場(chǎng)波教案-3靜電場(chǎng)-45-105

1、6. 靜電場(chǎng)的邊界條件靜電場(chǎng)的邊界條件 由于媒質(zhì)的特性不同，引起場(chǎng)量在兩種媒質(zhì)的交界面由于媒質(zhì)的特性不同，引起場(chǎng)量在兩種媒質(zhì)的交界面上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場(chǎng)的上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場(chǎng)的邊界條件邊界條件。通常分別討論邊界通常分別討論邊界上場(chǎng)量的切向分量上場(chǎng)量的切向分量和法向分量的變化和法向分量的變化規(guī)律規(guī)律。 1 2e ene etn normalt tangentialE2E11324lh 1 2et 圍繞某點(diǎn)且緊貼邊界作一個(gè)有圍繞某點(diǎn)且緊貼邊界作一個(gè)有向矩形閉合曲線，其長(zhǎng)度為向矩形閉合曲線，其長(zhǎng)度為l，高度為高度為h，則，則電場(chǎng)強(qiáng)度沿該矩形電場(chǎng)強(qiáng)度沿該矩形曲線的環(huán)量為曲線

2、的環(huán)量為 1 4 4 3 3 2 2 1 d d d d d lElElElElEl為了求出邊界上的場(chǎng)量關(guān)系，必須令為了求出邊界上的場(chǎng)量關(guān)系，必須令 h 0，則線積分，則線積分 0d d 1 4 3 2 lElE 電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量。電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量。 為了求出邊界上某點(diǎn)的場(chǎng)量關(guān)系，必須令為了求出邊界上某點(diǎn)的場(chǎng)量關(guān)系，必須令 l 足夠短，足夠短，則則lElEd d dt21t4 3 22 1 1 lElElE式中式中E1t 和和 E2t 分別表示介質(zhì)分別表示介質(zhì)和和中電場(chǎng)強(qiáng)度與邊界平中電場(chǎng)強(qiáng)度與邊界平行的切向分量。行的切向分量。2t1tEE 在兩種介質(zhì)形成的邊界上，兩側(cè)的在兩種介質(zhì)形成的邊界

3、上，兩側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量相等相等，或者說(shuō)，或者說(shuō)，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的。 0 l dE對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，得對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)，得 22t1t1DD此式表明，此式表明，在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，電通密度的切向分量是不連續(xù)的電通密度的切向分量是不連續(xù)的。 hS 在邊界上圍繞某點(diǎn)作一個(gè)圓柱面，在邊界上圍繞某點(diǎn)作一個(gè)圓柱面，其高度為其高度為h，端面為，端面為S。那么根那么根據(jù)介質(zhì)中的高斯定律據(jù)介質(zhì)中的高斯定律Sq SdDD2D1令令 h 0 ，則通過(guò)側(cè)面的通量為零，又考慮到，則通過(guò)側(cè)面的通

4、量為零，又考慮到 S 必必須足夠小，則須足夠小，則SSDSD 1n2ndSD式中式中D1n 及及 D2n 分別代表對(duì)應(yīng)介質(zhì)中電通密度與邊界垂直的分別代表對(duì)應(yīng)介質(zhì)中電通密度與邊界垂直的法線分量。邊界法線的方向法線分量。邊界法線的方向 en 規(guī)定為由介質(zhì)規(guī)定為由介質(zhì)指向介質(zhì)指向介質(zhì)。 1 2en 電通密度的法向分量。電通密度的法向分量。sSqDD1n2n得得 s 為邊界上存在的表面自由電荷的面密度。在兩種為邊界上存在的表面自由電荷的面密度。在兩種介質(zhì)介質(zhì)形形成的邊界上通常不可能存在表面自由電荷，因此成的邊界上通常不可能存在表面自由電荷，因此2n1nDD在兩種介質(zhì)邊界上在兩種介質(zhì)邊界上電通密度的法向

5、分量相等電通密度的法向分量相等，或者說(shuō)，或者說(shuō)，電通密度的法向分量是連續(xù)的電通密度的法向分量是連續(xù)的。 對(duì)于各向同性的線性介質(zhì)對(duì)于各向同性的線性介質(zhì) n221n1EE表明表明: :在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，在兩種各向同性的線性介質(zhì)形成的邊界上，電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量不連續(xù)的強(qiáng)度的法向分量不連續(xù)的。 2t1tEE 11n22nEE121tE2tE121E2E1nE2nEne1122sinsinEE111222coscosEE兩式相除兩式相除1122tantan描述了兩種不同介質(zhì)分界面上描述了兩種不同介質(zhì)分界面上場(chǎng)量所遵循的物理?xiàng)l件，稱為場(chǎng)量所遵循的物理?xiàng)l件，稱為靜電場(chǎng)的折射定律靜電場(chǎng)

