巧用等時(shí)圓解物理問(wèn)題

1、巧用“等時(shí)圓”解物理問(wèn)題一、等時(shí)性的證明 設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為，位移為，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 即沿各條弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。二、等時(shí)圓模型（如圖所示） 圖a 圖b三、等時(shí)圓規(guī)律 1、小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點(diǎn)的時(shí)間相等。（如圖a） 2、小球從圓上的各個(gè)位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時(shí)間相等。（如圖b） 3、沿不同的弦軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，都等于小球沿豎直直徑（）自由落體的時(shí)間，即 （式中R為圓的半徑。）結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下

2、滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。圖1A四、應(yīng)用等時(shí)圓模型解典型例題1、可直接觀察出的“等時(shí)圓” 【例1】如圖1所示，通過(guò)空間任一點(diǎn)A可作無(wú)限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn)A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（ ）A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無(wú)法確定圖1圖2解析：由“等時(shí)圓”可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一“等時(shí)圓”上，所以A正確?！纠?】如圖2所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫(huà)出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為

3、0），用t1、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達(dá)d所用的時(shí)間，則（ ）A.t1t2t2t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t3 解析：選任一桿上的環(huán)為研究對(duì)象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖2所示，設(shè)圓半徑為R，由牛頓第二定律得： 再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長(zhǎng)度 圖1xymg圖2設(shè)下滑時(shí)間為，則 由以上三式得， 可見(jiàn)下滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無(wú)關(guān)，所以D正確。ABCDM圖3【例3】如圖3，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓軌道與水平面相切于M點(diǎn)，與豎直墻相切于點(diǎn)A，豎直墻上另一點(diǎn)B與M的連線和水平面的夾角為600，C是圓環(huán)軌道的圓心，D是圓環(huán)上與M靠得很近的一點(diǎn)（DM遠(yuǎn)小于CM）。已知在同一時(shí)刻：a、b兩球分別由A、B兩點(diǎn)從靜

4、止開(kāi)始沿光滑傾斜直軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)；c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn)；d球從D點(diǎn)靜止出發(fā)沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)。則：（ ） A、a球最先到達(dá)M點(diǎn) B、b球最先到達(dá)M點(diǎn)C、c球最先到達(dá)M點(diǎn) D、d球最先到達(dá)M點(diǎn)解析：設(shè)圓軌道半徑為R，據(jù)“等時(shí)圓”理論，ta=2 ， tb ta ；c做自由落體運(yùn)動(dòng)tc= ；而d球滾下是一個(gè)單擺模型，擺長(zhǎng)為R，圖4td= ，所以C正確?！纠?】圓O1和圓O2相切于點(diǎn)P，O1、O2的連線為一豎直線，如圖4所示。過(guò)點(diǎn)P有兩條光滑的軌道AB、CD，兩個(gè)小物體由靜止開(kāi)始分別沿AB、CD下滑，下滑時(shí)間分別為t1、t2，則t1、t2的關(guān)系是（）A.t1t2 B.t1=t2 C.t1t2 D.無(wú)

5、法判斷解析：因AB、CD處在兩個(gè)“等時(shí)圓”上，所以正確答案為B。OABLL圖52、運(yùn)用等效、類比自建“等時(shí)圓”【例5】如圖5，在斜坡上有一根旗桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，現(xiàn)有一個(gè)小環(huán)從旗桿頂部沿一根光滑鋼絲AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小環(huán)從A滑到B的時(shí)間。解析：可以以O(shè)為圓心，以 L為半徑畫(huà)一個(gè)圓。根據(jù)“等時(shí)圓”的規(guī)律可知，從A滑到B的時(shí)間等于從A點(diǎn)沿直徑到底端D的時(shí)間，所以有OABLLD圖5ABPHhO圖6【例6】如圖6所示，在同一豎直線上有A、B兩點(diǎn)，相距為h，B點(diǎn)離地高度為H，現(xiàn)在要在地面上尋找一點(diǎn)P，使得從A、B兩點(diǎn)分別向點(diǎn)P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開(kāi)始分別由A和B沿木板下滑到P點(diǎn)的時(shí)間相等

6、，求O、P兩點(diǎn)之間的距離。解析：由“等時(shí)圓”特征可知，當(dāng)A、B處于等時(shí)圓周上，且P點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低點(diǎn)時(shí)，即能滿足題設(shè)要求。圖6ABPHhOO1如圖6所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為： 所以 【例7】?jī)晒饣泵娴母叨榷紴閔，甲、乙兩斜面的總長(zhǎng)度都為l，只是乙斜面由兩部分組成，如圖7所示，將兩個(gè)相同的小球從斜面的頂端同時(shí)由靜止釋放，不計(jì)拐角處的能量損失，問(wèn)哪一個(gè)球先到達(dá)斜面底端？圖7圖7解析：構(gòu)想一輔助圓如圖7所示：在AF上取一點(diǎn)O，使OA=OC，以O(shè)點(diǎn)為圓心，以O(shè)A為半徑畫(huà)圓，此圓交AD于E點(diǎn)。由“等時(shí)圓”可知，由機(jī)械能守恒定律可知：，所以。又因?yàn)閮尚泵娴目傞L(zhǎng)度相等，所以，根據(jù)得，所以有，即乙球先到達(dá)

