《線性代數(shù)》6矩陣的初等變換

1、1線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 電子教案之六2主要內(nèi)容第六講第六講 矩陣的初等變換與初等矩陣矩陣的初等變換與初等矩陣v矩陣的初等變換的概念；矩陣的初等變換的概念；v階梯形矩陣的概念；階梯形矩陣的概念；v矩陣等價的概念；矩陣等價的概念；v三種初等矩陣，初等矩陣與初等變換的聯(lián)系三種初等矩陣，初等矩陣與初等變換的聯(lián)系.基本要求基本要求v熟悉掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩熟悉掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩 陣，知道矩陣等價的概念；陣，知道矩陣等價的概念；v知道初等矩陣，了解初等矩陣與初等變換的聯(lián)知道初等矩陣，了解初等矩陣與初等變換的聯(lián) 系，掌握用初等變換求可逆矩陣的逆陣的方法系，掌握用初等變換求

2、可逆矩陣的逆陣的方法.3一、概念的引入一、概念的引入第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的初等變換矩陣的初等變換引例引例 用消元法求解線性方程組用消元法求解線性方程組 . 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1234)1(解解)1(析：為了引入概念，在消元的過程中，把方程組析：為了引入概念，在消元的過程中，把方程組看作一個整體，不是著眼于某一個方程的變形，看作一個整體，不是著眼于某一個方程的變形，而是著眼于整個方程組變成另一個方程組而是著眼于整個方程組變成另一個方程組.21 , 424321 xxxx, 224321 xxxx32 , 2324

3、321 xxxx. 979634321 xxxx)(1B12344)1(21 , 424321 xxxx, 224321 xxxx32 , 2324321 xxxx. 979634321 xxxx)(1B1234 , 0222432 xxx12 3, 6355432 xxx3 41. 3433432 xxx, 424321 xxxx1234)(2B32 221 , 0432 xxx, 424321 xxxx25 3, 624 x3 42. 34 x1234)(3B為消去為消去 做做準備準備 1x5 43, 0432 xxx321 , 34 x. 00 , 0432 xxx221 , 42432

4、1 xxxx25 3, 624 x3 42. 34 x)(3B12341234)(4B 至此消元完畢，為了求出方程組的解，再只需用至此消元完畢，為了求出方程組的解，再只需用“回代回代”的方法即可：的方法即可：)(4B . 00 , 34 x, 332 xx, 424321 xxxx, 72321 xxx1234 23 13 12, 431 xx)(5B6于是解得于是解得 33443231xxxxx其中其中 可任意取值可任意取值. 3x,3344321 cccxxxxx.30340111 cx即即cx 3若令若令 ，則方程組的解為，則方程組的解為7說明說明求解線性方程組可分為消元與回代兩過程。消

5、元求解線性方程組可分為消元與回代兩過程。消元 過程的實質，就是通過一系列方程組的同解變換過程的實質，就是通過一系列方程組的同解變換 找到一個形式上較簡單的方程組，然后進行回代，找到一個形式上較簡單的方程組，然后進行回代， 這里方程組的同解變換是指下列三種變換：這里方程組的同解變換是指下列三種變換：對調(diào)兩個方程；對調(diào)兩個方程；以不為零的數(shù)乘某一個方程；以不為零的數(shù)乘某一個方程；把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上.從原方程組從原方程組 同解變換到方程組同解變換到方程組 的過程可見，的過程可見， 除去代表未知數(shù)的文字外，除去代表未知數(shù)的文字外，矩陣與方程組是一一矩陣與方

6、程組是一一 對應的對應的.換言之，方程組有沒有解，有什么樣解完換言之，方程組有沒有解，有什么樣解完 全由各方程組的系數(shù)和常數(shù)項連同它們相互位置全由各方程組的系數(shù)和常數(shù)項連同它們相互位置 所成數(shù)表，即增廣矩陣所決定所成數(shù)表，即增廣矩陣所決定.而且，而且，對方程組作對方程組作 同解變換，相當于對它的增廣矩陣作相應的變換同解變換，相當于對它的增廣矩陣作相應的變換.)(5B)1(GoGo8由此可知，方程組的三種同解變換很自然地要引由此可知，方程組的三種同解變換很自然地要引 入到矩陣上，導出矩陣矩陣的三種初等行變換入到矩陣上，導出矩陣矩陣的三種初等行變換.同時，必須注意，原方程組能同解變換成什么樣同時，