6、的折射定律。nSeD7. 導(dǎo)體和介質(zhì)交界面上的邊界條件導(dǎo)體和介質(zhì)交界面上的邊界條件考慮到導(dǎo)體中不存在靜電場(chǎng)，因而電場(chǎng)強(qiáng)度和電通密考慮到導(dǎo)體中不存在靜電場(chǎng)，因而電場(chǎng)強(qiáng)度和電通密度均為零。度均為零。1t2t0EE2nSD為導(dǎo)體表面存在的自由電荷面密度為導(dǎo)體表面存在的自由電荷面密度 S說(shuō)明介質(zhì)中與導(dǎo)體表面相鄰處的電場(chǎng)強(qiáng)度和電通密說(shuō)明介質(zhì)中與導(dǎo)體表面相鄰處的電場(chǎng)強(qiáng)度和電通密度都垂直于導(dǎo)體表面。度都垂直于導(dǎo)體表面。0nEenEn nDn 電位的邊界條件電位的邊界條件兩種介質(zhì)分界面兩側(cè)兩種介質(zhì)分界面兩側(cè) 電位必須連續(xù)，否則將意味著電位必須連續(xù)，否則將意味著無(wú)限大的電場(chǎng)強(qiáng)度，在物理上不可能，即電位連續(xù)。無(wú)限

7、大的電場(chǎng)強(qiáng)度，在物理上不可能，即電位連續(xù)。122121Snn 同理，導(dǎo)體與介質(zhì)分界面的邊界條件可以描述為：同理，導(dǎo)體與介質(zhì)分界面的邊界條件可以描述為：12C22Sn E E2E E1 1 2e et 1 2e enD D2D D12t1tEE 22t1t 1DD2n1nDDn221n1EE2n1nSDD介質(zhì)介質(zhì)E E, , D D導(dǎo)體導(dǎo)體e en0nEenSeDnSESn 邊界條件邊界條件靜電屏蔽靜電屏蔽E E = 0E E 0E E 0E E = 00dSSD 例例 已知半徑為已知半徑為r1 的導(dǎo)體球攜帶的正電量為的導(dǎo)體球攜帶的正電量為q，該導(dǎo)體球被，該導(dǎo)體球被內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為 r2 的導(dǎo)體

8、球殼所包圍，球與球殼之間填充介質(zhì)，其的導(dǎo)體球殼所包圍，球與球殼之間填充介質(zhì)，其介電常數(shù)為介電常數(shù)為1 ，球殼的外半徑為，球殼的外半徑為 r3 ，球殼的外表面敷有一層，球殼的外表面敷有一層介質(zhì)，該層介質(zhì)的外半徑為介質(zhì)，該層介質(zhì)的外半徑為r4 ，介電常數(shù)為，介電常數(shù)為2 ，外部區(qū)域?yàn)檎?，外部區(qū)域?yàn)檎婵?，如左下圖示。空，如左下圖示。試求：試求：各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度；各區(qū)域中的電場(chǎng)強(qiáng)度； 各個(gè)表面上的自由電荷。各個(gè)表面上的自由電荷。r1r2r3r4 0 2 1解解 由于結(jié)構(gòu)為球?qū)ΨQ，場(chǎng)也是球由于結(jié)構(gòu)為球?qū)ΨQ，場(chǎng)也是球?qū)ΨQ的，應(yīng)用對(duì)稱的，應(yīng)用高斯定律高斯定律求解十分方求解十分方便。便。 在在 r r1及及

9、 r2r r3 區(qū)域中，區(qū)域中， E = 0。 r1r2r3r4 0 2 1 在在 r1r r2 區(qū)域中，區(qū)域中，由由 ，得，得 Sq dSDrrqeE2114rrqeE2224同理，在同理，在 r3r r4 區(qū)域中，求得區(qū)域中，求得 根據(jù)根據(jù) ，可以求得各個(gè)表面上的自由電荷，可以求得各個(gè)表面上的自由電荷面密度為面密度為SDenr1r2r3r4 0 2 1r = r1:214 rqSr = r4:0Sr = r2:2224 rqSr = r3:2334 rqS例例 兩塊導(dǎo)電平板平行放置，其間填充厚度分別為兩塊導(dǎo)電平板平行放置，其間填充厚度分別為d1d1、d2d2的的兩層電介質(zhì)，相對(duì)介電常數(shù)分別

