數(shù)學建模過程學習教案

1、會計學1數(shù)學數(shù)學(shxu)建模過程建模過程第一頁，共39頁。2 2 建模步驟建模步驟(bzhu)(bzhu)模型準備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗模型應用第2頁/共39頁第二頁，共39頁。1）模型準備： 了解問題的實際背景，明確建模目的，掌握對象的各種( zhn)信息如統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，弄清實際對象的特征。 有時需查資料或到有關(guān)單位了解情況等。第3頁/共39頁第三頁，共39頁。2）模型假設(shè)：根據(jù)實際對象的特征和建模目的，對問題進行必要地合理地簡化。不同的假設(shè)會得到不同的模型。如果假設(shè)過于簡單可能會導致模型的失敗或部分失敗，于是應該修改或補充假設(shè)，如“四足動物的體重問題”；如果假設(shè)過于詳細

2、，試圖把復雜的實際現(xiàn)象的各個因素都考慮進去(jn q)，可能會陷入困境，無法進行下一步工作。分清問題的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問題均勻化、線性化。3）模型(mxng)建立：第4頁/共39頁第四頁，共39頁。分清變量類型，恰當使用數(shù)學工具；抓住問題的本質(zhì)，簡化變量之間的關(guān)系；要有嚴密的數(shù)學推理(tul)，模型本身要正確；要有足夠的精確度。4）模型求解：可以包括解方程、畫圖形、證明定理以及邏輯運算等。會用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學方法，計算機技 術(shù)（編程或軟件包）。特別地近似計算方法（泰勒級數(shù)，三角級數(shù)，二項式展開、代數(shù)(dish)近似、有效數(shù)字等）。第5頁/共39頁第五頁，共39頁。6）

3、模型檢驗： 把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實際對象中，用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗模型的合理性和適應性檢驗結(jié)果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。7）模型應用：應用中可能發(fā)現(xiàn)(fxin)新問題，需繼續(xù)完善。5）模型分析：結(jié)果分析、數(shù)據(jù)分析。變量(binling)之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；數(shù)學預測；最優(yōu)決策控制。第6頁/共39頁第六頁，共39頁。 模型模型(mxng)的分類的分類1）按變量）按變量(binling)的性質(zhì)分的性質(zhì)分：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機性模型非線性模型多變量模型2）按時間變化）按時間變化(binhu)對模型的對模型的影響分影響分靜態(tài)模型參數(shù)定常模型

4、動態(tài)模型參數(shù)時變模型第7頁/共39頁第七頁，共39頁。3 3）按模型的應用領(lǐng)域（或所屬學科）分）按模型的應用領(lǐng)域（或所屬學科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用水資源模型、再生資源利用(lyng)(lyng)模型、污染模型模型、污染模型、生物數(shù)學模型、醫(yī)學數(shù)學模型、地質(zhì)數(shù)學模型、生物數(shù)學模型、醫(yī)學數(shù)學模型、地質(zhì)數(shù)學模型、數(shù)量經(jīng)濟學模型、數(shù)學社會學模型等。數(shù)量經(jīng)濟學模型、數(shù)學社會學模型等。4 4）按建立模型的數(shù)學方法（或所屬數(shù)學分支）分）按建立模型的數(shù)學方法（或所屬數(shù)學分支）分初等模型、幾何模型、線性代數(shù)初等模型、幾

5、何模型、線性代數(shù)(xin xn di sh)(xin xn di sh)模型模型、微分方程模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運籌學模型等。圖論模型、馬氏鏈模型、運籌學模型等。第8頁/共39頁第八頁，共39頁。5 5）按建模目的分）按建模目的分描述性模型、分析模型、預報描述性模型、分析模型、預報(ybo)(ybo)模型、優(yōu)化模型模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。決策模型、控制模型等。6 6）按對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分）按對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分白箱模型：其內(nèi)在機理相當清楚的學科問題，包括力白箱模型：其內(nèi)在機理相當清楚的學科問題，包括力學、熱學、電學等。學、熱學、電學等?；蚁淠Ｐ停浩鋬?nèi)在機

6、理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問題，灰箱模型：其內(nèi)在機理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟、交通等。包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟、交通等。黑箱黑箱(hi xin)(hi xin)模型：其內(nèi)在機理（數(shù)量關(guān)系）很不模型：其內(nèi)在機理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學、社會科學等。清楚的現(xiàn)象，如生命科學、社會科學等。第9頁/共39頁第九頁，共39頁。第10頁/共39頁第十頁，共39頁。 初等模型(mxng)是指可以用初等數(shù)學的方法來構(gòu)造和求解的模型(mxng)。我們來建立以下四個問題的數(shù)學模型(mxng)。我們來解決(jiju)以下幾個問題：一一 席位分配席位分配(fnpi)(fnpi)問題問題第11

