XF102511ee ()P Yk2255() (1)kkkC ee,0,1,2,3,4,5k 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)57（2 2）Y Y是表示是表示1010分鐘內(nèi)等不到的次數(shù)，則分鐘內(nèi)等不到的次數(shù)，則 (1)P Y 25

30、1 (1)0.5167e 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)58P P4444習(xí)題習(xí)題2.14 2.14 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XN(108,3XN(108,32 2),),求：求：(1)(1)常數(shù)常數(shù)a a，使，使PXa=0.90;PXa=0.90;(2)P101.1x11.76.(2)P101.1x11.76.解解: :(1)(1)由題設(shè)可知由題設(shè)可知查表可知查表可知所以所以()( )P XaF a108()0.90,3a 1081.283a111.84a 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)59(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)?又因?yàn)橛忠驗(yàn)?所以所以(101.1117.6)PX(117.6)(101.1)FF117.6 1

31、08101.1 108()()33 ()1( )xx (101.1117.6)0.988PX上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)60P44習(xí)題習(xí)題2.15 某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)若要求某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)若要求2(160,)XN , ,若要求若要求1202000.8PX, ,問(wèn)許最大的多少？問(wèn)許最大的多少？解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?202000.8PX，即，即(200)(120)FF200 160120 160()()4040()() 4040()1() 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)6140()0.90 401.2831.20402 () 10.8 查表可知查表可知所以所以上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)62P44習(xí)題習(xí)題2.16 測(cè)

32、量到某一目標(biāo)的距離發(fā)生的隨機(jī)誤測(cè)量到某一目標(biāo)的距離發(fā)生的隨機(jī)誤差差X(m)具有概率密度具有概率密度 求：在三次測(cè)量中至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)求：在三次測(cè)量中至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)30m的概率。的概率。(20)320021( )40 2xf xe上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)63 解：誤差的絕對(duì)值不超過(guò)解：誤差的絕對(duì)值不超過(guò)30米的概率為米的概率為 所以誤差超過(guò)所以誤差超過(guò)30米的概率為：米的概率為： 1-0.4931=0.5069所以三次誤差絕對(duì)值都超過(guò)所以三次誤差絕對(duì)值都超過(guò)30米的概率為米的概率為( 3030)PX(30)( 30)FF30203020()()0.49314040 33

33、3(0.5069)C上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)64 因此三次測(cè)量中至少有一次誤差絕對(duì)值不超因此三次測(cè)量中至少有一次誤差絕對(duì)值不超過(guò)過(guò)30的概率為的概率為 3331(0.5069)0.869C上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)65內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比的長(zhǎng)度成正比. .P44習(xí)題習(xí)題2.17 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于的絕對(duì)值不大于1 1 ；在事件在事件-1-1X11出現(xiàn)的條件下，出現(xiàn)的條件下， X在在(- -1,1)試求試求: :(2)(2) X取負(fù)值的概率取負(fù)值的概率P (1)1/8 ,(1)1/4;P XP X (1)(1)X

34、的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x) 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)66解解由題設(shè)知由題設(shè)知設(shè)設(shè)于是于是(1) 當(dāng)當(dāng)1,x ( )()( )0F xP XxP 當(dāng)當(dāng)1,x ( )()()1F xP XxP 當(dāng)當(dāng)11,x ( 11)( 11)(1)(1)PXPXP XP X 11/81/45/8( 111)(1)PXxXk x 上式中令上式中令 得得1x 12k 1/2k( 111)(1)/2PXxXx 推導(dǎo)較復(fù)雜先做準(zhǔn)備工作推導(dǎo)較復(fù)雜先做準(zhǔn)備工作.上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)67) 11,1( XxXP)1() 1()(xXPFxF ) 11(XP) 111( XxXP2/ ) 1)(8/5( x又又) 1()

35、 1() 1() 1( XPXPXPF8/18/10 于是當(dāng)于是當(dāng) 時(shí)，時(shí)，11 x.16/ )75() 1()1()( xFxXPxF16/ ) 55 (x上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)681,0 x1,1 x11,16/ ) 75( xx )(xF1011)(xFx(2)(2).16/ 7) 00 ()00 () 0 () 0 ( FFFF)0()0()0( XPXPXPp上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)69P45習(xí)題習(xí)題2.18 設(shè)設(shè)XB(3,0.4),求下列隨機(jī)變量的分布律求下列隨機(jī)變量的分布律 1、Y1=X2 2、Y2= X2- -2X 3、Y3=3X- -X22解：解：X的概率分布為的概率分布為

