《流變學(xué)》 第三章 第一、二節(jié)

1、第三章、非線性粘彈流體的本構(gòu)方程第三章、非線性粘彈流體的本構(gòu)方程第一節(jié)、本構(gòu)方程第一節(jié)、本構(gòu)方程第二節(jié)、空間描述法和物質(zhì)描述法第二節(jié)、空間描述法和物質(zhì)描述法第三節(jié)、廣義第三節(jié)、廣義Maxwell模型模型聚合物具有多層次內(nèi)部結(jié)構(gòu)，當(dāng)其在加工流場中受外聚合物具有多層次內(nèi)部結(jié)構(gòu)，當(dāng)其在加工流場中受外力作用時(shí)，它們的變化相當(dāng)復(fù)雜，表現(xiàn)出與之相關(guān)聯(lián)力作用時(shí)，它們的變化相當(dāng)復(fù)雜，表現(xiàn)出與之相關(guān)聯(lián)的各種宏觀流變行為。的各種宏觀流變行為。v（1 1）不同類型流體的流動曲線）不同類型流體的流動曲線v（2 2）weissenbergweissenberg效應(yīng)效應(yīng)（3 3）出口脹大）出口脹大（4）二次流動 當(dāng)聚合物

2、流動在一橢圓形截面的管子中流動時(shí)，除了軸向當(dāng)聚合物流動在一橢圓形截面的管子中流動時(shí)，除了軸向流動外，還可能出現(xiàn)圖中對稱于橢圓兩軸線的環(huán)流。稱為流動外，還可能出現(xiàn)圖中對稱于橢圓兩軸線的環(huán)流。稱為二次流動。第二法向應(yīng)力差的存在是出現(xiàn)二次流動的必要二次流動。第二法向應(yīng)力差的存在是出現(xiàn)二次流動的必要條件。第二次法向應(yīng)力差與聚合物大分子鏈被拉伸的程度條件。第二次法向應(yīng)力差與聚合物大分子鏈被拉伸的程度相關(guān)。對于聚合物共混來說，為了更加達(dá)到均勻混合的目相關(guān)。對于聚合物共混來說，為了更加達(dá)到均勻混合的目的，二次流動的出現(xiàn)是有利的。的，二次流動的出現(xiàn)是有利的。（5 5）無管虹吸）無管虹吸第一節(jié)、本構(gòu)方程概念第一

3、節(jié)、本構(gòu)方程概念 本構(gòu)方程本構(gòu)方程描述一大類材料所遵循的與材料結(jié)構(gòu)屬性描述一大類材料所遵循的與材料結(jié)構(gòu)屬性相關(guān)的力學(xué)響應(yīng)規(guī)律的方程。相關(guān)的力學(xué)響應(yīng)規(guī)律的方程。 不同的材料以不同本構(gòu)方程表現(xiàn)其基本物性：不同的材料以不同本構(gòu)方程表現(xiàn)其基本物性：0 E胡克彈性體的本構(gòu)方程為胡克彈性體的本構(gòu)方程為牛頓流體的本構(gòu)方程實(shí)質(zhì)方程牛頓流體的本構(gòu)方程實(shí)質(zhì)方程為為理想氣體的本構(gòu)方程為理想氣體的本構(gòu)方程為 PV=nRTPV=nRT非牛頓流體的本構(gòu)方程為非牛頓流體的本構(gòu)方程為nK r(1)acabr01amk r 對于粘性流體，現(xiàn)在時(shí)刻的應(yīng)力只依賴于現(xiàn)在時(shí)對于粘性流體，現(xiàn)在時(shí)刻的應(yīng)力只依賴于現(xiàn)在時(shí)刻的形變速率張量，與

4、形變的歷史無關(guān)?？痰男巫兯俾蕪埩?，與形變的歷史無關(guān)。1 1=2 2=0=0，為常數(shù)，稱為牛頓流體。為常數(shù)，稱為牛頓流體。=(=(), ),稱為非牛頓流體。稱為非牛頓流體。 對于粘彈性流體，對于粘彈性流體， 1 1和和2 2不等于不等于0 0，此時(shí)流體具，此時(shí)流體具有記憶特性，現(xiàn)在時(shí)刻的應(yīng)力不僅與當(dāng)前的形變有記憶特性，現(xiàn)在時(shí)刻的應(yīng)力不僅與當(dāng)前的形變速率張量有關(guān)，還與形變歷史有關(guān)。速率張量有關(guān)，還與形變歷史有關(guān)。對高分子材料流變學(xué)來講，尋求能夠正確描述高分對高分子材料流變學(xué)來講，尋求能夠正確描述高分子液體非線性粘彈響應(yīng)規(guī)律的本構(gòu)方程無疑為其最子液體非線性粘彈響應(yīng)規(guī)律的本構(gòu)方程無疑為其最重要的中心任

