大學(xué)物理第二中科大版

1、大學(xué)物理學(xué)習(xí)題答案習(xí)題一答案習(xí)題一1.1簡要回答下列問題：(1)位移和路程有何區(qū)別？在什么情況下二者的量值相等？在什么情況下二者的量值不相等？(2)平均速度和平均速率有何區(qū)別？在什么情況下二者的量值相等？(3)瞬時速度和平均速度的關(guān)系和區(qū)別是什么？瞬時速率和平均速率的關(guān)系和區(qū)別又是什么？(4)質(zhì)點的位矢方向不變，它是否一定做直線運動？質(zhì)點做直線運動，其位矢的方向是否一定保持不變？vvvvdv一dV一(5)r和r有區(qū)別嗎？v和v有區(qū)別嗎？一0和0各代表什么運動?dtdt(6)設(shè)質(zhì)點的運動方程為:xxt,yyt,在計算質(zhì)點的速度和加速度時，有人先求出rx2y2,然后根據(jù)drd2rv及a一2dtdt

2、2而求得結(jié)果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即2dx出2dy dt你認(rèn)為兩種方法哪一種正確？兩者區(qū)別何在?(7)如果一質(zhì)點的加速度與時間的關(guān)系是線性的，那么，該質(zhì)點的速度和位矢與時間的關(guān)系是否也是線性的？(8)“物體做曲線運動時，速度方向一定在運動軌道的切線方向，法向分速度恒為零，因此其法向加速度也一定為零.”這種說法正確嗎？(9)任意平面曲線運動的加速度的方向總指向曲線凹進(jìn)那一側(cè)，為什么？(10)質(zhì)點沿圓周運動，且速率隨時間均勻增大，an、aa三者的大小是否隨時間改變?(11)一個人在以恒定速度運動的火車上豎直向上拋出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子拋出后，火車以恒

3、定加速度前進(jìn)，結(jié)果又如何？1.2一質(zhì)點沿x軸運動，坐標(biāo)與時間的變化關(guān)系為_2x4t2t,式中x,t分別以m、s為單位，試at算：(1)在最初2s內(nèi)的位移、平均速度和度；(3)3s末的瞬時加速度。解：2s末的瞬時速度；(2)1s末到3s末的平均加速最初2s內(nèi)的位移為為:xx(2)x(0)000(m/s)最初2s內(nèi)的平均速度為：vave0-0(m/s)t時刻的瞬時速度為：v(t)dxdt4t2s末的瞬時速度為：v(2)4m/s(2)1s末到3s末的平均加速度為:aavevv(3)v(1)(3)3s末的瞬時加速度為：atdvd(44t)8024m/s21.3質(zhì)點作直線運動，初速度為零,dtdt2、4

4、(m/s)o初始加速度為a0,質(zhì)點出發(fā)后，每經(jīng)過時間，加速度均勻增加bo求經(jīng)過t時間后，質(zhì)點的速度和位移。解：由題意知，加速度和時間的關(guān)系為利用dvadt,并取積分得vdv0,a。bt0dvaot再利用dxvdt,并取積分0時x00得1.4r一質(zhì)點從位矢為r(0)r(3t)i(1)(2)解:(1)(2)xdxtvdt0-t36r4j的位置以初速度v(0)r4i開始運動，其加速度與時間的關(guān)系為r2j.所有的長度以米計，時間以秒計經(jīng)過多長時間質(zhì)點到達(dá)到達(dá)x軸時的位置。rrv(t)v(0).求:x軸;ra(t)dt2s時,到達(dá)r(2t)jx軸。一r-t2s時到達(dá)x軸的位矢為：r(2)r12i即質(zhì)點到

5、達(dá)x軸時的位置為x12m,1.5一質(zhì)點沿x軸運動，其加速度與坐標(biāo)的關(guān)系為2x,式中為常數(shù)，設(shè)t0時刻的質(zhì)點坐標(biāo)為x。、速度為Vo,求質(zhì)點的速度與坐標(biāo)的關(guān)系解：按題意d2xdt2由此有d2xdvdvdxdt2dtdxdtdvvdxvdv2xdx兩邊取積分vvdvv0xxdxxo122v122v022Xo由此給出A2v02xo1.6一質(zhì)點的運動方程為r(t)24tjtkt分別以m、s為單位。試求:解:質(zhì)點的速度與加速度;質(zhì)點的軌跡方程。速度和加速度分別為:dvdtvv(8t)jkdv.8jdt令r(t)xiyjzk,與所給條件比較可知所以軌跡方程為：x1,y4z2。211.7已知質(zhì)點作直線運動，其

6、速度為v3tt(ms),求質(zhì)點在04s時間內(nèi)的路程解：在求解本題中要注意：在04s時間內(nèi)，速度有時大于零，有時小于零，因而運動出現(xiàn)往返。如果計算積分vdt,則求出的是位移而不是路程。求路程應(yīng)當(dāng)計算積分vdt。令00v3tt20,解得t3s。由此可知：t3s時，v0,vv；t3s時，v0；Vo因而質(zhì)點在0 4s時間內(nèi)的路程為J，、6 (m)。3x時,3213-t2t32331.8在離船的高度為h的岸邊，一人以恒定的速率Vo收繩，求當(dāng)船頭與岸的水平距離為船的速度和加速度。解：建立坐標(biāo)系如題1.8圖所示，船沿X軸方向作直線運動，欲求速度，應(yīng)先建立運動方程,由圖題1.8,可得出習(xí)題1.8圖兩邊求微分，

