專題二次函數(shù)應(yīng)用題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題二次函數(shù)應(yīng)用題一、引言 數(shù)學(xué)源于實(shí)際，數(shù)學(xué)的發(fā)展主要依賴于生產(chǎn)實(shí)踐。從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度來處理數(shù)學(xué)、闡釋數(shù)學(xué)、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)，可以提高理論知識的可利用水平，增強(qiáng)理論知識可辨別性程度。數(shù)學(xué)概念多是由實(shí)際問題抽象而來的，大多數(shù)都有實(shí)際背景。盡管應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的一大特征，但常常被數(shù)學(xué)教材的嚴(yán)謹(jǐn)性和抽象性所掩蓋，導(dǎo)致學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識薄弱，應(yīng)用能力不強(qiáng)。數(shù)學(xué)的“語言”供世界各民族所共有，是迄今為止惟一的世界通用的語言，是一種科學(xué)的語言。科學(xué)數(shù)學(xué)化，社會數(shù)學(xué)化的過程，乃是數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用過程；科學(xué)成果也是用數(shù)學(xué)語言表述的，正如伽利略所說“自然界的偉大的書是用數(shù)學(xué)語言寫成的”。從而端

2、正并加深對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，激發(fā)我們應(yīng)用數(shù)學(xué)的自覺性、主動性。 二、例題 例1、一位運(yùn)動員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈。已知籃圈中心到地面的距離為3.05米。(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；(2)該運(yùn)動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少？簡解：(1)由于拋物線的頂點(diǎn)是 (0，3.5)，故可設(shè)其解析式為y=ax2+3.5。又由于拋物線過(1.5，3.05)，于是求得a=-0.2。拋物線的解析式為y=-0.2x2+3.5。(2)當(dāng)x=-2

3、.5時(shí)，y=2.25。球出手時(shí)，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)。 評析：運(yùn)用投球時(shí)球的運(yùn)動軌跡、彈道軌跡、跳水時(shí)人體的運(yùn)動軌跡，拋物線形橋孔等設(shè)計(jì)的二次函數(shù)應(yīng)用問題屢見不鮮。解這類問題一般分為以下四個(gè)步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系(若題目中給出，不用重建)；(2)根據(jù)給定的條件，找出拋物線上已知的點(diǎn)，并寫出坐標(biāo)；(3)利用已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線的解析式。當(dāng)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c求其解析式；當(dāng)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(k，h)和另外一點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-k)2+h求其解析式；當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，0)、(x2，

4、0)時(shí)，可用雙根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；(4)利用拋物線解析式求出與問題相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而使問題獲解。 例2、某商場購進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品，經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360件，若按每件25元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣210件，假定每月銷售件數(shù)y(件)是價(jià)格x(元/件)的一次函數(shù) (1)試求y與x之間的關(guān)系式； (2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？ 解：(1)依題意設(shè)y=kx+b，則有 所以y=-30x+960(16x32) (2)每月獲得利潤P=(-30x+960)(x-

5、16) =30(-x+32)(x-16) =30(+48x-512) =-30+1920 所以當(dāng)x=24時(shí)，P有最大值，最大值為1920 答：當(dāng)價(jià)格為24元時(shí)，才能使每月獲得最大利潤，最大利潤為1920元 注意：數(shù)學(xué)應(yīng)用題來源于實(shí)踐，用于實(shí)踐，在當(dāng)今社會市場經(jīng)濟(jì)的環(huán)境下，應(yīng)掌握一些有關(guān)商品價(jià)格和利潤的知識，總利潤等于總收入減去總成本，然后再利用一元二次函數(shù)求最值 例3、在體育測試時(shí)，初三的一名高個(gè)子男同學(xué)推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖像的一部分，如圖所示，如果這個(gè)男同學(xué)的出手處A點(diǎn)的坐標(biāo)(0，2)，鉛球路線的最高處B點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，5) (1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； (2)該男

6、同學(xué)把鉛球推出去多遠(yuǎn)？(精確到0.01米， ) 解：(1) 設(shè)二次函數(shù)的解析式為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (6，5) A(0，2)在拋物線上 (2) 當(dāng)時(shí)， (不合題意，舍去) （米） 答：該同學(xué)把鉛球拋出13.75米. 例4、某商場以每件42元的價(jià)錢購進(jìn)一種服裝，根據(jù)試銷得知：這種服裝每天的銷售量（件），與每件的銷售價(jià) （元/件）可看成是一次函數(shù)關(guān)系： 1.寫出商場賣這種服裝每天的銷售利潤 與每件的銷售價(jià) 之間的函數(shù)關(guān)系式（每天的銷售利潤是指所賣出服裝的銷售價(jià)與購進(jìn)價(jià)的差）； 2.通過對所得函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行配方，指出：商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件的銷售價(jià)定為多少最為合適；最大銷售利潤為多少？ 分

7、析：商場的利潤是由每件商品的利潤乘每天的銷售的數(shù)量所決定。 在這個(gè)問題中，每件服裝的利潤為（ ），而銷售的件數(shù)是（ +204），那么就能得到一個(gè) 與之間的函數(shù)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù). 要求銷售的最大利潤，就是要求這個(gè)二次函數(shù)的最大值. 解：（1）由題意，銷售利潤 與每件的銷售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系為 =（ 42）（3204），即 =3 2+ 8568 （2）配方，得 =3（55）2+507 當(dāng)每件的銷售價(jià)為55元時(shí)，可取得最大利潤，每天最大銷售利潤為507元. 例5、某跳水運(yùn)動員進(jìn)行10米跳臺跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動路線是如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點(diǎn)O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知