5、務(wù)，這也是建立高分子材料流變學(xué)理重要的中心任務(wù)，這也是建立高分子材料流變學(xué)理論的基礎(chǔ)。論的基礎(chǔ)。關(guān)于非線性粘彈流體的本構(gòu)方程主要可分為兩大類：關(guān)于非線性粘彈流體的本構(gòu)方程主要可分為兩大類：速率型（亦稱微商型）本構(gòu)方程和積分型本構(gòu)方程。速率型（亦稱微商型）本構(gòu)方程和積分型本構(gòu)方程。 所謂速率型本構(gòu)方程，即方程中包含了應(yīng)力張量或形變速率張所謂速率型本構(gòu)方程，即方程中包含了應(yīng)力張量或形變速率張量的時(shí)間微商，或同時(shí)包含這兩個(gè)微商。量的時(shí)間微商，或同時(shí)包含這兩個(gè)微商。所謂積分型本構(gòu)方程則利用迭加原理，把應(yīng)力表示成應(yīng)變歷史所謂積分型本構(gòu)方程則利用迭加原理，把應(yīng)力表示成應(yīng)變歷史上的積分，或者用一系列松弛時(shí)間

6、連續(xù)分布的模型的疊加來上的積分，或者用一系列松弛時(shí)間連續(xù)分布的模型的疊加來描述材料的非線性粘彈性。積分又分為單重積分或多重積分。描述材料的非線性粘彈性。積分又分為單重積分或多重積分。速率型本構(gòu)方程和積分型本構(gòu)方程本質(zhì)上是等價(jià)的。速率型本構(gòu)方程和積分型本構(gòu)方程本質(zhì)上是等價(jià)的。速率型本構(gòu)方程 v一、經(jīng)典的線性粘彈性模型一、經(jīng)典的線性粘彈性模型 MaxwellMaxwell模型模型v已知高分子材料本體的線性粘彈行為可以用一已知高分子材料本體的線性粘彈行為可以用一些力學(xué)模型，如些力學(xué)模型，如MaxwellMaxwell模型、模型、開爾文模型、開爾文模型、及它們的恰當(dāng)組合進(jìn)行描述。及它們的恰當(dāng)組合進(jìn)行描

7、述。v彈簧是最簡單的彈性模型，粘壺是最簡單的粘彈簧是最簡單的彈性模型，粘壺是最簡單的粘性模型，彈簧盒粘壺的組合構(gòu)成粘彈性材料的性模型，彈簧盒粘壺的組合構(gòu)成粘彈性材料的機(jī)械模型。機(jī)械模型。v彈簧滿足線形彈性體的三個(gè)條件：彈簧滿足線形彈性體的三個(gè)條件：v（1 1）應(yīng)力與應(yīng)變的響應(yīng)是瞬時(shí)的：對突加載荷，）應(yīng)力與應(yīng)變的響應(yīng)是瞬時(shí)的：對突加載荷，一旦加載，彈簧立即變形，一旦卸載，彈簧立一旦加載，彈簧立即變形，一旦卸載，彈簧立即恢復(fù)到原來的形狀。即恢復(fù)到原來的形狀。v（2 2）對線性彈簧，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。）對線性彈簧，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。v（3 3）應(yīng)力和應(yīng)變都不隨時(shí)間而改變。）應(yīng)力和應(yīng)變都不隨時(shí)間而改變

8、。 E一個(gè)具有一塊平板浸沒在一個(gè)充滿粘度為一個(gè)具有一塊平板浸沒在一個(gè)充滿粘度為 , ,符合牛頓流動定符合牛頓流動定律的流體的小壺組成的粘壺律的流體的小壺組成的粘壺, ,可以用來描述理想流體的力學(xué)行可以用來描述理想流體的力學(xué)行為為. .dtd Maxwell Maxwell模型模型: :特點(diǎn)特點(diǎn): :兩個(gè)單元串連而成兩個(gè)單元串連而成, ,外力作用在此模外力作用在此模型上時(shí)型上時(shí), ,彈簧和粘壺所受的外力相同彈簧和粘壺所受的外力相同, ,總應(yīng)變等于兩個(gè)應(yīng)變之和總應(yīng)變等于兩個(gè)應(yīng)變之和 : = 1+ 2彈粘v在一定得應(yīng)力作用下，材料可以無限的變形，這在一定得應(yīng)力作用下，材料可以無限的變形，這是粘性流體

9、的特征。是粘性流體的特征。MaxwellMaxwell模型瞬時(shí)響應(yīng)呈現(xiàn)模型瞬時(shí)響應(yīng)呈現(xiàn)彈性體的特征，而時(shí)間效應(yīng)呈現(xiàn)粘性流體的特征。彈性體的特征，而時(shí)間效應(yīng)呈現(xiàn)粘性流體的特征。當(dāng)對該模型加荷時(shí)，總應(yīng)力由彈簧和粘壺一起承擔(dān)，當(dāng)對該模型加荷時(shí)，總應(yīng)力由彈簧和粘壺一起承擔(dān)，而總的應(yīng)變則是兩者的加和。而總的應(yīng)變則是兩者的加和。開爾文模型v開爾文模型是由一個(gè)彈簧和一個(gè)粘壺并聯(lián)而成。開爾文模型是由一個(gè)彈簧和一個(gè)粘壺并聯(lián)而成。特點(diǎn)特點(diǎn):兩單元并聯(lián)兩單元并聯(lián). = 彈彈= 粘粘, = 粘粘+ 彈彈v開爾文模型是理想彈簧并聯(lián)了一個(gè)粘壺，不能對開爾文模型是理想彈簧并聯(lián)了一個(gè)粘壺，不能對應(yīng)力或應(yīng)變產(chǎn)生瞬時(shí)彈性效應(yīng)。當(dāng)

