矩形菱形與正方形(教師)

1、矩形菱形與正方形例題1. （ 2014福建泉州，第25題12分）如圖，在銳角三角形紙片ABC中，ACBC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上（1）已知：DEAC，DFBC判斷四邊形DECF一定是什么形狀？裁剪當(dāng)AC=24cm，BC=20cm，ACB=45°時(shí)，請(qǐng)你探索：如何剪四邊形DECF，能使它的面積最大，并證明你的結(jié)論；（2）折疊請(qǐng)你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點(diǎn)D，E，C，F(xiàn)，使它恰好為菱形，并說明你的折法和理由考點(diǎn)：四邊形綜合題分析：（1）根據(jù)有兩組對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形即可求得，根據(jù)ADFABC推出對(duì)應(yīng)邊的相似比，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可得出h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，

2、根據(jù)平行四邊形的面積公式，很容易得出面積S關(guān)于h的二次函數(shù)表達(dá)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，就可得出面積s最大時(shí)h的值（2）第一步，沿ABC的對(duì)角線對(duì)折，使C與C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1對(duì)折，使DA1BB1解答：解：（1）DEAC，DFBC，四邊形DECF是平行四邊形作AGBC，交BC于G，交DF于H，ACB=45°，AC=24cmAG=12，設(shè)DF=EC=x，平行四邊形的高為h，則AH=12h，DFBC，=，BC=20cm，即：=x=×20，S=xh=x×20=20hh2=6，AH=12，AF=FC，在AC中點(diǎn)處剪四邊形DECF，能使它的面積最大（2）第一

3、步，沿ABC的對(duì)角線對(duì)折，使C與C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1對(duì)折，使DA1BB1理由：對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定、二次函數(shù)的最值關(guān)鍵在于根據(jù)相似三角形及已知條件求出相關(guān)線段的表達(dá)式，求出二次函數(shù)表達(dá)式，即可求出結(jié)論例題2.（ 2014珠海，第21題9分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)F在邊BC的延長線上，連結(jié)EF與邊CD相交于點(diǎn)G，連結(jié)BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)H，AE=CF，BE=EG（1）求證：EFAC；（2）求BEF大??；（3）求證：=考點(diǎn)：四邊形綜合題分析：（1）根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四

4、邊形即可判定（2）先確定三角形GCF是等腰直角三角形，得出CG=AE，然后通過BAEBCG，得出BE=BG=EG，即可求得（3）因?yàn)槿切蜝EG是等邊三角形，ABC=90°，ABE=CBG，從而求得ABE=15°，然后通過求得AHBFGB，即可求得解答：解：（1）四邊形ABCD是正方形，ADBF，AE=CF，四邊形ACFE是平行四邊形，EFAC，（2）連接BG，EFAC，F(xiàn)=ACB=45°，GCF=90°，CGF=F=45°，CG=CF，AE=CF，AE=CG，在BAE與BCG中，BAEBCG（SAS）BE=BG，BE=EG，BEG是等邊三角形

5、，BEF=60°，（3）BAEBCG，ABE=CBG，BAC=F=45°，AHBFGB，=，EBG=60°ABE=CBG，ABC=90°，ABE=15°，=點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，求得三角形的判定及 性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，連接BG是本題的關(guān)鍵例題3. （ 2014廣西玉林市、防城港市，第25題10分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上的任一點(diǎn)，連接AM并將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，在CD邊上取點(diǎn)P使CP=BM，連接NP，BP（1）求證：四邊形BMNP是平行四邊形；（2）線段M

6、N與CD交于點(diǎn)Q，連接AQ，若MCQAMQ，則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，ABC=B，然后利用“邊角邊”證明ABM和BCP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=BP，BAM=CBP，再求出AMBP，從而得到MNBP，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）根據(jù)同角的余角相等求出BAM=CMQ，然后求出ABM和MCQ相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，再求出AMQABM，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得=，從而得到=，即可得解解答：（1）證明：在正方

7、形ABCD中，AB=BC，ABC=B，在ABM和BCP中，ABMBCP（SAS），AM=BP，BAM=CBP，BAM+AMB=90°，CBP+AMB=90°，AMBP，AM并將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，AMMN，且AM=MN，MNBP，四邊形BMNP是平行四邊形；（2）解：BM=MC理由如下：BAM+AMB=90°，AMB+CMQ=90°，BAM=CMQ，又B=C=90°，ABMMCQ，=，MCQAMQ，AMQABM，=，=，BM=MC點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四

8、邊形的判定，（1）求出兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)相似于同一個(gè)三角形的兩個(gè)三角形相似求出AMQABM是解題的關(guān)鍵例題4（2014舟山，第20題8分）已知：如圖，在ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線EF分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連結(jié)BE，DF（1）求證：DOEBOF（2）當(dāng)DOE等于多少度時(shí)，四邊形BFED為菱形？請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出DOEBOF（ASA）；（2）首先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而利用垂直平分線的性質(zhì)

