熱工基礎(chǔ)134～136

1、1.3.4.1理想流體運動微分方程推導(dǎo)u原理：牛頓第二定律： 在微元六面體的中心有一點 ，該點流體的密度為 ，壓力為 ，微元六面體的邊長為 對微元六面體進(jìn)行受力分析。 面上中心點 的壓強為 ； 面上中心點 的壓強為 ； FmaAp,dx dy dzabcdmmpefghnnp 在x軸方向上進(jìn)行受力分析：（1）表面力：()2mp dxFpdydzx()2np dxFpdydzx()()22xmnp dxp dxpFFFpdydzpdydzdxdydzxxx 則 x方向的凈表面力(2) 在x軸方向上的質(zhì)量力為：式中 X為單位質(zhì)量力在x軸方向上的分量。(3) 在 x方向的合外力代數(shù)和應(yīng)為質(zhì)量與分加速

2、度乘積： XdxdydzxdupXdxdydzdxdydzdxdydzxdtxdupXxdt1xdupXxdt1ydupYydt1zdupZzdt同理在y，z軸方向上也有：xxxduFmadxdydzdt得或即和所以有：1xdupXxdt1ydupYydt1zdupZzdt 這就是理想流體運動微分方程，即歐拉運動微分方程。因此，得到：1xxxxxxyzduuuuupXuuuxdttxyz1yyyyyxyzduuuuupYuuuydttxyz1zzzzzxyzduuuuupZuuuzdztxyz歐拉運動微分方程寫成：1duFpdt ijkxyz 寫成矢量表達(dá)式為：式中哈密頓算子：1.3.4.2歐

3、拉運動微分方程的求解u 歐拉運動微分方程建立了作用在理想流體上的力與流體運動加速度之間的關(guān)系，它是研究理想流體各種運動規(guī)律的基礎(chǔ)，對可壓縮及不可壓縮理想流體的穩(wěn)定流動都是適用的。u 一般情況下，作用在流體上的單位質(zhì)量力X、Y、Z是已知的，對理想不可壓縮流體密度為常數(shù)，三個微分方程中未知數(shù)有四個，即ux、uy、uz和p，因此需要加上連續(xù)性方程，方程是可解的。u 對于可壓縮流體，密度是變量，需要再加上氣體狀態(tài)方程式，方程組理論上也是可以求解的。u 然而，要具體確定方程組的解，還要給出起始條件和邊界條件。1xxxxxxyzduuuuupXuuuxdttxyz00t1yyyyyxyzduuuuupYu

4、uuydttxyz1zzzzzxyzduuuuupZuuuzdztxyz（導(dǎo)出條件1）（導(dǎo)出條件2）1.3.5.1 理想流體穩(wěn)定流動沿流線（微細(xì)流）的積分u條件： 穩(wěn)定流動：理想流體：u 將歐拉運動微分方程寫成： 因為只考慮穩(wěn)定流動，所以上式中的p，ux，uy，uz都只是坐標(biāo)x，y，z的函數(shù)，而與時間無關(guān)。 將上面的三式分別乘以 ，累次相加。首先分析 x方向的動能： 由流線方程： ,dx dy dzxxxxxyzduuuudxudxudxudxdtxyzxyzdxdydzdtuuu21()2xxxxxxxxxxduuuudxudxudyudzu dud udtxyz有：同理：設(shè)存在這樣一個函數(shù)

5、 （力函數(shù)），滿足：那么： 柏努利積分式 21()2yydudyd udt21()2zzdudzd udt2221()()2xyzuuupppXdxYdyZdzdxdydzdxyzU,UUUXYZxyz212udUdpd212uUdp則積分：和 不可壓縮： 只有重力的作用： 由柏努利積分式： C0,;XYZg Ugz 212ugzpC212ugzpC212uUdp得或?qū)τ诹骶€上任意兩個質(zhì)點1和2來說，有：221211221122uugzpgzp式中各項分別為單位質(zhì)量的流體具有的位能，靜壓能及動能，( )。J kg（導(dǎo)出條件3）（導(dǎo)出條件4）1.3.5.2 理想流體穩(wěn)定流動總流的柏努利方程理想流

6、體穩(wěn)定流動總流的柏努利方程 任何穩(wěn)定流動的總流，都可以看成是無窮多微小流束的總和。在總流中某一微小流束的不同有效截面上的物理參數(shù)不一定相同。（1）均勻流與緩變流均勻流：如果有效斷面或平均流速沿程不變，且流線為平均勻流：如果有效斷面或平均流速沿程不變，且流線為平行直線這樣的穩(wěn)定流稱為均勻流。行直線這樣的穩(wěn)定流稱為均勻流。非均勻流：如果有效斷面沿程變化，或者有效斷面不變，但各斷面上速度分布改變，這種流動稱為非均勻流。緩變流：凡有效斷面上流線間夾角很小，流線曲率半經(jīng)無緩變流：凡有效斷面上流線間夾角很小，流線曲率半經(jīng)無限大，即流線趨近于平行線的流動稱緩變流。限大，即流線趨近于平行線的流動稱緩變流。急變

7、流：不符合緩變流條件的流動為急變流。（2）理想流體穩(wěn)定流動總流的柏努利方程 現(xiàn)在討論如何把微小流束柏努利方程應(yīng)用于總流的緩變流斷面，從而建立理想流體總流的柏努利方程。 在任一微小流束上某一斷面的流體質(zhì)點具有的單位重量流體機械能為：22puezg 以以 的重量流量通過微小流束有效斷面的的重量流量通過微小流束有效斷面的流體總能量為：流體總能量為：dGudA22pudEedGzudAg22AApuEdEzudAgGQ212AEpuezudAQQg均pzAudAQ312AAeudAu dAQgQ均+pz單位時間內(nèi)通過總流有效斷面流體的總能量為：上式除以通過總流有效斷面流體重量流量 ，則得給定斷面流體平

