第二章軸向拉伸與壓縮拉壓靜不定

1、一一. .靜定問題與靜不定問題靜定問題與靜不定問題約束反力及軸力都可以由約束反力及軸力都可以由靜力平衡方程求得，這類靜力平衡方程求得，這類問題稱為靜定問題問題稱為靜定問題.(statically determinate problem )憑靜力平衡方程不能求憑靜力平衡方程不能求得約束反力或軸力，這得約束反力或軸力，這類問題稱為靜不定問題類問題稱為靜不定問題(statically indeter-minate problem) 判別方法：判別方法：未知力的數(shù)目未知力的數(shù)目 獨立靜力平衡方程式的數(shù)目獨立靜力平衡方程式的數(shù)目 = 靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) 二、解決靜不定問題的方法和步驟 需要綜合考慮物理

2、、幾何、平衡三個方面。需要綜合考慮物理、幾何、平衡三個方面。步驟：步驟： 1.選取研究對象進行受力分析，分析結(jié)構(gòu)的未知力數(shù)和選取研究對象進行受力分析，分析結(jié)構(gòu)的未知力數(shù)和獨立平衡方程數(shù)，決定結(jié)構(gòu)的靜不定次數(shù)。獨立平衡方程數(shù)，決定結(jié)構(gòu)的靜不定次數(shù)。(受力分析圖受力分析圖) 2.列靜力平衡方程列靜力平衡方程 3.根據(jù)多余約束的特點，分析結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件，建根據(jù)多余約束的特點，分析結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件，建立變形幾何方程。立變形幾何方程。(變形幾何圖變形幾何圖) 4.將物理關(guān)系代入幾何方程，得補充方程，和平衡方程將物理關(guān)系代入幾何方程，得補充方程，和平衡方程聯(lián)立求解。聯(lián)立求解。物理關(guān)系物理關(guān)系胡克定律

3、胡克定律變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件變形幾何方程變形幾何方程靜力平衡靜力平衡平衡方程平衡方程補充方程補充方程聯(lián)立求解聯(lián)立求解 彈性模量為彈性模量為E1、橫截面面積為、橫截面面積為A1的實心的實心圓桿與彈性模量為圓桿與彈性模量為E2、橫截面面積為、橫截面面積為A2的的圓筒用剛性板聯(lián)接，如圖圓筒用剛性板聯(lián)接，如圖a)所示。試求在所示。試求在F力作用下圓桿和圓筒的應(yīng)力。力作用下圓桿和圓筒的應(yīng)力。(1)平衡條件（平衡方程）平衡條件（平衡方程）(2)變形諧調(diào)條件（諧調(diào)方程變形諧調(diào)條件（諧調(diào)方程 ）(3)物理條件物理條件 （物理方程）（物理方程）三、拉壓靜不定問題舉例三、拉壓靜不定問題舉例1.不同材料組成的組

4、合桿件不同材料組成的組合桿件變形特點：兩種材料的伸長或縮短變形相同。變形特點：兩種材料的伸長或縮短變形相同。解：受力分析如圖，可知為一次靜不定問題。解：受力分析如圖，可知為一次靜不定問題。聯(lián)立（聯(lián)立（1）和（）和（2）式，解得圓桿和圓筒的軸力）式，解得圓桿和圓筒的軸力 圓桿和圓筒的應(yīng)力圓桿和圓筒的應(yīng)力 由內(nèi)力結(jié)果可見，靜不定問題中各桿的軸力與各桿抗由內(nèi)力結(jié)果可見，靜不定問題中各桿的軸力與各桿抗拉剛度的大小有關(guān)。這是不同于靜定問題的一個重要特點。拉剛度的大小有關(guān)。這是不同于靜定問題的一個重要特點。 式（式（b）代入式（）代入式（a） 得補充方程得補充方程例：求三桿桁架內(nèi)力。例：求三桿桁架內(nèi)力。

5、桿長桿長 L1=L2， L3 =L ； 面積面積 A1=A2=A，A3 彈性模量彈性模量 E1=E2=E，E3CPABD123解：解：(1)靜力靜力平衡方程平衡方程0sinsin021NNxFFF0coscos0321PFFFFNNNyPAFN1FN3FN22.超靜定桿系超靜定桿系變形特點：桿系受力變形后，節(jié)點仍聯(lián)接于一點。變形特點：桿系受力變形后，節(jié)點仍聯(lián)接于一點。11111AELFLN33333AELFLN(3) (3) 物理方程物理方程（5 5）聯(lián)立求解）聯(lián)立求解cos31LLcos33331111AELFAELFNN333113333331121121cos2 ; cos2cosAEA