7、則有船速為dr按題意了v0(負(fù)號表示繩隨時間t縮短)，所以船速為C2h2vv0（前面根號下的里面是加號）負(fù)號表明船速與X軸正向反向，船速與X有關(guān)，說明船作變速運動。將上式對時間求導(dǎo)，可得船的加速度為負(fù)號表明船的加速度與X軸正方向相反，與船速方向相同，加速度與X有關(guān)，說明船作變加速運動。1.9一質(zhì)點沿半徑為10cm的圓周運動，其角坐標(biāo)（以弧度rad計）可用下式表示其中t的單位是秒（s）試問：（1）在t2s時，它的法向加速度和切向加速度各是多少？當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r其總加速度與半徑成45o角？解：（1）利用24t3,d/dt12t2,d/dt24t,得到法向加速度和切向加速度的表達(dá)式2,一，4-anr14

8、4rt,ar24rt在t2s時，法向加速度和切向加速度為：an144rt41440.124230.4（ms2）,（2）要使總加速度與半徑成45o角，必須有anat,即144rt424rt解得t31/6,此時24t32.67rad1.10 甲乙兩船，甲以10km/h的速度向東行駛，乙以15km/h的速度向南行駛。問坐在乙船上的人看來，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看來乙船的速度又如何？解：以地球為參照系，設(shè)i、j分別代表正東和正北方向，則甲乙兩船速度分別為v110ikm/h,v215jkm/h根據(jù)伽利略變換，當(dāng)以乙船為參照物時，甲船速度為vJ10215218.1km/h,arctg1556.31

9、即在乙船上看，甲船速度為18.1km/h,方向為東偏北56.31同理，在甲船上看，乙船速度為18.1km/h,方向為西偏南56.31。1.11 有一水平飛行的飛機(jī)，速率為V0,在飛機(jī)上安置一門大炮，炮彈以水平速度v向前射擊。略去空氣阻力，（1）以地球為參照系，求炮彈的軌跡方程；（2）以飛機(jī)為參照系，求炮彈的軌跡方程；（3）以炮彈為參照系，飛機(jī)的軌跡如何？解：（1）以地球為參照系時，炮彈的初速度為v1vv0,而xv1t,y0.5gt2消去時間參數(shù)t,得到軌跡方程為：2gxy7（若以豎直向下為y軸正方向，則負(fù)號去掉，下同）2（vv。）22一gx(2)以飛機(jī)為參照系時，炮彈的初速度為v,同上可得軌跡

10、方程為yJ2v22(3)以炮彈為參照系，只需在(2)的求解過程中用x代替x,y代替y,可得y出區(qū).2v1.12 如題1.12圖，一條船平行于平直的海岸線航行，離岸的距離為D,速率為V,一艘速率為UV的海上警衛(wèi)快艇從一港口出去攔截這條船。試證明：如果快艇在盡可能最遲的時刻出D22發(fā),那么快艇出發(fā)時這條船到海岸線的垂線與港口的距離為xv;快艇截住這條船u所需的時間為tC=2UVUx港口習(xí)題1.12圖證明：在如圖所示的坐標(biāo)系中，船與快艇的運動方程分別為x1vtx2xucost和y1Dy2usint攔截條件為：xx2vtxucost即y1y2Dusint所以Dvucosusinx取最大值的條件為：dx

11、/d0,由此得到cosu/v,相應(yīng)地sin。1(u/v)2因此x的最大值為x取最大值時對應(yīng)的出發(fā)時間最遲?？焱Ы刈∵@條船所需的時間為DusinDv習(xí)題二答案習(xí)題二2.1 簡要回答下列問題:(1)有人說：牛頓第一定律只是牛頓第二定律在合外力等于零情況下的一個特例，因而它是多余的.你的看法如何？(2)物體的運動方向與合外力方向是否一定相同？(3)物體受到了幾個力的作用，是否一定產(chǎn)生加速度？(4)物體運動的速率不變，所受合外力是否一定為零？(5)物體速度很大，所受到的合外力是否也很大？(6)為什么重力勢能有正負(fù)，彈性勢能只有正值，而引力勢能只有負(fù)值？(7)合外力對物體所做的功等于物體動能的增量，而其

12、中某一分力做的功，能否大于物體動能的增量？(8)質(zhì)點的動量和動能是否與慣性系的選取有關(guān)？功是否與慣性系有關(guān)？質(zhì)點的動量定理與動能定理是否與慣性系有關(guān)？請舉例說明(9)判斷下列說法是否正確，并說明理由：(a)不受外力作用的系統(tǒng)，它的動量和機(jī)械能都守恒(b)內(nèi)力都是保守力的系統(tǒng)，當(dāng)它所受的合外力為零時，其機(jī)械能守恒(c)只有保守內(nèi)力作用而沒有外力作用的系統(tǒng)，它的動量和機(jī)械能都守恒(10)在彈性碰撞中，有哪些量保持不變，在非彈性碰撞中，又有哪些量保持不變？(11)放焰火時，一朵五彩繽紛的焰火質(zhì)心運動軌跡如何？為什么在空中焰火總是以球形逐漸擴(kuò)大？(忽略空氣阻力)2.2 質(zhì)量為m質(zhì)點在流體中作直線運動，