10、為兩層電介質(zhì)，相對(duì)介電常數(shù)分別為 和和 ，如圖所示。，如圖所示。兩導(dǎo)電板間的電壓為兩導(dǎo)電板間的電壓為U U，忽略邊緣效應(yīng)，求它們之間電場(chǎng)強(qiáng)，忽略邊緣效應(yīng)，求它們之間電場(chǎng)強(qiáng)度及電荷分布。度及電荷分布。1r2r解解 : : 忽略邊緣效應(yīng)，近似認(rèn)為導(dǎo)體板表面的電荷是均勻忽略邊緣效應(yīng)，近似認(rèn)為導(dǎo)體板表面的電荷是均勻分布的。這樣在兩種介質(zhì)中的電場(chǎng)都是均勻的。分布的。這樣在兩種介質(zhì)中的電場(chǎng)都是均勻的。設(shè)兩種介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為設(shè)兩種介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為E E1 1和和E E2 2，根據(jù)邊界條件，根據(jù)邊界條件D D1n1n= D= D2n2n221EEr001r得得UdEdE2211又由又由122121

11、ddUErrr得得11011EDrns導(dǎo)體板表面的電荷密度為導(dǎo)體板表面的電荷密度為12211ddUErrr21221210ddUrrrr22022EDrns1221210ddUrrrr8.8.靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是靜電場(chǎng)根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是靜電場(chǎng)的的邊值問(wèn)題。邊值問(wèn)題。 對(duì)于線性各向同性的均勻介質(zhì)，有源區(qū)中的電位滿對(duì)于線性各向同性的均勻介質(zhì)，有源區(qū)中的電位滿足泊松方程足泊松方程 2在無(wú)源區(qū)，電位滿足拉普拉斯方程在無(wú)源區(qū)，電位滿足拉普拉斯方程02數(shù)學(xué)物理方程描述物理量隨數(shù)學(xué)物理方程描述物理量隨時(shí)間時(shí)間和和空間空間的變化特性

12、的變化特性。靜電場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉靜電場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。定解條件定解條件初始條件初始條件邊界條件邊界條件數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程此處邊界條件實(shí)際上是指給定的邊值，它不同于前面此處邊界條件實(shí)際上是指給定的邊值，它不同于前面描述靜電場(chǎng)的邊界上場(chǎng)量變化的邊界條件。描述靜電場(chǎng)的邊界上場(chǎng)量變化的邊界條件。邊界條件有三種類型：邊界條件有三種類型：第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊值問(wèn)題又稱為這種邊值問(wèn)題又稱為諾依曼問(wèn)題諾依曼問(wèn)題。第

13、三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為為混合邊界條件混合邊界條件。第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問(wèn)題又稱為問(wèn)題又稱為狄里赫利狄里赫利問(wèn)題。問(wèn)題。 泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明。證明。 惟一性惟一性 是指在給定的定解條件下所求得的解是否是是指在給定的定解條件下所求得的解是否是惟一的。惟一的。 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 是指當(dāng)定解條件

14、發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的解是否變化很大。解是否變化很大。存在存在 是指在給定的定解條件下，方程是否有解。是指在給定的定解條件下，方程是否有解。 靜電場(chǎng)是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在靜電場(chǎng)是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無(wú)疑。確信無(wú)疑?？梢宰C明電位微分方程解具有惟一性?？梢宰C明電位微分方程解具有惟一性。解的解的存在存在、穩(wěn)定穩(wěn)定及及惟一性惟一性問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 若靜電場(chǎng)的邊界為導(dǎo)體，此時(shí)給定導(dǎo)體上的電位就若靜電場(chǎng)的邊界為導(dǎo)體，此時(shí)給定導(dǎo)體上的電位就是第一類邊界。是第一類邊界。已知已知Sn 對(duì)于導(dǎo)體邊界，當(dāng)邊界上的對(duì)于導(dǎo)體邊界，當(dāng)邊界上的電位電位

15、，或，或電位的法電位的法向?qū)?shù)向?qū)?shù)給定時(shí)，或?qū)w給定時(shí)，或?qū)w表面電荷表面電荷給定時(shí)，空間的靜電給定時(shí)，空間的靜電場(chǎng)即被場(chǎng)即被惟一惟一地確定。這個(gè)結(jié)論稱為地確定。這個(gè)結(jié)論稱為靜電場(chǎng)惟一性定理靜電場(chǎng)惟一性定理。表面電荷給定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值。若給定表面電荷給定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值。若給定導(dǎo)體表面上的電荷量就是第二類邊界。導(dǎo)體表面上的電荷量就是第二類邊界。靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題 的求解方法的求解方法解析法解析法-直接積分求解泊松方程、拉普拉斯方程。直接積分求解泊松方程、拉普拉斯方程。近似法近似法-利用分離變量法可以求解拉普拉斯方程。利用分離變量法可以求解拉普拉斯方程。間接