36、PX=k= 列表如下：列表如下：X0123X20149X2- -2X0- -1033X- -X220110概率概率0.2160.4320.2880.064. 3 , 2 , 1 , 0;6 . 04 . 033kCkkk上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)70Y1 0 1 4 9P0.216 0.432 0.288 0.064Y2 - -1 0 3P0.432 0.504 0.064Y3 0 1P0.28 0.72則有則有Y1 ，Y2 ，Y3的分布律分別為的分布律分別為上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)71P45習(xí)題習(xí)題2.19 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量Y= 的概率

37、密度函數(shù)。的概率密度函數(shù)。解：解：先求先求Y的分布函數(shù)的分布函數(shù)FY(y)=PY y=P y0( )00 xexf xx （1）當(dāng)）當(dāng)y1時(shí)時(shí)， =P(X0)=0(2) 當(dāng)當(dāng)y 1時(shí)時(shí),FY(y)= P(X lny)=XeXe)(yFYydxedxeyyxx11lnln0上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)72所以所以Y的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為即即yYFY110)(11yy210)(yxf11yy上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)73第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)74P72習(xí)題習(xí)題3.1 箱子里裝有箱子里裝有1212只開(kāi)關(guān)，其中只有只開(kāi)關(guān)，其中只有2 2 只只

38、次品，從箱中隨機(jī)地取兩次，每次取一只，且設(shè)隨次品，從箱中隨機(jī)地取兩次，每次取一只，且設(shè)隨機(jī)變量機(jī)變量X X，Y Y為為 .1,0,Y;1,0,X若第二次取得次品若第二次取得正品，若第一次取得次品若第一次取得正品，試就放回抽樣與不放回抽樣兩種情況，寫(xiě)出試就放回抽樣與不放回抽樣兩種情況，寫(xiě)出X與與Y的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律.上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)75解解:先考慮放回抽樣的情況先考慮放回抽樣的情況.3611221221Y1,PX,36512101220Y1,PX,36512212101Y0,PX,3625121012100Y0,PXXY01025/365/3615/361/36則則X,Y的聯(lián)合分布

39、律為：的聯(lián)合分布律為：上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)76再考慮不放回抽樣的情況再考慮不放回抽樣的情況 .6611111221Y1,PX,33511101220Y1,PX,33511212101Y0,PX,221511912100Y0,PXXY01015/225/3315/331/66則此種情況下，則此種情況下，X與與Y的聯(lián)合分布律為：的聯(lián)合分布律為：上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)77P72習(xí)題習(xí)題3.2 將一硬幣連擲三次，以將一硬幣連擲三次，以X表示在三次中表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)表示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，試寫(xiě)出與出現(xiàn)反面次數(shù)之差

40、的絕對(duì)值，試寫(xiě)出（X,Y）的的聯(lián)合分布律及邊緣分布律聯(lián)合分布律及邊緣分布律. 解解: : 已知可得：已知可得：X的取值可能為的取值可能為0，1，2，3；Y= Y 的取值可能為的取值可能為1，3；硬；硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率各為幣出現(xiàn)正面和反面的概率各為 ，可知，可知21| 32 | | )3 (|XXX上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)78.812121213Y3,PX0;1Y3,PX0;3Y2,PX;83212121C1Y2,PX0;3Y1,PX;83212121C1Y1,PX;812121213Y0,PX);0(1Y0,PX2313發(fā)生此情況不可能上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)79Y13X 0 1 2 3

41、 0 3/8 3/8 0 6/8 1/8 0 0 1/8 2/8 1/8 3/8 3/8 1/8 1聯(lián)合概率分布表為聯(lián)合概率分布表為: :jp ip上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)80解：解：由已知可得：由已知可得：X的取值可能為的取值可能為0，1，2，3；Y的取值可能為的取值可能為0，1，2，3；則；則;2713131313Y0,PX;91313131C2Y0,PX;91313131C1Y0,PX;2713131310Y0,PX2313P72習(xí)題習(xí)題3.3 把三個(gè)球隨機(jī)地投入三個(gè)盒子中去，把三個(gè)球隨機(jī)地投入三個(gè)盒子中去，每個(gè)球投入各個(gè)盒子的可能性是相同的，每個(gè)球投入各個(gè)盒子的可能性是相同的，設(shè)隨機(jī)變

