極限的計(jì)算方法

1、極限的計(jì)算方法極限的計(jì)算方法主要有一下幾種一.利用四則法則計(jì)算二.利用兩個重要極限計(jì)算三.利用等價(jià)無窮小代換計(jì)算四.利用羅必塔法則計(jì)算利用四則運(yùn)算法則計(jì)算極限定理：若 存在，則，)(lim)(limxgxf)(lim)(lim)()(lim1.xgxfxgxf)(lim)(lim. 2xfcxfc)(lim)(lim)()(lim. 3xgxfxgxf)(lim)(lim)(lim)()(lim. 4xgxgxfxgxf（0) （注：以上極限過程可以為 例1計(jì)算下列極限）或x0 xx2323lim12243lim).1 (3221124323xxxxxxxxxx利用四則運(yùn)算法則計(jì)算極限mnmn

2、mnbabxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx0lim0011101110一般的：利用四則運(yùn)算法則計(jì)算極限162)1 ()1 ()2(lim) 1() 1() 12(lim) 24821827817841482784xxxxxxxxxxx（利用四則運(yùn)算法則計(jì)算極限3) 1()2)(1(lim2lim3)212321xxxxxxxxxx（21) 11() 11 (lim) 11() 11)(11(lim11lim4)2220 x22220 x220 xxxxxxxxxx（利用四則運(yùn)算法則計(jì)算極限利用兩個重要極限計(jì)算exexxxxxxxx100)1 (lim)11 (lim)2(1sinl

3、im) 1 (利用兩個重要極限計(jì)算極限1.1sinlim0 xxx0000000sin ( )lim( )0,lim1( )tgxlim1xxxxxxxxx一般地：若則，另，特征：極限為“ ”型未定式注：若極限形式不是“ ”型，則不能利用上述公式計(jì)算。利用兩個重要極限計(jì)算例如：0sinlimsinlim, 1sinlim10110110事實(shí)上，xxxxxxxxxexexxxxx1)1 (lim)1 (lim. 201利用兩個重要極限計(jì)算上述兩個極限為冪指函數(shù)型極限，他有以下三個特征：（1) 極限形式為： 型未定式，（2) 括號內(nèi)第一項(xiàng)為數(shù)1（3) 括號內(nèi)變量為1/x(或x)與指數(shù)x（或1/x）

4、符 號相同且互為倒數(shù) 注：若極限形式不是 型，則不能利用上述 公式計(jì)算. ”“1”“1利用兩個重要極限計(jì)算例如：exexxxxx1)1 (lim)1 (lim10，例2：計(jì)算下列極限23333sinlim2123sinlim1)00 xxxxxx（4141)(sinlim2sin2lim2cos1lim)2(22220222020 xxxxxxxxx利用兩個重要極限計(jì)算2141)(sin2lim2sin2limcos1limcos1limsinlim) 1(sinlimsinlim) 3 (22220222002003cos1030 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtgx利用兩個重要

5、極限計(jì)算41212sin2lim211112sinlim) 11(2sin11lim) 11(2sin) 11)(11(lim2sin11lim) 4 (00000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用兩個重要極限計(jì)算5353lim53lim53sinlim)55()33sin(lim0,:53sinlim)5(05533sin000ttttttgtttgttxtxxtgxttttgtttttx原式時令利用兩個重要極限計(jì)算 例3計(jì)算下列極限2)2(000)2-1lim)2-1lim21lim) 1 (211exxxxxxxxx（3)3()x2-1lim)2(lim)2(lim)2(232

6、32exxxxxxxxxx（43133)1(13131)1(lim)1(lim)1()1(lim)11(lim)31(lim)3(3eeexxxxxxxxxxxxxxxxxxx利用兩個重要極限計(jì)算exxxxxxxxxln)1 (limln)1 (lnlim)1ln(lim)4(1100011010ln)1ln(lim)1ln(lim0, 1,11(lnlimlnlnlim1lnlim)5(1eeeteetttextteexexexxtttexexexexexexex原式時，令：）利用等價(jià)無窮小代換計(jì)算極限如果：時下列無窮小等價(jià)：在常用等價(jià)無窮小代換：是等價(jià)無窮小量，記為與時則稱在而0.)()(

7、xx1)()(lim0)(lim, 0)(lim0000 xxxxxxxxxxxxx利用等價(jià)無窮小代換計(jì)算極限212121)sinx (2)sin(3)sin(4)(5)(6)1 cos(7) 11(8)ln(1) (9)1(10)csinnnxxkxkxxxtgxxtgkxkxxxxxxxexarxx（注：利用等價(jià)無窮小代換，可以將左邊比較復(fù)雜的無窮小用右邊較簡單的無窮小等價(jià)代換，使極限計(jì)算簡單化利用等價(jià)無窮小代換計(jì)算極限 例4：計(jì)算下列極限2022221122212210211(2)lim1cos2011,1cos2(2 )21lim(2 )4xxxxxxxxxxxx 時，原式32lims