8、均單位能量：如果所取斷面符合緩變流條件時，有效斷面上各點 為一常數(shù)，并由連續(xù)性方程 ，上式變?yōu)椋?312Apezu dAgQ均得： 上式中前兩項為總流在有效斷面上單位重量流體的平均位能和壓力能，第三項為單位重量流體的平均動能，單第三項為單位重量流體的平均動能，單位為流體柱高。位為流體柱高。 為了方程的方便應(yīng)用，現(xiàn)在用斷面平均流速v代替真實速度u，并引入動能修正系數(shù)并引入動能修正系數(shù)。22pveg均z 動能修正系數(shù)是由于斷面上速度分布不均勻而引起的，不均勻性 愈大其值愈大。在紊流管道中1.051.10；圓管層流運動2。實際工程計算一般取1。 對于管道流動，取如圖基準(zhǔn)面，列出11和22截面的總流柏

9、努利方程：2211 12221222pvpvzzgg式中：1，2分別為兩截 面處 的動能修正系數(shù)；v1，v2分別為兩截面處的平均流速，m/s。 單位重量流體具有的位能，單位重量流體具有的位能，m流體柱；流體柱； 單位重量流體具有的靜壓能，單位重量流體具有的靜壓能，m流體柱；流體柱； 單位重量流體具有的動能，單位重量流體具有的動能，m流體柱。流體柱。2211221222pvpvgzgz2212112222vvgzpgzp2211221222pvpvzzggzp212vg（1） （2）（3） 對于式（3）： 柏努利方程式中各項分別表示微細(xì)流中某一截面上單位重量流體所具有的的靜壓能、位能、動能。 它

10、們的和是一常數(shù)。柏努利方程是機械能守恒定律在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn)。2211 12221222pvpvzzrgrg(1) 物理意義 pr22vg (2)幾何意義u圖示能量分布圖： 為單位重量流體所具有的動能，又稱速度壓頭或動壓頭，是單位重量流體的動能所產(chǎn)生的流體柱的高度。2211221222pvpvzzrgrg其中：z為單位重量流體所具有的位能，又稱幾何壓頭或位壓頭； 為單位重量流體所具有的靜壓能，又稱靜壓頭，是單位重量流體的壓力能產(chǎn)生的流體柱的高度； (3)柏努利方程還說明機械能是可以相互轉(zhuǎn)化的。222122vvgg21pprr 1-1截面2-2截面z2z12211221222pvpvzzrg

11、rg則柏努利方程的應(yīng)用條件：1）單流體，z軸的方向向上為正；2）截面選擇在緩變截面上；3）流體為理想流體；4）流體為穩(wěn)定流動；5）流體為不壓縮性流體；6）流體只受到重力作用。 實際流體都具有粘性，使得流體流動時需要消耗一部分機械能，以克服由于粘性而產(chǎn)生的切向阻力。因而在各截面上單位重量流體的能量便不能保持一定，所以對于粘性流體的微細(xì)流：2211221222pvpvzzgg2211221222wpupuhzzgg 式中的 hw是為克服截面11與22之間的阻力，單位重量的流體所消耗的機械能，稱為壓頭損失。 對于不可壓縮的粘性流體的微細(xì)流，作穩(wěn)定流動時其柏努利方程式應(yīng)改寫成為：1.3.6.1微細(xì)流

12、對于粘性流體的總流，作穩(wěn)定流動時的柏努利方程式為：212122121222wppzzhgvvg2211221222wpvpvzzhgg1.3.6.2 總流 對于圓形管道中的穩(wěn)定緩變流： 層流時層流時 2； 湍流時湍流時 1.051.10； 通常工程上取通常工程上取 =1 為截面的平均流速為截面的平均流速；為動能修正系數(shù)，通常由實驗確定。 12,v v12, 式中： 所以：2211221222ewHpvpvzzhggu柏努利方程的三種形式：柏努利方程的三種形式：2212112222epvvgzpHgzph2211221222empvpvgzHgzh以單位重量流體為基準(zhǔn)，單位為以單位重量流體為基準(zhǔn)

13、，單位為m流體柱或流體柱或J/N。以單位質(zhì)量流體為基準(zhǔn)，單位為以單位質(zhì)量流體為基準(zhǔn)，單位為m2/s2或或J/kg。以單位體積流體為基準(zhǔn)，單位以單位體積流體為基準(zhǔn)，單位為為Pa或或J/m3。2211221222ewpvpvzHzhgg例題：如圖所示，有一開口大容器的出水管管徑為d=10 cm ，當(dāng)水龍頭關(guān)閉時壓力表讀數(shù)為49050 Pa（表壓），水龍頭開啟后壓力表讀數(shù)降至19620 Pa（表壓）。如果水流動時的總能量損失為4905 Pa，而上水位保持不變，試求通過管路的水流流量。 解：設(shè)p1為表壓強。 在水管關(guān)閉時，以1-1為基準(zhǔn)面列1-1截面和2-2截面的柏努利方程： p1關(guān) pa pagH 所以 p1關(guān) =gH=49050 Pa 當(dāng)水管開啟時，以1-1為基準(zhǔn)面列1-1截面和2-2截面的柏努利方程：2112 12aapvgHppph開211