第六章三維變換與投影

1、第六章第六章n6.1 6.1 三維圖形幾何變換三維圖形幾何變換 n6.2 6.2 三維基本幾何變換矩陣三維基本幾何變換矩陣 n6.3 6.3 三維復合變換三維復合變換 n6.4 6.4 坐標系變換坐標系變換 n6.5 6.5 平行投影平行投影 n6.6 6.6 透視投影透視投影 n6.7 6.7 本章小結(jié)本章小結(jié) 同二維變換類似，三維變換同樣引入了齊次坐標技術(shù)，在四維空間（x,y,z,w）內(nèi)進行討論。定義了規(guī)范化齊次坐標以后，三維圖形幾何變換就可以表示為物體頂點集合的規(guī)范化齊次坐標矩陣與某一變換矩陣相乘的形式。用規(guī)范化齊次坐標表示的三維圖形幾何變換矩陣是一個44方陣，簡稱為三維幾何變換矩陣。

2、snmlrihgqfedpcbaT （6-1） snmlrihgqfedpcbazyxzyxzyxzyxzyxzyxnnnnnn111111222111222111TPP（6-2） 1010000100001zyxTTTT（6-3） （6-4） 1000000000000zyxSSST（6-5） 1.1.繞繞x x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)10000cossin00sincos00001T（6-6） 2.2.繞繞y y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)10000cos0sin00100sin0cosT（6-7） 3.3.繞繞z z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)1000010000cossin00sincosT為正向旋轉(zhuǎn)角 1.1.關(guān)于關(guān)于x軸的反

3、射軸的反射1000010000100001T（6-8）2.2.關(guān)于關(guān)于y軸的反射軸的反射1000010000100001T（6-9）3.3.關(guān)于關(guān)于z軸的反射軸的反射1000010000100001T（6-10）4.4.關(guān)于關(guān)于xoy面的反射面的反射1000010000100001T（6-11）5.5.關(guān)于關(guān)于yoz面的反射面的反射（6-12）6.6.關(guān)于關(guān)于xoz面的反射面的反射 （6-13）1000010000100001T1000010000100001T1000010101hgfdcbT（6-14） 1.1.沿沿x方向錯切方向錯切 10000100010001gdT（6-15） 2.2

4、.沿沿y方向錯切方向錯切 （6-16） 10000100010001hbT3.3.沿沿z方向錯切方向錯切 （6-17） 10000100010001fcT三維圖形幾何變換 nTTTPTPP21 T為復合變換矩陣，T1，T2Tn為n個單次基本幾何變換矩陣。 在三維基本幾何變換中，比例變換和旋轉(zhuǎn)變換是與參考點相關(guān)的。相對于任一參考點Q（x,y,z）的比例變換和旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)表達為復合變換形式。變換方法是首先將參考點平移到坐標原點，相對于坐標原點作比例變換或旋轉(zhuǎn)變換，然后再進行反平移將參考點平移回原位置。 相對于任意方向的變換方法是首先對任意方向做旋轉(zhuǎn)變換，使變換方向與某個坐標軸重合，然后對該坐標軸進行

5、三維基本幾何變換，最后做反向旋轉(zhuǎn)變換，將任意方向還原到原來的方向。三維幾何變換中需要進行兩次旋轉(zhuǎn)變換，才能使任意方向與某個坐標軸重合。一般做法是先將任意方向旋轉(zhuǎn)到某個坐標平面內(nèi)，然后再旋轉(zhuǎn)到與該坐標平面內(nèi)的某個坐標軸重合。01010110zzyyxxPPcoscoscos321nnn10PP逆時針旋轉(zhuǎn)角的分步變換矩陣。在3個坐標軸上的方向余弦分別為，求空間一點P(x，y，z)繞例例6-1 已知空間矢量P1P0(1) 將P0(x0，y0，z0)點平移到坐標原點(2)將10100001000010001zyxT10PP繞y軸順時針旋轉(zhuǎn)y角，與yoz平面重合10000cos0sin00100sin0

