材料力學(xué)第5章 彎曲應(yīng)力

1、彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束 第第 1 節(jié)節(jié) 各橫截面上同時有彎矩各橫截面上同時有彎矩M和剪力和剪力Q，稱為稱為。各橫截面只有彎矩各橫截面只有彎矩M，而無剪力而無剪力Q，稱為稱為。彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束 純彎曲梁變形后各橫截面仍保純彎曲梁變形后各橫截面仍保持為一平面，稱為持為一平面，稱為。既不伸長也不縮短的纖維面既不伸長也不縮短的纖維面，稱為稱為，中性層與橫截面，中性層與橫截面的交線稱為的交線稱為。中中性性層層中中性性軸軸 dyabddxabdxdOO)(21 )()(aydddyababab 彎曲應(yīng)

2、力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束0 AdA 首首先先 yEE 將將(a)代入代入(b) 0, AAydAEydAEb 得得代代入入上上式式將將式式0 AydA000 cczcAyAAySAyydA彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束抗彎剛度zIMy 正應(yīng)力到中性軸距離彎矩慣性矩MdAyA 其其次次 MdAyEdAyEybAA 2)( 式式代代入入得得將將zzAzEIMMEIdAyI 12或或令令彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束：Y 1 不能用于斜彎曲梁不能用于斜彎曲梁zIMy Y 2

3、可用于具有縱向?qū)ΨQ面的其它可用于具有縱向?qū)ΨQ面的其它截面形式的梁截面形式的梁Y 3 當當l/h5時時,可用于剪切彎曲梁可用于剪切彎曲梁Y 4 在材料的比例極限范圍內(nèi)使用在材料的比例極限范圍內(nèi)使用Y 5 可近似用于變截面梁可近似用于變截面梁彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束解：解：（1）作彎矩圖，求最大彎矩）作彎矩圖，求最大彎矩梁的彎矩圖如圖梁的彎矩圖如圖5-8b所示，由圖知所示，由圖知梁在固定端橫截面上的彎矩最大，梁在固定端橫截面上的彎矩最大，其值為其值為 mN3000216000222max qlM （2）求最大應(yīng)力）求最大應(yīng)力 因危險截面上的彎矩為負，

4、故截因危險截面上的彎矩為負，故截面上緣受最大拉應(yīng)力，其值為面上緣受最大拉應(yīng)力，其值為MPa178Pa101780152. 0106 .253000681maxmax yIMzT 在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為為MPa385Pa103850328. 0106 .253000682maxmax yIMzC 圖圖5-8所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長l=1m，均布載荷集度均布載荷集度q=6kN/m；梁由梁由10號槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的慣性矩號槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的慣性矩Iz=25.6cm4。試求試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大

5、壓應(yīng)力。此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束（1）矩形截面）矩形截面12332232222bhybbdyydAyIhhAzhh 3242DdAIAp yzPyAzAAAPIIIIIdAzdAydAzydAI22)(22222 123bhIz 123hbIy （2）圓形與圓環(huán)截面）圓形與圓環(huán)截面Dd)(164DII)d(D642III64D2III44yz44pyz4pyz 式式中中或或圓圓環(huán)環(huán)形形截截面面圓圓形形截截面面彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束(1)組合截面的慣性矩組合截面的慣性矩

6、zzAAzIIdAydAyI 1222 AAAAzAzdAaydAadAydAayIdAyI222212)(11平行移軸公式(2)平行移軸公式平行移軸公式AbIIAaIIyyzz2211 AAcczydAyAySydA00且且彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束 求求T字形截面對中性軸字形截面對中性軸 z的慣性矩的慣性矩.：（：（1） 確定形心和中性軸的位置確定形心和中性軸的位置 將截面劃分為將截面劃分為 、兩矩形，取與截兩矩形，取與截面底邊相重合的面底邊相重合的z 軸為參考軸，則兩軸為參考軸，則兩矩形的面積及其形心至矩形的面積及其形心至z 軸的距離分軸的距

