第二章 故障的統(tǒng)計檢測原理

1、第二章 故障的統(tǒng)計檢測原理 二元假設(shè)檢驗 多元假設(shè)檢驗 序貫概率比檢驗)(t圖 不可接受行為率變化曲線圖定義為不可接受行為率不可接受行為率，它是指控制系統(tǒng)在t時刻前的行為是可接受的，而在時刻t的行為是不可接受的概率。不可接受行為率隨時間變化的規(guī)律因系統(tǒng)運行期限的不同而異，一般表現(xiàn)為三種形式：降低的、恒定的和升高的曲線。區(qū)是早期不可接受期早期不可接受期（下降的不可接受行為率），控制系統(tǒng)在運行初期，由于設(shè)計、工藝不良或元部件不合格等原因造成，可經(jīng)過試運行、空載運行，再投入使用。對大多數(shù)系統(tǒng)來說，只需一周左右時間的試運行，就足以剔除大部分早期不可接受行為。區(qū)是運行壽命期運行壽命期，在這期間，不可接受

2、行為率基本上是恒定的，此期間發(fā)生的不可接受行為一般都是偶然的。區(qū)比區(qū)、區(qū)的時間長的多。區(qū)是損耗區(qū)損耗區(qū)，它的特征是不可接受行為率升高，這是由于老化或長期運行而造成的結(jié)果。三種類型的不可接受行為率在整個過程中形成一條浴盆浴盆式曲線式曲線。統(tǒng)計檢驗可歸結(jié)為“假設(shè)檢驗”的問題。例如，有故障和無故障可作為兩種假設(shè)，判斷哪個假設(shè)為真，即是二元假設(shè)檢驗二元假設(shè)檢驗問題。判斷多個假設(shè)中哪個為真即為多元假設(shè)檢驗多元假設(shè)檢驗。如果表征假設(shè)的參數(shù)可以在一個范圍內(nèi)變化，則為復(fù)合假設(shè)檢驗。設(shè)對某事物（元部件、系統(tǒng)等）的狀態(tài)有兩種假設(shè)：H0和H1，現(xiàn)要根據(jù)（0，T）時間內(nèi)的觀測量z(t)判決H0為真或H1為真。在故障檢

3、測中，H0表示無故障，H1表示有故障。有四種可能性：（1）H0為真，判斷H1為真，這稱為誤檢，其概率寫成PF；（2）H1為真，判斷H0為真，這稱為漏檢，其概率寫成PM；（3）H0為真，判斷H0為真，這稱為無誤檢，其概率為1PF；（4）H1為真，判斷H1為真，這稱為正確檢測，其概率為PD= 1PM。設(shè)觀測值z構(gòu)成的觀測空間為Z，將Z劃分為兩個互不相交的子空間Z0和Z1，如下圖所示。ZZ0Z1判決規(guī)則是：當(dāng)zZ0時，判斷H0為真；當(dāng)z Z1時，判斷H1為真。判決區(qū)域圖設(shè)觀測值z在H0或H1為真時的條件概率密度 和 已知，結(jié)合判決區(qū)域圖，可得：1)(0ZFdzHzpP10)(1)(11ZZMdzHz

4、pdzHzpPDP1（1）（2）當(dāng)z為標(biāo)量時，PF和PM可由下圖的陰影部分來表示。圖中，zT是觀測量的門限值。PF和PM的表示圖二元假設(shè)檢驗的判決準(zhǔn)則，應(yīng)能產(chǎn)生盡量大的檢測概率PD和盡量小的誤檢概率PF，但這兩者是矛盾的。如由前面推導(dǎo)的PF和PM的公式（1）和（2）（如下）可知，若取Z1=Z，則有PD1，即有故障時不會漏檢；但同時有PF1，即無故障時卻誤報為有故障。1)(0ZFdzHzpP10)(1)(11ZZMdzHzpdzHzpP（1）（2）DP1下面介紹幾種常用的準(zhǔn)則。因此，判決準(zhǔn)則的選取應(yīng)取PD和PF都獲得滿意的值，達到適當(dāng)?shù)恼壑小?最小誤差概率準(zhǔn)則設(shè)P（H0）、P（H1）分別是H0、

