數學物理方法保角變換法PPT學習教案

1、會計學1數學物理方法保角變換法數學物理方法保角變換法 保角變換法解定解問題的基本思想： 通過解析函數的變換或映射（這部分知識在復變函數論中已經學習過）將 Z平面上具有復雜邊界形狀的邊值問題變換為 W平面上具有簡單形狀（通常是圓、上半平面或帶形域）的邊值問題，而后一問題的解易于求得于是再通過逆變換就求得了原始定解問題的解這就是本章將要介紹的一種解決數學物理方程定解問題中的解析法保角變換法。第2頁/共38頁保角變換法是解決這類復雜邊界的最有效方法，特別適合于分析平面場的問題。例如靜電場的問題，由于這種求解復雜邊界的定解問題具有較大的實用價值，所以有必要單獨以一章的內容進行介紹復變函數論中已經系統(tǒng)介

2、紹了保角變換理論，本章主要介紹利用保角變換法求解定解問題。第3頁/共38頁保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關系在復變函數論中我們已經知道，由解析函數 ( )f zw實現(xiàn)的從Z平面到W 平面的變換在 ( )0fz的點具有保角性質，因此這種變換稱為保角變換下面我們主要討論一一對應的保角變換，即假定 ( )f zw和它的反函數都是單值函數；或者如果它們之中有多值函數就規(guī)定取它的黎曼面的一葉 第4頁/共38頁定理 如果將由 izxy到 iuwv的保角變換看成為二元（實變）函數 ( , )x y的變換由 , x y到 , u v的變量代換，則 z平面上的邊界變成了 w平面上的邊界我們能證明，如果 ( ,

3、 )x y程，則經過保角變換后得到的 滿足拉普拉斯方( , )uv也滿足拉普拉斯方程第5頁/共38頁【證明】 利用復合函數求導法則有2222222222222() ()2uxuxxuuxuxuxxuxuxx vvvvvvvv同理第6頁/共38頁2222222222222() ()2uuyuyuyyuyuyy vvvvvv兩式相加得到222222222222222222222()() +()() +()() +2( + ) uuxyxyuxyuuxyuxyuuxxyyu vvvvvvvvv（） 第7頁/共38頁利用解析函數 ( )if zuwv的C-R條件, uuxyxy vv以及解析函數的實部

4、和虛部分別滿足拉普拉斯方程的性質 222222220, 0uuxyxyvv將式（）和式（）代入到式（）化簡后得到第8頁/共38頁222222222222222()() (+) |( )| (+)ufzxyxxuu vvv注意到上式已經使用了： ( )iufzxxvw對于保角變換 ( )0,fzw因而只要 ( , )x y滿足拉普拉斯方程，則 ( , uv）也滿足拉 普拉斯方程，即為第9頁/共38頁222222220 (+)0 xyu v（）這樣我們就有結論：如果在 izxy平面上給定了 ( , )x y的拉普拉斯方程邊值問題， 則利用保角變換 ( )f zw，可以將它轉化為 iuwv平面上 (

5、 , uv)的拉普拉斯方程邊值問題第10頁/共38頁同理可以證明，在單葉解析函數 ( )f zw =變換下，泊松方程2222( , ) x yxy 仍然滿足泊松方程（）),(),()(122222vuyvuxzfvu第11頁/共38頁 由上式可知，在保角變換下，泊松方程中的電荷密度發(fā)生了變化對于波動問題和輸運問題，同理可以證明，亥姆霍茲方程 222220 kxy 經變換后仍然服從亥姆霍茲方程0)(222222zfkvu第12頁/共38頁注意到方程要比原先復雜，且 前的系數可 能不是常系數 保角變換法的優(yōu)點不僅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的類型在保角變換下保持不變，更重要的是，能將復雜邊界問

