微分方程例題

1、例例. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得兩邊積分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始條件得由初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )故所求特解為故所求特解為 1)0(y自行填充空白處的顏色例例. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu則則yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2Cxutan解得解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )所求通解所求通解:例例:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分離變量分離變量x

2、eyexyddCeexy即即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有故有ueu1積分積分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )所求通解所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (例例. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有則有22uuuxu分離變量分離變量xxuuudd2積分得積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解代回原變量得通解即即Cuux )1(yCxyx)(說明說明: 顯然顯然 x = 0 , y = 0 , y = x

3、也是原方程的解也是原方程的解, 但但在在(C 為任意常數(shù)為任意常數(shù))求解過程中丟失了求解過程中丟失了. 例例. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同號,d2d,0 xxxx時當(dāng)yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一階線性方程通解公式通解公式 , 得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可變形為0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy 所求通解為 )0(CCeyyxyCyln這是以x為因變量, y為 自變量的一階線性方程思考與練習(xí)思考與練習(xí)判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4

4、(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程221dd2xyxxy線性方程221dd2yxyyx線性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程例例. 求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 這是一個全微分方程 .用湊微分法求通解. 將方程改寫為0ddd2xxyyxxx即, 0d21d2xyx故原方程的通解為021d2xyx或Cxyx221,xQ思考思考: 如何解方程?0dd)(3yxxyx這不是一個全微分方程 ,12x就化成上例 的方程 .但若在方程兩邊同乘備用題備用題 解方程.0d)(dyxyxy解法解法1 積

5、分因子法. 原方程變形為0d)dd(yyyxxy取積分因子21y0ddd2yyyyxxy故通解為Cyyxln此外, y = 0 也是方程的解.解法解法2 化為齊次方程. 原方程變形為xyyxyddxyxy1,xuy 令，則uxuyuuuxu1xxuuudd)1 (2積分得Cxuulnln1將xyu 代入 ,Cyyxln得通解此外, y = 0 也是方程的解.解法解法3 化為線性方程.原方程變形為11ddxyyx1,1QyPyyexd1 ) 1(yyed1Cy dyyyCd1yCyln其通解為yxxPed)(CxexQxxPd)(d)(即此外, y = 0 也是方程的解.Cyyxln例例. .c

6、os2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC例例. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為對于 1,nnyxfy型方程(n2)，可以令pyn1.,pxfp 得如果能求出其通解,1Cxp,11Cxy

7、n逐次積分n-1次，就可得到原方程的通解,332211nnnnCxCxCdxCxy其中C1,C2.,Cn為任意常數(shù).例例. 解初值問題解解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得yeppydd2積分得1221221Cepy利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)yepxydd積分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解為xey1得例例.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解為xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例.0)4()5( yy

8、解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不難看出, 原方程有特解), 132xexxx02)(22222rr例例. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根為),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC備用題備用題,2cos,2,321xyexyeyxx求一個以xy2sin34為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解 .解解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :,

9、121 rrir24, 3因此特征方程為2) 1( r0)4(2r即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程為其通解為xCxCexCCyx2sin2cos)(4321常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例.提示提示:3231,yyyy都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān) . (反證法可證)3322311)()()(yy

10、yCyyCC(89 考研考研 )3322311)()()(yyyCyyCD例例. 已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 個解,2321xxeyeyxy求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy與是對應(yīng)齊次方程的解, 且xexeyyyyxx21312常數(shù)因而線性無關(guān), 故原方程通解為)()(221xeCxeCyxxx代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解為有三 例例.0) 1( yyxyx的通解為,21xeCxCY 的通解.解解: 將所給方程化為:1111 xyxyxxy已知齊次方程求2) 1() 1( xy

11、yxyx),()(21xvexvxyx令利用,建立方程組: 021vevxx121xvevx, 121xexvv解得積分得xexCvxCv) 1(,2211故所求通解為) 1(221xxeCxCyx) 1(221xeCxCx例例.42)( )2(xyyxxyx 求方程的通解.解解: 對應(yīng)齊次方程為0)( )2(2 yyxxyx由觀察可知它有特解:,1xy 令, )(xuxy 代入非齊次方程后化簡得xuu 此題不需再作變換. 特征根:, 1, 0rr設(shè)的特解為)(BAxxu于是得的通解: )(22121xxeCCux故原方程通解為 (二階常系數(shù)非齊次方程二階常系數(shù)非齊次方程)代入可得: 1,21

12、BA)(232121xxexCxCuxyx例例1.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0例例2. 求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本題特征方程為, 02323rrr其根為設(shè)非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故對應(yīng)齊次方程通解為1CY xeC2xeC23原方程通解為x211Cy x

13、eC2xeC23由初始條件得0432CC,0于是所求解為xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC例例4 xxyy2cos 求方程的一個特解 .解解: 本題 特征方程, 2, 0故設(shè)特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比較系數(shù) , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個特解13 a043cb03 c043ad0 cb例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解

14、解: 特征方程為, 092r其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù), 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設(shè)非齊次方程特解為例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以設(shè)非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(

15、22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:思考與練習(xí)思考與練習(xí)時可設(shè)特解為 xxxfcos)() 1當(dāng)xexxxf22cos)()2當(dāng)xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 時可設(shè)特解為 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 設(shè)sin)(cos)(xxRxxRmm2. 已知二階常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 將特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比較系數(shù)得01baca 201ba0a1b2c故原方程為xeyy2 對應(yīng)齊次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解為xxeCeCy21xex例例1. .ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,tex 令,ln xt 則,ddtD 記則原方程化為ttyyDyDD222) 1(2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2, 121rr則對應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程, 0232 rrttyDD2)23(22即 tteCeC