7、離分別為：別為：cm122cm1226cm5262cm126222 IIIIIIyAyA整個截面的形心整個截面的形心C在對稱軸在對稱軸y上的位置則為：上的位置則為：cm31212112512 IIIIIIIIIiiCAAyAyAAyAy即中性軸即中性軸z與軸與軸z 的距離為的距離為3cm。彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束（2）求各組合部分對中性軸）求各組合部分對中性軸z的慣性矩的慣性矩 設(shè)兩矩形的形心設(shè)兩矩形的形心C和和C；其形心軸為其形心軸為z1和和z2，它們距它們距z軸的距離分別為：軸的距離分別為：cm2,cm2 IIIIIICCaCCa由平行移軸公

8、式，兩矩形對中由平行移軸公式，兩矩形對中性軸性軸z的慣性矩為：的慣性矩為：4232242321cm521221226cm841221262 IIIIIIzzIIIIIzzIAaIIAaII（3）求整個截面對中性軸的慣性矩）求整個截面對中性軸的慣性矩 將兩矩形對將兩矩形對z軸的慣性矩相加，得軸的慣性矩相加，得4cm1365284 zIIzIzIII彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束zIyMmaxmaxmax zzWyI max621223maxbhhbhyIWzz )1(1 . 0)1(321 . 0322644343334max DDWddddyIWzzz

9、 hbzy抗彎截面模量抗彎截面模量彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束最大正應(yīng)力的計算式：最大正應(yīng)力的計算式： 一矩形截面木梁如圖一矩形截面木梁如圖5-14a 所示，已知所示，已知P=10kN，a=1.2m，木材的木材的許用應(yīng)力許用應(yīng)力 =10MPa 。設(shè)梁橫截面的高寬比為設(shè)梁橫截面的高寬比為h/b =2，試選梁的截面尺試選梁的截面尺寸。寸。zWMmaxmax zWMmaxmax梁彎曲時的正應(yīng)力強度條件：梁彎曲時的正應(yīng)力強度條件：彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束：（：（1） 作彎矩圖，求最大彎矩作彎矩圖，求最大彎矩 用

10、疊加法作出梁的彎矩圖如圖用疊加法作出梁的彎矩圖如圖5-14b所示，由圖知最大彎矩為所示，由圖知最大彎矩為mkN122 . 110max PaM（2）選擇截面尺寸）選擇截面尺寸 3366maxmaxcm1200m1012001010100012 zzzWMWWM即即得得由強度條件由強度條件 截面的抗彎截面模量截面的抗彎截面模量 120032326263322 bbbbbhWz最后選用最后選用12.5 25cm2的截面。的截面。cm4 .242 bhcm2 .122120033 b由此得由此得彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束 一起重量原為一起重量原為50kN

11、的單臂吊的單臂吊車，其跨度車，其跨度 l=10.5m, 由由45a號工字號工字鋼制成。現(xiàn)擬將起重量提高到鋼制成?，F(xiàn)擬將起重量提高到Q=70kN, 試校核梁的強度。若強度試校核梁的強度。若強度不夠，再計算可能承載的起重量。不夠，再計算可能承載的起重量。梁的材料為梁的材料為A3鋼，許用應(yīng)力鋼，許用應(yīng)力 =140MPa;電葫蘆自重電葫蘆自重G=15kN,梁的自重暫不考慮。梁的自重暫不考慮。 mkN2235 .101570414max lGQM（2）校核強度）校核強度 查表得抗彎截面模量為查表得抗彎截面模量為3cm1430 zW故梁的最大工作應(yīng)力為故梁的最大工作應(yīng)力為MPa140MPa156Pa101

12、56101430100022366maxmax zWM 故不安全，不能將起重量提高到故不安全，不能將起重量提高到70kN。解：解：（1）作彎矩圖，求最大彎矩）作彎矩圖，求最大彎矩彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束（3）計算承載能力計算承載能力 梁允許的最大彎矩為梁允許的最大彎矩為 kN3 .61155 .10200444mkN200mN10210143010140maxmax566max GlMQlGQMWMz得得則由則由 彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束解解：（：（1）作彎矩圖，求最大彎矩）作彎矩圖，求最大彎矩 梁