5、H1為真時的先驗概率，對于二元假設(shè)檢驗有P（H0）P（H1）1誤差Pe包含兩部分：出現(xiàn)H0時判斷H1為真的錯誤和出現(xiàn)H1時判斷H0為真的錯誤，即：PeP（H0） PF P（H1）PM （3）1)(0ZFdzHzpP10)(1)(11ZZMdzHzpdzHzpP將以下兩式（1）、（2），代入上式（3），可得式（4）（1）（2）dzHzpHPdzHzpHPPZZe01)()()()(1100dzHzpHPHzpHPHPZ)()()()()(110011（4）上式右端的第二項與判決區(qū)的劃分有關(guān)，劃分判決區(qū)時，應(yīng)使第二項積分號內(nèi)的值在Z1區(qū)內(nèi)為負（使Pe減小），而在Z0區(qū)內(nèi)則應(yīng)為正。0)()()()(

6、101100HHHzpHPHzpHP（5）上式的意義是：當(dāng)左端的值大于零時，判斷H0為真；小于零時，判斷H1為真。式（5）可寫成：dzHzpPdzHzpPZDZM10)(11)(11于是判決準(zhǔn)則為：THPHPHzpHzpzLHH)()()()()(100101（6）式中，L（z）稱為判決函數(shù)，它是一個似然比，即兩個條件概率密度之比，T稱為似然比門限。式（6）即為最小誤差概率判決準(zhǔn)則最小誤差概率判決準(zhǔn)則。 貝葉斯準(zhǔn)則（最小風(fēng)險準(zhǔn)則）設(shè)C01 H1為真判為H0漏檢的代價因子；C10 H0為真判為H1誤檢的代價因子；C00 H0為真判為H0的代價因子；C11 H1為真判為H1的代價因子。在實際問題中

7、，不同類型的錯誤決策造成的后果是不同的。因此，對不同類型的錯誤，應(yīng)給予不同的代價因子代價因子。于是貝葉斯風(fēng)險（代價函數(shù)）R為FMPHPCPHPCR)()(010101)1)()1)(111000MFPHPCPHPC（7）一般情況下，令C00C110，即認為正確判斷不產(chǎn)生風(fēng)險，于是貝葉斯風(fēng)險簡化為：FMPHPCPHPCR)()(01010110)()()()(00101101ZZdzHzpHPCdzHzpHPCdzHzpHPCHzpHPCHPCZ)()()()()(110100101011（8）dzHzpPdzHzpPZDZM10)(11)(11同理，為使風(fēng)險R最小，應(yīng)使上式右端積分號內(nèi)的值在Z

8、1區(qū)內(nèi)為負，于是得出下面的貝葉斯判決準(zhǔn)則：TCHPCHPHzpHzpzLHH01110001)()()()()(01（9）THPHPHzpHzpzLHH)()()()()(100101對比式（6）和式（9）可知，貝葉斯準(zhǔn)則與最小誤差概率準(zhǔn)則的不同，僅在于門限門限T的值不同的值不同。當(dāng)C01C10時，門限將減小，從而使漏檢概率減小。（6）)()()()(11010010HzpHPCHzpHPC即： 最大后驗概率準(zhǔn)則后驗概率 和 分別是在給定觀測量z的條件下，H0和H1為真的概率。)(0zHP)(1zHP1)()(0101HHzHPzHP（10）上式的物理意義是，當(dāng)給定觀測量后，H1為真的條件概率

9、大于H0為真的條件概率時，就判H1為真。最大后驗概率準(zhǔn)則為：利用貝葉斯公式，得)()()()(111HPHzpzpzHP)()()()(000HPHzpzpzHP（11a）（11b）式中，p（z）是全概率密度函數(shù)，)()()()()(0011HPHzpHPHzpzp將式（11）代入式（10）可得1)()()()()()(01001101HHHPHzPHPHzPzHPzHP即)()()()()(100101HPHPHzpHzpzLHH（12）結(jié)論：最大后驗概率準(zhǔn)則的判決公式和最小誤差概率準(zhǔn)則的判決公式是相同的。THPHPHzpHzpzLHH)()()()()(100101（6）最小誤差概率準(zhǔn)則

