數(shù)學(xué)物理方程課件

1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1Email: 數(shù)理方程與特殊函數(shù)數(shù)理方程與特殊函數(shù)任課教師：楊春任課教師：楊春數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程 作者作者: 李明奇、田太心李明奇、田太心 購(gòu)買地點(diǎn)：教材科購(gòu)買地點(diǎn)：教材科 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1 梁昆淼，數(shù)學(xué)物理方法，人民教育出版社，梁昆

2、淼，數(shù)學(xué)物理方法，人民教育出版社，1998 2 沈施，數(shù)學(xué)物理方法，同濟(jì)大學(xué)出版社，沈施，數(shù)學(xué)物理方法，同濟(jì)大學(xué)出版社，20023 姚瑞正，梁家寶，數(shù)學(xué)物理方法，武漢大姚瑞正，梁家寶，數(shù)學(xué)物理方法，武漢大學(xué)出版社，學(xué)出版社，19924 謝鴻證，楊楓林，數(shù)學(xué)物理方程，科學(xué)出謝鴻證，楊楓林，數(shù)學(xué)物理方程，科學(xué)出版社，版社，2001 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 45 南京工學(xué)院數(shù)學(xué)教研組，數(shù)學(xué)物理方程與特殊南京工學(xué)院數(shù)學(xué)教研組，數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)，人民教育出版社，函數(shù)，人民教育出版社，19836 孫振綺，數(shù)學(xué)物理方程

3、，機(jī)械工業(yè)出版社，孫振綺，數(shù)學(xué)物理方程，機(jī)械工業(yè)出版社，20047 胡嗣柱，倪光炯，數(shù)學(xué)物理方法，復(fù)旦大學(xué)胡嗣柱，倪光炯，數(shù)學(xué)物理方法，復(fù)旦大學(xué)出版社，出版社，19898 姜尚禮，陳亞浙，數(shù)學(xué)物理方程講義，高等姜尚禮，陳亞浙，數(shù)學(xué)物理方程講義，高等教育出版社，教育出版社，1996 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 59 F.W.拜倫，拜倫，R.w.富勒，物理中的數(shù)學(xué)方法，富勒，物理中的數(shù)學(xué)方法，科學(xué)出版社，科學(xué)出版社，198210 陳恕行，洪家興，偏微分方程近代方法，陳恕行，洪家興，偏微分方程近代方法，復(fù)旦大學(xué)出版社，復(fù)

4、旦大學(xué)出版社，198911 王元明，管平，線性偏微分方程引論，東王元明，管平，線性偏微分方程引論，東南大學(xué)出版社，南大學(xué)出版社，2002 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6第一章第一章 緒論緒論一、課程意義一、課程意義二、物理定律與偏微分方程概念二、物理定律與偏微分方程概念三、課程學(xué)習(xí)的基本要求三、課程學(xué)習(xí)的基本要求四、常微分方程復(fù)習(xí)四、常微分方程復(fù)習(xí)五、積分公式五、積分公式六、常用算子六、常用算子 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7 在物理學(xué)

5、、無(wú)線電技術(shù)、自動(dòng)化工程、光電子工在物理學(xué)、無(wú)線電技術(shù)、自動(dòng)化工程、光電子工程、生物工程等眾多領(lǐng)域中程、生物工程等眾多領(lǐng)域中, ,經(jīng)常涉及到的問(wèn)題是研經(jīng)常涉及到的問(wèn)題是研究物理量之間的函數(shù)關(guān)系。究物理量之間的函數(shù)關(guān)系。 要反映物理量之間的函數(shù)關(guān)系，通常歸結(jié)為微分要反映物理量之間的函數(shù)關(guān)系，通常歸結(jié)為微分方程的布列與求解。方程的布列與求解。一、課程意義一、課程意義 數(shù)學(xué)物理方程與特殊數(shù)函數(shù)課程主要介紹一些典數(shù)學(xué)物理方程與特殊數(shù)函數(shù)課程主要介紹一些典型的、具有物理學(xué)背景的微分方程的布列與求解。型的、具有物理學(xué)背景的微分方程的布列與求解。 所以，數(shù)學(xué)物理方程與特殊數(shù)函數(shù)就成為理工科所以，數(shù)學(xué)物理方程

6、與特殊數(shù)函數(shù)就成為理工科學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)性課程。學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)性課程。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 8(一一)、物理定律、物理定律1、牛頓第二定律、牛頓第二定律: F = m a a物體加速度物體加速度;F合外力合外力; m物體質(zhì)量物體質(zhì)量 某物理量在空間和時(shí)間中的變化規(guī)律。它反映的某物理量在空間和時(shí)間中的變化規(guī)律。它反映的是同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律。是同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律。 物理定律是布列反映實(shí)際問(wèn)題微分方程的基礎(chǔ)，物理定律是布列反映實(shí)際問(wèn)題微分方程的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)數(shù)理方程課程必須掌握一些典型的物理定律。學(xué)