16、法間接法-鏡像法。鏡像法。數(shù)值解法數(shù)值解法-有限差分法、有限元法等。有限差分法、有限元法等。例例y yx x- -ll0 0解：在解：在- l xl范圍內(nèi)，電位范圍內(nèi)，電位 滿足泊松方程滿足泊松方程2 空間電荷區(qū)如圖所示，在空間電荷區(qū)如圖所示，在-l0區(qū)域內(nèi)為負(fù)電荷，在區(qū)域內(nèi)為負(fù)電荷，在0l區(qū)域內(nèi)為正電荷，且電荷分布函數(shù)為區(qū)域內(nèi)為正電荷，且電荷分布函數(shù)為=Kqx（x范圍范圍為為-lxl，K為比例常數(shù)，為比例常數(shù)， ）。取）。取x=0為電位參為電位參考點(diǎn)，在考點(diǎn)，在x=l處電場(chǎng)為零。求在處電場(chǎng)為零。求在-lxl范圍內(nèi)的電范圍內(nèi)的電位分布和電場(chǎng)分布。位分布和電場(chǎng)分布。y（為材料的介電常數(shù)）從圖可以

17、看出，電位函為材料的介電常數(shù)）從圖可以看出，電位函數(shù)數(shù) 是是x x的函數(shù)的函數(shù) xKqdxd22122CxKqdxd2136CxCxKq對(duì)上式進(jìn)行積分對(duì)上式進(jìn)行積分利用邊界條件確定積分常數(shù)利用邊界條件確定積分常數(shù)由由 時(shí)時(shí)，0 x002C由由 在在 處電場(chǎng)為零處電場(chǎng)為零，lx可知可知 ，即即0dxd0212ClKqdxdlx212lKqC)22(22lKqxKqxxxee-ExlKqxKq2326)(lxl 例例 已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，電位為，電位為V，外導(dǎo)體接地，外導(dǎo)體接地，其內(nèi)半徑為其內(nèi)半徑為b。試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位分布函數(shù)以及電場(chǎng)。試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位分

18、布函數(shù)以及電場(chǎng)強(qiáng)度。強(qiáng)度。 解解 選用圓柱坐標(biāo)系。由于場(chǎng)量?jī)H選用圓柱坐標(biāo)系。由于場(chǎng)量?jī)H與坐標(biāo)與坐標(biāo) r 有關(guān)，因此，電位所滿足的拉有關(guān)，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開式只普拉斯方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開式只剩下包含變量剩下包含變量r 的一項(xiàng)，即電位微分方的一項(xiàng)，即電位微分方程為程為0dddd12rrrr21lnCrC求得求得VbaO利用邊界條件利用邊界條件：arVbr00lnln2121CbCVCaC求得求得baVCln1babVClnln2babrVlnlnbaVrrrrlneeE最后求得最后求得例例 設(shè)有電荷均勻分布在半徑為設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a a的介質(zhì)球型區(qū)域中，

19、電荷的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為體密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場(chǎng)。及電場(chǎng)。解解: : 采用球坐標(biāo)系采用球坐標(biāo)系, ,分區(qū)域建立方程分區(qū)域建立方程012212drdrdrdr1)()0(ar0drdrdrdr122222)()(ra積分之，得通解積分之，得通解43221021CrC)r(Cr1C6r)r( 體電荷分布的球形域電場(chǎng)體電荷分布的球形域電場(chǎng) 邊界條件邊界條件ar2ar1ar20ar10rr有限值0r1電位參考點(diǎn)電位參考點(diǎn)0r2解得解得 033022413,200aCaCCC電位電位：rar3arar0ra36r032220

20、1)()()(電場(chǎng)強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：電場(chǎng)強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：ar03rrr0r111eerE)(rar3arr202r22eerE)(2 對(duì)于一維場(chǎng)（場(chǎng)量?jī)H僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對(duì)于一維場(chǎng)（場(chǎng)量?jī)H僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對(duì)二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界對(duì)二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由 得到電得到電場(chǎng)強(qiáng)度場(chǎng)強(qiáng)度E E的分布。的分布。直接積分法直接積分法1.1. 根據(jù)電荷分布列出相應(yīng)的電位微分方程根據(jù)電荷分布列出相應(yīng)的電位微分方程有源區(qū)有源區(qū)泊松方程；無(wú)源區(qū)泊松方