9、得出BE=ED，即可得出答案解答：（1）證明：在ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，BO=DO，EDB=FBO，在EOD和FOB中，DOEBOF（ASA）；（2）解：當(dāng)DOE=90°時(shí)，四邊形BFED為菱形，理由：DOEBOF，BF=DE，又BFDE，四邊形EBFD是平行四邊形，BO=DO，EOD=90°，EB=DE，四邊形BFED為菱形點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定等知識(shí)，得出BE=DE是解題關(guān)鍵例題5.（2014邵陽，第25題8分）準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如圖操作：將ABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的M點(diǎn)，將CDF沿DF翻折

10、，使點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的N點(diǎn)（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若四邊形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面積考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形和折疊的性質(zhì)可得EBDF，DEBF，根據(jù)平行四邊形判定推出即可（2）求出ABE=30°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出AE、BE，再根據(jù)菱形的面積計(jì)算即可求出答案解答：（1）證明：四邊形ABCD是矩形，A=C=90°，AB=CD，ABCD，ABD=CDB，EBD=FDB，EBDF，EDBF，四邊形BFDE為平行四邊形（2）解：四邊形BFDE為菱形，BE=ED，EB

11、D=FBD=ABE，四邊形ABCD是矩形，AD=BC，ABC=90°，ABE=30°，A=90°，AB=2，AE=，BF=BE=2AE=，菱形BFDE的面積為：×2=點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力例題6（2014四川自貢，第19題8分）如圖，四邊形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF與BC交于點(diǎn)G（1）求證：AE=CF；（2）若ABE=55°，求EGC的大小考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)分析：（1）利用AEB

12、CFB來求證AE=CF（2）利用角的關(guān)系求出BEF和EBG，EGC=EBG+BEF求得結(jié)果解答：證明：（1）四邊形ABCD是正方形，ABC=90°，AB=AC，BEBF，F(xiàn)BE=90°，ABE+EBA=90°，CBF+EBA=90°，ABE=CBF，在AEB和CFB中，AEBCFB（SAS），AE=CF（2）BEBF，F(xiàn)BE=90°，又BE=BF，BEF=EFB=45°，四邊形ABCD是正方形，ABC=90°，又ABE=55°，EBG=90°55°=35°，EGC=EBG+BEF=45

13、°+35°=80°點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形，三角形全等判定和性質(zhì)及等腰三角形，解題的關(guān)鍵是求得AEBCFB，找出相等的線段練習(xí)1.（2014襄陽，第12題3分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且AE=AB，將矩形沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，連接BP交EF于點(diǎn)Q，對(duì)于下列結(jié)論：EF=2BE；PF=2PE；FQ=4EQ；PBF是等邊三角形其中正確的是（）ABCD考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)分析：求出BE=2AE，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得PE=BE，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出APE=30

14、°，然后求出AEP=60°，再根據(jù)翻折的性質(zhì)求出BEF=60°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出EFB=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得EF=2BE，判斷出正確；利用30°角的正切值求出PF=PE，判斷出錯(cuò)誤；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判斷出錯(cuò)誤；求出PBF=PFB=60°，然后得到PBF是等邊三角形，判斷出正確解答：解：AE=AB，BE=2AE，由翻折的性質(zhì)得，PE=BE，APE=30°，AEP=90°30°=60°，BEF=（

15、180°AEP）=（180°60°）=60°，EFB=90°60°=30°，EF=2BE，故正確；BE=PE，EF=2PE，EFPF，PF2PE，故錯(cuò)誤；由翻折可知EFPB，EBQ=EFB=30°，BE=2EQ，EF=2BE，F(xiàn)Q=3EQ，故錯(cuò)誤；由翻折的性質(zhì)，EFB=BFP=30°，BFP=30°+30°=60°，PBF=90°EBQ=90°30°=60°，PBF=PFB=60°，PBF是等邊三角形，故正確；綜上所述，結(jié)論正

16、確的是故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵2.（2014孝感，第9題3分）如圖，正方形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)D（5，3）在邊AB上，以C為中心，把CDB旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A（2，10）B（2，0）C（2，10）或（2，0）D（10，2）或（2，0）考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)分析：分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況討論解答即可解答：解：點(diǎn)D（5，3）在邊AB上，BC=5，BD=53=2，若順時(shí)針旋

17、轉(zhuǎn)，則點(diǎn)D在x軸上，OD=2，所以，D（2，0），若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)D到x軸的距離為10，到y(tǒng)軸的距離為2，所以，D（2，10），綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，10）或（2，0）故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，正方形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論3（2014·臺(tái)灣，第12題3分）如圖，D為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，E、F兩點(diǎn)分別在AB、BC上，且四邊形DEBF為矩形，直線CD交AB于G點(diǎn)若CF6，BF9，AG8，則ADC的面積為何？()A16B24C36D54分析：由于ADCAGCADG，根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式計(jì)算即可求解解：ADCAGCADG×AG×BC&#

