1-4函數(shù)的連續(xù)性68278ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性（continuity of functions）目的與要求目的與要求理解函數(shù)在一點連續(xù)理解函數(shù)在一點連續(xù)(continuity at a point)的的概念，了解函數(shù)區(qū)間上連續(xù)概念，了解函數(shù)區(qū)間上連續(xù)(continuity on an interval)的概念的概念會判別函數(shù)間斷點的類型會判別函數(shù)間斷點的類型 了解初等函數(shù)連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函了解初等函數(shù)連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函 數(shù)性質數(shù)性質:介值定理介值定理(intermediate value theorem)、零點定理、最值定理、零點定理、最值定理一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的

2、增量函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設函數(shù)設函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相應應于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1 設函數(shù)設函數(shù))(xf在點在點 0 x及其附近有定義及其附近有定義, ,如果如果當自變量的增量當自變量的增量x 趨向于零時趨向于零時, ,對應的函數(shù)的增量對應的函數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxf

3、x, ,那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在在點點0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點的連續(xù)點. . )x( f)x( flim0 xx0 即即:)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點點函函數(shù)數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義知由定義知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側連

4、續(xù)單側連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)

5、右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxf4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點在右端點處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點并且在左端點內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如例如,.),(內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)的的有有理理函函數(shù)數(shù)在在區(qū)

6、區(qū)間間 二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點:)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點點函函數(shù)數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxxxf1.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點點

7、如如果果xfxxfxfxxf 例例3 3.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點點 xoxy2.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱稱點點處處無無定定在在點點或或但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例4 4.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1

8、)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點. .如例如例4中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點. .特點特點.0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點函數(shù)在點 xoxy1123.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的第二類間斷點的第

9、二類間斷點為函數(shù)為函數(shù)則稱點則稱點在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點在點如果如果xfxxxf例例5 5.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間1( )sin.f xx考考察察函函數(shù)數(shù)的的例例間間斷斷點點. .xy1sin ( ) , 1(1)( ) ;(2);( )(3)( ) ;(4) ().f xa bf xf xf xfx在上連續(xù),討論下列函數(shù)在上連續(xù),討論下列函數(shù)在a,b上的連續(xù)性在

10、a,b上的連續(xù)性例6例6. .( )0( )f xg x 的的點點為為的的間間斷斷點點. . 00lim( )(),xxf xf x己己知知在在 a a上上解解, ,b b : : 0000(1) lim( )lim( )()()xxxxg xf xf xg x( ).f x從從而而在在 a a, ,b b 上上連連續(xù)續(xù)01(2) ( )()( )g xg xf x,不一定存在,不一定存在,0()0,f x當時不存在當時不存在(4) ( )(),0,g xfx若若b b00(3) ( )( )()()g xf xg xf x, , ,00lim( )lim( )xxxxg xf x00()()

11、,f xg x( )g x 在a,b上連續(xù). 在a,b上連續(xù). ( ) , ，g xa b在上無定義在上無定義() , 。fxa b故故在在上上不不一一定定連連續(xù)續(xù)o1x2x3xyx xfy 判斷下列間斷點類型判斷下列間斷點類型:例例7 7.0, 0, 0,cos)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時時當當 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 1 a小結小結1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿

12、足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;2.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖)可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性 四則運算的連續(xù)性四則運算的連續(xù)性 復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性1、四則運算的連續(xù)性、四則運算的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(

13、),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點則則處連續(xù)處連續(xù)在點在點若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx定理定理).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則有則有連續(xù)連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)若若意義意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 2、復合函數(shù)的連續(xù)性、復合函數(shù)的連續(xù)性例例1 1.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy

14、 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當當yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 3、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在定理定理 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .一切一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的 xy xaalo

15、g ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )例例2 2. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例3 3.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質定義定義: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對于任一使得對于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對于在區(qū)間

16、對于在區(qū)間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若注意注意:1.:1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2.

17、2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, , 定理不一定定理不一定成立成立. .xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .推論推論 設函數(shù)設函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號異號( (即即0)()( bfaf),),那末在開那末在開區(qū)間區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個零點的一個零點, ,即至即至少有一點少有一點 )(ba ，使，使0)( f. . .),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個實實根根在在即即方方程程baxf 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側軸的不同側端點位于