6、EPAEFAEAEPAEFFNNNCABD123A11L2L3L(2)(2)變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程（4 4）補充方程）補充方程圖示桁架，圖示桁架，1、2桿為鋁桿，桿為鋁桿，3桿為鋼桿，預(yù)使桿為鋼桿，預(yù)使3桿桿的內(nèi)力增大，正確的做法是的內(nèi)力增大，正確的做法是( )(A)增大增大1、2兩桿的橫截面面積兩桿的橫截面面積(B)減小減小1、2兩桿的橫截面面積兩桿的橫截面面積(C)將將1、2兩桿改為鋼桿兩桿改為鋼桿(D)將將3桿改為鋁桿桿改為鋁桿CPABD123提示：提示：1.拉壓桿的抗拉剛度為拉壓桿的抗拉剛度為EA 2.E鋁鋁E鋼鋼 3.拉壓桿的剛度系數(shù)拉壓桿的剛度系數(shù) ,剛度系數(shù)越大，桿件變形剛度系

7、數(shù)越大，桿件變形越小。靜不定結(jié)構(gòu)中，桿件的內(nèi)力與各桿的剛度系數(shù)間的比值越小。靜不定結(jié)構(gòu)中，桿件的內(nèi)力與各桿的剛度系數(shù)間的比值有關(guān)。有關(guān)。BlEAk 解解:(1)平衡方程平衡方程0sinsin021NNxFFF0coscos0321NNNyFFFF3 3、裝配應(yīng)力、裝配應(yīng)力 靜不定結(jié)構(gòu)中，由于制造誤差而進行靜不定結(jié)構(gòu)中，由于制造誤差而進行強行裝配引起的構(gòu)件內(nèi)的初應(yīng)力，稱為強行裝配引起的構(gòu)件內(nèi)的初應(yīng)力，稱為裝配應(yīng)力。注：靜定問題無裝配應(yīng)力；裝配應(yīng)力。注：靜定問題無裝配應(yīng)力；靜不定問題存在裝配應(yīng)力。靜不定問題存在裝配應(yīng)力。( (在荷載作用在荷載作用前，構(gòu)件內(nèi)已經(jīng)具有的應(yīng)力。前，構(gòu)件內(nèi)已經(jīng)具有的應(yīng)力。

8、) )例：如圖示，例：如圖示，3 3號桿的尺寸誤差為號桿的尺寸誤差為 ，求各桿的裝配內(nèi)力。求各桿的裝配內(nèi)力。ABC12A1ABC12D3A1FN1FN2FN3AA13L2L1LaAELFAELFNN211113333cos(3)帶入本構(gòu)方程帶入本構(gòu)方程得補充方程得補充方程(4)聯(lián)立求解聯(lián)立求解 / cos21cos33113211321AEAEAELFFNN / cos21cos23311331133AEAEAELFN如果取如果取 , E=200GPa, =30, 可知可知 = =-65.2MPa, =113MPa. 預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土構(gòu)件就是利用裝配應(yīng)力來提高預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土構(gòu)件就是利用裝配應(yīng)

9、力來提高構(gòu)件承載能力的工程實例。構(gòu)件承載能力的工程實例。/L=0.001321(2)(2)變形幾何方程變形幾何方程cos13LL如圖示如圖示OBOB是剛體，是剛體，ABAB桿制造誤差為桿制造誤差為CDABll2變形幾何方程變形幾何方程力學(xué)方面力學(xué)方面變形方面變形方面物理方面物理方面補充方程補充方程溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力 聯(lián)立（聯(lián)立（1）（）（2）兩式）兩式4 .4 .溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力(1)靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)中由于環(huán)境溫度的改變而引起中由于環(huán)境溫度的改變而引起的構(gòu)件內(nèi)的應(yīng)力稱為的構(gòu)件內(nèi)的應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力。溫度應(yīng)力。(2)兩端固定的超靜定桿件的變形協(xié)調(diào)條件：兩端固定的超靜定桿件的變形協(xié)調(diào)條件：桿件的總

