第四章(水文統(tǒng)計基本方法)

1、 第四章 水文統(tǒng)計基本方法 概率的基本概念 隨機變量及其概率分布 水文頻率曲線線型 P型分布參數(shù)估計 水文頻率計算適線法 相關分析 第一節(jié) 概述 一、一、水文現(xiàn)象的隨機性： 二、二、概率論和數(shù)理統(tǒng)計學在水文分析中的應用： 三、三、水文統(tǒng)計解決的問題： 給定樣本，求指定頻率的設計值值 例：求指定頻率的設計洪水。 方法方法：確定頻率曲線。 資料插補展延 方法方法：建立變量間的相關關系 第二節(jié) 概率的基本概念 一、一、事件 指在一定條件組合下，隨機試驗的結果。 分為：必然事件、不可能事件、隨機事件。 水文測驗可看作隨機試驗。 二、二、概率 反映隨機事件出現(xiàn)的可能性大小的數(shù)量標準： 三、三、頻率 對于

2、水文現(xiàn)象，用頻率作為概率的近似值：nkAP)(nmAw)( 第三節(jié) 隨機變量及其概率分布 一、隨機變量 隨試驗結果而發(fā)生變化的變量，用 X 表示，取值用 表示 。 例：水文特征值：年徑流、洪峰流量。 離散型隨機變量： 連續(xù)型隨機變量：水文特征值屬連續(xù)型隨機變量。 ix 二、隨機變量的概率分布 隨機變量的取值與其概率的對應關系，稱為隨機變量的概率分布。用 表示。 對于水文變量對于水文變量；常研究大于等于某一取值常研究大于等于某一取值 x 的概的概率率 ，即： )(xF)(xF 水文上通常稱隨機變量的水文上通常稱隨機變量的累積頻率曲線，簡稱簡稱頻率曲線。 )(xF 三、概率分布函數(shù)與概率密度函數(shù)的

3、關系 概率分布函數(shù)導數(shù)負值，稱為概率密度函數(shù)概率分布函數(shù)導數(shù)負值，稱為概率密度函數(shù)。 四、隨機變量的統(tǒng)計參數(shù) 總體統(tǒng)計參數(shù)、樣本統(tǒng)計參數(shù) 均值、均方差、變差系數(shù)、偏態(tài)系數(shù) 總體：隨機變量所有取值的全體。 樣本：從總體中抽取的一部分。 樣本容量：樣本包括的項數(shù)，樣本大小。 水文樣本系列： 統(tǒng)計參數(shù)是樣本統(tǒng)計參數(shù)。均值( )：定義模比系數(shù)：xxxKii則：nKKKKnnnii21111 表示系列表示系列平均情況平均情況2.均方差()：nxxnii12)(例4-1： 5， 10 ，15 x=10 =4.08 1， 10， 19 x=10 =7.35 反映系列中各變量值相對集中或離散的程度 3. 變差

4、系數(shù)（Cv）： 例4-2： 5， 10， 15 x=10 =4.08 Cv=0.48 995，1000，1005 x=1000 =4.08 Cv=0.0048 反映系列中各變量值相對集中或離散的程度nKCniiv12)1( 4.偏態(tài)系數(shù)（Cs）: 313)1(vniisnCKC反映系列在均值兩邊的對稱程度樣本系列13002200318541655150例4-3：計算系列的統(tǒng)計參數(shù)均值、均方差、變差系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)。ixnx1nKCniiv12)1(313)1(vniisnCKC樣本系列統(tǒng)計參數(shù)計算樣本系列(xi-x)2(xi-x)3KiKi-1(Ki-1)313001000010000001.5

5、0.50.1252200001003185225-33750.925-0.075-0.0004218741651225-428750.825-0.175-0.0053593851502500-1250000.75-0.25-0.015625均值20027901657500.10359375均方差52.8 變差系數(shù)0.2641021.12 偏態(tài)系數(shù)1.12 第四節(jié) 水文頻率計算 一、水文頻率分布線型 1.正態(tài)曲線或正態(tài)分布：2.皮爾遜型分布曲線（ P-)1.正態(tài)曲線或正態(tài)分布：密度函數(shù)：密度曲線：2.皮爾遜型分布曲線（ P-)一端有限，一端無限的不對稱單峰曲線)21 (2402svsvSCCxa

6、CCxC可以推證： 形狀、尺度、位置參數(shù) 水文計算中： 一般需求出指定頻率P所對應的隨機變量 取值，即 。例如：求頻率為1%（百年一遇）的設計洪峰流量 。這就需要對密度曲線進行積分，求出等于及大于 的累積頻率 P值，即：pxpxP ?%1pxPxPPdxxfxXPxF)()()(px 即求出的 應滿足 ：令： ，是均值為零，標準差為1的 標準化變量（離均系數(shù)）則有:)1 (vCxx px 取決于 四個參數(shù)。px0aP、 該式包含CS、P與 p的關系，根據(jù)擬定CS值，可得不同 P 的 p 值，附錄1。 頻率計算時，由估計的 和CV值，通過下式即可求出與各種P相應的 值，然后繪頻率曲線。xpx)1