10、應(yīng)力或應(yīng)變產(chǎn)生瞬時(shí)彈性效應(yīng)。當(dāng)t t無窮時(shí)，開無窮時(shí)，開爾文模型的蠕變趨向于一條漸近線，這是粘彈性爾文模型的蠕變趨向于一條漸近線，這是粘彈性固體在穩(wěn)定蠕變時(shí)的特征。固體在穩(wěn)定蠕變時(shí)的特征。各種其他模型各種其他模型v設(shè)液體在剪切力作用下發(fā)生流動，彈簧、粘壺同時(shí)發(fā)生形設(shè)液體在剪切力作用下發(fā)生流動，彈簧、粘壺同時(shí)發(fā)生形變。注意圖中畫出的是拉伸形變，我們想象在流場中，彈變。注意圖中畫出的是拉伸形變，我們想象在流場中，彈簧、粘壺發(fā)生剪切形變?；?、粘壺發(fā)生剪切形變。對彈簧有對彈簧有對粘壺有對粘壺有220r總應(yīng)力總應(yīng)力12總應(yīng)變總應(yīng)變式中式中t為應(yīng)力對時(shí)間的一般偏微商為應(yīng)力對時(shí)間的一般偏微商MaxwellM

11、axwell模型模型 是一個(gè)具有時(shí)間量綱的物理量是一個(gè)具有時(shí)間量綱的物理量, ,為為MaxwellMaxwell方程的特征時(shí)間常數(shù)方程的特征時(shí)間常數(shù), ,叫應(yīng)力松弛時(shí)間叫應(yīng)力松弛時(shí)間. .EEE應(yīng)力松弛過程總形變固定所以應(yīng)力松弛過程總形變固定所以 EettdtEddtdEdtdt的變化形變固定時(shí)應(yīng)力隨時(shí)間將上式積分時(shí)當(dāng)/00,0,010模型的價(jià)值模型的價(jià)值: :我們從松弛時(shí)間可以看出我們從松弛時(shí)間可以看出, ,它既與粘性系數(shù)有它既與粘性系數(shù)有關(guān)關(guān), ,又與彈性模量有關(guān)又與彈性模量有關(guān). .說明松弛過程是彈性行為和粘性行說明松弛過程是彈性行為和粘性行為共同作用的結(jié)果為共同作用的結(jié)果. .Maxw

12、ellMaxwell模型描述線性聚合物應(yīng)力松弛模型描述線性聚合物應(yīng)力松弛dtdEdtddtddtd121t=時(shí)， (t) = 0 0 /e 的物理意義為應(yīng)力松弛到的物理意義為應(yīng)力松弛到0 0 的的 1/e1/e的時(shí)間的時(shí)間-松弛時(shí)間松弛時(shí)間 t ，(t) 0 應(yīng)力完全松弛應(yīng)力完全松弛 用途用途: :描述應(yīng)力松弛過程描述應(yīng)力松弛過程: :當(dāng)受到當(dāng)受到F F作用作用, ,彈簧瞬時(shí)形變彈簧瞬時(shí)形變, ,而粘壺由而粘壺由于黏性作用來不及形變于黏性作用來不及形變, ,應(yīng)力松弛的起始形變由理想彈簧提應(yīng)力松弛的起始形變由理想彈簧提供供, ,并使兩個(gè)元件產(chǎn)生起始應(yīng)力并使兩個(gè)元件產(chǎn)生起始應(yīng)力 0 0, ,隨后粘

13、壺慢慢被拉開隨后粘壺慢慢被拉開, ,彈彈簧回縮簧回縮, ,形變減小形變減小, ,到總應(yīng)力為到總應(yīng)力為0.0.t t(t)Maxwell模型應(yīng)力松弛曲線模型應(yīng)力松弛曲線MaxwellMaxwell模型描述線性聚合物應(yīng)力松弛模型描述線性聚合物應(yīng)力松弛某聚合物受外力后，其形變按照下式某聚合物受外力后，其形變按照下式發(fā)展。式中，發(fā)展。式中，0為最大應(yīng)力為最大應(yīng)力;E(t)為拉伸到為拉伸到t時(shí)的模時(shí)的模量。今已知對聚合物加外力量。今已知對聚合物加外力8s后，其應(yīng)變?yōu)闃O限后，其應(yīng)變?yōu)闃O限應(yīng)變值的應(yīng)變值的13。求此聚合物的松弛時(shí)間為多少。求此聚合物的松弛時(shí)間為多少? 01tteE 0tE t 1tte 1t