42、量設(shè)隨機(jī)變量X與與Y分別表示投入第一個(gè)及第分別表示投入第一個(gè)及第二個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)，求二維隨機(jī)變量二個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布及邊緣分布的概率分布及邊緣分布. .上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)810.3Y3,PX2Y3,PX1Y3,PX;271313131C0Y3,PX0;3Y2,PX2Y2,PX;91313131C1Y2,PX;91313131C0Y2,PX0;3Y1,PX;91313131C2Y1,PX;92313131CC1Y1,PX;91313131C0Y1,PX33232313121313上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)82則二維隨機(jī)變量則二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率

43、分布及邊緣分布為的概率分布及邊緣分布為XY012301/271/91/91/278/2711/92/91/904/921/91/9002/931/270001/278/274/92/91/271jp ip上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)83P72習(xí)題習(xí)題3.4 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度為的概率密度為.0,4,y22,x0y),x(681y)f(x,其它求：求： (1) P(x,y)D, 其中其中D=(x,y)|x1,y3; (2) P(x,y)D, 其中其中D=(x,y)|x+y3.上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)8483y)dxdyx(681y)dxdyf(x,Dy)P(x,103213 245y)dxdy

44、x(681y)dxdyf(x,Dy)P(x,10 x32D 解：解：（1） （2） 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)85其它.0,Ryx),yxc(Ry)f(x,22222Rrryx222P72習(xí)題習(xí)題3.5 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度為的概率密度為 求：求： (1)系數(shù)系數(shù)c； (2)(X,Y)落在圓落在圓內(nèi)的概率內(nèi)的概率.上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)86, 1y)dxdyf(x,1,dxdy)yxc(R222Ryx223R3c ,222ryx|y)(x,D)3R2r(1R3)dxdyyx(RR3y)dxdyf(x,DY)P(X,3ryx223D222解：解：（1 1） 由由得得可求得可求得（2 2） 設(shè)

45、設(shè)則則上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)87P72習(xí)題習(xí)題3.6 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X和和Y的聯(lián)合概率密的聯(lián)合概率密度為度為其他.0,1,y1,0 x04xy,y)f(x,求求X和和Y的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù) 。解：解：隨機(jī)變量隨機(jī)變量X和和Y的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為其他.0,1,y1,0 x04xy,y)f(x,當(dāng)當(dāng)x0,x0,或或y0y0時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(x,yF(x,y)=0;)=0;當(dāng)當(dāng)1y1,0 x0時(shí)時(shí)，;22x0y0yx4XYdXdY=y Yx, PX=y)F(x, 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)881y1,x0;2x010 x4XYdXdY=y Yx, PX=y)F(x, 1y1,

46、0 x;210y0y4XYdXdY=y Yx, PX=y)F(x, 1;4XYdXdY=y Yx, PX=y)F(x,1010 1y1,x 11y1,0 x y1y1,x0 x1y1,0 x0 yx0y0,x0=y)F(x,2222或當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，綜上可得，綜上可得，X X和和Y Y的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為1y1,x當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)89P72習(xí)題習(xí)題3.7 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為其他.0,6,y6,0 x0y),k(xy)f(x,（1）求常數(shù)）求常數(shù)k；（2）求）求 P0 x2,1y3;（3）求）求X,Y的邊緣概率密度；的

47、邊緣概率密度；（4）判斷）判斷X與與Y是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立.上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)90 1y)dxdyf(x,1,y)dxdyk(x6060 2161=k1216k解：解：（1 1） 由概率密度的性質(zhì)有由概率密度的性質(zhì)有 即即有有（2） 2031181y)dxdy(x21613y2,1xP0上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)91y)dyf(x,(x)fX;363xy)dy(x2161(x)f60X0.(x)fX.0,6,x0,363x(x)fX其他 (3) X (3) X的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為當(dāng)當(dāng)0 x60 x6時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)x0 x0或或x6x6時(shí)，顯然有時(shí)，顯然有上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一