10、長度不變。桿件的總長度不變。例：兩端固定的等直桿，已知例：兩端固定的等直桿，已知A,E,A,E,線線膨脹系數(shù)為膨脹系數(shù)為 ，求溫度升高，求溫度升高T 時的時的溫度應(yīng)力。溫度應(yīng)力。TEAFFBA若此桿是鋼桿，線膨脹系數(shù)若此桿是鋼桿，線膨脹系數(shù) ，彈性模量，彈性模量E=210GPa,若溫度升高若溫度升高40 ，則溫度應(yīng)力，則溫度應(yīng)力：C1102 . 15MPa8 .100 可見，在溫度變化較大的環(huán)境中工作的結(jié)構(gòu)，溫度應(yīng)可見，在溫度變化較大的環(huán)境中工作的結(jié)構(gòu)，溫度應(yīng)力不容忽視。在工程中常考慮溫度的影響，例在鋼軌接頭力不容忽視。在工程中常考慮溫度的影響，例在鋼軌接頭處，在混凝土路面中，通常留有空隙；高

11、溫管道隔一段要處，在混凝土路面中，通常留有空隙；高溫管道隔一段要設(shè)一個彎道，就是用于調(diào)節(jié)因溫度變化而產(chǎn)生的伸縮等。設(shè)一個彎道，就是用于調(diào)節(jié)因溫度變化而產(chǎn)生的伸縮等。例：圖示例：圖示1、2號桿的尺寸及材料都相同，號桿的尺寸及材料都相同，當結(jié)構(gòu)溫度由當結(jié)構(gòu)溫度由T1變到變到T2時時,求各桿的溫度求各桿的溫度內(nèi)力，各桿線膨脹系數(shù)分別為內(nèi)力，各桿線膨脹系數(shù)分別為 i 。BCAD123A11L2L3LPAN1N3N2（2）變形方程）變形方程0sinsin021NNFx0coscos0321NNNFycos31LL) 3, 2, 1 ( iLTAELNLiiiiiii（3）本構(gòu)方程）本構(gòu)方程解解：（：（1

12、）平衡方程平衡方程PBCD123AA11L2L3L由變形和本構(gòu)方程消除位移未知量由變形和本構(gòu)方程消除位移未知量cos)(333333111111LTAELNLTAELN聯(lián)立求解得聯(lián)立求解得 / cos21)cos(331132311121AEAETAENN / cos21cos)cos(233113231113AEAETAENaa aaN1N2 例例 ：階梯鋼桿的上下兩端在：階梯鋼桿的上下兩端在T1=5時被固時被固 定定,上下兩段的面積為上下兩段的面積為 = cm2 ， =cm2， 當溫度升至當溫度升至T2=25時時,求各桿的溫度應(yīng)力求各桿的溫度應(yīng)力 彈性模量彈性模量E=200GPa，線膨脹系

13、數(shù)，線膨脹系數(shù) =12.5 C1106(2)(2)變形幾何方程變形幾何方程解解: :受力分析如圖示，可知為一次靜不定。受力分析如圖示，可知為一次靜不定。0021NNFy0NTLLL(1)平衡方程平衡方程（3）本構(gòu)方程）本構(gòu)方程（4 4）聯(lián)立求解得）聯(lián)立求解得kN 3 .3321 NN由變形和本構(gòu)方程消除位移未知量由變形和本構(gòu)方程消除位移未知量)( ; 22211EAaNEAaNLTaLNT22112EANEANT（5 5）溫度應(yīng)力）溫度應(yīng)力 MPa7 .66111AN桿 MPa3 .33222AN桿例例 木制短柱的四角用四個木制短柱的四角用四個40 40 4的等邊角鋼加固，角的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應(yīng)力分別為鋼和木材的許用應(yīng)力分別為 1=160M Pa, 2=12MPa，彈性模量分別為彈性模量分別為E1=200GPa 和和 E2 =10GPa；求許可載荷求許可載荷P04021PFFFNNy21LL2222211111LAELFAELFLNN(2)(2)變形方程變形方程(3)(3)本構(gòu)方程本構(gòu)方程解：解：(1)(1)平衡方程平衡方程P1mP250250Py4FN1FN2（4 4） 聯(lián)立求解