計算固體力學(xué)第五章

1、計算固體力學(xué)64學(xué)時研510周二、周四9、10、11節(jié)第五章 單元構(gòu)造與分析5.1 單元形狀與節(jié)點數(shù)三節(jié)點三角形單元CST(常應(yīng)變單元)線性三角形單元六節(jié)點三角形單元線性應(yīng)變?nèi)切味稳切螁卧斯?jié)點四邊形單元三角形單元網(wǎng)格劃分簡單；常應(yīng)變?nèi)切螁卧獙τ趶澢?，過剛；加密網(wǎng)格時可以收斂，收斂很慢；對于平面應(yīng)變問題網(wǎng)格可能鎖定；線性應(yīng)變?nèi)切卧鑼憦澢阅苓h(yuǎn)優(yōu)于CST單元四邊形單元剖分比較困難(但平面問題總的來說,剖分單元已可解決得很好)四節(jié)點四邊形單元屬于Lagrange插值.八節(jié)點四邊形單元非完全二次元,屬于Serendipty單元四節(jié)點四邊形單元雙線性位移場xyayaxaavxyayaxaa

2、u87654321第五章 單元構(gòu)造與分析5.1 單元形狀與節(jié)點數(shù)四節(jié)點四面體單元線性位移場常應(yīng)變十節(jié)點四面體單元完全二次位移場線性應(yīng)變場八節(jié)點四面體單元Lagrange插值二十節(jié)點Serendipity單元四面體單元劃分網(wǎng)格簡單，八面體單元劃分網(wǎng)格困難得多，仍為研究前沿。5.2 插值函數(shù) 1221234= 1, , ,.naax yP aaa xa ya xa221111111112222222222222, (1,.)1,., (1,.)1,., C=., (1,.)1,.nnnnnnnnnPaPxyxxyxPaPxyxxyxPaPxyxxyx 12nCa 1aC 1P aP CN形函數(shù)記場

3、函數(shù)(如位移u,v,w)為，采用多項式插值函數(shù)計算該函數(shù)在單元節(jié)點的值，記為n,.,21實現(xiàn)了用場函數(shù)在節(jié)點的值和形函數(shù)來表示場函數(shù)在單元內(nèi)的分布矩形單元Lagrange族和Serendipty族nLagrange插值法n一維單元Lagrange插值法q線性單元q二次單元)()(x) ,)(,)(221121xNxNLxxNLxLxNX=0X=L)()()()()()()(,)()()(,)()()(332211323121323213121312321xNxNxNxNxxxxxxxxxNxxxxxxxxxNxxxxxxxxxNX3X1X2二維矩形四節(jié)點及九節(jié)點單元可用下列方式。類似可推出16

4、節(jié)點元,未知數(shù)太多,帶寬不等；可以推廣至三維問題；非完全二次函數(shù)非完全四次函數(shù),相應(yīng)于中間點的形函數(shù)是個泡泡函數(shù),內(nèi)部自由度,),(3 , 21 ),()(),(3131ijijijjiijNyx, i,jyNxNyxN2121 ),()(),(21 ),()(),(ijjijiijyNxNyx, i,jyNxNyxNnLagrange插值法n一維單元Lagrange插值法q線性單元q二次單元)()(x) ,)(,)(221121xNxNLxxNLxLxNX=0X=L)()()()()()()(,)()()(,)()()(332211323121323213121312321xNxNxNxNx

5、xxxxxxxxNxxxxxxxxxNxxxxxxxxxNX3X1X2三維六面體八節(jié)點及二十七節(jié)點單元可用下列方式。可以推廣至三維問題；非完全三次函數(shù)非完全六次函數(shù),相應(yīng)于中間點的形函數(shù)是個泡泡函數(shù),內(nèi)部自由度21,),(),(21 ),()()(),(kjiijkijkkjiijkzyxNzyx,i,j,kzNyNxNzyxN31,),(),(321 ),()()(),(kjiijkijkkjiijkzyxNzyx,i,j,kzNyNxNzyxN利用性質(zhì) otherwise , 0 , 1)()()(),(k,kj,jiizNyNxNzyxNkkjjiikj iijkkj ikj i矩形單元

6、Lagrange族和Serendipty族nSerendipty族單元內(nèi)部沒有節(jié)點,但邊界有中間點，有比較巧妙的構(gòu)造方法類似可推出12節(jié)點元,未知數(shù)太多,帶寬不等iiiiNN020002 6,8),(i )1)(1 (21),( , 5,7)(i )1)(1 (21),(二維矩形八節(jié)點為例(-1,-1)(1,1)(1,-1)(-1,1)邊界中間節(jié)點:用一個坐標(biāo)是二次，另一個坐標(biāo)是線性的Lagrange插值的乘積對于角節(jié)點：首先用Lagrange線性函數(shù)，但這一函數(shù)在與該節(jié)點相鄰的兩邊的中間點上不為零，需要減去其不為零的值和相應(yīng)該邊中間節(jié)點的形函數(shù)的乘積的和。例如5432768411),( ),