21、程；無(wú)源區(qū)拉普拉斯方程拉普拉斯方程2.2.分析物體形狀對(duì)稱性，選擇合適的坐標(biāo)系分析物體形狀對(duì)稱性，選擇合適的坐標(biāo)系列出含未知數(shù)的電位微分方程的通解列出含未知數(shù)的電位微分方程的通解3. 3. 根據(jù)定解條件，由通解求出特解根據(jù)定解條件，由通解求出特解（1 1）邊界條件；（）邊界條件；（2 2）邊值關(guān)系；（）邊值關(guān)系；（3 3）位函數(shù)性質(zhì)）位函數(shù)性質(zhì)4. 4. 根據(jù)結(jié)果寫出電位方程；根據(jù)結(jié)果寫出電位方程；5. 5. 有關(guān)物理量的計(jì)算有關(guān)物理量的計(jì)算 由前例可見(jiàn)，為了利用給定的邊界條件以便確定求解由前例可見(jiàn)，為了利用給定的邊界條件以便確定求解過(guò)程中出現(xiàn)的積分常數(shù)，過(guò)程中出現(xiàn)的積分常數(shù)，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

22、是非常重要的選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是非常重要的。 若電位函數(shù)僅與一個(gè)坐標(biāo)變量若電位函數(shù)僅與一個(gè)坐標(biāo)變量 有關(guān)，三維拉普拉斯方有關(guān)，三維拉普拉斯方程簡(jiǎn)化為一維微分方程，因而可采用程簡(jiǎn)化為一維微分方程，因而可采用直接積分方法直接積分方法求解這求解這類邊值問(wèn)題。類邊值問(wèn)題。 若靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題與空間三個(gè)坐標(biāo)變量有關(guān)。為了求若靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題與空間三個(gè)坐標(biāo)變量有關(guān)。為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法分離變量法。 分離變量法分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過(guò)變量分離簡(jiǎn)是將原先的三維偏微分方程通過(guò)變量分離簡(jiǎn)化為三個(gè)獨(dú)立的常微分方程，從而使求解過(guò)程比較

23、簡(jiǎn)便?；癁槿齻€(gè)獨(dú)立的常微分方程，從而使求解過(guò)程比較簡(jiǎn)便。 分離變量法分離變量法基本思想基本思想:方方 式：式：所求場(chǎng)域的邊界面應(yīng)與某一正交坐標(biāo)系的坐標(biāo)所求場(chǎng)域的邊界面應(yīng)與某一正交坐標(biāo)系的坐標(biāo)面重合。面重合。 把待求的位函數(shù)表示為幾個(gè)未知函數(shù)的乘積，其中把待求的位函數(shù)表示為幾個(gè)未知函數(shù)的乘積，其中每一個(gè)未知函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)。每一個(gè)未知函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)。 代入偏微分方程進(jìn)行變量分離，將原偏微分方程分代入偏微分方程進(jìn)行變量分離，將原偏微分方程分離為幾個(gè)常微分方程。離為幾個(gè)常微分方程。 分別求解這些常微分方程，并利用場(chǎng)域及邊界條件分別求解這些常微分方程，并利用場(chǎng)域及邊界條件確定其中

24、的待定常數(shù)，從而得到位函數(shù)的解。確定其中的待定常數(shù)，從而得到位函數(shù)的解。應(yīng)應(yīng) 用：用：求解二維拉普拉斯方程的邊界問(wèn)題。求解二維拉普拉斯方程的邊界問(wèn)題。0222222zyx在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程展開式為在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程展開式為 )()()() , ,(zZyYxXzyx令令0dd1dd1dd1222222zZZyYYxXX式中的左邊各項(xiàng)僅與一個(gè)變量有關(guān)。因此，將上式對(duì)變式中的左邊各項(xiàng)僅與一個(gè)變量有關(guān)。因此，將上式對(duì)變量量 x x 求導(dǎo)，第二項(xiàng)及第三項(xiàng)均為求導(dǎo)，第二項(xiàng)及第三項(xiàng)均為零零，求得第一項(xiàng)對(duì)，求得第一項(xiàng)對(duì) x x 的導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明了第一項(xiàng)等于的導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明了第一項(xiàng)等于常數(shù)