10、極小極大準(zhǔn)則在前面介紹的三種判斷準(zhǔn)則中，都需要確切知道先驗概率P（H0）和P（H1）的值，而有時它們并無法知道。一種解決的方法是，先找出使貝葉斯風(fēng)險為最大時的先驗概率P（H0）的值，把它記作 ，并作為假想的P（H0）的值，這時得出的風(fēng)險值記為R*。0P當(dāng)P（H0） 時， R*比貝葉斯風(fēng)險R大，即0PR*RmaxR但不會離貝葉斯風(fēng)險太遠。dzHzpHPCdzHzpHPCRZZ01)()()()(11010010dzHzpHPCdzHzpHPCTTzz)()()()(11010010由式（8）式中，zT為觀測量門限，它是P（H0）的函數(shù)。（13）)()()(1010100dzHzpCdzHzpCH

11、dPdRTTzz)()()(1 ()()(010010010HdPdzHzpHPCHzpHPCTTT（14）由貝葉斯似然比門限的表達式可知，上式第二個方括號內(nèi)的值為零，于是有：TCHPCHPHzpHzpzLHH01110001)()()()()(01令上式為零，得出)()()(1010100dzHzpCdzHzpCHdPdRTTzz（15）dzHzpCdzHzpCTTzz)()(101010（16）即MFPCPC0110（17）上式稱為極小極大方程。例：設(shè)C00C110，C101，C012，)2exp(21)(20zHzp2) 1(exp21)(21zHzp求極小極大準(zhǔn)則的門限zT及風(fēng)險值。d

12、zHzpCdzHzpCTTzz)()(101010解：由式（16） 得：dzzdzzTTzz2) 1(exp212)2/exp(2122設(shè)：dzzzz2exp21)(2上式簡化為：) 1(2)(1TTzz由式（18）可近似求出（查積分表）：zT0.2（18）由01010001110001)(1 )()()()()()(CHPCHPCHPCHPHzpHzpzLTTT可得：)(1 2)()(00HPHPzLT由式（12）)()()(01HzpHzpzL可得：)2/1exp()2exp()2) 1(exp()()()(2201TTTTTTzzzHzpHzpzL（19）（20）將式（20）代入式（19

13、），可計算出P（H0） 0.6。0P再由FMPPCPPCPRR0100010)1()(dzz2) 1(exp2122 . 02MPCR01可得：4237. 0在很多情況下，系統(tǒng)可能有多種狀態(tài)，要檢測系統(tǒng)屬于哪一種狀態(tài)，就要用多元假設(shè)檢驗。例如，系統(tǒng)中有M-1個傳感器，則可有M個狀態(tài)，即所有傳感器無故障和M-1個傳感器中任一個發(fā)生故障。假設(shè)，H0 所有傳感器無故障；H1 第一個傳感器有故障；HM-1 第M-1個傳感器有故障。設(shè)H0、H1、HM-1的先驗概率分別為P（H0）、P（H1）、P（HM-1），則有101)(MiiHP在實際情況中，我們關(guān)心的是如何根據(jù)觀測量z的取值來判決哪個假設(shè)為真。將觀

14、測空間Z合理地劃分出M個互不相交的區(qū)域： Z = Z0Z1ZM-1如下圖所示。圖 多元假設(shè)檢驗的判決區(qū)域貝葉斯風(fēng)險為：1010)()(MjjijijMiHDPHPCR式中， 表示在Hj為真的條件下判決Hi為真的概率。)(jiHDP多元假設(shè)檢驗的貝葉斯準(zhǔn)則（貝葉斯風(fēng)險為最小的判決）等價于下面的判決：成立判i10Hmin)()()(MjjjijiHzPHPCz即計算i(z)（i=0，1，M-1），其中哪一個最小就判哪一個Hi成立。證明：因為 izjjidzHzpHDP)()(所以1010)()(MjjijijMiHDPHPCR1010)()(MjzjjijMiidzHzpHPCizjMiiiidz