48、頁(yè)92y)dxf(x,(y)fYY Y的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為;363yy)dy(x2161(y)f60Y0.(y)fY其他.0,6,y0,363y(y)fY當(dāng)當(dāng)0y60y0時(shí)時(shí),( )( , )Xfxf x y dy yxedy .xe , 0( )0, 0 xXexfxx P73習(xí)題習(xí)題3.10 設(shè)設(shè) (X,Y)的概率密度為的概率密度為上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)1011( , )( , )|1DP XYf x y dxdyDx yxy 其其中中y)dxf(x,(y)fY0(y)fYy0yyYyedxe(y)f0yye0y0 (y)fyYY的邊緣概率密度的邊緣概率密度為為當(dāng)當(dāng)y0時(shí)，時(shí)

49、，當(dāng)，當(dāng)y0時(shí)，時(shí)，所以所以Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度而而11/2112012xyxdxedyee 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)102P73習(xí)題習(xí)題3.11 設(shè)設(shè)X,Y相互獨(dú)立，其概率密度為相互獨(dú)立，其概率密度為0.y, 00,y ,e(y)f其他;0,1,x01,(x)fyYX求求Z=X+Y的概率密度的概率密度. . x)dx(z(x)ff(z)fYXZ0)xz ,1x00(z)fZ時(shí)當(dāng)解：解：由已知得由已知得 當(dāng)當(dāng)z1z1時(shí)，時(shí)，Z=X+YZ=X+Y的概率密度為的概率密度為上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)104此種類型的題目建議先求分布函此種類型的題目建議先求分布函 數(shù)在求導(dǎo)得密度函數(shù)數(shù)在求導(dǎo)得密

50、度函數(shù) 解：解：X與與Y獨(dú)立，則獨(dú)立，則 其它00, 10)()(),(yxeyfxfyxfyYX則則 zyxZdxdyyxfzYXPzF),()()(上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)105易求 100100110)(xzzzyzxzzyZeedyedxezdyedxzF1100zzz上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)106從而從而1z1)e(e1z0e10z0(z)fzzZ上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)107P73習(xí)題習(xí)題3.12 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為的概率密度為其他.0,1,xx,0y03x,y)f(x,求求Z=X-Y的概率密度的概率密度. .zYXzxZy)dyf(x,dxy)dxdyf(

51、x,zYPXzPZ(z)F解：解： Z=X-Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)108其他.0,1,xx,0y03x,y)f(x,.0,1,z0),z(123(z)f2Z其他Z=XZ=XY Y的概率密度為的概率密度為 12123330)(0013zxzxzxZzzxdydxxdydxzF1100zzz上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)109 222221, ,2xyfx yex y P73習(xí)題習(xí)題3.13 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度為為求求Z=X2+Y2的的概率密度。概率密度。上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)11022( )()ZFzP XYz222220012r

52、zderdr 222201rzerdr 222222212xyxyzedxdy 221.ze ( )( )ZZfzFz 2221,02zez 0,0z 0Z 0zYPXzPZ(z)F22Z時(shí)，時(shí)， Z 0時(shí)，時(shí)，解解: 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng)上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)1111y2,0 x0|yx,G其他.0,1，y2,0 x0,21y)f(x,sxyy)dxdyf(x,sPXYsPSs)F(P73習(xí)題習(xí)題3.14 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）在矩形在矩形上服從均勻分布，試求邊長(zhǎng)為上服從均勻分布，試求邊長(zhǎng)為X和和Y的矩形面積的矩形面積S的的概率密度概率密度f(wàn)(s).解：解：由已知可得隨機(jī)變量由已知可

53、得隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為的概率密度為設(shè)邊長(zhǎng)為設(shè)邊長(zhǎng)為X和和Y的矩形面積的矩形面積S的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(s)，則，則上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)1120.F(s)0S 時(shí)，當(dāng)2slns)(ln22s2sdx2xsdy21dxdy21dxy)dyf(x,dxF(s)2s2sxs0s01020 xs01)xs1(dy21dxF(s)2S20 xs0時(shí)，當(dāng)2s0,s0,2s0lns),(ln221f(s)或 矩形面積矩形面積S的概率密度為的概率密度為時(shí)，當(dāng)2S0上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)113P73P73習(xí)題習(xí)題3.3.15 設(shè)設(shè)X和和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且為兩個(gè)隨機(jī)變量，且,740PY0XP