6、cos2yyyyT（6-18） （6-19） 10PP(3) 將繞x軸逆時針旋轉(zhuǎn)x角，與z軸重合10000cossin00sincos000013xxxxT（6-20） (4) 將P(x，y，z）點繞z軸逆時針旋轉(zhuǎn)角1000010000cossin00sincos4T（6-21）（5）將繞x軸旋轉(zhuǎn)-x角，即順時針旋轉(zhuǎn)x角10000cossin00sincos000015xxxxT（6-22） （6）將繞y軸旋轉(zhuǎn)-y角，即逆時針旋轉(zhuǎn)y 角10000cos0sin00100sin0cos6yyyyT（6-23）10PP10PP（7）將P0(x0，y0，z0)點平移回原位置1010000100001

7、0007zyxT10PP將投影到y(tǒng)0的平面上，投影矢量為u 計算中間變量sinx、siny、cosx、cosyu與z軸正向的夾角為y 10PP將投影到x0的平面上，投影矢量為v v與z軸正向的夾角為x 不需要計算x和y的值，只需計算其正弦值與余弦值，就可以計算出變換矩陣T2、T3、T5和T6。（6-24） 10PPyxvu10PPcos1ncos2ncos3n將分別為。取z軸上一單位矢量k將其繞x軸順時針旋轉(zhuǎn)x角，再繞y軸逆時針旋轉(zhuǎn)y角，則單位矢量k將同單位矢量n重合，變換過程為規(guī)范為單位矢量n，它在三個坐標軸上的投影 10000cos0sin00100sin0cos10000cossin00

8、sincos0000111001321yyyyxxxxnnn1coscossinsincosyxxyxyxnsincos1xnsin2yxncoscos3即，可解得：cossin2 nx（6-25） 22cos1sin1cosxx1232221nnn1coscoscos222由，得到222coscoscos1則，所以， 22coscoscosx（6-26） 221coscoscoscossinxyn（6-27） 223coscoscoscoscosxyn（6-28）7654321TTTTTTTT。將式（6-25）（6-28）代入（6-19）、（6-20）、（6-22）和（6-23）中，即可計算

9、出T2、T3、T5和T6。復合變換矩陣 在進行三維觀察時，需要將物體的描述從世界坐標系變換到觀察坐標系，然后通過旋轉(zhuǎn)視點可以觀察物體的全貌。 同一種變換既可以看作是點變換也可以看作是坐標系變換。點變換是頂點位置發(fā)生改變，但坐標系位置不發(fā)生改變。坐標系變換是建立新坐標系描述舊坐標系內(nèi)的頂點，坐標系位置發(fā)生改變，但頂點位置不發(fā)生改變。 P(1,1)P(3,3)P(3,3) （a） 原圖 （b）點變換 （c）坐標系變換1010001yxTTT平移變換矩陣 坐標系的旋轉(zhuǎn)變換，應(yīng)使用相反方向的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。如繞z軸的逆時針旋轉(zhuǎn)變換，應(yīng)使用順時針旋轉(zhuǎn)變換矩陣，反之亦然。 坐標系反射變換相當于坐標系不動，點

10、進行反射，二者效果一致，坐標系變換的反射變換矩陣保持不變。1000cossin0sincos1000cos)sin(0)sin(cosT（6-30） （6-29） 平移變換矩陣 1010000100001zyxTTTT（6-31）相對于點變換而言，坐標系變換的平移參數(shù)需要取為負值。繞x軸的逆時針三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為 10000cossin00sincos00001T（6-32） 同二維坐標系的旋轉(zhuǎn)變換類似，三維坐標系的旋轉(zhuǎn)變化矩陣應(yīng)使用點變換的反向旋轉(zhuǎn)變換矩陣表示。繞y軸的逆時針三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為10000cos0sin00100sin0cosT（6-33） 繞z軸的逆時針三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為10