7、頁/共39頁第十一頁，共39頁。一 席位分配(fnpi)問題 某校有200名學生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學生代表會議設(shè)20個席位(xwi)，問三系各有多少個席位(xwi)？按慣例分配席位(xwi)方案，即按人數(shù)比例分配原則Npqm 表示某單位的席位數(shù)m 表示某單位的人數(shù)p 表示總?cè)藬?shù)N 表示總席位數(shù)q1 問題的提出問題的提出第12頁/共39頁第十二頁，共39頁。2020個席位的分配個席位的分配(fnpi)(fnpi)結(jié)果結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲100100/200(50/100)20=10乙6060/200(30/100)20=6丙40 40/200(20/100

8、)20=4現(xiàn)丙系有6名學生(xu sheng)分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5% 51.5 %20 =10.3乙6363/200=31.5%31.5%20=6.3丙34 34/200=17.0%17.0%20=3.410641064現(xiàn)象現(xiàn)象(xinxing)1 (xinxing)1 丙系雖少了丙系雖少了6 6人，但席位仍為人，但席位仍為4 4個。（不公個。（不公平！）平?。┑?3頁/共39頁第十三頁，共39頁。為了在表決提案時避免(bmin)可能出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個席位。2121個席位個席位(xwi)(xwi)的分配結(jié)果的分配結(jié)果

9、系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5% 51.5 %21 =10.815乙6363/200=31.5%31.5%21=6.615丙34 34/200=17.0%17.0%21=3.5701173現(xiàn)象現(xiàn)象(xinxing)2 (xinxing)2 總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平！）?。T例分配方法慣例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分

10、配席位的方案？第14頁/共39頁第十四頁，共39頁。2 建模分析建模分析(fnx)目標：建立公平的分配(fnpi)方案。反映公平分配(fnpi)的數(shù)量指標可用每席位代表的人數(shù)來衡量。系別 人數(shù) 席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲1031031010103/10=10.3103/10=10.3中中乙63636 663/6=10.563/6=10.5差差丙34 34 4 434/4=8.534/4=8.5好好系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)甲1001001010100/10=10100/10=10乙60606 660/6=1060/6=10丙40 40 4 440/4=1040/4=10第15頁/共3

11、9頁第十五頁，共39頁。系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲1031031111103/11=9.36103/11=9.36中中乙63637 763/7=963/7=9好好丙34 34 3 334/3=11.3334/3=11.33差差一般(ybn)地，單位人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)A AB B1p2p1n2n11np22np當2211npnp席位(xwi)分配公平第16頁/共39頁第十六頁，共39頁。但通常不一定相等(xingdng)，席位分配的不公平程度用以下標準來判斷。準。稱為“絕對不公平”標 ) 12211npnp此值越小分配越趨于公平，但這并不是(b shi)一個好的衡量標準。單

12、位人數(shù)p席位數(shù)n每席位代表的人數(shù)絕對不公平標準A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,DC,D的不公平的不公平(gng png)(gng png)程度大為改善！程度大為改善！第17頁/共39頁第十七頁，共39頁。2） 相對(xingdu)不公平np表示每個席位代表(dibio)的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時，此值越大，代表(dibio)的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。2211npnp則A吃虧(ch ku),或?qū) 是不公平的。定義“相對不公平”則稱，若 2211npnp1),(122122221121npnpnpnpnpnnrA對A 的

13、相對不公平值同理，可定義對B 的相對不公平值為：第18頁/共39頁第十八頁，共39頁。則稱，若 2211npnp1),(211211112221npnpnpnpnpnnrB對B 的相對(xingdu)不公平值建立(jinl)了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標BArr ,制定席位(xwi)分配方案的原則是使它們的盡可能的小。3 3 建模建模若A、B兩方已占有席位數(shù)為,21nn用相對不公平值討論當席位增加1 個時，應該給A 還是B 方。不失一般性， 2211，若npnp有下面三種情形。第19頁/共39頁第十九頁，共39頁。情形情形(qng (qng xing)1xing)1 1 2211，npnp說明