6、題變?yōu)楹唵芜吔鐔栴}，從而使問題得到解決下面，在介紹用保角變換法來求解拉普拉斯方程之前，先介紹常用到的一些保角變換第13頁/共38頁常用的幾種保角變換azw將z平面上的圖形整體平移一個矢量a。第14頁/共38頁bazw1argj2ezzaabzz/12zaw 平移旋轉伸縮第15頁/共38頁iierRwrez2,則令：zRw2)0(022zzRw保角性：保圓性：保對稱性：Z平面內關于原點O 對稱點P、Q 變換為w 平面上的像P、Q 也關于原點O 對稱。OPQR_2OROQOP第16頁/共38頁)(bcaddczbazwCBzAwcaCcdBcadbcA,2保圓性；保對稱性；上式可寫成其中：第17頁

7、/共38頁2i,2izz區(qū)域：111zzw212ww i22iww(-1,0)(1,0)2111111zzzzdzdw第18頁/共38頁11, 2zz區(qū)域：201zzw1i2ww 212101zzzzdzdw1/22wew 上半平面第19頁/共38頁jerz nrnnzw jew第20頁/共38頁討論變換若均勻場在w 平面上是具有平行于兩坐標軸的直線族，則此變換將w平面的正實軸變換成z平面上的正實軸，其負實軸卻因負值的方根變成z平面上的正虛軸，這樣w平面的上半平面變換成z平面的第一象限，如圖所示。反之亦然 . y xz平面W 平面uv2/12wzzw或第21頁/共38頁(6) 對數變換 對數變

8、換是常用的一種變換。對數變換是指數變換的逆變換。先研究指數變換令 ， 得可知：z平面上的直線x=常數變換到w平面上的圓周 常數，而直線y常數變換成射線 常數。,xeyezw je,jwyxz第22頁/共38頁awarg0z(W平面)(ux)(vyw(z平面)(yv)(xu)2(Im0aaz第23頁/共38頁zwlnvru,lnuvjln rwjerz 第24頁/共38頁例1 試求平面靜電場的電勢分布 ( , )x y，其中 0 (Im0)z12 (0)( ,0) (0)VxxVx【解】 ln zwzw變換使上半平面變成平面上的帶形域, 然的，類似于上面定解問題的結果,則本定解問題可歸結為而在帶

9、形域上的解是顯保角變換法求解定解問題典型實例第25頁/共38頁12( , )VVuvv x y u O O 1v 2v 1v 2v v z平面 w平面 i lnzw第26頁/共38頁而 ilnlniarguzzzwv所以arg zv于是，作反變換便可求得所求問題的解為121212( , )argarctanVVVVVVyx yzx第27頁/共38頁12 (0) (2)vvv試用保角變換法求解一半徑為a的無限長導體圓柱殼內的電場分布情況【解】即求解定解問題2120 () (0) (2)aavvvv例 2 若把柱面充電到 第28頁/共38頁作如下的保角變換(1) 作變換 azz 1把原圖象縮小為

10、a1倍即將任意的圓周變換為單位圓 (2) 再作變換 把 11z變換為 0Im2z，其邊界的變換是將下半圓周對應于負半實軸，上半圓周對應于正半實軸11211zziz第29頁/共38頁 z平面 x 0 1z平面 1x 1y 2x 1v 2v 2z平面 平面 i y 2y （3）再作變換 2lnz2z把平面的上半平面變成平面上平行于實軸，寬為 的一個帶形區(qū)域，其邊界的 第30頁/共38頁2z2zIm變換是將平面的正半實軸變換為平面的實軸，平面的負半實軸變換為平面的平行于實軸的直線所以，在變換lniazaz之下，定解問題變換為20120vvvvv第31頁/共38頁定解問題的解（仿上例）為21211Im

11、vvvvvv將變量回到z平面，則第32頁/共38頁2112112222121112112121222222Imln(i) Imlni() ln() i arctanarctanarctan222 arctanarctan22a za zya xx aya xyaxyyx aayayayaxyaxyvvv vvvvvvvvvvvvvvvvv化成極坐標形式，則上式又改寫成1212222sin( , )arctg, ()2aaa vvvvv第33頁/共38頁從上面的例題我們總結出，對于平面標量場的問題，不管邊界如何復雜，只要能通過保角變換把原來的邊界所圍成的區(qū)域變換成上半平面的帶形域 0Im問題就容易解決了第34頁/共38頁2 yx21212uv例3 兩個同軸圓柱構成柱形電容器，內外半