13、受與速度成正比的阻力Fkv(k為常數(shù))作用,t0時質(zhì)點的速度為V0,證明：(1) t時刻的速度為vvekt m(2)由0至11的時間內(nèi)經(jīng)過的距離為x(mv0/k)1ektm；(3)停止運動前經(jīng)過的距離為mv0/k證明:v dvv0 v由mamdvFkv分離變量得dvdt,積分得dtvm,Kelt,ln*t,vve0mv0mtkt/mmv0kt/m、(2) xvdtvedt一(1e)0k(3)質(zhì)點停止運動時速度為零，即 tkt/m0 vedtmv0kt 0時，物體的速度為零，物體在力2.3 質(zhì)量為10kg的物體沿x軸無摩擦地運動，設(shè)F34t(N)(t以s為單位)的作用下運動了3s,求它的速度和加

14、速度解.根據(jù)質(zhì)點動量定理，3Fdt mv mv0,033 4t dt mv0根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn)ma1.5 (m/s2)F34tmm102.4 一顆子彈由槍口射出時速率為V0ms-1,當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時，它所受的合力為F(abt)N(a,b為常數(shù))，其中t以秒為單位：(1)假設(shè)子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；(2)求子彈所受的沖量；(3)求子彈的質(zhì)量。解：(1)由題意，子彈到槍口時，有F(abt)0,得t芻b2(2)子彈所受的沖量I(abt)dtatgbt2,將ta代入，得I2b.一.一一Ia2(3)由動量定理可求得子彈的質(zhì)量m-aVo2bvo2.5 一質(zhì)量為

15、m的質(zhì)點在xoy平面上運動，其位置矢量為racostibsintj,求質(zhì)點的動量及t0到t/2時間內(nèi)質(zhì)點所受的合力的沖量和質(zhì)點動量的改變量。解：質(zhì)點的動量為r m ai將t0和t/2分別代入上式，得r,rrPimbj,p2動量的增量，亦即質(zhì)點所受外力的沖量為vv2.6 作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為F(102t)iN,式中t的單位是s。(1)求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量；(2)為了使這力的沖量為200Ns,該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個一，、一V1,具有初速度6jms的物體，回答這兩個問題。解：(1)若物體原來靜止，則rtr4rr1P10F

16、dt0(102t)idt56ikgms1,沿x軸正向，rv1一若物體原來具有初速度v06jms,則十口rr,、rr于是P2P(t)P0P1rrrr同理，v2v1，I2I1這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理.(2)同上理，兩種情況中的作用時間相同，即(10 2t)dt 10t t2令10tt2200,解得t10s。2.7 一小船質(zhì)量為100kg,船頭到船尾共長 船頭將移動多少距離？假定水的阻力不計。3.6m現(xiàn)有一質(zhì)量為 50kg的人從船尾走到船頭時,習(xí)題2.7圖解：由動量守恒t0V船dt，

17、tsA0 v人 dttM船V船dt如圖，船的長度所以ShL1回4|人3.6彳1001 -501.2m即船頭相對岸邊移動S船1.2m2.8質(zhì)量m 2kg的質(zhì)點，從靜止出發(fā)沿X軸作直線運動，受力F (12t)i (N),試求開始 3s內(nèi)該力作的功。Al Fxdx3L(12t)dx0(12tvx)dt而所以22.9 一地下畜水池，面積為 s 50m ,水深度為1.5m ,假te水的上表面低于地面的局度是5.0m,問欲將這池水全部抽到地面，需作功多少習(xí)題2.9圖解：建坐標(biāo)如習(xí)題 2.9圖，圖中h0表示水面到地面的距離，上表示水深水的密度為103kg/m3 ,對于坐標(biāo)為y、厚度為dy的一層水，其質(zhì)量 d

18、msdy ,將此層水抽到地面需作功將蓄水池中的水全部抽到地面需作功1 103 50 9.8 1.52 2 5.0 1.54.232106 (J)2.9 炮彈質(zhì)量為m,以速度Vv飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動能為T,且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的k倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為vj2kT/m,vj2T/km。km1。利用 m1 m2 m ,有證明：設(shè)一塊的質(zhì)量為m1,則另一塊的質(zhì)量為m2mikmk1又設(shè)m1的速度為v , m2的速度為則有一 miv121 2 mv2mivim2 V2mv 動量守恒聯(lián)立、解得v1 kv2 (k1)v, v1(k 1)vkv

19、2聯(lián)立、解得2Tkm將其代入式，有又因為爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行， 當(dāng)k 1時只能取 v1 v2kT2T尸 v Vkmo2.10 一質(zhì)量為m的子彈射入置于光滑水平面上質(zhì)量為M并與勁度系數(shù)為k的輕彈簧連著的木塊后使彈簧最大壓縮了L,求子彈射入前的速度vo.習(xí)題2.10圖解：子彈射入木塊到相對靜止的過程是一個完全非彈性碰撞，時間極短，木塊獲得了速度，尚未位移，因而彈簧尚未壓縮.此時木塊和子彈有共同的速度v1，由動量守恒，此后，彈簧開始壓縮，直到最大壓縮，由機(jī)械能守恒，由兩式消去v1，解出vo得2.11 質(zhì)量m的物體從靜止開始，在豎直平面內(nèi)沿著固定的四分之一圓周從A滑到B。在B處時，物體速度的大