14、te 8113e 20ts解： 當(dāng) 01tteEv將上式寫成三維形式，以張量表示，則有：將上式寫成三維形式，以張量表示，則有：式中：式中：為應(yīng)力張量中的偏應(yīng)力張量；為應(yīng)力張量中的偏應(yīng)力張量；d為速度梯度張為速度梯度張量中的形變率張量，并有：量中的形變率張量，并有：() / 2TdLLL為速度梯度張量為速度梯度張量注意：假設(shè)形變過程中沒有旋轉(zhuǎn)，式中系數(shù)注意：假設(shè)形變過程中沒有旋轉(zhuǎn)，式中系數(shù)2的出現(xiàn)是的出現(xiàn)是由于采用了張量描述的緣故由于采用了張量描述的緣故.Maxwell模型張量式模型張量式例例1Maxwell1Maxwell模型用于描述穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場模型用于描述穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場 0000000

15、0Lx0002002000d簡單剪切流場形式如圖簡單剪切流場形式如圖速度場方程為速度場方程為：簡單剪切流場中由于流場是穩(wěn)定的，簡單剪切流場中由于流場是穩(wěn)定的，因此該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不隨時(shí)間變化，因此該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不隨時(shí)間變化，故有：故有： 對于穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場，其形變率張量為對于穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場，其形變率張量為0tv代入式中得到：代入式中得到：1112132122233132330/202 0/200000rr將方程中等號兩邊張量的各個(gè)對應(yīng)分量分別聯(lián)立起來，就得將方程中等號兩邊張量的各個(gè)對應(yīng)分量分別聯(lián)立起來，就得到一個(gè)由九個(gè)方程組成的方程組。由此解得：到一個(gè)由九個(gè)方程組成的方程組。由此解得：122

16、102332133111222233000r只能描述只能描述 牛頓型流體的牛頓型流體的粘性行為，粘性行為，高分子液體在剪切速率極高分子液體在剪切速率極低情況下的流動狀態(tài)。低情況下的流動狀態(tài)。0002002000dvMaxwellMaxwell模型有限的描述能力與方程的推廣方式有關(guān)，特模型有限的描述能力與方程的推廣方式有關(guān)，特別與方程中應(yīng)力張量的導(dǎo)數(shù)形式有關(guān)。別與方程中應(yīng)力張量的導(dǎo)數(shù)形式有關(guān)。 v式中描述的應(yīng)力變化的導(dǎo)數(shù)形式是應(yīng)力對時(shí)間的一般偏微式中描述的應(yīng)力變化的導(dǎo)數(shù)形式是應(yīng)力對時(shí)間的一般偏微商，這種偏微商通常只能描述無窮小形變行為，或流動中商，這種偏微商通常只能描述無窮小形變行為，或流動中體

17、系性質(zhì)無變化的形變行為。對于描述高分子液體在大形體系性質(zhì)無變化的形變行為。對于描述高分子液體在大形變下的非線性粘彈行為，必須對力張量的導(dǎo)數(shù)形式審慎定變下的非線性粘彈行為，必須對力張量的導(dǎo)數(shù)形式審慎定義和推廣。義和推廣。v另外，在考察流場中流體流動時(shí)，緊盯著固定坐標(biāo)系的一另外，在考察流場中流體流動時(shí)，緊盯著固定坐標(biāo)系的一點(diǎn)考察（注意在不同時(shí)刻流經(jīng)該點(diǎn)的流體元不同）和緊跟點(diǎn)考察（注意在不同時(shí)刻流經(jīng)該點(diǎn)的流體元不同）和緊跟著一個(gè)流體元考察（該流體元在不同時(shí)刻占據(jù)空間不同位著一個(gè)流體元考察（該流體元在不同時(shí)刻占據(jù)空間不同位置）是大不相同的。為此我們首先介紹流體力學(xué)中描寫材置）是大不相同的。為此我們首先

18、介紹流體力學(xué)中描寫材料元流動的空間描述法和物質(zhì)描述法，然后再討論經(jīng)典料元流動的空間描述法和物質(zhì)描述法，然后再討論經(jīng)典MaxwellMaxwell模型的推廣。模型的推廣。t10r 第二節(jié)、空間描述法和物質(zhì)描述法 物質(zhì)描述法物質(zhì)描述法空間描述法空間描述法觀察者的視點(diǎn)集中于一個(gè)具體的觀察者的視點(diǎn)集中于一個(gè)具體的流體元及其鄰域所發(fā)生的事件，流體元及其鄰域所發(fā)生的事件，研究它在不同時(shí)刻所處的位置，研究它在不同時(shí)刻所處的位置，以及它的速度，加速度等，與通以及它的速度，加速度等，與通常力學(xué)中集中于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的方法常力學(xué)中集中于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的方法相同。相同。觀察者的視點(diǎn)集中于坐標(biāo)空間觀察者的視點(diǎn)集中于坐標(biāo)空間某一特

19、殊點(diǎn)及其鄰域所發(fā)生的某一特殊點(diǎn)及其鄰域所發(fā)生的事件，不針對一個(gè)具體的流體事件，不針對一個(gè)具體的流體元。元。拉格朗日描述法拉格朗日描述法歐拉描述法歐拉描述法在該方法中一般以流體元在參考在該方法中一般以流體元在參考構(gòu)型中的物質(zhì)坐標(biāo)構(gòu)型中的物質(zhì)坐標(biāo) XR(R=1,2,3)XR(R=1,2,3)為為自變量，以便區(qū)別不同的材料元。自變量，以便區(qū)別不同的材料元。 在該方法中，往往以固定坐標(biāo)在該方法中，往往以固定坐標(biāo)系系Xi (i=1,2,3)Xi (i=1,2,3)的空間坐標(biāo)為自的空間坐標(biāo)為自變量。變量。v例如：設(shè)一流體元初始時(shí)刻在例如：設(shè)一流體元初始時(shí)刻在參考構(gòu)型中的位置矢量為參考構(gòu)型中的位置矢量為X

