奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念

1、奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念2022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念22022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念32022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念41若奇函數(shù)f(x)在x0處有意義，則f(0)是什么？【提示】由奇函數(shù)定義，f(x)f(x)，則f(0)f(0)，f(0)0.2奇(偶)函數(shù)的定義域有什么特點(diǎn)？這種特點(diǎn)是怎樣影響函數(shù)的奇偶性的？2022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念5【提示】(1)偶函數(shù)(奇函數(shù))的定義中“對(duì)D內(nèi)任意一個(gè)x，都有xD，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，這表明f(x)與f(x)都有意義，即x、x同時(shí)屬于定義域因此偶(奇)函數(shù)的定義域是關(guān)于坐標(biāo)

2、原點(diǎn)對(duì)稱的也就是說(shuō)，定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件(2)若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)2022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念62022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念72022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念8(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x3；定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性，一般有以下幾種方法：定義法：若函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則應(yīng)進(jìn)一步判斷f(x)是否等于f(x)，或判斷f(x)f(x)是否等于0，從而確定奇偶性2022-6-15奇偶

3、性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念9圖象法：若函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)另外，還有如下性質(zhì)可判定函數(shù)奇偶性：偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)，奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)(注：利用以上結(jié)論時(shí)要注意各函數(shù)的定義域)2022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念102022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念112022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念12(3)xR，f(x)|x2|x2|x2|x2|(|x2|x2|)f(x)，f(x)是奇函數(shù)2022-6-

4、15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念13【思路點(diǎn)撥】由題目可獲取以下主要信息：已知函數(shù)為分段函數(shù)；判斷此函數(shù)的奇偶性解答本題可依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義加以說(shuō)明【解析】(1)當(dāng)x0f(x)(x)2(x)1，x2x1(x2x1)f(x)(2)當(dāng)x0時(shí)，x0時(shí)，f(x)滿足f(x)x2x1，x0時(shí)，x0f(x)x2f(x)當(dāng)x0f(x)(x)2x2f(x)當(dāng)x0時(shí)，f(x)0f(x)f(x)是偶函數(shù)2022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念16已知函數(shù)f(x)不恒為0，當(dāng)x、yR時(shí)，恒有f(xy)f(x)f(y)求證：f(x)是奇函數(shù)【思路點(diǎn)撥】令xy0求f(0)令yxf(x)f(x)結(jié)論【證明】函數(shù)定義域

5、為R，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(xy)f(x)f(y)，令yx，則f(0)f(x)f(x)，再令xy0，則f(0)f(0)f(0)，得f(0)0，f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)2022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念17抽象函數(shù)奇偶性的判定通常用定義法，主要是充分運(yùn)用所給條件，想法尋找f(x)與f(x)之間的關(guān)系，此類(lèi)題目常用到f(0)，可通過(guò)給式子中變量賦值，構(gòu)造出0，把f(0)求出來(lái)3.本例中，若將條件“f(xy)f(x)f(y)”改為f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，其余不變，求證f(x)是偶函數(shù)2022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念18【證明】令x0，yx，則f(x)f(x)2f(0)f(x)又令xx，y0得f(x)f(x)2f(x)f(0)得f(x)f(x)f(x)是偶函數(shù)2022-6-15奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性概念191準(zhǔn)確理解函數(shù)奇偶性定義準(zhǔn)確理解函數(shù)奇偶性定義(1)偶函數(shù)(奇函數(shù))的定義中“對(duì)D內(nèi)任意一個(gè)x，都有xD，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，這表明f(x)與f(x)都有意義，即x、x同時(shí)屬于定義域因此偶(奇)函數(shù)的定義域是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的也就是說(shuō)，定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，即f(x)0，xD