13、的彎矩圖如圖所示，最大彎矩梁的彎矩圖如圖所示，最大彎矩為為mkN5 . 35 . 05 . 322max PaM （2）確定許用應(yīng)力）確定許用應(yīng)力 由由 材料的許用拉材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力分別為：應(yīng)力和許用壓應(yīng)力分別為： ,nu MPa1884750MPa804320 nnCCbT （3）計算慣性矩）計算慣性矩 cm5,cm312 yy 一一T字形截面鑄鐵梁，已知字形截面鑄鐵梁，已知P=3.5kN, a=0.5m, 截面尺寸及擱置方式如截面尺寸及擱置方式如圖示，材料的抗拉強度圖示，材料的抗拉強度 b=320MPa, 抗壓強度抗壓強度 C=750MPa,取安全系數(shù)取安全系數(shù)n=4, 試校核

14、梁的強度。試校核梁的強度。彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束截面對中性軸截面對中性軸z的慣性矩為的慣性矩為4cm136 zI （4）校核強度）校核強度 因危險截面上的彎矩為正，因危險截面上的彎矩為正，故最大拉應(yīng)力位于橫截面的下緣，最大壓應(yīng)力故最大拉應(yīng)力位于橫截面的下緣，最大壓應(yīng)力位于橫截面的上緣，其值分別為：位于橫截面的上緣，其值分別為： T681maxmax80MPa129MPaPa1012905.01013610005 .3 yIMzT188MPaMPa7703. 01013610005 . 382maxmaxCzCyIM 結(jié)果說明，梁的強度不夠。如果

15、將梁的擱置結(jié)果說明，梁的強度不夠。如果將梁的擱置方式顛倒一下，如圖所示，這時梁的最大拉應(yīng)力方式顛倒一下，如圖所示，這時梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力則分別為：和最大壓應(yīng)力則分別為： CCTT 188MPaMPa12980MPaMPa77maxmax彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束1 選用合理的截面選用合理的截面 TCTCzzTcyyIMyIMy 2121maxmax即即Wz/A愈大，截面越合理。愈大，截面越合理。 對于抗拉與抗壓能力不相同對于抗拉與抗壓能力不相同的材料，則應(yīng)采用不對稱于中的材料，則應(yīng)采用不對稱于中性軸的截面，并使中性軸偏于性軸的截面，并使中性

16、軸偏于受拉的一側(cè)。受拉的一側(cè)。彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束 2 采用變截面梁采用變截面梁 橫截面尺寸沿梁軸線方向變化的橫截面尺寸沿梁軸線方向變化的梁，稱為梁，稱為變截面梁變截面梁。 每個橫截面上的最大正應(yīng)力每個橫截面上的最大正應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力值，稱為都等于材料的許用應(yīng)力值，稱為等強度梁等強度梁。彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束3.適當布置載荷和支座位置適當布置載荷和支座位置彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束1 矩形截面梁矩形截面梁2 工字形截面梁工字形截面梁bhQb

17、hQhhIQyhIQbIQSzzzz 2312842.,)4(2222max22 其其值值為為剪剪應(yīng)應(yīng)力力最最大大在在中中性性軸軸上上力力的的計計算算公公式式橫橫截截面面上上任任意意點點處處剪剪應(yīng)應(yīng)1maxzzmaxmaxdhQdIQS :腹腹板板AQ34max AQ2max 3 圓形圓形 圓環(huán)形截面梁圓環(huán)形截面梁AQ23max 彎曲應(yīng)力慣性矩計算彎曲強度提高抗彎能力塑性彎曲彎曲剪應(yīng)力小結(jié)返回上頁結(jié)束 下列情況須進行剪應(yīng)力強度校核：下列情況須進行剪應(yīng)力強度校核： 1. 若梁較短或載荷很靠近支座，梁的最大彎矩若梁較短或載荷很靠近支座，梁的最大彎矩Mmax可能很可能很小而最大剪力小而最大剪力Qmax卻相對較大，如果據(jù)此時的卻相對較大，如果據(jù)此時的Mmax選擇截面尺寸選擇截面尺寸,就不一定能滿足剪應(yīng)力強度條件。就不一定能滿足剪應(yīng)力強度條件。 2. 對于一些組合截面梁，如其腹板的寬度對于一些組合截面梁，如其腹板的寬度b相對