20、X，到，到t t時(shí)刻它運(yùn)動到即時(shí)構(gòu)型中的位時(shí)刻它運(yùn)動到即時(shí)構(gòu)型中的位置置x. x. 根據(jù)拉格朗日描述，流體根據(jù)拉格朗日描述，流體元在某一時(shí)刻元在某一時(shí)刻t t到達(dá)空間的位置到達(dá)空間的位置x x即與即與X X有關(guān)，所以有關(guān)，所以x x可以寫成可以寫成X X和時(shí)間和時(shí)間t t的函數(shù)，記成的函數(shù)，記成：(, )xx X t反過來，反過來，X X也可以記成也可以記成x x和時(shí)間和時(shí)間t t的函數(shù)的函數(shù)：( , )XX x tv式則確定了在時(shí)間式則確定了在時(shí)間t t占有占有空間位置空間位置x x的流體元在時(shí)的流體元在時(shí)間間t t所經(jīng)歷的位移。所經(jīng)歷的位移。 (, )(, )X tx X tX( , )(

21、 )( , )x tx tX x t式確定了由物質(zhì)坐標(biāo)式確定了由物質(zhì)坐標(biāo)X XR R決定決定的流體元在時(shí)間的流體元在時(shí)間t t的位移。的位移。采用物質(zhì)描述時(shí)，以采用物質(zhì)描述時(shí)，以X X為自變量，將為自變量，將當(dāng)作物質(zhì)坐標(biāo)當(dāng)作物質(zhì)坐標(biāo)X X和時(shí)間和時(shí)間t t的函數(shù)，記為：的函數(shù)，記為：設(shè)在時(shí)間設(shè)在時(shí)間t t內(nèi)，流體元的位移矢量為內(nèi)，流體元的位移矢量為有：有：(, , )( )X x tx tX而采用空間描述時(shí)，以而采用空間描述時(shí)，以x x為自變量，則為自變量，則是空間坐標(biāo)是空間坐標(biāo)x x和時(shí)間和時(shí)間t t的函數(shù)，記為：的函數(shù)，記為：v速度矢量：流體元的位移矢量的時(shí)間變化率。因?yàn)橐槍λ俣仁噶浚毫?/p>

22、體元的位移矢量的時(shí)間變化率。因?yàn)橐槍σ粋€(gè)具體的流體元求速度，所以應(yīng)當(dāng)采用物質(zhì)描述一個(gè)具體的流體元求速度，所以應(yīng)當(dāng)采用物質(zhì)描述, , 一個(gè)具一個(gè)具體流體元的物質(zhì)坐標(biāo)體流體元的物質(zhì)坐標(biāo)X XR R是常數(shù)，所以速度矢量等于：是常數(shù)，所以速度矢量等于：(, )(, )(, )du X tdx X tX tdtdt展開來寫，可寫成分量式展開來寫，可寫成分量式：(, )(, )(, )(1,2,3)iRiRRduXtdxXtXtidtdt這種導(dǎo)數(shù)因?yàn)槭轻槍唧w流體元而求的，這種導(dǎo)數(shù)因?yàn)槭轻槍唧w流體元而求的， 所以稱為對時(shí)間的所以稱為對時(shí)間的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。 若將這種物質(zhì)導(dǎo)數(shù)用空間描述法表示若將這種

23、物質(zhì)導(dǎo)數(shù)用空間描述法表示 ，則應(yīng)把上式中的，則應(yīng)把上式中的X X替替換成式中的換成式中的x, x,表達(dá)成表達(dá)成x x的函數(shù)。有：的函數(shù)。有： ( , )( , )( , )du x tDu x tx tdtDt記成式中式中為為x x和和t t的函數(shù)，而的函數(shù)，而x x又為又為t t的函數(shù)。的函數(shù)。v因此這個(gè)導(dǎo)數(shù)展開來寫，有：因此這個(gè)導(dǎo)數(shù)展開來寫，有：3311jiiiijjjjjxtxttxiD (x,t)Dt也稱也稱對時(shí)間求全導(dǎo)數(shù)，這是物對時(shí)間求全導(dǎo)數(shù)，這是物 質(zhì)導(dǎo)數(shù)（物質(zhì)微商）在空間質(zhì)導(dǎo)數(shù)（物質(zhì)微商）在空間描述法中的表示形式。式還可記成以下矢量形式：描述法中的表示形式。式還可記成以下矢量形式