7、習(xí)數(shù)理方程課程必須掌握一些典型的物理定律。二、物理定律與偏微分方程概念二、物理定律與偏微分方程概念2、虎克定律：、虎克定律：(1) 彈簧：彈簧：f = - k x(2) 彈性體：彈性體：p = Yu x 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 93、傅立葉實(shí)驗(yàn)定律、傅立葉實(shí)驗(yàn)定律(熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo))：(, )ndQkuM t dSdt 定義熱流密度：定義熱流密度：(, )nqkuM t 4、牛頓冷卻定律：、牛頓冷卻定律：熱流密度：熱流密度：0sqk uu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2

8、1 0.5 0 0.5 1 n 105、熱平衡方程、熱平衡方程QQ吸放升溫需要的熱量6、Coulomb定律：定律：00()4MMqu Mr7、靜電場(chǎng)中的高斯定律：、靜電場(chǎng)中的高斯定律：SVE dSdV001()ln2MMqu Mr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 118、焦耳、焦耳楞次定律：楞次定律：2QI Rt9、克希荷夫定律：、克希荷夫定律：10nkkI(1)、節(jié)點(diǎn)電流定律：、節(jié)點(diǎn)電流定律：(2)、回路電壓定律：、回路電壓定律：11nnkkkkkI R 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1

9、 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 12 如果微分方程中涉及單因素如果微分方程中涉及單因素( (一個(gè)自變量）一個(gè)自變量）, , 這這種方程稱為常微分方程；如果微分方程涉及多因素種方程稱為常微分方程；如果微分方程涉及多因素( (多個(gè)自變量多個(gè)自變量),),這時(shí)方程中出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)是偏導(dǎo)數(shù)這時(shí)方程中出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)是偏導(dǎo)數(shù), ,相相應(yīng)的方程稱為偏微分方程。應(yīng)的方程稱為偏微分方程。 22sin0dgdtl單擺單擺: = (t)22222( , )( , )u x tu x tatx弦振動(dòng)弦振動(dòng):u=u(x,t ) (二二)、常微分方程與偏微分方程、常微分方程與偏微分方程 0.8 1 0.6 0.4

10、0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13(1)(1)、波動(dòng)方程、波動(dòng)方程(3)(3)、穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程、穩(wěn)態(tài)場(chǎng)方程 本課程重點(diǎn)討論如下三類典型偏微分方程：本課程重點(diǎn)討論如下三類典型偏微分方程：(2)(2)、熱傳導(dǎo)方程、熱傳導(dǎo)方程2ttuauf 2tuauf ()uf M 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 14(1)(1)、貝塞爾方程：、貝塞爾方程：(2)(2)、勒讓德方程：、勒讓德方程： 本課程重點(diǎn)討論如下兩類典型常微分方程：本課程重點(diǎn)討論如下兩類典型常微分方程：22222()0dy

11、dyxxxnydxdx22212(1)0dydyxxn nydxdx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 15三、課程學(xué)習(xí)的基本要求三、課程學(xué)習(xí)的基本要求(1)、理解數(shù)學(xué)物理方程中出現(xiàn)的基本概念；、理解數(shù)學(xué)物理方程中出現(xiàn)的基本概念；(2)、能正確寫出典型物理問(wèn)題的方程與定解、能正確寫出典型物理問(wèn)題的方程與定解條件；條件；(3)、了解定解問(wèn)題解的物理意義；、了解定解問(wèn)題解的物理意義；(4)、熟練掌握三類典型偏微分方程定解問(wèn)題、熟練掌握三類典型偏微分方程定解問(wèn)題的如下典型解法：的如下典型解法：分離變量法；行波法；積分變換法；格

12、林函分離變量法；行波法；積分變換法；格林函數(shù)法。數(shù)法?？荚囍攸c(diǎn)：定解問(wèn)題求解考試重點(diǎn)：定解問(wèn)題求解(統(tǒng)考統(tǒng)考,考教分離考教分離)。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 16四、常微分方程復(fù)習(xí)四、常微分方程復(fù)習(xí)1. 可分離變量的一階微分方程可分離變量的一階微分方程。 ( )( )f x dxg y dy( )dyyfdxx2. 齊次方程基本形式為齊次方程基本形式為：3. 一階線性微分方程基本形式為一階線性微分方程基本形式為： ( )( )yp x yq x()()0.f xy ydxg xy xdy例1 求方程通解例1 求方

13、程通解,xyu 令令,ydxxdydu 則則, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解為通解為解解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 18例例2 求一曲線，使得在其上任一點(diǎn)求一曲線，使得在其上任一點(diǎn) P 處的切線在處的切線在 y 軸軸yxP(x,y)o解解 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x, y）所求曲線為所求曲線為y=f(x),切線上的切線上的動(dòng)點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)為(X，Y )，則過(guò)點(diǎn)則過(guò)點(diǎn)P