25、常數(shù)。代入上式代入上式, ,兩邊再除以兩邊再除以 ( ) ( ) ( )X x Y y Z z9. 直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中的分離變量法 同理，再分別對(duì)變量同理，再分別對(duì)變量 y 及及 z 求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)及第求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)及第三項(xiàng)也分別等于三項(xiàng)也分別等于常數(shù)常數(shù)。222 , ,zyxkkk令各項(xiàng)的常數(shù)分別為令各項(xiàng)的常數(shù)分別為 0dd1dd1dd1222222zZZyYYxXX0dd222XkxXx 0dd222YkyYy0dd222ZkzZz式中，式中，kx ，ky ，kz 稱為稱為分離常數(shù)分離常數(shù)，它們可以是實(shí)數(shù)，它們可以是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。三個(gè)分離常數(shù)不是獨(dú)立的，必須滿足下列方或

26、虛數(shù)。三個(gè)分離常數(shù)不是獨(dú)立的，必須滿足下列方程程0222zyxkkk經(jīng)過(guò)變量分離后，經(jīng)過(guò)變量分離后，三維偏微分方程式被簡(jiǎn)化為三個(gè)一維三維偏微分方程式被簡(jiǎn)化為三個(gè)一維常微分方程常微分方程。三個(gè)常微分方程具有同一結(jié)構(gòu)，它們解的。三個(gè)常微分方程具有同一結(jié)構(gòu)，它們解的形式一定相同。形式一定相同。xkDxkCxXxxcossin)(或者或者式中，式中，A, B, C, D為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。0dd222XkxXx 0dd222YkyYy0dd222ZkzZzxkxkxxBAxXjjee)(當(dāng)當(dāng)kx為為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)時(shí)，含變量時(shí)，含變量 x 的常微分方程的通解為的常微分方程的通解為當(dāng)當(dāng)kx為為虛數(shù)虛數(shù)時(shí)，令

27、時(shí)，令 ，則上述通解變?yōu)?，則上述通解變?yōu)?jxkxxBAxXee)(xDxCxX cosh sinh)(或者或者含變量含變量 y y或或 z 的常微分方程的解完全相同。的常微分方程的解完全相同。解中待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件解中待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。解的形式的選擇決取于給定的邊界條件。解的形式的選擇決取于給定的邊界條件。這些解的線性組合仍然是方程的解。通常為了滿足這些解的線性組合仍然是方程的解。通常為了滿足給定的邊界條件，必須取其線性組合作為方程的解。給定的邊界條件，必須取其線性組合作為方程的解。例例 兩個(gè)相互平行的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面，間距為兩個(gè)相互平行的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面，

28、間距為 d ，其有限端被電位為其有限端被電位為 0 的導(dǎo)電平面封閉，且與無(wú)限大接地的導(dǎo)電平面封閉，且與無(wú)限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個(gè)導(dǎo)體平面形成的槽導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個(gè)導(dǎo)體平面形成的槽中電位分布。中電位分布。 Odxy = 0 = 0 = 0解解 選取直角坐標(biāo)系。由于導(dǎo)電平面沿選取直角坐標(biāo)系。由于導(dǎo)電平面沿 z 軸無(wú)限延伸，軸無(wú)限延伸，槽中電位分布函數(shù)一定與槽中電位分布函數(shù)一定與 z 無(wú)關(guān)，因此，這是一個(gè)無(wú)關(guān)，因此，這是一個(gè)二二維場(chǎng)維場(chǎng)的問(wèn)題。電位所滿足的拉普拉斯方程變?yōu)榈膯?wèn)題。電位所滿足的拉普拉斯方程變?yōu)?02222yx)()() ,(yYxXyx應(yīng)用分離變量法，令應(yīng)

29、用分離變量法，令根據(jù)題意，槽中電位應(yīng)滿足的邊界條件為根據(jù)題意，槽中電位應(yīng)滿足的邊界條件為為了滿足為了滿足 及及 邊界條件，應(yīng)選邊界條件，應(yīng)選 Y(y) 的解為的解為 0) ,(dx0)0 ,(xykBykAyYyycossin)(0) , 0 (y0) ,( y0) 0 ,(x 0) ,(dx因?yàn)橐驗(yàn)?y = 0 時(shí)，電位時(shí)，電位 = 0，因此上式中常數(shù)，因此上式中常數(shù) B = 0。為。為了滿足邊界條件了滿足邊界條件 ，分離常數(shù)，分離常數(shù) ky 應(yīng)為應(yīng)為 0) ,(dx 3, 2, 1, ,ndnkyydnAyYsin)(求得求得已知已知 ，求得，求得022yxkkdnkxj可見(jiàn)，分離常數(shù)可見(jiàn)