24、：DDtt式中等號右邊式中等號右邊 第一項(xiàng)為第一項(xiàng)為對時(shí)間對時(shí)間t t的一般偏導(dǎo)數(shù)，第二項(xiàng)表示的一般偏導(dǎo)數(shù)，第二項(xiàng)表示為兩個(gè)矢量的點(diǎn)積，為兩個(gè)矢量的點(diǎn)積， 其中的矢量算符稱作哈密爾頓算子，定其中的矢量算符稱作哈密爾頓算子，定義義為：31231123jjjeeeexxxx ej ej為坐標(biāo)軸的單位矢量。注意式只是一種記法，展開寫應(yīng)是為坐標(biāo)軸的單位矢量。注意式只是一種記法，展開寫應(yīng)是 三個(gè)公式，分別相三個(gè)公式，分別相關(guān)于矢量關(guān)于矢量的三個(gè)分量，的三個(gè)分量，u uj j稱作對稱作對u uj j求梯度運(yùn)算。求梯度運(yùn)算。v對流動場中其他與流體元相關(guān)的物理量，若用空間描述對流動場中其他與流體元相關(guān)的物理量

25、，若用空間描述法表示其對時(shí)間的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，都有類似的形式。法表示其對時(shí)間的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，都有類似的形式。v例如應(yīng)力張量得分物質(zhì)微商可記為：例如應(yīng)力張量得分物質(zhì)微商可記為：31i ji jijkjkDTTTDTTTDttDttx或這這實(shí)際是九個(gè)方程的縮寫。實(shí)際是九個(gè)方程的縮寫。第三節(jié)、廣義Maxwell模型 一、White-Metzner模型 v隨流坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的隨流坐標(biāo)不變，為常隨流坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的隨流坐標(biāo)不變，為常數(shù)，故此采用隨流坐標(biāo)對流體元的描述為數(shù)，故此采用隨流坐標(biāo)對流體元的描述為物物質(zhì)描述。質(zhì)描述。v隨流坐標(biāo)系中對形變的度量是通過計(jì)算在兩隨流坐標(biāo)系中對形變的度量是通過計(jì)算在兩個(gè)時(shí)刻個(gè)時(shí)刻(

26、t,t(t,t) ) 一個(gè)材料元中任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間一個(gè)材料元中任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離變化來表示的。這種形變度量也必須的距離變化來表示的。這種形變度量也必須轉(zhuǎn)換到固定的空間坐標(biāo)系中，而且兩個(gè)時(shí)刻轉(zhuǎn)換到固定的空間坐標(biāo)系中，而且兩個(gè)時(shí)刻計(jì)算的質(zhì)點(diǎn)間距離必須與固定的空間坐標(biāo)系計(jì)算的質(zhì)點(diǎn)間距離必須與固定的空間坐標(biāo)系中的同一點(diǎn)相關(guān)。中的同一點(diǎn)相關(guān)。v在隨流坐標(biāo)系中，對物理量求時(shí)間導(dǎo)數(shù)時(shí)保持隨流坐標(biāo)不在隨流坐標(biāo)系中，對物理量求時(shí)間導(dǎo)數(shù)時(shí)保持隨流坐標(biāo)不變，因此對任何物理量所求的時(shí)間導(dǎo)數(shù)均為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。變，因此對任何物理量所求的時(shí)間導(dǎo)數(shù)均為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。vOldrovdOldrovd隨流微商，記作隨流微商，記作t t。但

27、是這種隨流微商需要轉(zhuǎn)換。但是這種隨流微商需要轉(zhuǎn)換到固定的空間坐標(biāo)系中。二階應(yīng)力張量到固定的空間坐標(biāo)系中。二階應(yīng)力張量T Tij ij的的OldrovdOldrovd隨流隨流微商轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系后的形式為微商轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系后的形式為：()()jii ji jk jikkkDTTTTtDtxx式中等號右邊第一項(xiàng)為式中等號右邊第一項(xiàng)為v二階應(yīng)力張量在固定坐標(biāo)系的物質(zhì)微商，可以理解為在固定二階應(yīng)力張量在固定坐標(biāo)系的物質(zhì)微商，可以理解為在固定坐標(biāo)系中的某一材料元的應(yīng)力張量對時(shí)間的變化率。坐標(biāo)系中的某一材料元的應(yīng)力張量對時(shí)間的變化率。v第二、三項(xiàng)中含有速度梯度的影響，速度梯度中含第二、三項(xiàng)中含有速度梯度

28、的影響，速度梯度中含 有形變有形變率張量率張量d d和旋轉(zhuǎn)速率張量和旋轉(zhuǎn)速率張量兩部分，它描述了材料元對于固兩部分，它描述了材料元對于固定坐標(biāo)系的有限形變和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。定坐標(biāo)系的有限形變和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。31i ji jkijkkkDTTTDttxvWhite-MetznerWhite-Metzner推廣經(jīng)典的推廣經(jīng)典的MaxwellMaxwell模型，其方法就是模型，其方法就是采用對應(yīng)力張量求采用對應(yīng)力張量求OldroydOldroyd隨流微商代替一般偏微商以隨流微商代替一般偏微商以及物質(zhì)微商都不相同。及物質(zhì)微商都不相同。v為檢驗(yàn)為檢驗(yàn)White-MetznerWhite-Metzner模型的說明能