20、小為vb。已知圓的半徑為R,求物體從A滑到B的過程中摩擦力所作的功：（1）用功的定義求；（2）用動能定理求；（3）用功能原理求。習(xí)題2.11圖解方法一：當(dāng)物體滑到與水平成任意角的位置時，物體在切線方向的牛頓方程為即、，r,、-.r,r,注意摩擦力f與位移dr反向，且|dr|Rd,因此摩擦力的功為方法二：選m為研究對象，合外力的功為rr考慮到Ndr0,因而12由于動能增量為Ek-mvB0,因而按動能定理有AfmgRgmvB，AfmgR gmv；。B點為重力勢能零點。初始在A點時,EpomgR、Eko0終了在B點時,Ep0，Ek由功能原理知:AfEE1125 mvB匚12Eomv2mgR經(jīng)比較可知

21、，用功能原理求最簡捷。2.12墻壁上固定一彈簧，彈簧另一端連接一個物體,彈簧的勁度系數(shù)為k,物體m與桌面間的摩擦因素為 ，若以恒力F將物體自平衡點向右拉動，試求到達(dá)最遠(yuǎn)時,系統(tǒng)的勢能。選物體、地球組成的系統(tǒng)為研究對象，以習(xí)題2.12圖解：物體水平受力如圖，其中fkmg。物體到達(dá)最遠(yuǎn)時,V 0。設(shè)此時物體的位移為x,由動能定理有解出系統(tǒng)的勢能為Ep2.13 雙原子分子的勢能函數(shù)為式中r為二原子間的距離，試證明:ro為分子勢能極小時的原子間距;分子勢能的極小值為Eo;當(dāng)Ep(r)0時，原子間距離為p證明：(1)當(dāng) dEP(r) drFx-kx2-2mgx 0mg k_22 F mgkro62d2E

22、p(r)dr20時，勢能有極小值 EP(r)minIo126所以rr0,即ro為分子勢能取極值時的原子間距。另一方面,r0時,2d2Ep(r)dr212E。132ro7ro72E0 0,所以r r0時，EP(r)取最小值 ro(2)當(dāng) r ro時，Ep(r)min E126ro2電roroEo126(3)令EP(r)Eor02曳rr122.14ro6roO,質(zhì)量為7.2 1O-23kg,速度為6ro6.O2, rro621O7m/s的粒子A ,與另一個質(zhì)量為其一半而靜止的粒子B相碰，假定這碰撞是彈性碰撞，碰撞后粒子A的速率為5X1O7m/s,求:粒子B的速率及偏轉(zhuǎn)角；粒子A的偏轉(zhuǎn)角。解：兩粒子

23、的碰撞滿足動量守恒寫成分量式有碰撞是彈性碰撞，動能不變：利用習(xí)題2.14圖mA7.2 1O23kg, mB mA 3.6 1O 23kg ,2Va 6.O 1O7m/s, va 5.O 1O7m/s, 可解得vB 4.69 107m/s,54 4,22 20。2.15平板中央開一小孔，質(zhì)量為m的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為Mi的重物。小球作勻速圓周運動，當(dāng)半徑為ro時重物達(dá)到平衡。今在M1的下方再掛一質(zhì)量為M 2的物體，如題2-15圖。試問這時小球作勻速圓周運動的角速度習(xí)題2.15圖和半徑r為多少?解：在只掛重物 Mi時，小球作圓周運動的向心力為M1gMgmro掛上M2后，則有(M

24、1M2)gmr重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動量守恒.2222romvormvr00r聯(lián)立、得2.16哈雷慧星繞太陽運動的軌道是一個橢圓。它離太陽最近距離為riio .8.75 10 m時的速率4121是Vi5.4610ms,它離太陽最遠(yuǎn)時的速率是V29.0810ms,這時它離太陽的距離2是多少？（太陽位于橢圓的一個焦點。）解：哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力一一即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠(yuǎn)日點時的速度都與軌道半徑垂直，故有r1mv!r2mv2rV18.7510105.4610412rn口z5.2610mv29.081022.17 查閱文獻(xiàn)，對變質(zhì)量力學(xué)

25、問題進(jìn)行分析和探討，寫成小論文。參考文獻(xiàn)：1石照坤，變質(zhì)量問題的教學(xué)之淺見，大學(xué)物理，1991年第10卷第10期。2任學(xué)藻、廖旭，變質(zhì)量柔繩問題研究，大學(xué)物理，2006年第25卷第2期。2.18 通過查閱文獻(xiàn)，形成對慣性系的進(jìn)一步認(rèn)識，寫成小論文。參考文獻(xiàn)：1高炳坤、李復(fù)，“慣性系”考，大學(xué)物理，2002年第21卷第4期。2高炳坤、李復(fù)，“慣性系”考（續(xù)），大學(xué)物理，2002年第21卷第5期。習(xí)題三答案習(xí)題三3.1簡要回答下列問題：（1）地球由西向東自轉(zhuǎn)，它的自轉(zhuǎn)角速度矢量指向什么方向？作圖說明.（2）剛體的轉(zhuǎn)動慣量與那些因素有關(guān)？“一個確定的剛體有確定的轉(zhuǎn)動慣量”這句話對嗎？平行于z軸的力對