54、,730Y0,XP.0Y)max(X,P求求解：解：0Y0,XP0Y0,XP0PX173740Y0,XP0PX0Y0,XP710Y0,XP同理可得同理可得上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)1140Y)max(X,P10Y)max(X,P.757210Y0,X0,XP0Y0,XP0Y0,XP0Y0,XP又又10Y0,XP上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)115 22100100121, ,2100yxfx yex y 求求： (1) P X0的指數(shù)分布，當(dāng)三個(gè)元件都無(wú)故障的指數(shù)分布，當(dāng)三個(gè)元件都無(wú)故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作。時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作。試

55、求電路正常工作的時(shí)間試求電路正常工作的時(shí)間T的概率分布。的概率分布。 , 0,0, 0.xexfxx 解解：三個(gè)元件都無(wú)故障工作時(shí)間分別為三個(gè)元件都無(wú)故障工作時(shí)間分別為X,Y,Z,則則 T=min(X,Y,Z),且且X,Y,Z的概率密度都為的概率密度都為上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)13031.te 則則 TFtP Tt1P Tt1 P Xt P Yt P Zt 311XFt故故T服從參數(shù)為服從參數(shù)為30的指數(shù)分布的指數(shù)分布,即概率密度為即概率密度為 33, 0,0, 0.tetf tt 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)131第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)132P

56、89習(xí)題習(xí)題4.1解：設(shè)所需比賽場(chǎng)數(shù)為解：設(shè)所需比賽場(chǎng)數(shù)為X,則則X的分布律為的分布律為X45671/81/45/165/16P解：設(shè)所需比賽場(chǎng)數(shù)為解：設(shè)所需比賽場(chǎng)數(shù)為X,則則X的分布律為的分布律為169316571656415814)(XE上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)133P89習(xí)題習(xí)題4.2解：由題意知，解：由題意知，10個(gè)電子元件中有個(gè)電子元件中有2個(gè)次品，所以個(gè)次品，所以在取得正品前已取出次品數(shù)在取得正品前已取出次品數(shù)X的取值有三種情況，的取值有三種情況，即即X=0, X=1 X=2. ,458910821,54019110181211018CCCCXPCCXP,4518910822181

57、9110181112CCCCCCXP上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)134則則X的分布律為的分布律為X0124/58/451/45PX X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為92451045124581540)(XE上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)135P89習(xí)題習(xí)題4.3解：乘客侯車(chē)時(shí)間的隨機(jī)變量X在區(qū)間0,5服從均勻分布，其密度函數(shù)為505 . 25)(x)(dxxdxxfXE其他,0,50,51)(xXf上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)136635)(12255 . 2325)()()(22XDXEXEXD502223255)(x)(dxxdxxfXE5351330dxXP(2) （2）上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)137解：由

58、題意可知，04442sin21)()()(xdxxdxxfxXEYE0222sin21)()()(xdxxdxxfxXEYE2044)()()(2222YEYEYDP89習(xí)題習(xí)題4.4上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)138P90習(xí)題習(xí)題4.5解：(1)由密度函數(shù)的性質(zhì)得13)a, 1)(102abdxbxdxxf（即5324)a)()(102abdxbxxdxxxfXE（又由又由.56,53ba上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)139（2）當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=0, 當(dāng)0 x1時(shí)， xxdxxfxFx5352)()(3故故X的分布函數(shù)的分布函數(shù).1, 1, 10,5352,0,0)(3xxxxxxF 上一頁(yè)上一頁(yè)

59、下一頁(yè)下一頁(yè)140（3）（4）15352)(110dxxfXP2511| )5256()5653()(10351022xxdxxXE2522592511)()()(22XEXEXD上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)141P90習(xí)題習(xí)題4.6解：隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為., 0,2 , 0,21)(其他xxf. 0| )cos(2121sin)(sinE2020 xdxxx上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)142P90習(xí)題習(xí)題4.7解：由題意可知：解：由題意可知：00000212212)(2)(2)(2)2 (dxexdxexdxxxfdxxxfdxxxfXExx001)21()21()(|)(|dxexdxexdxxfxXExx0202|231)21()21()(dxeedxeeeE