8、條件）.在跳某個(gè)規(guī)定動作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動員在空中的最高處距水面米，入水處距池邊的距離為4米，運(yùn)動員在距水面高度為5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤. （1）求這條拋物線的解析式； （2）在某次試跳中，測得運(yùn)動員在空中的運(yùn)動路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動員在空中調(diào)整好入水姿勢時(shí)，距池邊的水平距離為米，問此次跳水會不會失誤？ 并通過計(jì)算說明理由 分析：（1）在給出的直角坐標(biāo)系中，要確定拋物線的解析式，就要確定拋物線上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，如起跳點(diǎn)O（0，0），入水點(diǎn)（2，10），最高點(diǎn)的縱點(diǎn)標(biāo)為. （2）求出拋物線的解析式后，要判斷此次跳水會不會失誤，就是要看當(dāng)該運(yùn)

9、動員在距池邊水平距離為米. 時(shí)，該運(yùn)動員是不是距水面高度為5米. 解：（1）在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點(diǎn)為A，入水點(diǎn)為B，拋物線的解析式為 . 由題意，知O（0，0），B（2，10），且頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為. 解得 或 拋物線對稱軸在軸右側(cè)， 又拋物線開口向下，a0,b0 拋物線的解析式為 （2）當(dāng)運(yùn)動員在空中距池邊的水平距離為米時(shí)， 即 時(shí)， 此時(shí)運(yùn)動員距水面的高為 因此，此次跳水會失誤. 例6、某服裝經(jīng)銷商甲，庫存有進(jìn)價(jià)每套400元的A品牌服裝1200套，正常銷售時(shí)每套600元，每月可買出100套，一年內(nèi)剛好賣完，現(xiàn)在市場上流行B品牌服裝，此品牌服裝進(jìn)價(jià)每套200元，售出價(jià)每套500元，每月

10、可買出120套（兩套服裝的市場行情互不影響）。目前有一可進(jìn)B品牌的機(jī)會，若這一機(jī)會錯(cuò)過，估計(jì)一年內(nèi)進(jìn)不到這種服裝，可是，經(jīng)銷商手頭無流動資金可用，只有低價(jià)轉(zhuǎn)讓A品牌服裝，經(jīng)與經(jīng)銷商乙協(xié)商，達(dá)成協(xié)議，轉(zhuǎn)讓價(jià)格（元/套）與轉(zhuǎn)讓數(shù)量（套）有如下關(guān)系： 轉(zhuǎn)讓數(shù)量（套） 120011001000900800700600500400300200100 價(jià)格（元/套） 240250 260 270 280290 300310 320330 340350 方案1：不轉(zhuǎn)讓A品牌服裝，也不經(jīng)銷B品牌服裝； 方案2：全部轉(zhuǎn)讓A品牌服裝，用轉(zhuǎn)讓來的資金購B品牌服裝后，經(jīng)銷B品牌服裝； 方案3：部份轉(zhuǎn)讓A品牌服裝，用轉(zhuǎn)

11、讓來的資金購B品牌服裝后，經(jīng)銷B品牌服裝，同時(shí)經(jīng)銷A品牌服裝。 問：經(jīng)銷商甲選擇方案1與方案2一年內(nèi)分別獲得利潤各多少元？ 經(jīng)銷商甲選擇哪種方案可以使自己一年內(nèi)獲得最大利潤？若選用方案3，請問他轉(zhuǎn)讓給經(jīng)銷商乙的A品牌服裝的數(shù)量是多少（精確到百套）？此時(shí)他在一年內(nèi)共得利潤多少元？ 解：經(jīng)銷商甲的進(jìn)貨成本是=（元） 若選方案1，則獲利-=（元） 若選方案2，得轉(zhuǎn)讓款1200 240=元，可進(jìn)購B品牌服裝 套，一年內(nèi)剛好賣空可獲利-=（元）。 設(shè)轉(zhuǎn)讓A品牌服裝x套，則轉(zhuǎn)讓價(jià)格是每套 元，可進(jìn)購B品牌服裝 套，全部售出B品牌服裝后得款 元，此時(shí)還剩A品牌服裝（1200-x）套，全部售出A品牌服裝后得款

12、600（1200-x）元，共獲利，故當(dāng)x=600套時(shí)，可的最大利潤元。 在上一問題中，我們結(jié)合身邊的生活發(fā)現(xiàn)案例，建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用二次函數(shù)求最值的思想解之。得到了理論上的最優(yōu)解。這正說明了數(shù)學(xué)正廣泛地運(yùn)用于經(jīng)濟(jì)生活。 三、練習(xí)題： 1、某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量（件）與每件的銷售價(jià) （元）滿足一次函數(shù)： （1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤 與每件的銷售價(jià)間的函數(shù)數(shù)關(guān)系式. （2）如果商場要想每天獲得最大的銷售利潤，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？ 2、如圖，一邊靠學(xué)校院墻，其它三邊用40米長的籬笆圍成一個(gè)矩形花圃，設(shè)矩形的邊 米，面積為 平方米. （1）求： 與 之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)米2時(shí)， 的值； （2）設(shè)矩形的邊 米，如果滿足關(guān)系式 即矩形成黃金矩形，求此黃金矩形的長和寬. 練習(xí)1答案： 當(dāng)定價(jià)為42元時(shí)，最大銷售利潤為432元. 練習(xí)2答案：（1） 當(dāng) 時(shí)， （2）當(dāng) 則 又 由、解得 ， 其中20不合題意，舍去， 當(dāng)矩形成黃金矩形時(shí)，寬為 ，長為. 3、某地要建造一個(gè)圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上，拋物線形狀如圖所示，如圖建立直角坐標(biāo)