7、 (pvpCxxxKCxxppvp)1 ( P 頻率曲線的繪制： 根據(jù)統(tǒng)計參數(shù) ，求不同頻率 對應的值：xCCVs、 然后在頻率格紙上繪曲線，橫坐標為頻率，縱坐標為水文特征值。 例4-4：某站年徑流系列符合P-型分布，如已知該系列的R=650mm， CV=0.25 ，CS=2Cv，試繪頻率曲線。 解：當CS=2Cv=0.5時，查附錄1，得不同頻率下的p ，代入下式求Xp：)1 (pvpCxxP0.010.10.20.330.512p4.833.813.483.253.042.682.31Xp144312741215.51176.51150.51085.51027P10205075909599p

8、1.320.81-0.08-0.71-1.22-1.49-1.96Xp864.5780637533455409.5338 二、P型分布參數(shù)估計 用有限的樣本觀測資料估計總體分布線型中的參數(shù)，如PP型的 、CV、CS 。 1、矩法 用樣本矩估計總體矩，并通過矩與參數(shù)之間的關系，來估計頻率曲線的參數(shù)。 均值 的無偏估計：xx CV的無偏估計量： CS 的無偏估計量：1)1(12nKCniiv313)3()1(vniisCnKC 抽樣誤差： 由隨機抽樣引起的誤差，稱為抽樣誤差。 以均值為例；抽樣誤差定義為：), 2 , 1(kixxxii總 樣本均值是隨機變量,抽樣誤差也為隨機變量。抽樣誤差近似服從

9、正態(tài)分布。 可以證明， 系列的均方差 可作為度量抽樣誤差的指標，稱為均方誤。 各參數(shù)的均方誤（抽樣誤差）各參數(shù)的均方誤（抽樣誤差）：x)165231(6243212431242222ssCsvsvvCsxCCnCCCCnCCnnsv), 2 , 1(kixiCV=2CS時樣本參數(shù)的均方誤(相當誤差，%）cv 參數(shù)均值變差系數(shù)偏態(tài)系數(shù)1005025101005025101005025100.1112371014221261782523990.33469710152351721021620.557101681116254158821300.77101422912172740568012611014

10、2032101420324260851342、適線法 根據(jù)估計的頻率分布曲線和樣本經驗點據(jù)配合最佳來優(yōu)選參數(shù)的方法。 經驗頻率曲線 由實測樣本資料繪制的頻率曲線。 繪制: 設某水文要素（如年徑流量）的實測系列共 n 項，按由大到小的次序排列為x1、x2、.、x m、.、x n。第m項的經驗頻率就是在系列中大于及等于樣本 x m 的項數(shù)出現(xiàn)次數(shù)（m次）與樣本容量（n）之比值，即 當m=n時，p=100%，即樣本的末項 xn是總體中的最小值，顯然不符合實際，因為隨著觀測年數(shù)的增多，總會出現(xiàn)更小的數(shù)值。對上式進行修正，有：數(shù)學期望公式： 在頻率格紙上以系列各項的頻率為橫坐標、各項的值為縱坐標點圖，再

11、通過點群中心目估繪光滑曲線即經驗頻率曲線。年份年最大洪峰流量序號由大到小排列經驗頻率（1）（2）（3）（4）（5）1961720126509.1 196210802206018.2 196310303144027.3 196412504142036.4 196514405137045.5 196614206125054.5 196711207112063.6 196820608108072.7 196913709103081.8 197026501072090.9 例例45某樞紐年最大洪峰流量經驗頻率曲線某樞紐年最大洪峰流量經驗頻率曲線 頻率與重現(xiàn)期的關系: 水文上常用“重現(xiàn)期”來代替“頻率”

12、 1. 當研究暴雨或洪水時（一般P50%） 2. 當研究枯水或年徑流時（一般 P50%） 例如: 當某一洪水的頻率為P=1%時，則T=100年，稱此洪水為百年一遇洪水，表示大于等于這樣的洪水平均100100年會遇到一次。 對于p=80%的枯水流量，則 T=5 年，稱作以五年一遇枯水流量作為設計來水的標準。表示小于等于這樣的流量平均5 5年會遇到一次。說明具有80%的可靠程度。PT1PT11 適線法（配線法） 適線法： 是以經驗頻率點據(jù)為基礎，在一定的適線準則下，求解與經驗點據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù)，得到一條理論頻率曲線。 目估適線法、優(yōu)化適線法。 目估適線法步驟: 1）將實測資料由大到小排列，