15、HzpHPC)()(101010)()(MijjzjjijMiidzHzpHPC由于101MijjjiZZ1)(zjdzHzp所以10)(MiiiiHPCR1010)()(MijjjjjijjMizdzHzpCCHPi上式第一項與判決區(qū)劃分無關(guān)，故R最小等價于第二項的被積函數(shù)在Zi區(qū)內(nèi)為最小，即10min)()()(MijjjjjijjiHzpCCHPzI由上式可推出：min)()()(10MjjjijiHzPHPCz證畢。例：設(shè)M-12，Cij1，ij 和Cij0，ij。畫出此三元假設(shè)的判決區(qū)。解：由貝葉斯判決準(zhǔn)則得真判時02010H,真判時10121H,真判時21202H,（1）（2）（3

16、）將0、1、2的表達式代入式（1），可得)()()()(2211HPHzpHPHzp)()()()(2200HPHzpHPHzp和)()()()(2211HPHzpHPHzp)()()()(1100HPHzpHPHzp時，判H0為真。（4）（5）引入)()()(011HzpHzpzL)()()(022HzpHzpzL則上面兩個不等式（4）、（5）可寫成為真判時和0202101H,)()()()()()(HPHPzLHPHPzL為真判時和12112101H,)()()()()()()(HPHPzLzLHPHPzL同理可得為真判時和22112202H,)()()()()()()(HPHPzLzLH

17、PHPzL根據(jù)上面的判決關(guān)系可畫出該三元假設(shè)的判決區(qū)如下圖所示。圖 三元假設(shè)的判決區(qū)序貫概率比檢驗（Sequentical Probability Ratio test -SPRT）并不預(yù)先規(guī)定觀測樣本的數(shù)目，而是在檢驗過程中不斷增加觀測數(shù)據(jù)，一直到滿足要求的PF和PM為止。固定抽樣固定抽樣：一個產(chǎn)品抽樣檢驗方案規(guī)定按批抽樣品20件，若其中不合格品件數(shù)不超過 3，則接收該批，否則拒收。在此，抽樣個數(shù)20是預(yù)定的。 序貫抽樣序貫抽樣：第一批抽出3個，若全為不合格品，拒收該批，若其中不合格品件數(shù)為x13，則第二批再抽3-x1個，若全為不合格品，則拒收該批，若其中不合格品數(shù)為 x23-x1，則第三批

18、再抽3-x1-x2個，這樣下去，直到抽滿20件或抽得 3個不合格品為止。對N次獨立樣本R(N) r(1), r(2), , r(N)建立似然比Hr(n),pr(1),.Hr(n),pr(1),.)Hp(R(N)Hp(R(N)(R)L0101NN1kL(r(k)式中，)Hp(r(k)Hp(r(k)L(r(k)01比較比較：序貫抽樣其效果與固定抽樣相同，但抽樣個數(shù)平均講要節(jié)省些。此外，序貫抽樣方案除了可節(jié)省抽樣量之外,還有一種作用,即為了達到預(yù)定的推斷可靠程度及精確程度，有時必須使用序貫抽樣。 給出兩個門限T(H1)和T(H0)，則SPRT的判決規(guī)則為增加數(shù)據(jù)繼續(xù)檢驗為真判決為真判決)T(H(R)

19、L)T(HH)T(H(R)LH)T(H(R)L1N000N11N由此可得出用SPRT的判決空間如下圖所示。序貫概率比檢驗時判決空間的劃分1、序貫概率比檢驗的門限檢測門限T(H0)和T(H1)，可根據(jù)要求的PF和PM確定，滿足)Hp(R(N)Hp(R(N)(R)L01N)T(H1時，R(N)落在判決區(qū)Z1中。在判決區(qū)Z1中積分上式可得：dR)Hp(R(N)T(HdR)Hp(R(N)11z01z1即F1D)PT(HP 故FMFD1PP-1PP)T(HdR)Hp(R(N)1z1DPdR)Hp(R(N)1z0FP同理，當(dāng)滿足)Hp(R(N)Hp(R(N)(R)L01N)T(H0時，R(N)落在判決區(qū)Z