29、力，將該模型用于模型的說明能力，將該模型用于描述穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場：描述穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場：12r x230v首先考察偏應(yīng)力張量首先考察偏應(yīng)力張量的的 OldroydOldroyd隨流微商的具體表達(dá)式。隨流微商的具體表達(dá)式。由于流動是穩(wěn)定的，所以式中等號右邊第一項(xiàng)由于流動是穩(wěn)定的，所以式中等號右邊第一項(xiàng)0i jt注意：這兒將偏應(yīng)力張量分量注意：這兒將偏應(yīng)力張量分量ij ij代替了原公式中代替了原公式中T Tij ij。又因。又因?yàn)闉関 v2 2=v=v3 3=0,=0,偏應(yīng)力分量偏應(yīng)力分量1212沿沿x x1 1方向無變化，故有方向無變化，故有0i jDt31i ji jkijkkkDDttxv于

30、是偏應(yīng)力張量于是偏應(yīng)力張量的的OldroydOldroyd隨流微商寫成：隨流微商寫成：()()jii ji jk jikkkDtDtxx11121311121321222321222331323331323311121311121300000000000000000000000000000i jjii jrrijtrrrrrr122223222320000jir 111213122223212223122313233230/20002 0/20000000rrr1111222121220200rrr 121200212 1rrrrr 1122即 （ ）-（ ）=代入模型得到代入模型得到對應(yīng)得到

31、九個(gè)方程組成的方程組：對應(yīng)得到九個(gè)方程組成的方程組：結(jié)構(gòu)表明，結(jié)構(gòu)表明，White-MetznerWhite-Metzner模型優(yōu)于經(jīng)典模型優(yōu)于經(jīng)典MaxwellMaxwell模型。除能夠描述材料的粘性模型。除能夠描述材料的粘性外，還預(yù)言了材料流動中存在法向應(yīng)力差外，還預(yù)言了材料流動中存在法向應(yīng)力差11 11-2222，這是流體具有彈性行為的標(biāo)，這是流體具有彈性行為的標(biāo)志。志。不足的是，不足的是， White-MetznerWhite-Metzner模型給出的材料粘度是常數(shù)粘度，給出的模型給出的材料粘度是常數(shù)粘度，給出的法向應(yīng)力法向應(yīng)力差值也是常數(shù)差值也是常數(shù)，這與高分子流體的實(shí)際性質(zhì)有很大的

32、差別，說明模型本身仍有，這與高分子流體的實(shí)際性質(zhì)有很大的差別，說明模型本身仍有很大的局限性。很大的局限性。 White-MetznerWhite-Metzner模型模型只適合于形變較小、非線性行為不太強(qiáng)的只適合于形變較小、非線性行為不太強(qiáng)的場合。場合。122223222320000ijrt 002002000d二、Dewitt模型 v另一種廣義另一種廣義MaxwellMaxwell模型模型DewittDewitt模型，是在模型，是在MaxwellMaxwell方程中對應(yīng)力張量微商代替一般求時(shí)間微方程中對應(yīng)力張量微商代替一般求時(shí)間微商這一項(xiàng)，用共旋隨流微商代替一般偏微商，又稱商這一項(xiàng)，用共旋隨流

33、微商代替一般偏微商，又稱JaumannJaumann微商。微商。ti jDTDt的意義為某一材料的應(yīng)力張量對時(shí)間的變化率。第二、三項(xiàng)含有旋轉(zhuǎn)速率張量第二、三項(xiàng)含有旋轉(zhuǎn)速率張量ik ik, ,其值為其值為：1()2ikikkixx它代表了材料元對于固定坐標(biāo)系的有限旋轉(zhuǎn)它代表了材料元對于固定坐標(biāo)系的有限旋轉(zhuǎn)i ji jikjkjkikDTTTTtDtDewittDewitt推廣推廣MaxwellMaxwell模型，在模型，在MaxwellMaxwell方程中用對偏應(yīng)力張量方程中用對偏應(yīng)力張量求共旋隨流微商代替一般偏微商，得到的求共旋隨流微商代替一般偏微商，得到的DewittDewitt模型方程形模

34、型方程形式為式為102DdDtv已知下式描繪的穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場中，旋轉(zhuǎn)速度張量為：已知下式描繪的穩(wěn)態(tài)簡單剪切流場中，旋轉(zhuǎn)速度張量為：0/ 20/ 200000rri ji jikjkjkikDtDt 式中計(jì)算式中的計(jì)算式中的JaumannJaumann微商：與在計(jì)算微商：與在計(jì)算OldroydOldroyd微商中同樣微商中同樣的原因，首先確定式中第一項(xiàng)等于的原因，首先確定式中第一項(xiàng)等于0 0，即，即0DDt12111213212223222131323332310/ 20/ 2/ 2 110/ 200/ 2/ 20000/ 2/ 20rrrjkikTrrrrr 第二、三項(xiàng)分別為：第二、三項(xiàng)分別

35、為：1222321121311222321121311323330/ 20/ 2/ 2/ 2/ 200/ 2/ 2/ 2000000rrrrikjkTrrrr 12112232112221313231()/21/2()/21/21/21/20i jt11121312112232212223112221313132333231()/21/21()/21/21/21/200/2 02 0 /200000rrr212012222211122011222222233011( )/(1)()()/2/(1)()()/(1)rrrrrrrrr 這樣，方程可展開寫成這樣，方程可展開寫成這同樣是這同樣是9 9

