四邊形輔助線專題訓(xùn)練

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、 和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法1利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1 如圖1，已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是平行四邊形.求證:OE與AD互相平分. 說明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.2利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例2 如圖2，在ABC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF，ED/AC，F(xiàn)G/AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.說明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平行時(shí)，可通過作平行線構(gòu)造另一組對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決問題.3利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四

2、邊形例3 如圖3，已知AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC. 圖3 圖4說明：本題通過利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形.當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法. 二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法 和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.例4 如圖5，在ABC中，ACB=90°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC，EF/BC交AD于點(diǎn)F，求證：四邊形CDEF是菱形.例5 如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證EF+B

3、F的最小值等于DE長(zhǎng). 圖6說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計(jì)算題作輔助線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結(jié)菱形的對(duì)角線.三、 與矩形有輔助線作法 和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例6 如圖7，已知矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的長(zhǎng). 圖7四、與正方形有關(guān)輔助線的作法 正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有關(guān)正方形的

4、試題較多.解決正方形的問題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對(duì)角線是解決正方形問題的常用輔助線.例7如圖8，過正方形ABCD的頂點(diǎn)B作BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求證：BCF=AEB. 說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì).通過連接正方形的對(duì)角線構(gòu)造正方形AHBO，進(jìn)一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問題.與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線作法一、有中線時(shí)可倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形 ABDC例1已知：如圖，AD為中線，求證：.ABDCEF類題1已知：如圖，AD為的中線，AE=EF.求證：BF=AC.二、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍此線段，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形

5、.APMQBC例2已知：如圖，在中，M為AB中點(diǎn)，P、Q分別在AC、BC上，且于M.求證：.類題2已知：的邊BC的中點(diǎn)為N，過A的任一直線于D，于E.求證：NE=ND.三、有中點(diǎn)時(shí)，可連結(jié)中位線例3如圖，中，D、E分別為AB、AC上點(diǎn)，且BD=CE，M、N為BE、CD中點(diǎn)，連MN交AB、AC于P、Q，求證：AP=AQADPBCQEMN類題3已知：如圖，E、F分別為四邊形ABCD的對(duì)角線中點(diǎn)，AB>CD.求證：.ADFEBC類題4如圖，中，AD是高，CE為中線，G為垂足，DC=BE.求證：（1）G是CE的中點(diǎn)；（2）.AEDGCB四、有底邊中點(diǎn)，連中線，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證題例

6、4已知：如圖，在中，AB=AC，D為BC邊中點(diǎn)，P為BC上一點(diǎn)，于F，于E.求證：DF=DE.AFEDPCB類題5已知：如圖，矩形ABCD，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AC=CE，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，求證：.BDCFEA六、與梯形中點(diǎn)有關(guān)的輔助線：有腰中點(diǎn)時(shí)，常見以下三種引輔助線法ADBC（3）EEADBC（2）EGADFBC（1）E例5已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，M為CD的中點(diǎn).求證：AM=MB.ABDMC類題6已知：梯形ABCD中，ABCD，E為BC中點(diǎn)，于F.求證：.【作業(yè)】1、 已知ABC和DBE為等腰直角三角形，ABC=DBE=90°，A、B、D在同一直線上，M、N、

7、P分別是AD、AC、DE邊上的中點(diǎn)，試說明MP與MN的關(guān)系并證明。NMPEDCBA2、如果上題中A、B、D不在同一直線上，其余條件不變，上述結(jié)論是否發(fā)生變化？證明結(jié)論。NMPEDCBA3、平行四邊形ABCD，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，P、E、F分別是AD、OB、OC的中點(diǎn)，AC=2AB。求證：PE=EFABCDOEPF4、等腰梯形ABCD中，DCAB，AOB=60°，E、F、M分別是OD、OA、BC的中點(diǎn)。ABCDEFMO求證：EFM是等邊三角形。5、如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N、P、Q分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)。求證：MN與PQ互相垂直平分。ABCDMNPQ6、如圖

8、，在ABC中，E是AB的中點(diǎn)，CD平分ACB，ADCD，垂足為點(diǎn)D，求證：2DE=BC-ACABCDEMN7、BD、CE分別為ABC外角平分線，AMBD于M，ANCE于N，探究MN與AB、BC、AC的關(guān)系。附加題：（1）若將上題中BD改為ABC的平分線，其它條件不變，則上題結(jié)論是否成立。（2）若BD、CE分別為ABC和ACB的平分線，其它條件不變，以上結(jié)論是否成立？(畫圖、證明)CBACBA8、ABC中，AB=AC，BAC=，在AB、AC上截取AD、AE，且AD=AE，連結(jié)DE。如圖1所示，則易證BD=CE，如圖2所示，將ADE逆時(shí)針針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，連結(jié)BD、CE。（1）判斷BD與CE的

9、數(shù)量關(guān)系及BD、CE延長(zhǎng)線所夾銳角的度數(shù)。BCDEABCDEAABCDEBCDE（2）點(diǎn)G、F分別是等腰ABC、等腰ADE底邊的中點(diǎn)，BAC=DAE=，點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn)，試探索GPF與的關(guān)系，并加以證明。BCDEAPGF9、我們給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形請(qǐng)解答下列問題：（1）寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；（2）如圖1，在ABC 中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且CD=CA，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G求證：四邊形AGEC是等鄰角四邊形；（3）如圖2，若點(diǎn)D在ABC 的內(nèi)部，（2）中的其他條件不變，EF與C

10、D交于點(diǎn)H圖中是否存在等鄰角四邊形，若存在，指出是哪個(gè)四邊形，不必證明；若不存在，請(qǐng)說明理由 1、在四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，順次連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE。（1）請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀，并給予證明；（2）試添加一個(gè)條件，使四邊形EFGH是菱形，并說明理由。2、如圖,在四邊形ABC中,AB=AD,CB=CD,點(diǎn)M,N,P,Q分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，求證:四邊形MNPQ是矩形.小結(jié)：中點(diǎn)四邊形：對(duì)角線 的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形對(duì)角線 的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形對(duì)角線 的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形對(duì)角線 的四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形(

11、1) 順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 .(2) 順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 .(3) 順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 .(4) 順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 .(5) 順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 練習(xí)題：1、順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)，所得圖形一定是（ ）A矩形B直角梯形C菱形D正方形2、如圖，小區(qū)的一角有一塊形狀為等梯形的空地，為了美化小區(qū)，社區(qū)居委會(huì)計(jì)劃在空地上建一個(gè)四邊形的水池，使水池的四個(gè)頂點(diǎn)恰好在梯形各邊的中點(diǎn)上，則水池的形狀一定是A、等腰梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形3、.順次連接一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)，得到了一個(gè)矩形，則下

12、列四邊形滿足條件的是（ ）平行四邊形 菱形 等腰梯形 對(duì)角線互相垂直的四邊形A. B. C. D.4、順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是A.菱形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對(duì)角線相等的四邊形5如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC，CD，DA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是( ).A. HGF = GHE B. GHE = HEF C. HEF = EFG D. HGF = HEF6、如圖，依次連結(jié)第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個(gè)矩形的面積為1，則第n個(gè)矩形的面積為 。7、我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形若一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是一個(gè)矩形，則四邊形可以是 8、如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的邊至少滿足 條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形ABCDEFGHA1AA2A3BB1B2B3CC2C1C3DD2D1D3第9題圖9、如圖,四邊形ABCD中,AC=a,BD=b,且ACBD,順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn),得到四邊形A1B1C1D1,再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn),得到四邊形A2B2C2D2,如此進(jìn)行下去