26、z軸的力矩一定為零，垂直于z軸的力對z軸的力矩一定不為零.這種說法正確嗎？（4）如果剛體轉(zhuǎn)動的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？（5）兩大小相同、質(zhì)量相同的輪子，一個輪子的質(zhì)量均勻分布，另一個輪子的質(zhì)量主要集中在輪子邊緣，兩輪繞通過輪心且垂直于輪面的軸轉(zhuǎn)動。問：（a）如果作用在它們上面的外力矩相同，哪個輪子轉(zhuǎn)動的角速度較大？（b）如果它們的角加速度相同，哪個輪子受到的力矩大？（c）如果它們的角動量相等，哪個輪子轉(zhuǎn)得快？（6）為什么質(zhì)點系動能的改變不僅與外力有關(guān)，而且也與內(nèi)力有關(guān)，而剛體繞定軸轉(zhuǎn)動動能只與外力矩有關(guān)，而與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)？（7）下列物理量中，哪些

27、與參考點的選擇有關(guān)，哪些與參考點的選擇無關(guān)：（a）位矢；（b）位移;速度；（d）動量；（e）角動量；力；（g）力矩.（8）做勻速圓周運動的質(zhì)點，對于圓周上某一定點，它的角動量是否守恒？對于通過圓心并與圓平面垂直的軸上任一點，它的角動量是否守恒？對于哪一個定點，它的角動量守恒？（9）一人坐在角速度為0的轉(zhuǎn)臺上，手持一個旋轉(zhuǎn)著的飛輪，其轉(zhuǎn)軸垂直于地面，角速度為o如果忽然使飛輪的轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)，將發(fā)生什么情況？設(shè)轉(zhuǎn)臺和人的轉(zhuǎn)動慣量為I,飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為IO3.2 質(zhì)量為m長為l的均質(zhì)桿，可以繞過B端且與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動。開始時，用手支住A端，使桿與地面水平放置，問在突然撒手的瞬時，（1）繞B點的力矩和角

28、加速度各是多少？（2）習(xí)題3.1圖解：（1）繞B點的力矩 M由重力產(chǎn)生，設(shè)桿的線密度為， m,則繞l,_ 一 . , m 2 , l 2,1.2桿繞B點的轉(zhuǎn)動慣量為I x dm x dx ml0角加速度為Il3桿的質(zhì)心加速度是多少？B點的力矩為03g21,半徑為r oTi 與 T2（2）桿的質(zhì)心加速度為a-4g3.3 如圖所示，兩物體1和2的質(zhì)量分別為n與m2,滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為I如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力（設(shè)繩子與滑輪間無相對滑動）；如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力Ti與T2。習(xí)題3.2圖解：先做受力分析，物體1受到重力m1g和繩的張力T

29、1,對于滑輪，受到張力T1和T2,對于物體2,在水平方向上受到摩擦力m2g和張力T2,分別列出方程m1gT1m1aT1migaT2m2gm2aT2m2ag通過上面三個方程，可分別解出三個未知量2色m2 gr2， T1m1m2 r I2一 .1nr g Ig-II2 ， T2m1m2 r I1m2 一mgIg-2.m1m2 r I2m2r g一 一 2m1mt r I在的解答中，取0即得221皿2-T1=m2rg2gT2m1m2rIm1m2rI3.4 電動機(jī)帶動一個轉(zhuǎn)動慣量為I=50kgm2的系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動。在0.5s內(nèi)由靜止開始最后達(dá)到120r/min的轉(zhuǎn)速。假定在這一過程中轉(zhuǎn)速是均勻增加的，

30、求電動機(jī)對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)施加的力矩。解：由于轉(zhuǎn)速是均勻增加的，所以角加速度為從而力矩為3.5 一飛輪直徑為0.30m,質(zhì)量為5.00kg,邊緣繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻的加速，經(jīng)0.50s轉(zhuǎn)速達(dá)到10r/s。假定飛輪可看作實心圓柱體，求：飛輪的角加速度及在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；拉力及拉力所作的功；從拉動后t=10s時飛輪的角速度及輪邊緣上一點的速度和加速度。解：飛輪的角加速度為轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為1 2_飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為Imr,所以，拉力的大小為2拉力做功為從拉動后t=10s時，輪角速度為輪邊緣上一點的速度為輪邊緣上一點的加速度為ar125.70.1518.8(m/s2)。3.6 飛輪的

31、質(zhì)量為60kg,直徑為0.50m,轉(zhuǎn)速為1000r/min,現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動，求制動力F。假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)心=0.4飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所F -2 ,在制L。有習(xí)題3.6圖解：設(shè)在飛輪接觸點上所需要的壓力為F,則摩擦力為F,摩擦力的力矩為d動過程中，摩擦力的力矩不變，而角動量由mv?變化到0,所以由MdtL2md0.5解得F785.4N。由桿的平衡條件得FF314.2N。2t1.253.7 彈簧、定滑輪和物體的連接如圖3.7所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0Nm-1；定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量是0.5kgm2,半徑為0.30m,問當(dāng)6.0kg質(zhì)量的物體落下0.40m時，它

32、的速率為多大？假設(shè)開始時物體靜止而彈簧無伸長。習(xí)題3.7圖解：當(dāng)物體落下0.40m時，物體減少的勢能轉(zhuǎn)化為彈簧的勢能、物體的動能和滑輪的動能，即mgh1kh2mv2-Iv-2222r220.5kgm , r 0.3m代入，得2R,轉(zhuǎn)動慣量為 J,角速度將m6kg,g9.8kgm/s,h0.4m,I3.8 在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤上，站一質(zhì)量為m的人。圓盤的半徑為為。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統(tǒng)動能的變化。解：系統(tǒng)的角動量在整個過程中保持不變。人在盤邊時，角動量為JmR2人走到盤心時角動量為因此2mR人在盤邊和在盤心時,系統(tǒng)動能分別為系統(tǒng)動能增加Wi2 212r2 j22 2mR