20、0中。在判決區(qū)Z0中積分上式可得：dR)Hp(R(N)T(HdR)Hp(R(N)00z00z1即)P-)(1T(HPF0M故FM0P-1P)T(H上述確定的檢測門限T(H0)和T(H1)，稱為瓦爾德瓦爾德（Wald）門限門限。FMFD1PP-1PP)T(H2、序貫概率比檢驗的平均檢測時間設(shè)在H0和H1為真的條件下，用序貫概率比檢驗作出判決所需的平均樣本數(shù)目分別為 和 。N為終止檢驗的樣本數(shù)目。)HE(N0)HE(N1F000N00P-1)H)P(T(H),T(H(R)LHH真：為真判M100N01P)H)P(T(H),T(H(R)LHH真：為真判F011N10P)H)P(T(H),T(H(R)

21、LHH真：為真判M111N11P-1)H)P(T(H),T(H(R)LHH真：為真判當(dāng)獲得第N個樣本而終止檢驗時有四種可能性：則終止檢驗時似然比LN（R）的平均值為：)P-)(1T(H)PT(H)PT(H)P-)(1T(H(R)ELM1M0F1F0N（當(dāng)H0為真）（當(dāng)H1為真）注意到在r(k)具有獨立同分布的條件下，有 HlnLr(k)EH(R)ElnLN1kiiNHENHElnLr(k)ii（i=0, 1）式中， 是在Hi條件下r(k)的似然比。HLr(k)i（1）（2）（3）將式（1）代入式（3），可得HElnLr(k)lnT(HP)lnT(HP-(1HEN01F0F0將式（2）代入式（3

22、），可得HElnLr(k)lnT(HP-(1)lnT(HPHEN11M0M1（4）（5）H0為真時，SPRT作出判決所需的平均樣本數(shù)H1為真時，SPRT作出判決所需的平均樣本數(shù)例：設(shè)r(k)為獨立同分布狀態(tài)隨機序列，其方差為1，在H0假設(shè)下，其均值為0，在H1假設(shè)下，其均值為1。規(guī)定PF=PM0.1，求序貫概率比檢驗的平均時間。解：因為21)-(r(k)exp-)21(HpR(N)N1k2N12(k)rexp-)21(HpR(N)N1k2N0故2N-r(k)exp)Hp(R(N)Hp(R(N)(R)LN1k01NN1kN2N-r(k)(R)lnL-2.1970.1-10.1lnP-1Pln)l

23、nT(HFM02.1970.10.1-1lnPP-1ln)lnT(HFM1N1kN2N-r(k)(R)lnL在 中，令N=1，可得21-r(k)lnL(r(k)從而21H)21-E(rHElnLr(k)1121-H)21-E(rHElnLr(k)00再由上面推導(dǎo)的式（4）和式（5）：3.5HEN13.5HEN0即平均取4次樣本即可滿足檢測性能的要求。HElnLr(k)lnT(HP)lnT(HP-(1HEN01F0F0HElnLr(k)lnT(HP-(1)lnT(HPHEN11M0M1可得：，r(k)在H1假設(shè)下均值為1；在H0假設(shè)下均值為0。3、縮短序貫概率比檢驗延遲的方法序貫概率比檢驗是不斷

24、增加數(shù)據(jù)數(shù)目一直到似然比達到某個門限為止。對數(shù)似然比可寫成下面的遞推形式：)(ln)(ln)(ln)(ln11NrLRLkrLRLNNkN式中，111)(ln)(lnNkNkrLRL0)()(ln)(ln0101HHHNrpHNrpNrL0)()(ln)(ln0101HHHNrpHNrpNrL由式因此，在未發(fā)生故障前，對數(shù)似然比一直附加負值負值，使 可能很負，當(dāng)故障發(fā)生后，必須積累一段正值項，才能使 變正而達到門限 ，這就造成了檢測檢測延遲延遲。)(lnRLN)(lnRLN)(ln1HT可以看出，對數(shù)似然比在遞推過程中當(dāng)H0為真時，附加一項負值負值，當(dāng)H1為真時，附加一項正值正值。延遲情況如下圖所示。圖 序貫概率比