36、個(gè)方程組，解此方程組得到粘度和法向應(yīng)力差系數(shù)為個(gè)方程組，解此方程組得到粘度和法向應(yīng)力差系數(shù)為10r 002002000dv這一結(jié)果使人驚這一結(jié)果使人驚 奇，式描述了剪切粘度與法向應(yīng)力差系數(shù)的剪切速奇，式描述了剪切粘度與法向應(yīng)力差系數(shù)的剪切速率率 依賴性：依賴性：v當(dāng)剪切速率當(dāng)剪切速率r0r0時(shí)，材料表現(xiàn)出常數(shù)粘度時(shí)，材料表現(xiàn)出常數(shù)粘度0 0（牛頓性）和常數(shù)法向（牛頓性）和常數(shù)法向應(yīng)力差系數(shù)；應(yīng)力差系數(shù)；v當(dāng)剪切速率升高，粘度和法向應(yīng)力差系數(shù)均趨于下降，呈現(xiàn)出剪切當(dāng)剪切速率升高，粘度和法向應(yīng)力差系數(shù)均趨于下降，呈現(xiàn)出剪切變稀行為。變稀行為。v其次，公式表明，這里描述的液體是彈性液體其次，公式表明

37、，這里描述的液體是彈性液體, ,10, 10, 2020。v與大多數(shù)高分子液體的實(shí)驗(yàn)事實(shí)一致的還有公式給出的第一法向應(yīng)與大多數(shù)高分子液體的實(shí)驗(yàn)事實(shí)一致的還有公式給出的第一法向應(yīng)力差系數(shù)為正（力差系數(shù)為正（0)0)，第二法向應(yīng)力差系數(shù)為負(fù)，第二法向應(yīng)力差系數(shù)為負(fù)(0),( 2)2)。v這些結(jié)果，都只是因?yàn)槲覀儗⒎匠逃蓪?shí)驗(yàn)室系推廣到共旋隨流坐標(biāo)這些結(jié)果，都只是因?yàn)槲覀儗⒎匠逃蓪?shí)驗(yàn)室系推廣到共旋隨流坐標(biāo)系，并且對時(shí)間的微商采用了共旋隨流微商而得到的。系，并且對時(shí)間的微商采用了共旋隨流微商而得到的。2120122222111220 112222222330 11( )/(1)( )()/2/(1)(

38、)()/(1)rrrrrrrrr 1、經(jīng)典的線性粘彈性模型Maxwell模型是由 和 串聯(lián)而成。2、 Maxwell模型可用于描述哪些力學(xué)模型，還有哪些不足，怎樣改進(jìn)的？3、如何判斷本構(gòu)方程的優(yōu)劣？三、其他類型的微分模型三、其他類型的微分模型vJeffreysJeffreys模型，方程形式為模型，方程形式為：102()2()ddtt模型的特點(diǎn)是在原始模型的特點(diǎn)是在原始MaxwellMaxwell模型基礎(chǔ)上，引入對形變率張模型基礎(chǔ)上，引入對形變率張量的偏微分，同時(shí)引入第二時(shí)間參數(shù)量的偏微分，同時(shí)引入第二時(shí)間參數(shù) 2 2，使材料常數(shù)成為三，使材料常數(shù)成為三個(gè)：個(gè)： 1 1, , 2 2,0 0Ol

39、droydOldroyd模型，方程形式為：模型，方程形式為：102()2()ddtt模型的特點(diǎn)是將模型的特點(diǎn)是將JeffreysJeffreys模型中的時(shí)間微商由一般偏微商推廣模型中的時(shí)間微商由一般偏微商推廣為為OldroydOldroyd隨流微商。材料常數(shù)保留為三個(gè)：隨流微商。材料常數(shù)保留為三個(gè)： 1 1, , 2 2,0 0廣義廣義JeffreysJeffreys模型，方程形式為：模型，方程形式為：102()2()DDddDtDt模型的特點(diǎn)是將模型的特點(diǎn)是將JeffreysJeffreys模型中的時(shí)間微商由一般偏微商推廣模型中的時(shí)間微商由一般偏微商推廣為為JaumannJaumann微商。

40、材料常數(shù)保留為三個(gè)：微商。材料常數(shù)保留為三個(gè)： 1 1, , 2 2,0 0OldroydOldroyd八常數(shù)模型，方程形式為八常數(shù)模型，方程形式為：該模型的時(shí)間微商采用該模型的時(shí)間微商采用JaumannJaumann微商微商, , 并設(shè)并設(shè) 置了八個(gè)常數(shù)：置了八個(gè)常數(shù)： 1 1， 2 2，u0,u1,u2,v1,v2,u0,u1,u2,v1,v2,0 0, ,用于考慮偏應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的各種關(guān)系。其中前七個(gè)常用于考慮偏應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的各種關(guān)系。其中前七個(gè)常數(shù)的量綱均為時(shí)間（數(shù)的量綱均為時(shí)間（s s）。運(yùn)用此模型確實(shí)可以描寫非牛頓型流體的可變粘度和法）。運(yùn)用此模型確實(shí)可以描寫非牛頓型流體的可變粘度和法向應(yīng)力差效應(yīng)，方程適用的范圍也比較寬廣。然而這