33、2JW W2 W12R23.9在半彳全為Ri,質(zhì)量為 m的靜止水平圓盤上，站一質(zhì)量為m的人。圓盤可無摩擦地繞通過R2R2Ri的圓周勻速地走動圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)這人開始沿著與圓盤同心，半徑為時，設(shè)他相對于圓盤的速度為v,問圓盤將以多大的角速度旋轉(zhuǎn)?解：整個體系的角動量保持為零，設(shè)人勻速地走動時圓盤的角速度為解得2R2-2vR122R23.10 如題3.10圖示，轉(zhuǎn)臺繞中心豎直軸以角速度o作勻速轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)臺對該軸的轉(zhuǎn)動慣量J=5X10-5kgm2?，F(xiàn)有砂粒以1g/s的速度落到轉(zhuǎn)臺，并粘在臺面形成一半徑r=0.1m的圓。試求砂粒落到轉(zhuǎn)臺，使轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)?0所花的時間。習(xí)題3.10圖解：要使轉(zhuǎn)臺

34、角速度變?yōu)?,由于砂粒落下時不能改變體系角動量，所以必須要使體系的轉(zhuǎn)動慣量加倍才行，即m沙粒r2J。將J5105kgm2和r0.1m代入得5103kg所以tg5s1g/s3.11 一脈沖星質(zhì)量為1.5X03kg,半徑為20km。自旋轉(zhuǎn)速為2.1r/s,并且以1.010-15r/s的變化率減慢。問它的轉(zhuǎn)動動能以多大的變化率減??？如果這一變化率保持不變，這個脈沖星經(jīng)過多長時間就會停止自旋？設(shè)脈沖星可看作勻質(zhì)球體。22解：脈沖星的轉(zhuǎn)動慣量為I-mr251.2122轉(zhuǎn)動動能為W-I2-m2r225轉(zhuǎn)動動能的變化率為dW-mr2ddt5dtd由，t,得停止自旋所需要的時間為dt3.12 兩滑冰運動員，質(zhì)

35、量分別為MA=60kg,MB=70kg,它們的速率VA=7m/s,VB=6m/s,在相距1.5m的兩平行線上相向而行，當(dāng)兩者最接近時，便拉起手來，開始繞質(zhì)心作圓周運動并保持兩者間的距離為1.5m。求該瞬時：系統(tǒng)的總角動量；系統(tǒng)的角速度；兩人拉手前、后的總動能。這一過程中能量是否守恒，為什么？解：設(shè)兩滑冰運動員拉手后，兩人相距為S,兩人與質(zhì)心距離分別為和rB,則AMbMa M bbMaM a Mb兩人拉手前系統(tǒng)總角動量為設(shè)兩人拉手后系統(tǒng)的角速度為，由于兩人拉手后系統(tǒng)角動量不變LVaVb所以，22AB8.67rad/sMaaMbbs1212兩人拉手刖總動能為：W1MaVaMbVb2730J22拉手

36、后，由于整個體系的動量保持為零，所以體系動能為所以體系動能保持守恒?？梢运愠觯?dāng)且僅當(dāng)MaVaMbVb時，體系能量守恒，否則能量會減小，且3.13 長l=0.40m的均勻木棒，質(zhì)量M=1.00kg,可繞水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，開始時棒自然地豎直懸垂?，F(xiàn)有質(zhì)量m=8g的子彈以v=200m/s的速率從A點與。點的距離為尚l(wèi),如圖。求：棒開始運動時的角速度；棒的最大偏轉(zhuǎn)角。習(xí)題3.13圖解：系統(tǒng)繞桿的懸掛點的角動量為L子彈射入后，整個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為I所以子彈射入后，且桿仍然垂直時，系統(tǒng)的動能為3213 mvl 0.48kgm s12912Ml ml3168.88rad /s I20.054kgm

37、當(dāng)桿轉(zhuǎn)至最大偏轉(zhuǎn)角時，系統(tǒng)動能為零，勢能的增加量為由機(jī)械能守恒，W動W勢得94.243.14 通過查閱文獻(xiàn)，探討計算剛體轉(zhuǎn)動慣量的簡化方法，寫成小論文。參考文獻(xiàn)：周海英、陳浩、張曉偉，巧算一類剛體的轉(zhuǎn)動慣量，大學(xué)物理，2005年第24卷第2期。3.15 通過上網(wǎng)搜尋，查找對稱陀螺規(guī)則進(jìn)動在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用事例，并進(jìn)行分類。習(xí)題四參考解答._一一-一-、4.1 慣性系K相對慣性系K以速度u運動。當(dāng)它們的坐標(biāo)原點。與。重合時，tt0在慣Ti系K中一質(zhì)點作勻速率圓周運動，軌道方程為222Xya,z0,u運動。2L i2 a試證：在慣性系K中的觀測者觀測到該質(zhì)點作橢圓運動，橢圓的中心以速度提示：在慣