14、的切線方程為：的切線方程為： ,YyyXx 令X=0得令X=0得,yyxy 0 0切線與 軸的距離為Y由題意可得切線與 軸的距離為Y由題意可得22yxyxy 上的截距等于原點(diǎn)到點(diǎn)上的截距等于原點(diǎn)到點(diǎn)P的距離的距離. 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 190,x 若方程為若方程為21.yyyxx ,yuyxuyuxux令則有令則有21dudxxu 分離變量分離變量222.xuxx uC解得 解得 0yuxx將代回上式,得當(dāng)時(shí)的通解為將代回上式,得當(dāng)時(shí)的通解為若若x0,方程為方程為22221,.yyyyxyCxxx 其通解為

15、 -其通解為 -22.yxyC 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 20例例3 求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 解解yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 214. 伯努力方程伯努力方程：( )( )

16、nyp x yq x y5. 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程：( ,)yf x y( ,)yf y y 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2224.dyyxydxx求方程的通解,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解例例 4 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 23例例5 求微分方程求微分方程21x yxy滿足初始條件滿足初始條件 10,11yy 的特解的特解.,yyp 解此方程不顯含作代換解此

17、方程不顯含作代換21x pxp 其通解為其通解為11121dxdxxxpeedxCx 11,y 由代入上式由代入上式11lndyxdxxx 2100yC 11.C 得方程特解得方程特解 21lnln.2yxx 221lnln2yxxC11ln.Cxxx積分積分 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 24.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,dpypdy 則則),(ypy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 20,dpy ppdy例例 60,0ypp當(dāng)時(shí),約去 并分離變量得當(dāng)時(shí),約去 并分離變量得dpdypy=,=,11,dy

18、pC yC ydx 兩邊積分并化簡(jiǎn)得即=, 兩邊積分并化簡(jiǎn)得即=, 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 25分離變量得分離變量得1dyC dxy 0,0，0dyypyCdx當(dāng)時(shí)即也是原方當(dāng)時(shí)即也是原方121.0，C xyC eC程的解 但在通解中,顯然時(shí)程的解 但在通解中,顯然時(shí)22,0，0.yCCy給出了又再當(dāng)時(shí)包含了給出了又再當(dāng)時(shí)包含了12，0.C xyyCyC e因此和都包含在了通解中因此和都包含在了通解中12.C xyC e 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0

19、 0.5 1 n 26( )(1)(2)121( )( )( )( )( )nnnnnya x yax yax yax yf x( )(1)(2)121( )( )( )( )0nnnnnya x yax yax yax y( )(1)(2)1210nnnnnya ya yaya y線性微分方程線性微分方程 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 277.7.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解 ( )ypyqyf x f (x)的兩種類型：的兩種類型：)()(xPexfmx ( )( )cos

20、( )sinxlnf xeP xxP xx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 28*( ) ,kxmyx e Qx 設(shè)設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系數(shù)非齊次線性注意注意微分方程（微分方程（k是重根次數(shù)）是重根次數(shù)）.1( )xmypyqyePx 、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 292( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx 、型型利用歐拉公式：利

21、用歐拉公式：的特解形式為的特解形式為(1)(2)*( )cos( )sinkxmmyx eRxxRxx 次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max 01iki 不是根,不是根,是根.是根. 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 30例例7 求微分方程求微分方程243cos3xyyyxex的通解.的通解.430yyy解對(duì)應(yīng)齊次方程解對(duì)應(yīng)齊次方程12rr=1, =3.=1, =3.2,3,23ii不是特征方程的根.不是特征方程的根. *2cos3sin3xyeaxbxcxdx *2,xyy

22、ye將代入原方程并消去可得:將代入原方程并消去可得:312.xxYC eC e齊次方程的通解為齊次方程的通解為2430,rr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 31 1010cos310610sin3cos3 .axb bcxcxadxxx *23cos3sin3.1050 xxyexx1101,10100,0,100,0,6100.3.50aabbcbccadd 解解得得比比較較系系數(shù)數(shù)可可得得*32123cos3sin3.1050 xxxxyYyC eC eexx 通通解解 : : 0.8 1 0.6 0.4 0.2

23、 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 328.8.歐拉（歐拉（Euler）方程）方程 ( )1(1)11( )nnnnnnx yp xypxyp yf x作變量替換作變量替換ln .txetx或 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3323583.yyyxx例求的通解例求的通解22353,x yyyx解解 21353,tD DyDyye22453tD yDyye222453,td ydyyedtdt22450d ydyydtdt求解對(duì)應(yīng)的齊次方程的求解對(duì)應(yīng)的齊次方程的的通解.的通解.,ln ,txe tx令令 0.8 1 0.6 0.4 0