11、00010000cossin00sincosT（6-34） 為順時針旋轉(zhuǎn)角。 坐標系的三維反射變換，直接采用點變換的反射變換矩陣 。三點透視二點透視一點透視透視投影斜二測斜等測斜投影正三測正二測正等測正軸測投影側(cè)視圖俯視圖主視圖正交投影正投影平行投影投影投影變換分類 由于顯示器只能用二維圖像表示三維物體，因此三維物體就要靠投影來降低維數(shù)得到二維平面圖形，因此把三維坐標轉(zhuǎn)變?yōu)槎S坐標的過程稱為投影變換。 根據(jù)投影中心與投影面之間的距離的不同，投影可分為平行投影和透視投影。投影中心到投影面的距離為無限大時得到的投影稱為平行投影，而對于透視投影，這個距離是有限的。平行投影又可分為斜投影和正交投影。投

12、影方向不垂直于投影面的平行投影稱為斜投影，投影方向垂直于投影面的平行投影稱為正交投影。正交投影的最大特點是無論物體距離視點（眼睛或攝像機）多遠，投影后的物體尺寸保持不變，常用于繪制物體的三視圖。 10000000001000011101zyxyxzyx 1000000000100001T正交投影矩陣為（6-35）正交投影變換 立方體正交投影 一個物體有6個視圖：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖，從物體的左面向右面投射所得的視圖稱側(cè)視圖，還有其它三個視圖不是很常用。 VHW 正三棱柱的立體圖 正三棱柱的三視圖1.主視圖將正三棱柱向yOz面做正交投

13、影，得到主視圖。 1000010000100000yozVTT主視圖變換矩陣為（6-36） 2.俯視圖將正三棱柱向xOz面做正交投影得到俯視圖。 1000010000000001xozT為了在yOz平面內(nèi)表示俯視圖，需要將xOz面繞z軸順時針旋轉(zhuǎn)90，旋轉(zhuǎn)變換矩陣為 投影變換矩陣為10000100000100101000010000)2cos()2sin(00)2sin()2cos(RzT俯視圖的變換矩陣為上述2個變換矩陣的乘積。10000100000100101000010000000001RzxozHTTT1000010000000010T H（6-37） 3.側(cè)視圖將正三棱柱向xOy面做

14、正交投影得到側(cè)視圖。 投影變換矩陣為1000000000100001xoyT俯視圖變換矩陣為為了在yOz平面內(nèi)表示側(cè)視圖，需要將xOy面繞y軸逆時針旋轉(zhuǎn)90，旋轉(zhuǎn)變換矩陣為1000000100100100100002cos02sin001002sin02cosRyT側(cè)視圖的變換矩陣為上面2個變換矩陣的乘積。 10000001001001001000000000100001RyxoyWTTT側(cè)視圖變換矩陣為1000000000100100T W（6-38） 使用上述三視圖變換矩陣繪制的三視圖雖然位于都同一平面內(nèi)，但卻彼此相連。這對于使用不同的視區(qū)單獨繪制主視圖、俯視圖和側(cè)視圖，不會產(chǎn)生影響。 三

15、視圖算法 但是對于僅使用一個視區(qū)繪制的三視圖，必須將三個視圖分開。可以將三視圖相對于原點各平移一段距離，如圖6-10中的tx、ty、tz所示。這需要對三視圖的變換矩陣再施加平移變換。其中主視圖的平移參數(shù)是（0，ty，tz），俯視圖的平移參數(shù)是（0，-tx，tz），側(cè)視圖的平移參數(shù)是（0，ty，-tx）。 主視圖平移矩陣 10010000100001zyVTttT俯視圖平移矩陣 10010000100001zxHTttT側(cè)視圖平移矩陣 10010000100001xyWTttT三視圖平移矩陣包含平移變換的三視圖變換矩陣 10010000100000zyVttT10010000000010T Hz