38、性系K中的觀測者觀測到該質(zhì)點的軌道方程為(Xut)221.2Ta(1)證明：根據(jù)洛侖茲坐標(biāo)變換關(guān)系x ut2y y, z z代入原方程中，得到(X ut)2化簡得(Xut)222a(1)所以，在K系中質(zhì)點做橢圓運動，橢圓中心以速度u運動。4.2 一觀測者測得運動著的米尺長0.5m,問此米尺以多大的速度接近觀測者?解：由相對論長度縮短關(guān)系LL.1v/c2得到vc.1L/L023.0108,11/222,6108m/s4.3 如題圖4.3所不，在K系的OXY平面內(nèi)放置一固有長度為0的細(xì)桿，該細(xì)桿與X軸的夾角為。設(shè)K系相對于K系沿X軸正向以速率u運動，試求在K系中測得的細(xì)桿的長度和細(xì)桿與X軸的夾角。

39、OOX,X題圖4.3Xl0cos解：細(xì)桿在K系中的兩個坐標(biāo)上的投影分別為yI0sin細(xì)桿在K系中的兩個坐標(biāo)上的投影分別為在K系中細(xì)桿的長度為與X軸正向夾角 為y arctan Xarctantg；1 u2 / c231.4.4 一飛船以910ms的速率相對于地面假設(shè)地面慣性系勻速飛行。若飛船上的鐘走了5s的時間，用地面上的鐘測量是經(jīng)過了多少時間？解：根據(jù)相對論中時間延長關(guān)系TT01(v/c)2代入數(shù)據(jù)，可得T5.000000002s19103/(3108)24.5 已知介子束的速度為073cc為真空中的光速，其固有平均壽命為2.5108s,在實驗室中看來，介子在一個平均壽命期內(nèi)飛過多大距離？解

40、：根據(jù)相對論中時間延長關(guān)系T,T01(v/c)2代入數(shù)據(jù)，可得T2.5103.658108s,10.732因此SvT0.7331083.6581088.01m4.6 慣性系K相對另一慣性系K沿x軸作勻速直線運動，在慣性系K中觀測到兩個事件同時發(fā)生x軸上，且其間距是1m,在K系觀測到這兩個事件的空間間距是2m,求K系中測得的這兩個事件的時間間隔。解：由相對論的同時性的兩個等價關(guān)系,22tuxv/c(1)txv/c(2)聯(lián)立兩式得到代入(2)式中得到4.7 論證以下結(jié)論：在某個慣性系中有兩個事件同時發(fā)生在不同的地點，在有相對運動的其他慣性系中，這兩個事件一定不同時發(fā)生。證明：令在某個慣性系中兩事件

41、滿足t0,x0則在有相對運動的另一個慣性系中(相對運動速度為v，兩事件的時間間隔是由于x0,v0且vc所以t0,即兩事件一定不同時發(fā)生。4.8 試證明：(1)如果兩個事件在某慣性系中是同一地點發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩個事件的時間間隔，只有在此慣性系中最短；(2)如果兩個事件在某慣性系中是同時發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩個事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短。證明(1)設(shè)兩事件在某慣性系中于同一地點發(fā)生，即x0,時間間隔為t,則在另一個相對運動速度為v的慣性系中，兩事件的時間間隔為所以，在原慣性系中時間間隔最短。證明(2)設(shè)兩事件在某慣性系中于同時發(fā)生，即t0,時間間隔為x,則在另一個相

42、對運動速度為v的慣性系中，兩事件的時間間隔為所以，在原慣性系中空間間隔最短。4.9 若電子A和電子B均以0.85cc為真空中的光速的速度相對于實驗室向右和向左飛行，問兩者的相對速度是多少？答案：0.99c4.10 一光源在K系的原點O發(fā)出一光線。光線在OXY平面內(nèi)且與x軸的夾角為。設(shè)K系相對于K系沿x軸正向以速率u運動。t求在K系中的觀測者觀測到此光線與x軸的夾角。Vx ccosVy csin由速度變換關(guān)系Vxu VxVx u1x2cVyVy21 u2cu 一17Vx解：光線的速度在K系中兩個速度坐標(biāo)上的投影分別為則在K系中速度的兩個投影分別為ccos uuccoscVycsin . 1 u2

43、/c2uccosc所以，在K系中的觀測者觀測到此光線與x軸的夾角arctanV.Vx4.11 如果一觀測者測出電子的質(zhì)量為2m0m0為電子的靜止質(zhì)量,問電子的速度是多大?解：由相對論質(zhì)量關(guān)系mmo,1 (V/c)2而且m 2m0I得到Vc0.866c24.12如果將電子由靜止加速到0.1c C為真空中的光速的速度，需要對它作多少功？速度從0.9c加速到0.99c,又要作多少功?解(1)由相對論動能定理：因為Va a0, Vb 0.1c代入得到Aabm0c2110.005m0c24.095 10 16 J 2.56Kev,1 0.12將Va0.9c, Vb0.99c代入原式4.13 在什么速度下

44、粒子的動量是其非相對論動量的兩倍？在什么速度下粒子的動能等于它的靜止能量？解(1)由相對論動量公式p mVmV1 (V/c)2而且p2m0V聯(lián)立兩式m2m0.3_81c2.6108ms12（2）由相對論動能公式Ek2mc2mc而且EK2moe2聯(lián)立兩式 m 2m0、381c 2.6 108 ms 12.一.314.14 靜止質(zhì)量為9.110kg的電子具有5倍于它的靜能的總能量，試求它的動量和速率。提示：電子的靜能為Eo0.511MeV解：由總能量公式2E mc而且E5Eo5E0-2- c其中 mmO1 (v/c)2聯(lián)立（1）、（2）兩式將（1）式代入動量公式4.15 一個質(zhì)量為 M的靜止粒子，