14、即使給A 單位增加1席，仍對A 不公平，所增這一席(y x)必須給A單位。情形情形(qng (qng xing)2xing)2 1 2211，npnp說明當對A 不公平時，給A 單位增加1席，對B 又不公平。計算對B 的相對不公平值1) 1() 1() 1(), 1(211211112221npnpnpnpnpnnrB情形情形3 3 1 2211，npnp說明當對A 不公平時，給B 單位增加1席，對A 不公平。計算對A 的相對不公平值1) 1() 1() 1() 1,(122122221121npnpnpnpnpnnrA第20頁/共39頁第二十頁，共39頁。),1,(), 1(2121nnrn

15、nrAB若則這一席位(xwi)給A 單位，否則給B 單位。1) 1(), 1(211221npnpnnrB1) 1() 1,(122121npnpnnrA12212112) 1() 1(npnpnpnp(*) ) 1() 1(11222212nnpnnp結(jié)論結(jié)論(jiln)(jiln)：當（：當（* *）成立時，增加的一個席位應分配給）成立時，增加的一個席位應分配給A A 單單位，位，反之，應分配給反之，應分配給 B B 單位。單位。第21頁/共39頁第二十一頁，共39頁。記記21 )1(2, innpQiiii則增加的一個席位則增加的一個席位(xwi)(xwi)應分配給應分配給Q Q值值 較

16、大較大的一方。的一方。這樣的分配席位的方法(fngf)稱為Q值方法(fngf)。若A、B兩方已占有(zhnyu)席位數(shù)為,21nn4 4 推廣推廣 有m 方分配席位的情況設(shè)iA方人數(shù)為ip，已占有in個席位，mi,2, 1當總席位增加1 席時，計算m, innpQiiii, 21 ) 1(2則1 席應分給Q值最大的一方。從1in開始，即每方至少應得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，則把它排除在外。）第22頁/共39頁第二十二頁，共39頁。5 舉例舉例(j l)甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個席位(xwi)，如何分配？按按Q值方法值方法(fngf)：3 , 21 ) 1(

17、2, innpQiiii1, 1, 1321nnn785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 163 5304.5,) 11 ( 1103232221QQQ785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 1632 .7681) 12(2103232221QQQ第23頁/共39頁第二十三頁，共39頁。甲1乙1丙1785)11 (1345 .661)12(2632 .7681)12(2103232221QQQ785)11 (1345 .661)12(2634 .888)13(3103232221QQQ456789101112131415161718192021甲：11，乙：

18、6，丙：4第24頁/共39頁第二十四頁，共39頁。練習練習(linx(linx) )學校共1000學生，235人住在A樓，333人住在B樓，432住在C樓。學生要組織一個10人委員(wiyun)會，試用慣例分配方法， dHondt方法和Q值方法分配各樓的委員(wiyun)數(shù)，并比較結(jié)果。第25頁/共39頁第二十五頁，共39頁。dHondt方法(fngf)有k個單位(dnwi)，每單位(dnwi)的人數(shù)為 pi ，總席位數(shù)為n。做法(zuf)：用自然數(shù)1,2,3,分別除以每單位的人數(shù)，從所得的數(shù)中由大到小取前 n 個，（這n 個數(shù)來自各個單位人數(shù)用自然數(shù)相除的結(jié)果），這n 個數(shù)中哪個單位有幾個所

19、分席位就為幾個。第26頁/共39頁第二十六頁，共39頁。二 核軍備競賽(jngsi) 冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己(zj)的安全，實行的安全，實行“核威懾戰(zhàn)略核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。，核軍備競賽不斷升級。 隨著隨著(su zhe)前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議。系列的核裁軍協(xié)議。 在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存在暫在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存在暫時的平衡狀態(tài)。時的平衡狀態(tài)。 當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導彈等當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展

20、多彈頭導彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。 估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個數(shù)量受哪些因素影響。數(shù)量受哪些因素影響。背背景景第27頁/共39頁第二十七頁，共39頁。以雙方以雙方(戰(zhàn)略戰(zhàn)略(zhnl)核導彈數(shù)量描述核軍備的大小。核導彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣假定雙方采取如下同樣(tngyng)的核的核威懾戰(zhàn)略：威懾戰(zhàn)略： 認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導彈攻擊彈攻擊(gngj)己方的核導彈基地；己方的核導彈基地； 乙方在經(jīng)