13、計算各項的經驗頻率，在頻率格紙上點繪經驗點據(jù)。 2）選定水文頻率分布線型（一般選用P-型）。 3）初估一組參數(shù) 、CV、CS。 為了使初估值大致接近實際，可用矩法或其它方法求出3個參數(shù)，作為3個參數(shù)第一次的假定值。 當用矩法估計時，因CS的抽樣誤差太大，一般不計算CS，而是根據(jù)經驗假定CS為CV的某一倍數(shù)（如CS =2 CV ）。x 4）根據(jù)假定的 、 CV 、 CS ，查附表計算xP值，以x P為縱坐標，p為橫坐標，即可得到頻率曲線。 將此線畫在繪有經驗點據(jù)的圖上，看與經驗點據(jù)配合的情況，若不理想，則修改參數(shù)（主要調整CV 、 CS ）再次進行計算。 5）最后根據(jù)頻率曲線與經驗點據(jù)的配合情況

14、，從中選擇一條與經驗點據(jù)配合較好的曲線作為采用曲線。相應于該曲線的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估值。 x 統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響： 1）均值 對頻率曲線的影響x 1.均值大的位于小的之上。 2.均值大的較小的陡。 2）CV對頻率曲線的影響 1.隨著CV的增大,頻率曲線越來越陡。3）CS對頻率曲線的影響 1. CS越大,均值(K=1)對應的頻率越小，頻率曲線中部越向左偏，且上段 越陡，下段越平緩。三、計算實例：某樞紐處最大洪峰流量頻率計算某樞紐處年最大洪峰流量計算表年份洪峰流量序號排序模比系數(shù)（Ki)Ki-1(Ki-1)2頻率（P）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）1945154012

15、7502.207 1.207 1.4562 4.5 1946980223901.918 0.918 0.8424 9.1 19471090318601.493 0.493 0.2426 13.6 19481050417401.396 0.396 0.1570 18.2 19491860515401.236 0.236 0.0556 22.7 19501140615201.220 0.220 0.0483 27.3 1951790712701.019 0.019 0.0004 31.8 19522750812601.011 0.011 0.0001 36.4 1953762912100.971

16、-0.029 0.0008 40.9 195423901012000.963 -0.037 0.0014 45.5 195512101111400.915 -0.085 0.0073 50.0 195612701210900.875 -0.125 0.0157 54.5 195712001310500.843 -0.157 0.0248 59.1 195817401410500.843 -0.157 0.0248 63.6 1959883159800.786 -0.214 0.0456 68.2 19601260168830.709 -0.291 0.0849 72.7 19614081779

17、40.637 -0.363 0.1317 77.3 19621050187900.634 -0.366 0.1340 81.8 19631520197620.611 -0.389 0.1510 86.4 1964483204830.388 -0.612 0.3751 90.9 1965794214080.327 -0.673 0.4524 95.5 總計261702617021.00 0.000 4.252 均值1246 變差系數(shù)0.46 1、矩法估計參數(shù)洪峰頻率曲線選配計算表頻率 P（%）第一次配線第二次配線第三次配線Q=1246 CV=0.5 CS=2CV=1.0Q=1246 CV=0.6

18、 CS=2CV=1.2Q=1246 CV=0.5 CS=2.5CV=1.5（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）12.513127 2.893601 33738 51.942417 2.152679 2.172704 101.672081 1.82243 1.82243 201.381719 1.441794 1.421769 500.921146 0.891109 0.861072 750.64797 0.56698 0.56698 900.44548 0.35436 0.39486 950.34424 0.26324 0.32399 990.21262 0.13162 0.24299

19、第五節(jié) 相關分析 一、相關關系的概念 1、相關分析： 研究兩個或多個隨機變量之間的聯(lián)系。例如：降雨與徑流之間、上下游洪水之間、水位與流量之間等。 水文計算中的應用應用：資料的插補展延、水文預報等。 2、注意的問題注意的問題： 必須先分析變量在成因上是否有聯(lián)系。 3、兩變量之間關系(簡單相關) 二、簡單直線相關關系 方法： 相關圖解法 相關分析法 1、相關分析法 最小二乘法最小二乘法確定參數(shù)確定參數(shù)a、b。 設設：兩變量之間的相關關系為：兩變量之間的相關關系為： 原理：在所有觀測點與配合的直線在縱軸方向的離差平方和最小的前提下求a、b：觀測點與配合的直線在縱軸方向的離差離差為：為極小值。 欲使上式取得極小值，可分別對a和b求一階導數(shù)，并使其等于零，即令：得方程組解方程組，可得：r：相關系數(shù)。將a、b代入是回歸線的斜率，一般稱為y倚x的回歸系數(shù)，記為： 即：2、相關分析的誤差 1. 回歸線的誤差 常用均方誤表示。 y