新三第11講 有趣的數(shù)陣圖

1、有趣的數(shù)陣圖傳說(shuō)大禹治水的時(shí)候，一只靈龜從水中翩然浮出。令人稱奇的是，這只烏龜?shù)谋成暇箍逃幸环鶊D（如圖所示）。如果將圖上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化成數(shù)字，一個(gè)點(diǎn)記為一個(gè)“1”，那么圖就轉(zhuǎn)變成了數(shù)字圖（圖）。研究這幅數(shù)字圖你會(huì)發(fā)現(xiàn)：每一行、每一列，甚至每一條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等。像上面的圖這樣，把一些數(shù)按照 定要求排列成各種圖形，使圖形中的每一條直線段或若干條線段的數(shù)字和相等，這樣呈現(xiàn)的圖形，就叫作數(shù)陣圖。數(shù)陣圖可以是正方形，還可以是長(zhǎng)方形、三角形、圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形但不管是哪一種形狀的數(shù)陣圖，填寫時(shí)都應(yīng)注意兩點(diǎn)：1抓住數(shù)陣中的“特殊數(shù)”，比如兩線交點(diǎn)上的數(shù)、長(zhǎng)方形和正方形的頂點(diǎn)上的數(shù)這些數(shù)與

2、其他數(shù)相比，往往重復(fù)計(jì)算了多次，因而不妨作為解決數(shù)陣問(wèn)題的一個(gè)突破口。2確定突破口后，對(duì)照“和相等”的條件，用嘗試的方法求解其他數(shù)。但有時(shí)因?yàn)閿?shù)字存在不同的組合方法，因此答案往往不是唯一的?！纠?】 將1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)分別填入右圖中，組成一個(gè)“十字?jǐn)?shù)陣圖”，使圖中橫行三個(gè)數(shù)的和與豎列三個(gè)數(shù)的和相等。分析 圖中最中間的那個(gè)數(shù)最特殊，因?yàn)闄M行三個(gè)數(shù)相加和豎行三個(gè)數(shù)相加都算了它，即它被算了2次。因此不妨把它當(dāng)作解決問(wèn)題的突破口。假設(shè)它填1，剩下的四個(gè)數(shù)剛好可以分成2 + 5 = 3 + 4，因而得到本題的一個(gè)解；假設(shè)它填2，由于剩下的四個(gè)數(shù)不能分組成兩組，使兩組的和相等。所以2不能填在中間

3、；同樣的方法，嘗試中間填3、4、5。即學(xué)即練1 將10、13、16、19、22分別填入圖中，使圖中橫行的三個(gè)數(shù)與豎行中三個(gè)數(shù)的和相等。 【例2】 將1、2、3、4、5、6、7這七個(gè)數(shù)字分別填入圖中，使得每條直線上的數(shù)字和為11。右下角“NT”處填的數(shù)字是幾?分析 除“NT”處的數(shù)外，其他六個(gè)數(shù)剛好分在兩條直線上，即其他六個(gè)數(shù)的和為11 × 2 = 22。即學(xué)即練2 （1）把17這七個(gè)數(shù)填入圖中的圓圈中，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)的和都等于14；如果每條邊上三個(gè)數(shù)的和等于10，那么中間數(shù)應(yīng)該填幾? （備用）（2）把16、17、18、19、20、21、22、23、24分別填入下圖中的九個(gè)圓圈內(nèi)

4、，使每條直線上的和都等63。 （備用） （備用）【例3】 將1、2、3、4、5、7、8、9分別填入下圖的八個(gè)圓圈內(nèi)，使得每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和都與中間正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和相等。最上面和最下面的兩個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)之和是多少。 分析 在中標(biāo)上字母a h，根據(jù)題意，a + e + h = e + f + g + h，得a = f + g，同理，c = e + h；則a + c = e + h + f + g。因?yàn)閍 + b + c + d + e + f + g + h = 3 ×（e + f + g + h），則a + c = （1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8

5、 + 9）÷ 3 = 13。即學(xué)即練3 將18這八個(gè)數(shù)分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使每個(gè)五邊形上五個(gè)數(shù)的和分別為20、21、22?！纠?】 把1、2、3、4、5、6分別填入下圖的圓圈中，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和相等，并且和最大。 （備用圖） （備用圖）分析 由于三個(gè)頂點(diǎn)所在位置的數(shù)重復(fù)計(jì)算了，所以三個(gè)頂點(diǎn)所在位置的數(shù)最大，即填4、5、6時(shí)，每邊上三個(gè)數(shù)的和最大。即學(xué)即練4 （1）把3、4、5、6、7、8、9、10、11這九個(gè)數(shù)分別填在下圖的圓圈中，使每條邊上四個(gè)數(shù)的和相等且最大。 （備用圖） （備用圖）（2）把110這十個(gè)數(shù)分別填在下圖的五邊形邊上的十個(gè)圓圈內(nèi)，使每條邊上的三個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)的和

6、相等，并且使和盡可能小。 （備用圖）【例5】 在下圖的空白區(qū)域內(nèi)分別填上1、24、6四個(gè)數(shù)，使每個(gè)圈中的四個(gè)數(shù)的和都是15。分析 題目要求每個(gè)圈中的四個(gè)數(shù)的和都是15，而左上角的圈已知的兩個(gè)數(shù)的和已經(jīng)是12則剩下的兩個(gè)數(shù)的和只能是3，而這只有一種可能，即剩下的兩個(gè)數(shù)只能填1和2；同樣的道理，右上角那個(gè)圈剩下的兩個(gè)空只能填1和4。這里，三個(gè)圈交叉的那個(gè)數(shù)重復(fù)了一次，而“1”也同樣重復(fù)了一次所以，可以斷定三個(gè)圓交叉的那個(gè)數(shù)填“1”。即學(xué)即練5（1）在圖中空白部分分別填上3、5、7、8這四個(gè)數(shù)，使每個(gè)圓中的四個(gè)數(shù)的和都是21。 （備用圖）（2）下圖有五個(gè)圓。它們相交后分成9個(gè)區(qū)域，現(xiàn)在兩個(gè)區(qū)域里已經(jīng)