16、xtt10000000100100T wxytt，（6-39）下面3組三視圖中，雖然主視圖和側(cè)視圖完全相同，但俯視圖的細微差異導致了物體的三種不同結(jié)構(gòu)。 將三維物體向投影面內(nèi)作平行投影，但投影方向不垂直于投影面得到的投影稱為斜投影。與正交投影相比，斜投影具有較好的立體感。斜投影也具有部分類似正交投影的可測量性，平行于投影面的物體表面的長度和角度投影后保持不變。 斜等測圖 斜二測圖斜投影P1(x,y,z)P2(x,y,0)P3(x,y,0)L 斜投影原理 斜投影 正投影 cot zLcoscotcoszxLxxsincotsinzzLyysincotcoscotzyyzxx（6-40） P取45

17、，當cot=1時，即投影方向與投影面成=45的夾角時，得到的斜投影圖為斜等測圖。這時，垂直于投影面的任何直線段的投影的長度保持不變。將和代入式（6-40），有2/2/zyyzxx（6-42） 取45，當cot=1/2時，有63.4，得到的斜投影圖為斜二測圖，這時，垂直于投影面的任何直線段的投影的長度為原來的一半。將和代入式（6-40），有)22/()22/(zyyzxx（6-43） 與平行投影相比，透視投影的特點是所有投影線都從空間一點（稱為視點或投影中心）投射，離視點近的物體投影大，離視點遠的物體投影小，小到極點消失，稱為滅點（vanishing point）。一般將屏幕放在觀察者和物體之間

18、。投影線與屏幕的交點就是物體上一點的透視投影。視點代表人眼或照相機、攝像機的位置，是觀察坐標系的原點。視心是屏幕坐標系的原點。視徑R屏幕視點物體視距d透視變換中屏幕的位置 透視投影變換中，物體中心位于世界坐標系Owxwywzw的原點Ow，視點位于觀察坐標系Ovxvyvzv的原點Ov（a,b,c），投影中心位于屏幕坐標系Osxsyszs的原點Os。透視變換坐標系 2.觀察坐標系 世界坐標系Owxwywzw采用右手直角坐標系。坐標原點位于Ow點，視點的直角坐標為Ov（a,b,c）。OwOv的長度為視徑R，OwOv與y軸的夾角為，Ov點在xOz平面內(nèi)的投影為M（a,c），OwM與z軸的夾角為。視點的

19、球面坐標表示為Ov（R,）。視點的球面坐標和直角坐標的關(guān)系為 cossincossin sinRcRbRa020（0R，） （6-44） 觀察坐標系Ovxvyvzv為左手直角坐標系，坐標原點取在視點Ov上。zv軸沿著視線方向OvOw指向Ow點，視線的正右方為xv軸，視線的正上方為yv軸。1.世界坐標系世界坐標系3.屏幕坐標系 屏幕坐標系Osxsyszs也是左手直角坐標系，坐標原點Os位于視心。屏幕坐標系的xs和ys軸與觀察坐標系的xv軸和yv軸方向一致，也就是說屏幕垂直于視線，zs軸自然與zv軸重合。 首先將世界坐標系的原點Ow平移到觀察坐標系的原點Ov，然后將世界右手坐標系變換為觀察左手坐標

20、系，就可以實現(xiàn)從世界坐標系到觀察坐標系的變換。這里使用了坐標系變換的概念。1.原點到視點的平移變換 1cossincossinsin01000010000110100001000011RRRcbaT平移變換 2.繞y1軸的旋轉(zhuǎn)變換 將坐標系Ovx1y1z1先繞y1軸順時針旋轉(zhuǎn)180-角，使z1軸位于OvPO平面內(nèi)，形成新坐標系Ovx2y2z2。10000cos0sin00100sin0cos10000)cos(0)sin(00100)sin(0)cos(2T繞y1軸順時針旋轉(zhuǎn)變換 3.繞x2 軸的旋轉(zhuǎn)變換 將坐標系Ovx2y2z2繞x2作90的逆時針旋轉(zhuǎn)變換，使z2軸沿視線方向，形成新坐標系O