30、，分離常數(shù) kx 為虛數(shù)，故為虛數(shù)，故 X(x) 的解應(yīng)為的解應(yīng)為xdnxdnDCxXee)(因?yàn)橐驗(yàn)?x 時(shí)，時(shí)， 電位電位 =0，因此，式中常數(shù)因此，式中常數(shù) C = 0，即即xdnDxXe)(ydnCyxxdnsine),(那么，那么，式中常數(shù)式中常數(shù) C = AD 。由邊界條件獲知，當(dāng)由邊界條件獲知，當(dāng) x = 0 時(shí)，電位時(shí)，電位 = 0 ，代入上式，代入上式，得得 ydnCsin0上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的和式作為電

31、位方程的解，即的和式作為電位方程的解，即ydnCyxnxdnnsine),(1為了滿足為了滿足 x = 0， = 0 邊界條件，由上式得邊界條件，由上式得 dyydnCnn0 ,sin10上式右端為傅里葉級(jí)數(shù)。利用傅里葉級(jí)數(shù)的正交性，上式右端為傅里葉級(jí)數(shù)。利用傅里葉級(jí)數(shù)的正交性，可以求出系數(shù)可以求出系數(shù)Cn為為為偶數(shù)為奇數(shù) 0 40nnnCnnxdnydnnyxsine14),(0最后求得槽中電位分布函數(shù)為最后求得槽中電位分布函數(shù)為 式中式中 。 5 3, , 1n0dxy = 0 = 0 = 0電場(chǎng)線等位面電場(chǎng)線及等位面電場(chǎng)線及等位面分布如右圖示：分布如右圖示：10. 鏡像法鏡像法 實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)

32、: :是以一個(gè)或幾個(gè)是以一個(gè)或幾個(gè)等效電荷等效電荷代替邊界的影響，代替邊界的影響，將原來(lái)具有邊界的將原來(lái)具有邊界的非均勻非均勻空間變成無(wú)限大的空間變成無(wú)限大的均勻均勻自由自由空間，從而使計(jì)算過(guò)程大為簡(jiǎn)化?？臻g，從而使計(jì)算過(guò)程大為簡(jiǎn)化。這些等效電荷通常處于這些等效電荷通常處于鏡像位置鏡像位置，因此稱為，因此稱為鏡像電荷鏡像電荷，而這種方法稱為而這種方法稱為鏡像法鏡像法。 依據(jù)：依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來(lái)的邊界條件不變，從而保證原來(lái)區(qū)域中靜電場(chǎng)持原來(lái)的邊界條件不變，從而保證原來(lái)區(qū)域中靜電場(chǎng)沒(méi)有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。

33、沒(méi)有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。關(guān)鍵：關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。確定鏡像電荷的大小及其位置。 局限性：局限性：僅僅對(duì)于某些特殊的邊界以及特殊分布的僅僅對(duì)于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。電荷才有可能確定其鏡像電荷。 （1）點(diǎn)電荷與無(wú)限大的導(dǎo)體平面）點(diǎn)電荷與無(wú)限大的導(dǎo)體平面 介質(zhì) 導(dǎo)體 q r P 介質(zhì) q r P hhrq 介質(zhì) 以一個(gè)處于鏡像位置的點(diǎn)電荷代替邊界的影響，以一個(gè)處于鏡像位置的點(diǎn)電荷代替邊界的影響，使整個(gè)空間變成均勻的介電常數(shù)為使整個(gè)空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間的空間，則空間任一點(diǎn)任一點(diǎn) P 的電位由的電位由 q 及及 q

34、 共同產(chǎn)生，即共同產(chǎn)生，即 rqrq 4 4考慮到無(wú)限大導(dǎo)體平面的電位為零考慮到無(wú)限大導(dǎo)體平面的電位為零，求得，求得qq 電場(chǎng)線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極電場(chǎng)線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。子的上半部分完全相同。 由此可見(jiàn)，電場(chǎng)線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位由此可見(jiàn)，電場(chǎng)線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體表面吻合。面與導(dǎo)體表面吻合。電場(chǎng)線等位線 z （方向指向地面方向指向地面）整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為EEEpcos20pr4q2E 23220 xh2qh/)(2322p0pxh2qhE/)(xdx2xh2qhdS0232