8、in2lim) 1 (320320 xxxxtgxx利用等價(jià)無窮小代換計(jì)算極限xxxxxx00lim)1ln(lim)3(21lim11limsin1sin1lim) 4 (2221022020 xxxxxxxxxx21)(lim)1 (cos1lim)5(22100 xxxexxxxx利用等價(jià)無窮小代換計(jì)算極限0limsinsinlim,21limcos)cos1 (sinlim1(sinlimsinsinlim)6(303032210303cos1030 xxxxxtgxxxxxxxxxxxxtgxxxxxxxx但是）注：等價(jià)無窮小代換是將分子或分母中的乘積形式的無窮小因子整體代換，而對于

9、分子或分母中的兩個無窮小之差，不能直接代換，應(yīng)先化簡再代換利用羅必塔法則計(jì)算極限羅必塔法則是計(jì)算 型極限未定式的最有效方法之一1.”或“00條件：的某一鄰域內(nèi)滿足以下在設(shè)羅必塔法則：”型極限未定式：”或“0)(),(00 xxgxf；的某一鄰域內(nèi)存在且在）（或（0)()(),()2(0)(lim)(lim1)000 xgxxgxfxgxfxxxx利用羅必塔法則計(jì)算極限導(dǎo)數(shù)比的極限即函數(shù)比的極限等于其則）存在；或AxgxfxgxfAxgxfxxxxxx)()(lim)()(lim,()()(lim) 3(000利用羅必塔法則計(jì)算極限例5：計(jì)算下列極限11limlimlim) 1 (2211112

10、22xxarctgxxxxxxx616lim31lim321lim) 1(2) 1(lim)2(0202030 xexeexexexexeexeexxxxxxxxxxxxxxx利用羅必塔法則計(jì)算極限 注：在使用羅必塔法則前，應(yīng)先檢查極限是 否為 型未定式，并且在連續(xù)使用時，每步都需檢查，若不是未定式則停止使用，此時極限已求出?！被颉?0利用羅必塔法則計(jì)算極限172lim7ln2lnlim7ln2lnlim)3(712100 xxxxxxxxtgxtg3limcos1limsinlimsin)cos1 (limsincoslim)4(22122302230221000 xxxxxxxxxxxxx

11、xxxxxxxxx利用羅必塔法則計(jì)算極限 注2：將羅必塔法則與等價(jià)無窮小代換結(jié)合 起來使用極限計(jì)算將更簡單。10101limcos1sin1lim,sin1cos1limcossinlim)5(11xxxxxxxxxxxxxx原式但不存在利用羅必塔法則計(jì)算極限1)1)1lim,limlimlim)6(2211xxexexxxxxxxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeeeee（原式但出現(xiàn)循環(huán)利用羅必塔法則計(jì)算極限 注3：當(dāng):應(yīng)改用其他方法求之。而原極限未必不存在，法則失效，或出現(xiàn)循環(huán)時，羅必塔不存在，)()(lim0 xgxfxx）（）（則若（”型未定式”和“)(100)(1)(g)()(

12、)(,0)()(1)02xfxgxxfxgxfxgxf利用羅必塔法則計(jì)算極限例6：計(jì)算下列極限1)lim1lim) 1(lim1)011122111eeeexxxxxxxxxx（1000sin10011000ln22100lnln2) lim sinlnlimlimlimlimsin0sinsinlim sinlnlimlimlncoslimlimlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxcsextgxxcsexctgxxxxxxxxxxx （但 是 ，無 結(jié) 果 。利用羅必塔法則計(jì)算極限 注4：在 型中若乘積因子含有l(wèi)nx，lnf(x)則其只能作分子而不能將其倒到分母中。例7 求下列極限:

13、型或利用通分化成若00,)()(:)2(xgxf212lim21lim1lim) 1(1lim)111(lim1)002000 xxxexxeexxeexxxxxxxxxxx（0利用羅必塔法則計(jì)算極限02lim2cos1limsinlimsinsinlim)1sin1(lim2)221002000 xxxxxxxxxxxxxxxxxx（21lim1ln11lnlimln) 1(1lnlim)ln11(lim3)211111111xxxxxxxxxxxxxxxxxx（利用羅必塔法則計(jì)算極限 3. 冪指函數(shù)的極限；00000( )0( )1( )( )lim ( ),(0 ,0 ,1 ) ( ),ln( )ln ( )(0. )ln ( )limlnlim ( )ln ( )limlim ( )g xxxg xxxxxxxg xg xkxxf xyf xyg xf xf xyg xf xkf xe令則利用羅必塔法則計(jì)算極限例8 求下列極限:11111111111111)lim(1 )ln,ln1lnlim lnlimlim111limxxxxxxxxxxxyxyxxyxxe （令利用羅必塔