45、衰變?yōu)閮蓚€靜止質(zhì)量為mi和m2的粒子，求這兩個粒子的動能。提示：利用能量守恒和動量守恒關(guān)系解：令兩粒子的動能分別為Ek1與Ek,K2由相對論能量守恒得到Mc2Ek1Ek22m1c2m2c由相對論動量和能量的關(guān)系E2m2c(Ekmoc2)2 e3得到 p2EKc2mEK由相對論動量守恒p12p；得到Ek12c2mEK1eK22c2m2EK2聯(lián)立（1）、（2）兩式解得2cEk1M2Mm12m2Ek22M2m22m1習(xí)題五參考解答5.1 簡答下列問題：(1) 什么是簡諧振動？分別從運動學(xué)和動力學(xué)兩方面作出解釋。一個質(zhì)點在一個使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作簡諧振動？(2) 在什么情況下，簡

46、諧振動的速度和加速度是同號的？在什么情況下是異號的？加速度為正值時，振動質(zhì)點一定是加快地運動嗎？反之，加速度為負(fù)值時，肯定是減慢地運動嗎？(3) 同一彈簧振子，如果它在水平位置是作簡諧振動，那么它在豎直懸掛情況下是否仍作簡諧振動？把它裝在光滑斜面上，它是否仍將作簡諧振動？(4) 如果某簡諧振動振動的運動學(xué)方程是yAcos(nt)，那么這一振動的周期是多少？(5) 在地球上，我彳門認(rèn)為單擺(在小角幅下)的運動是簡諧振動，如果把它拿到月球上，那么，振動周期將怎樣改變？(6) 什么是位相？一個單擺由最左位置開始擺向右方，在最左端位相是多少？經(jīng)過中點、到達(dá)右端、再回中點、返回左端等各處的位相是多少？(

47、7) 初位相是個什么物理量？初位相由什么確定？如何求初周相？試分別舉例說明：(a)已知初始狀態(tài)，如何確定初位相；(b)已知初位相，如何確定初始狀態(tài)。5.2 一質(zhì)點作簡諧振動x 6cos(100 t 0.7)cm。某時刻它在x 3V 2 cm處，且向X軸負(fù)向運動，它要重新回到該位置至少需要經(jīng)歷的時間為(A)1 S; 1003(B) - S;2001(C) S;503(D) S50答案：(B)5.4勁度系數(shù)為100N/m的輕彈簧和質(zhì)量為10g的小球組成的彈簧振子，第一次將小球拉離2cm并給以2cm/s的初速度平衡位置4cm,由靜止釋放任其運動；第二次將小球拉離平衡位置任其振動。這兩次振動能量之比為

48、(A)1:1;(B)4:1;(C)2:1;(D)272:3o答案：(C)121212E12kx1,E22kx222.mv25.5一諧振系統(tǒng)周期為0.6s,振子質(zhì)量為200g,振子經(jīng)平衡位置時速度為12cm/s,則再經(jīng)0.2s后振子動能為_4(A) 1.8 10 J ;35.(B)0;(C)1.4410J;(D)3.010J答案：（D）x0Acos0,cos0一，2v0Asin0.120sin0萬，Av05.6 一彈簧振子系統(tǒng)豎直掛在電梯內(nèi)，當(dāng)電梯靜止時，振子諧振頻率為V?，F(xiàn)使電梯以加速度a向上作勻加速運動，則其諧振頻率將（A）不變；（B）變大；（C）變??；（D）變大變小都有可能d2x dt2答

49、案：（A）m(ga)kX5.7 將一物體放在一個沿水平方向作周期為1s的簡諧振動的平板上，物體與平板間的最大靜摩擦系數(shù)為0.4。要使物體在平板上不致滑動，平板振動的振幅最大只能為.、一.一2.(A)要由物體質(zhì)量決定；(B)2/g；(C)g/(10)；(D)0.4cm答案：（C）最大靜摩擦力為fm0.4mg ,最大加速度為 am由fmmam得5.8 兩分振動方程分別為x13cos（50t0.25）cm和x24cos(50 t0.75 ）cm ,則它們合振動的表達(dá)式為(A) xcos(50t0.25)cm；(B) x5cos50tcm;i1(C) x5cos50ttg-cm；(D) x7cm。答案

50、：(C)5.9 質(zhì)量為m10103kg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按x0.5102cos8ti的規(guī)律作簡諧振動，式中？t以秒為單位，x以米為單位。試求：（1）振動的圓頻率、周期、振幅、初位相以及速度和加速度的最大值;（2）求t1s,2s,10s時刻的位相。（3）利用Mathematica繪出位移、速度、加速度與時間的關(guān)系曲線解（1）:1_228s,T-0.25s,A0.510m5.10 勁度系數(shù)為ki和k2的兩根彈簧，與質(zhì)量為m的物體按題圖5.10所示的兩種方式連接試證明它們的振動均為諧振動。題圖5.10證明：(1)當(dāng)物體向右移動x時，左端彈簧伸長x,而右端彈簧縮短x,它們對物體作用力方向相同，均與物體位移方向相反，所以因此物體將作簡諧振動。(