21、vx3y3z3。 繞x2軸的逆時針旋轉(zhuǎn)變換 10000sincos00cossin0000110000)2cos()2sin(00)2sin()2cos(000013T4. 關(guān)于y3Ovz3面的反射變換 坐標軸x3作關(guān)于y3Ovz3面的反射變換，形成新坐標系Ovxvyvzv，這樣就將觀察坐標系從右手系變換為左手系，并且zv軸沿著視線方向指向Oxyz坐標系的原點，xv垂直指向紙面之內(nèi)。坐標系y3Ovz3面的反射變換 10000100001000014T4321TTTTTv100001000010000110000sincos00cossin00001 10000cos0sin00100sin0c

22、os1cossincossinsin010000100001RRRTv觀察變換矩陣 1000cossincoscossin0cossin00sinsinsincoscosRTv（6-45）展開式為 Rzyxzzyxyzxwwwvwwwvwvcossincossinsincoscossinsincossincosxw（6-46） 為了避免程序中重復計算式（6-46）中的三角函數(shù)耗費時間，三角函數(shù)可以使用常數(shù)代替。sin1ksin2kcos3kcos4k325cossinkkk126sinsinkkk347coscoskkk148sincoskkkRzkykxkzzkykxkyzkxxwwwvww

23、wvwwv54672813k（6-47） 使用式（6-47）可以繪制物體的旋轉(zhuǎn)變換動畫。改變，視點就會沿著緯度方向旋轉(zhuǎn)；改變，視點就會沿著經(jīng)度方向旋轉(zhuǎn)；增大視徑R，視點到物體的距離變遠，物體的投影縮??；減小視徑R，視點到物體的距離變近，物體的投影放大。相對而言，如果認為視點不動，等同于物體反向旋轉(zhuǎn)。請注意，此時雖然觀察到了物體的旋轉(zhuǎn)或縮放，但物體在世界坐標系內(nèi)的物理位置并沒有發(fā)生改變。由于還沒有對物體實施透視變換，物體投影的大小并未發(fā)生變化。觀察坐標系只是提供了一種從任意視向觀察物體的方法。 void CTestView:InitParameter()k1=sin(PI*Theta/180);

24、 /初始化三角函數(shù)k2=sin(PI*Phi/180);k3=cos(PI*Theta/180);k4=cos(PI*Phi/180);k5=k2*k3;k6=k2*k1;k7=k4*k3;k8=k4*k1;ViewPoint.x=R*k6; /世界坐標系的視點球坐標ViewPoint.y=R*k4;ViewPoint.z=R*k5;546kRckRbkRa視點坐標使用k1k8統(tǒng)一表示為（6-48） 屏幕坐標系為左手系，且zs軸與zv軸同向。視點Ov與視心Os的距離為視距d。假定觀察坐標系中物體上的一點為Pv（xv,yv,zv），視線OvPv與屏幕的交點在觀察坐標系中表示為Ps（xs,ys,0

25、）代表物體上的Pv點在屏幕上的透視投影。透視投影變換 由點Pv向xvOvzv平面內(nèi)作垂線交于N點，再由N點向zv軸作垂線交于Q點。連接OvN交xs軸于M點。根據(jù)RtMOvOs與RtNOvQ相似，有（6-49） （6-50） 根據(jù)RtPsOvM與RtPvOvN相似 ，有（6-51） 由式（6-50）得到（6-52） QOOONQMOvsvsQOOONOMOvsvvvNOMONPMPvvvsQOOONPMPvsvvs將式（6-49）寫成坐標形式vvszdxx（6-53） 將式（6-52）寫成坐標形式vvszdyy（6-54） 于是有vvsvvszydyzxdx（6-55） 透視變換矩陣為 0000

26、/110000100001dTp（6-56） 透視投影整體變換矩陣為 pvTTTdRDdd000cossin0coscossincos0sin0sinsin0sincoscos（6-57） 0000/1000001000011000cossincoscossin0cossin00sinsinsincoscosdRvoid CTestView:PerProject(CP3 P)CP3 ViewP;ViewP.x=k3*P.x-k1*P.z; /觀察坐標系三維點ViewP.y=-k8*P.x+k2*P.y-k7*P.z;ViewP.z=-k6*P.x-k4*P.y-k5*P.z+R;ScreenP