7、斜面底端。圖8【例8】如圖8，在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí)，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開(kāi)始由屋頂無(wú)摩擦地流動(dòng)。試分析和解：在屋頂寬度（2L）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時(shí)間是多少？圖8解析：如圖8所示，通過(guò)屋頂作垂線AC與水平線BD相垂直；并以L為半徑、O為圓心畫(huà)一個(gè)圓與AC、BC相切。然后，畫(huà)傾角不同的屋頂、從圖4可以看出：在不同傾角的屋頂中，只有是圓的弦，而其余均為圓的割線。根據(jù)“等時(shí)圓”規(guī)律，雨水沿運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為而屋頂?shù)膬A角則為PAB圖9COAB圖9P【例9】如圖9， AB是一傾角為的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送

8、帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？解析：借助“等時(shí)圓”，可以過(guò)P點(diǎn)的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖9所示，C為切點(diǎn)，O為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達(dá)C點(diǎn)處的時(shí)間與沿其他弦到達(dá)“等時(shí)圓”的圓周上所用時(shí)間相等。因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時(shí)間最短，需沿著PC建立管道。由幾何關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于/ 2。圖1圖10三、“形似質(zhì)異”問(wèn)題的區(qū)分【例10】還是如圖10的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為，小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時(shí)間還等不等？解析

9、：bd的長(zhǎng)為2Rcos，bd面上物體下滑的加速度為a=gcos-gsin，tbd=2。可見(jiàn)t與有關(guān)。aObc圖11【例11】如圖11，圓柱體的倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圓心O，而上端則擱在倉(cāng)庫(kù)側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為300、450、600。若有三個(gè)小孩同時(shí)從a、b、c處開(kāi)始下滑（忽略阻力），則 （ ） A、a處小孩最先到O點(diǎn) B、b處小孩最先到O點(diǎn)C、c處小孩最先到O點(diǎn) D、a、c處小孩同時(shí)到O點(diǎn)解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c三點(diǎn)不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時(shí)間不一定相等。設(shè)圓柱底面半徑為R，則=gsint2，t2=，當(dāng)=

10、450時(shí)，t最小，當(dāng)=300和600時(shí)，sin2的值相等。圖12練習(xí)1：如圖9，底邊為定長(zhǎng)b的直角斜面中，球從光滑直角斜面頂端由靜止滑到底端，至少需要多少時(shí)間？圖12解析：用作圖求解。如圖12，以b為半徑、O為圓心作一個(gè)圓，作出圓的一條豎直切線MN，于圓切于D點(diǎn)。A點(diǎn)為所作圓的最低點(diǎn)。由圖可看出：從MN上不同的點(diǎn)由靜止滑到A點(diǎn)，以DA時(shí)間為最短。（由“等時(shí)圓”可知，圖中E/、D、C/各點(diǎn)到達(dá)A的時(shí)間相等。）所以小球從底邊b為定長(zhǎng)的光滑直角斜面上滑下時(shí)以45的時(shí)間為最少，而且此時(shí)間與球從P點(diǎn)自由下落到圓最低點(diǎn)的時(shí)間相等。所以。圖13練習(xí)2：在離坡底B為10cm的山坡面上豎直地固定一根直桿，桿高O

11、A也是10cm。桿的上端A到坡底B之間有鋼繩，一穿心于鋼繩上的物體（如圖11）從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿鋼繩無(wú)摩擦地滑下，求它在鋼繩上滑行時(shí)間（g=10m/s2）圖13解析：如圖13，把AO延長(zhǎng)到C，使OC=OA=10cm，則點(diǎn)O到A、B、C三點(diǎn)的距離相等。以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，則B、C一定在該圓的圓周上，由結(jié)論可知，物體從A到B的時(shí)間與從A到C的時(shí)間相等，即s?！暗葧r(shí)球”“等時(shí)圓”概念演變過(guò)空間一點(diǎn)作無(wú)數(shù)條直線光滑軌道，求某時(shí)刻圓環(huán)所在點(diǎn)構(gòu)造的面問(wèn)題，這里證明如下：“等時(shí)圓”的條件是從圓的最高點(diǎn)發(fā)散狀光滑軌道，或者從圓周上匯聚至最低點(diǎn)的軌道滑行時(shí)間等時(shí)問(wèn)題，對(duì)于上述球狀例子，畫(huà)圖如下：C1表示豎直平面，C2表示與C1相交的平面。任取豎直平面內(nèi)一條軌道，從頂點(diǎn)A沿所在豎直平面軌道AB無(wú)摩擦下滑到達(dá)其圓周上點(diǎn)B的時(shí)間為t1.根據(jù)等時(shí)圓理論，t1等于從點(diǎn)A沿AD自由落體至底部點(diǎn)D的時(shí)間。 同理，軌道AC