7、填上10與6，請(qǐng)?jiān)诹硗馄邆€(gè)區(qū)域里分別填進(jìn)2、3、4、5、6、7、9這七個(gè)數(shù)，使每圓內(nèi)的和都等于15。 （備用圖）【例6】 下圖是四個(gè)互相聯(lián)系的三角形。把19這九個(gè)數(shù)字分別填入圓圈中，使每個(gè)三角形中數(shù)字的和都是15。 （備用圖）分析 因要求每個(gè)三角形中數(shù)字的和都是15，則中間的那個(gè)三角形數(shù)字和必然也是15，而這有8種可能：（1、9、5）；（2、8、5）；（2、7、6）；（4、6、5）；（2、9、4）；（3、8、4）；（3、7、5）；（8、6、1）任意選一組，都可得到本題的一個(gè)解。即學(xué)即練6（1）把11、12、13、14、15、16分別填入下圖的圓圈中，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于39。 （備用圖

8、）（2）把19這九個(gè)數(shù)分別填入下圖的圓圈中，使每條邊上的四個(gè)數(shù)之和都等于21。 （備用圖）【例7】 將210這九個(gè)數(shù)分別填入下圖中，使它每一橫行、每一豎行、每一斜行的三個(gè)數(shù)的和都相等。 （備用圖）分析 從圖看得很明顯，每一橫行、每一豎行、每一斜行三個(gè)數(shù)相加，最中間的那個(gè)方框的數(shù)計(jì)算了4次，四個(gè)角上的數(shù)計(jì)算了3次。又由于題目說(shuō)每一橫行的和都相等，而2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54，54 ÷ 3 = 18。210中，三個(gè)數(shù)相加和等于18的有：7 + 6 + 5 8 + 7 + 3 10 + 5 + 3 9 + 5 + 410 + 6 + 2

9、8 + 6 + 4 9 + 6 + 3 9 + 7 + 2在這八道算式中，只有6出現(xiàn)了四次，所以中間數(shù)填6；9、7、5、3出現(xiàn)了三次，因此9、7、5、3填在四個(gè)角上；最后根據(jù)每一橫行、豎行、斜行三個(gè)數(shù)的和都是18，就可算出剩余四個(gè)空所應(yīng)填的數(shù)。即學(xué)即練7（1）將1、3、5、7、9、11、13、15、17這九個(gè)數(shù)填入圖中的九個(gè)方框內(nèi)，使每一橫行、每一豎行、每一斜行的三個(gè)數(shù)的和都相等。 （備用圖） （備用圖）（2）圖中有九個(gè)圓，你能將0、1、2、3、4、5、6、7、8這九個(gè)數(shù)字分別填入九個(gè)圓圈內(nèi)，使得每一橫行、每一豎行、每一斜行的三個(gè)數(shù)的和都相等嗎? （備用圖）（備用圖）能力檢測(cè)1將l991、19

10、92、1993、1994、1995分別填入下圖的五個(gè)方格中，使得橫排的三個(gè)方格中的數(shù)之和等于豎列的三個(gè)方格中的數(shù)之和。則中間方格中能填的數(shù)分別是多少? （備用圖）（備用圖）2將1、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)字填入下圖的6個(gè)圓圈內(nèi)，使每條線上三個(gè)數(shù)字之和都等于10。 （備用圖）3將17這七個(gè)數(shù)分別填入下圖的七個(gè)圓圈內(nèi)，使得每條邊的三個(gè)數(shù)的和都等于14。 （備用圖）4把1、4、7、10、13、16、19這七個(gè)數(shù)分別填入下圖的七朵花里，使每條線上三個(gè)數(shù)的和相等。 （備用圖）5把數(shù)字16分別填入下圖中的圓圈內(nèi)，使得每個(gè)大圓上的數(shù)字和都是15。 （備用圖）6在下圖的九個(gè)小方格中各有一個(gè)數(shù)字，而且每行、每

11、列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和相等，則其中帶“?”方格中所填入的數(shù)字是多少? （備用圖）7把2、5、8、11、14、17分別填入下圖的圓圈中，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和最小，最小是多少? （備用圖）8將2、4、6、8、10、12、14、16、18這九個(gè)數(shù)分別填入下圖的九個(gè)方框內(nèi)，使每一橫行、 每一豎行、每一斜行的三個(gè)數(shù)的和都相等。 （備用圖）9把49這六個(gè)數(shù)分別填入下圖中的六個(gè)圓圈內(nèi)，使得每個(gè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和都為28。 （備用圖）10把212這十一個(gè)數(shù)分別填入下圖的圓圈內(nèi)，使每條邊上三個(gè)圓圈內(nèi)數(shù)的和都相等。你能寫出哪些不同的填法? （備用圖）112010年是虎年，請(qǐng)把111這十一個(gè)數(shù)不重復(fù)地填入虎額上的“王”字中，使三行、 一列的和都等于18。 （備用圖） （備用圖）12把18這八個(gè)數(shù)分別填入下圖中的方格內(nèi)（每個(gè)數(shù)必須用一次），使“十一”三筆中每三個(gè)方格內(nèi)數(shù)的和都相等。 （備用圖）13將1、3、5、7、9、11、13這七個(gè)數(shù)填入下圖中的圓圈內(nèi)，使得每行上三個(gè)數(shù)之和相等，則這個(gè)相等的和是多少?