27、.x=d*ViewP.x/ViewP.z;/屏幕坐標系二維點 ScreenP.y=Round(d*ViewP.y/ViewP.z); 小路的透視投影 透視投影中，與屏幕平行的平行線投影后仍保持平行。不與屏幕平行的平行線投影后匯聚為滅點，滅點是無限遠點在屏幕上的投影。每一組平行線都有其不同的滅點。坐標軸上滅點稱為主滅點。 透視投影中主滅點數(shù)目是由屏幕切割坐標軸的數(shù)量來決定，并據(jù)此將透視投影分類為一點、二點和三點透視。一點透視有一個主滅點，即屏幕僅與一個坐標軸正交，與另外兩個坐標軸平行；二點透視有兩個主滅點，即屏幕僅與兩個坐標軸相交，與另一個坐標軸平行；三點透視有三個主滅點，即屏幕與三個坐標軸都相

28、交 （a）一點透視 （b）二點透視 （c）三點透視1.一點透視 當90，0時，屏幕平行于xOz面，得到一點透視圖。 2.二點透視 當90，090時，屏幕與x軸和z軸相交，但平行于y軸， 得到二點透視圖。 3.三點透視 三點透視圖是屏幕與三個坐標軸都相交時的透視投影圖。當0、90、180；且0、90、180、270時，屏幕與x軸、y軸和z軸都相交，得到三點透視圖。將60、30代入式（6-57）。立方體的三點透視投影圖 對于透視投影，場景中所有投影均位于以視點為頂點，連接視點與屏幕四角點為棱邊的沒有底面的四棱錐內(nèi)。當屏幕離視點太近或太遠時，物體因變得太大或太小而不可識別。定義視域四棱錐的z向近剪切

29、面和遠剪切面分別為Near和Far ，經(jīng)zv向裁剪后的視域四棱錐轉(zhuǎn)化為四棱臺。 透視投影的視景體 zvNearzvFar平行投影的視景體 物體在屏幕坐標系中的深度計算公式為NearFarzNearFarzvs1（6-61）式中，Near和Far是常數(shù)，且Near就是視距d。透視變換的一個重要性質(zhì)是把直線映射為直線，平面映射為平面。 圖6-31坐標系相對關(guān)系圖 在真實感場景中，三維物體的動畫主要使用三維幾何變換來完成。透視投影是繪制真實感圖形的基礎(chǔ)，透視投影是在觀察坐標系內(nèi)實施的。物體的旋轉(zhuǎn)動畫可以使用兩種方法生成，一種方法是物體不動，視點旋轉(zhuǎn)，稱為視圖變換；另一種方法是物體旋轉(zhuǎn)，視點不動，稱為

30、模型變換。真實感光照場景中，由于世界坐標系中設(shè)置了光源的位置，物體的旋轉(zhuǎn)主要采用的是模型變換方式，此時視點和光源位置不變，物體旋轉(zhuǎn)生成動畫。由于本書配套的實踐教程中主要采用雙緩沖動畫技術(shù)繪制物體的透視投影，所以將不再細分一點透視、二點透視和三點透視。 在三維屏幕坐標系中計算了物體透視投影的相對深度，其絕對深度可以使用觀察坐標系內(nèi)的zv來表示，由于觀察坐標系內(nèi)的zv值尚未進行透視變換，所以其取值具有不規(guī)范等缺陷。通過分析近剪切面Near和遠剪切面Far的取值范圍可以看出，對于觀察坐標系中的一個平面，在屏幕坐標系中可以選擇無數(shù)多個平面與之對應(yīng)，Near與Far的具體數(shù)值一般通過試驗確定。長方體如圖6-32所示，8個坐標分別為（0,0,0），（2,0,0）,（2,3,0）,（0,3,0）,（0,0,2）,（2,0,2）,（2,3,2）,（0,3,2）。試對長方體進行Sx1/2，Sy1/3，Sz1/2的比例變換，求變換后的長方體各頂點坐標。圖6-32 長方體比例變換 2.四面體的頂點坐標為 A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0