數(shù)量金融6_即期利率曲線擬合

1、1第六講第六講即期利率曲線擬合即期利率曲線擬合6.1 債券.6.2 即期利率曲線.6.3 即期利率曲線擬合.26.1債券債券債券在指定時間，債券發(fā)行人向債券持有人歸還借款（ par value/ face value/principal）和支付利息的憑證。零息債券：沒有息票（利息）支付的債券。Maturity dateFace valuestream of coupon payments: Face value * coupon rate36.1債券債券即期利率（spot rate）記當(dāng)前時刻為0時刻，T年期的即期利率rT為面值等于1的T年期零息債券的到期收益率，即其中B(0,T) 為面值等于

2、1的T年期零息債券的價格（假設(shè)市場為連續(xù)復(fù)利）。rT稱為T-year spot rate （zero rate，short rate）。B(0,T) 稱為T年的無風(fēng)險貼現(xiàn)因子（risk-free discount factor from T to 0 ）。(0, ), (6.1)TrTBTe46.1債券債券債券價格假設(shè)時刻Ti的即期利率為ri，那么如下一般債券的價格為Maturity date (TN)F + cNc1T1T2c2T0=011(0, )(0,)(0,). (6.2)i iNNNNrTr TiiiNiiPTceFec BTFBT56.1債券債券即期利率與債券收益率的關(guān)系債券收益率

3、y描述了某個特殊債券的整體回報情況，滿足因此，我們有故，可以將y視為即期利率的某種平均。11.iNi iNNNNyTyTrTr TiiiiceFeceFe1(0, ) (6.3)iNNyTyTiiPTceFe66.2即期利率曲線即期利率曲線即期利率曲線描述即期利率ri相對于到期時間Ti的變化規(guī)律的曲線。也稱為利率的期限結(jié)構(gòu)（term structure of interest rate）。如何構(gòu)建即期利率曲線？使用各種債券，互換，或其他利率衍生產(chǎn)品計算關(guān)鍵時刻T1，T2，TN的即期利率，而后對關(guān)鍵時刻之間的即期利率進行擬合。76.2即期利率曲線即期利率曲線86.2即期利率曲線即期利率曲線93.

4、2 Bond （Topic 3. Interest rates market）Construction of Zero Rates CurveExample 3.3Principal ($)Time to maturity (years)Annual coupon ($) (semiannual paying)Bond price ($)1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6103.2 Bond （Topic 3. Interest rates market）Solution:6 .101)2 , 0(106

5、)5 . 1 , 0(6) 1 , 0(6)5 . 0 , 0(60 .96)5 . 1 , 0(104) 1 , 0(4)5 . 0 , 0(40 .90) 1 , 0(1009 .94)5 . 0 , 0(1005 .97)25. 0 , 0(100BBBBBBBBBB%81.10)2(%68.10)5 . 1 (%54.10) 1 (%47.10)5 . 0(%13.10)25. 0(rrrrr113.2 Bond （Topic 3. Interest rates market） The 1.75-year zero rate (R) can be calculated from the

6、 r(1.5) and r(2) as follow:r(1.75)= 0.5r(1.5) + 0.5r(2) = 0.510.68% + 0.510.81% =10.75% 126.3 即期利率曲線擬合即期利率曲線擬合樣條函數(shù)（spline function）一類分段（片）光滑、并且在各段交接處也有一定光滑性的函數(shù)。 我們使用二次連續(xù)可微的（三次）自然樣條函數(shù)r(T)擬合即期利率曲線，具體的33111111221()()( )()666 (), ,6( )/,( ),.iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiTTTTrhr TrrTTrhhhrhTTrTT Thrd r TdTrr

7、 ThTT其中136.3 即期利率曲線擬合即期利率曲線擬合例子6.1上交所企債即期利率曲線2012-03-27上交所企債即期利率曲線2012-03-20序號期限(年)利率(%)利率(%)利差(bp)10.253.2530063.610978-35.797220.53.4969653.829652-33.2686313.9449094.231233-28.6323424.6722484.882171-20.9923535.1459915.302309-15.6319645.3630755.487949-12.4874755.4405175.545199-10.4683875.4096465.486094-7.64475985.3472875.411438-6.4151210105.1806575.219236-3.8579111154.7513844.702474.89140612204.6438394.44320220.06371133010.659577.392026326.7541146.3 即期利率曲線擬合即期利率曲線擬合156.3 即期利率曲線擬合即期利率曲線擬合人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“