7、(21),(21),(),(18511)(NNNNN1, 0,),(55例如個節(jié)點坐標(biāo)為第iii改進(jìn)三角形單元角點有旋轉(zhuǎn)自由度單元：應(yīng)用于只有角節(jié)點的三角形單元；比CST單元性能好，比LST單元未知數(shù)少（每個單元9個未知數(shù)）為了和梁，板，殼連接需要，對于折板等計算特別有效。構(gòu)造角點有自由度的單元可以從LST單元退化而來，設(shè)想角點i和j發(fā)生旋轉(zhuǎn)TKTKKLSTKTRvuvuvuTvuuvuTRLSTxxyyvuvuvu,)L/(LijjLijiTTRTRTTijijijjjiimmji12*129*93332221119*1266211jjjiii.,91282121 88/ , :, 8/ ,

8、 :通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到單元的剛度陣可以由單元的剛度陣而個位移表示單元的個位移用單元這樣就可以將表示成由此可得中點的位移可兩者迭加得到位移為的位移為的中點發(fā)生垂直于該邊使邊由旋轉(zhuǎn)點的位移為的中點發(fā)生垂直于該邊使邊由旋轉(zhuǎn)點ijkm非協(xié)調(diào)元6非協(xié)調(diào)元，有六個形函數(shù)，但是只有四個節(jié)點；二個形函數(shù)相當(dāng)在邊界的泡泡函數(shù)，相應(yīng)的四個未知數(shù)相應(yīng)于內(nèi)賓自由度，和其它相鄰單元無關(guān)。相鄰單元因此變形不協(xié)調(diào)，只在單元頂點聯(lián)結(jié)。結(jié)構(gòu)變形時，可以在單元間出現(xiàn)裂縫或迭合；y/b )a()a(vNvx/a )a()a(uNuiiiiii4142324122121111xy2a2b這樣的單元比柔順，因此雖然不協(xié)調(diào)，但給出的結(jié)果更

9、好；其結(jié)果從上面趨于真解；（協(xié)調(diào)元從下面趨于真解）5.3 等參單元定義：xy(-1,1)(-1,-1)(1,-1)(-1,-1)映射 eudNv 11( , ), ( , )( , )( , ), ( , )( , )niiiniiiu xyNuv xyNv ,x yx y 1,niiiN 1,niiiN 1( , )niiixNx 1( , )niiiyNy 坐標(biāo)插值位移插值Ni是相同的等參單元等參單元的要點是：將任意物理空間坐標(biāo)的單元變換到數(shù)學(xué)的自然坐標(biāo)系中，采用的變換函數(shù)和描寫場函數(shù)的單元形函數(shù)相同。如果位移映射的形函數(shù)階數(shù)高，則稱次參單元，否則稱超參單元。等參單元使得我們可以處理非矩形

10、、具有曲邊的單元，能夠使有限元模型更適應(yīng)形狀復(fù)雜的物體，等參元覆蓋所有的有限元類型。單元剛度陣1112121221eeeeneeeTeennnKKKKKKB DBdKK 1111eeTTijijijKB DB dB DB Jd d 應(yīng)變矩陣iiiiiNxNByNNyxiiiiiiNNNxyxyNNNxyxyiiiiNxyNxNNxyy J-Jacobbi矩陣1iiiiNNxJNNy注意:1.需要雅可比矩陣及其逆陣;2.積分已經(jīng)不可能解析地求得，必須數(shù)值積分；積分方法和精度成為討論的一個新問題；雖然某些情況可得到解析解，但公式繁瑣，編程復(fù)雜，特別是，計算的工作量可能不比數(shù)值積分的小.數(shù)值積分Ga

11、uss積分：(1)一維Gauss積分 111niiiIfdH fHi為Gauss權(quán)系數(shù) i為Gauss積分點 f1-10.5555,0.5555,0.88880.7746,-0.7746,031220.01Hin13i實際計算通常選用2點積分一點積分三點積分對于線性函數(shù)，一點積分給出精確結(jié)果對于二次函數(shù)，二點積分給出精確結(jié)果對于三次函數(shù)，三點積分給出精確結(jié)果(2)二維Gauss積分11111111,nnijijijnnijijijIfd dHH fH H f 11,3311,3311,3311,33四點積分：f1+f2+f3+f4九點積分：25(f1+f3+f7+f9)/81+40(f2+f4

12、+f6+f8)/81+64f5/81b123567894(3)三維Gauss積分111,nnnijkijkijkIH H H f 對于矩形單元、平面四邊形單元、四面體單元和六面體單元（如果單元側(cè)面是平面），則剛度陣的被積函數(shù)是多項式，可以用適當(dāng)階數(shù)的數(shù)值積分求得精確的積分值。對于具有曲邊曲面的單元，被積函數(shù)不是多項式，而是有理式，無法用有限階的數(shù)值積分得到準(zhǔn)確的積分值。提高積分階數(shù)當(dāng)然可以提高積分精度，但是，計算工作量增加很大。從計算工作量考慮，選擇低階積分是必要的。選擇低階積分公式更重要的原因是：實踐發(fā)現(xiàn)，精確的單元剛度陣太剛，采用低階積分可以低估單元剛度，反而使計算更精確。但是，太低階數(shù)的積分會使單元剛度陣具有零能模式，從而使單元不穩(wěn)定。還有其它積分格式可以利用。常用的