18、215;AG×BF×8×(69)×8×9603624故選：B點(diǎn)評(píng)：考查了三角形的面積和矩形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是活用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算4（2014浙江寧波，第11題4分）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長是（ ）A2.5BCD2 考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；勾股定理的逆定理分析：連接AC、CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF，ACD=GCF=45°，再求出ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即

19、可解答：解：如圖，連接AC、CF，正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，AC=，CF=3，ACD=GCF=45°，ACF=90°，由勾股定理得，AF=2，H是AF的中點(diǎn)，CH=AF=×2=故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵5. （2014年江蘇南京，第6題，2分）如圖，在矩形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，1），點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4，則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）（第3題圖）A（，3）、（，4）B（，3）、（，4）C（，）、（，4）D（，）、（，4）考點(diǎn)

20、：矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)。分析：首先過點(diǎn)A作ADx軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFy軸，過點(diǎn)A作AFx軸，交點(diǎn)為F，易得CAFBOE，AODOBE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案解答：過點(diǎn)A作ADx軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFy軸，過點(diǎn)A作AFx軸，交點(diǎn)為F，四邊形AOBC是矩形，ACOB，AC=OB，CAF=BOE，在ACF和OBE中，CAFBOE（AAS），BE=CF=41=3，AOD+BOE=BOE+OBE=90°，AOD=OBE，ADO=OEB=90°，AODOBE，即，OE=，即點(diǎn)B（

21、，3），AF=OE=，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：（2）=，點(diǎn)D（，4）故選B點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用6.（2014孝感，第16題3分）如圖，已知矩形ABCD，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE、BE，若ABE是等邊三角形，則=考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）分析：過E作EMAB于M，交DC于N，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出DC=AB，DCAB，ABC=90°，設(shè)AB=AE=BE=2a，則BC=a，即MN=a，求出EN，根據(jù)三角形面積公式求出兩個(gè)三角形的面積，即可得出答案解答：解： 過E

22、作EMAB于M，交DC于N，四邊形ABCD是矩形，DC=AB，DCAB，ABC=90°，MN=BC，ENDC，延AC折疊B和E重合，AEB是等邊三角形，EAC=BAC=30°，設(shè)AB=AE=BE=2a，則BC=a，即MN=a，ABE是等邊三角形，EMAB，AM=a，由勾股定理得：EM=a，DCE的面積是×DC×EN=×2a×（aa）=a2，ABE的面積是AB×EM=×2a×a=a2，=，故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出兩個(gè)三角形的面積，

23、題目比較典型，難度適中7（2014·浙江金華，第15題4分）如圖，矩形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)EF交CD于點(diǎn)G，若G是CD的中點(diǎn)，則BC的長是 【答案】7.【解析】考點(diǎn)：1.矩形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定和性質(zhì)；3.勾股定理；4.線段垂直平分線的性質(zhì)；5.方程思想的應(yīng)用.8. （2014泰州，第16題，3分）如圖，正方向ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，DAE=30°，M為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q若PQ=AE，則AP等于1或2cm（第1題圖）考點(diǎn)：全等三角形的判定

24、與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形分析：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PNBC，交BC于點(diǎn)N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長，進(jìn)而利用勾股定理求出AE的長，根據(jù)M為AE中點(diǎn)求出AM的長，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等得到DE=NQ，DAE=NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到PFA=DEA=60°，進(jìn)而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長，再利用對(duì)稱性確定出AP的長即可解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PNBC，交

25、BC于點(diǎn)N，四邊形ABCD為正方形，AD=DC=PN，在RtADE中，DAE=30°，AD=3cm，tan30°=，即DE=cm，根據(jù)勾股定理得：AE=2cm，M為AE的中點(diǎn)，AM=AE=cm，在RtADE和RtPNQ中，RtADERtPNQ（HL），DE=NQ，DAE=NPQ=30°，PNDC，PFA=DEA=60°，PMF=90°，即PMAF，在RtAMP中，MAP=30°，cos30°=，AP=2cm；由對(duì)稱性得到AP=DP=ADAP=32=1cm，綜上，AP等于1cm或2cm故答案為：1或2點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵9.（2014呼和浩特，第21題7分）如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE與DC的交點(diǎn)為O，連接DE（1）求證：ADECED；（2）求證：DEAC考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)專題：證明題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根據(jù)SSS可證ADECED（SSS）；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得EDC=DEA，由于ACE與ACB關(guān)于AC所在直線對(duì)稱，可得OAC=CAB，根據(jù)等量代換可得OAC=DEA，再根