21、受第一次核打擊后，應保存足夠的核導彈，給對方乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應保存足夠的核導彈，給對方重要目標以毀滅性的打擊。重要目標以毀滅性的打擊。在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈只在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈只能攻擊對方的一個核導彈基地。能攻擊對方的一個核導彈基地。摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。度和另一方的防御能力決定。模模型型假假設(shè)設(shè)第28頁/共39頁第二十八頁，共39頁。圖圖的的模模型型(mxng)y=f(x)甲方有甲方有x枚導彈枚導彈(dodn)，乙方所需的最少導彈，乙方所需的最少導

22、彈(dodn)數(shù)數(shù)x=g(y)乙方有乙方有y枚導彈枚導彈(dodn)，甲方所需的最少導彈，甲方所需的最少導彈(dodn)數(shù)數(shù)當當 x=0時時 y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈，乙方為毀滅甲甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù)方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)乙安全區(qū)甲甲安安全全區(qū)區(qū)雙方雙方安全區(qū)安全區(qū)P平衡點平衡點(雙方最少導彈數(shù)雙方最少導彈數(shù))乙安全線乙安全線第29頁/共39頁第二十九頁，

23、共39頁。 甲方增加經(jīng)費保護甲方增加經(jīng)費保護(boh)及疏散工業(yè)、交通中心及疏散工業(yè)、交通中心等目標等目標乙方威懾乙方威懾(wish)值值 y0變大變大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被動防御甲方的被動防御(fngy)也會使雙方軍備競賽升級。也會使雙方軍備競賽升級。),(mmyxP（其它因素不變）（其它因素不變）乙安全線乙安全線 y=f(x)上移上移模型解釋模型解釋 平衡點平衡點PP 第30頁/共39頁第三十頁，共39頁。 甲方將固定核導彈基地甲方將固定核導彈基地(jd)改進為可移動發(fā)射改進為可移動發(fā)射架架乙安全線乙安全線y=f(x)不變不變甲方

24、殘存甲方殘存(cncn)率變大率變大威懾威懾(wish)值值x 0和交換比不變和交換比不變x減小，甲安全線減小，甲安全線x=g(y)向向y軸靠近軸靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解釋模型解釋 甲方這種單獨行為，會使雙方的核導彈減少甲方這種單獨行為，會使雙方的核導彈減少PP 第31頁/共39頁第三十一頁，共39頁。三 產(chǎn)品的抽樣(chu yn)檢驗 產(chǎn)品(chnpn)質(zhì)量是每個企業(yè)都十分關(guān)心的一個問題，質(zhì)量監(jiān)控的一個經(jīng)常采用的方法是抽樣檢驗。人們設(shè)計出了各種各樣的給出整批產(chǎn)品(chnpn)可接受準則的抽樣方案。 問題：一個陶器公司生

25、產(chǎn)問題：一個陶器公司生產(chǎn)(shngchn)咖啡咖啡杯，杯上飾以某著名運動員的頭像，人們設(shè)計杯，杯上飾以某著名運動員的頭像，人們設(shè)計了以下兩種抽樣方案：了以下兩種抽樣方案：第32頁/共39頁第三十二頁，共39頁。 方案A（單抽樣方案）隨機地從批量中選20個杯子，如果有兩個或少于兩個不合格，就接受(jishu)批量，否則拒絕該批量。 方案B(雙抽樣方案)隨機地從批量中選10個杯子，如果沒有不合格就接受該批量，如果有兩個(lin )或多于兩個(lin )不合格就拒絕該批量。而若有一個不合格，再做檢驗，隨機地選另外10個杯子，當提取第二批抽樣時，計算20個組合抽樣中不合格杯子的個數(shù)，如不合格數(shù)不多于1

26、個就接受該批量，否則就拒絕該批量。討論(toln)這兩種方法的優(yōu)缺點。第33頁/共39頁第三十三頁，共39頁。分析分析(fnx)與建模與建模 兩種方法中的有效性可通過首先假設(shè)不合格(hg)數(shù)所占的比例為p來進行分析。然后我們對每種方法求出接受該批量的概率，并對p值的一些取值范圍計算其概率。 對方法A而言，若得到一個不合杯子的概率為p,抽樣量是20，則不合格(hg)數(shù)為2、1、0的概率分別為：2020002019120182220)1 ()1 (C0()1 (C1 ()1 (2(pppppppppCp個不合格）個不合格）個不合格）第34頁/共39頁第三十四頁，共39頁。把這些概率(gil)加起來，就會得到：)171181 ()1 ()1 ()