35、2Sp/)(02122xh1qh/)(q例例：求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷：求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷q q 在地引起的感應(yīng)電荷分布情況。在地引起的感應(yīng)電荷分布情況。解解: : 設(shè)點(diǎn)電荷設(shè)點(diǎn)電荷q q離地面高度為離地面高度為h h，則，則圖圖 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q q在地面引在地面引起的感應(yīng)電荷的分布起的感應(yīng)電荷的分布 電荷守恒：電荷守恒：鏡像法的實(shí)質(zhì)是以一個(gè)異性的鏡像法的實(shí)質(zhì)是以一個(gè)異性的鏡像點(diǎn)電荷鏡像點(diǎn)電荷代替導(dǎo)體表面上異性的代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷感應(yīng)電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點(diǎn)電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量。理，鏡像點(diǎn)電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量。 半空間等

36、效：半空間等效：上述等效性僅對(duì)于導(dǎo)體平面的上半空間上述等效性僅對(duì)于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，源及邊界條件未變。成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，源及邊界條件未變。 位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面附近的線電荷，根據(jù)疊加位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面附近的線電荷，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。 lllq 對(duì)于半無(wú)限大導(dǎo)體平面形成的對(duì)于半無(wú)限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界劈形邊界也可應(yīng)用鏡像也可應(yīng)用鏡像法。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入法。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個(gè)幾個(gè)鏡像電荷。鏡像電荷。/3/3q 連續(xù)分布的線電荷位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面附近時(shí)，根

37、連續(xù)分布的線電荷位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面附近時(shí)，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。 （2）點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球）點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球 若導(dǎo)體球若導(dǎo)體球接地接地，導(dǎo)體球的，導(dǎo)體球的電位為零。為了等效導(dǎo)體球邊電位為零。為了等效導(dǎo)體球邊界的影響，令鏡像點(diǎn)電荷界的影響，令鏡像點(diǎn)電荷q 位位于球心與點(diǎn)電荷于球心與點(diǎn)電荷 q 的連線上。的連線上。rqrq 4 4為了保證球面上任一點(diǎn)電位為零，必須選擇鏡像電為了保證球面上任一點(diǎn)電位為零，必須選擇鏡像電荷為荷為 qrrqqfOPadrqr球面上任一點(diǎn)電位為球面上任一點(diǎn)電位為 為了使鏡像電荷具有一個(gè)確定的值，必須要求比值為了使鏡像

38、電荷具有一個(gè)確定的值，必須要求比值 對(duì)于球面上任一點(diǎn)均具有同一數(shù)值。由上圖可見(jiàn)，若要對(duì)于球面上任一點(diǎn)均具有同一數(shù)值。由上圖可見(jiàn)，若要求三角形求三角形 OPq 與與 OqP 相似，則相似，則 常數(shù)。常數(shù)。由此獲知鏡像電荷應(yīng)為由此獲知鏡像電荷應(yīng)為rrfarrqfaq鏡像電荷離球心的距離鏡像電荷離球心的距離d 應(yīng)為應(yīng)為 fad2根據(jù)根據(jù) q 及及 q 即可計(jì)算即可計(jì)算球外空間球外空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。 qfOPadrqr例例：設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間：設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場(chǎng)分布。的電位及電場(chǎng)分布。1) 1) 邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題：（

39、除（除q q點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間) )000r2導(dǎo)球面0442010rqrqpcoscosRb2RbrRd2Rdr2222210cos)(2)()(22222222bqdqRRdqRbq00)()(22222222bqdqRbqRdqqdRqdbqdRb2球球面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)電電位位為為位位于于球球內(nèi)內(nèi), ,q q設(shè)設(shè)鏡鏡像像電電荷荷) )2上式對(duì)任意的上式對(duì)任意的都成立，則：都成立，則：由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)P P的電位與電場(chǎng)分別的電位與電場(chǎng)分別為為2010pr4qr4q)(210r1dRr14q21r220r210Pdr4qRr4qeeE 點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖 鏡像電荷不能放在當(dāng)前鏡像電荷不能放在當(dāng)前 求解的場(chǎng)域內(nèi)求解的場(chǎng)域內(nèi)鏡像電荷為感應(yīng)負(fù)電荷鏡像電荷為感應(yīng)負(fù)電荷圖圖 接地導(dǎo)體球外的電場(chǎng)計(jì)算接地導(dǎo)體球外的電場(chǎng)計(jì)算 若導(dǎo)體球若導(dǎo)體球不接地，不接地，則其電位則其電位不為零。不為零。q 的位置和量值應(yīng)該如何的位置和量值應(yīng)該如何? ? 由由q 及及 q 在球面邊界上形在球面邊界上形成的電位為零，因此必須再引成的電位為零，因此必須再引入一個(gè)鏡像電荷入一個(gè)鏡像電