7、必須注意，原方程組能同解變換成什么樣 的最簡單方程組，就是相當于增廣矩陣在初等行的最簡單方程組，就是相當于增廣矩陣在初等行 變換下能變成什么樣的最簡單矩陣（行最簡形矩變換下能變成什么樣的最簡單矩陣（行最簡形矩 陣）陣）.就本例來說，四個未知數(shù)劃分為就本例來說，四個未知數(shù)劃分為自由未知數(shù)自由未知數(shù) 和和 非非自由未知數(shù)自由未知數(shù)3x.,421xxx9二、初等變換定義和記號二、初等變換定義和記號1. 定義定義 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換下面三種變換稱為矩陣的初等行變換（1）對調(diào)兩行；對調(diào)兩行；說明說明把上述的定義中的把上述的定義中的“行行”換成換成“列列”，即得到矩，即得到矩陣的陣的 初等列

8、變換的定義初等列變換的定義.矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.（2）以數(shù)以數(shù) 乘某一行中的所有元素；乘某一行中的所有元素；)0( kk（3）把某一行所有元素的把某一行所有元素的 倍加到另一行對應的倍加到另一行對應的 元素上去元素上去.k102. 記號記號對調(diào)對調(diào) 兩行，記作兩行，記作ji,;jirr 對調(diào)對調(diào) 兩列兩列，記作記作ji,.jicc 第第 行乘行乘 ，記作，記作i)0( kk;kri 第第 列乘列乘 ，記作，記作i)0( kk.kci 第第 行的行的 倍加到第倍加到第 行上，記作行上，記作ijk;jikrr 第第 列的列的 倍加到

9、第倍加到第 列上，記作列上，記作ijk.jikcc 11 323122211211aaaaaaA 323122211211aaaaaaA 323122211211aaaaaaA31rr 1211aa2221aa3231aa31rr Aaaaaaa 323122211211kr 2 1211aa3231aa2221kakakr12 Aaaaaaa 32312221121112krr 3231aa1211aa12221121kakakaa 12)(rkr Aaaaaaa 3231222112113. 初等變換的逆變換初等變換的逆變換jirr 變換變換 的逆變換為的逆變換為;jirr 變換變換 的逆

10、變換為的逆變換為kri kir1 );(kri 或記作或記作變換變換 的逆變換為的逆變換為jikrr jirkr)( ).(jikrr 或記作或記作12三、矩陣等價三、矩陣等價 如果矩陣如果矩陣 經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣 ，那，那么稱么稱矩陣矩陣 與與 行等價行等價，記作，記作 ；ABABrABABcABAB 如果矩陣如果矩陣 經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣 ，那，那么稱么稱矩陣矩陣 與與 列等價列等價，記作，記作 ；BABAAB 如果矩陣如果矩陣 經(jīng)有限次初等變換變成矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣 ，那么，那么稱稱矩陣矩陣 與與 等價等價，記作

11、，記作 .1. 定義定義2. 矩陣之間的等價關系具有的性質矩陣之間的等價關系具有的性質反身性反身性 對稱性對稱性傳遞性傳遞性A;ABAB若若 ，則，則;AB若若 ， ，則，則CABA.C13四、階梯形矩陣四、階梯形矩陣1. 首先用矩陣的初等行變換來解方程組首先用矩陣的初等行變換來解方程組(1)，并，并把其過程與消元法過程一一對照把其過程與消元法過程一一對照.Go2. 行階梯形矩陣行階梯形矩陣 000003100001110412114B其特點是：其特點是：可畫出一條階梯可畫出一條階梯線，線的下方全為線，線的下方全為0；每個臺；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非階只有一行，臺階數(shù)即是非非零行的行數(shù)；

12、階梯線的豎非零行的行數(shù)；階梯線的豎線后面的第一個元素為非零線后面的第一個元素為非零元，稱為首非零元元，稱為首非零元.行階梯形矩陣行階梯形矩陣:自上而下，每個非零行的首非零元自上而下，每個非零行的首非零元 前面的零的個數(shù)依次增加；零行在最下方前面的零的個數(shù)依次增加；零行在最下方.說明說明143. 行最簡形矩陣行最簡形矩陣其特點是其特點是:是階梯形矩陣；非是階梯形矩陣；非零行的第一個非零元（首非零行的第一個非零元（首非零元）為；首非零元所在零元）為；首非零元所在的列的其它元素都為的列的其它元素都為 000003100030110401015B結論結論對于任何矩陣，總可經(jīng)過有限次初等行變換對于任何矩

13、陣，總可經(jīng)過有限次初等行變換 把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣nmA 行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的.一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一的一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一的.15 000003100030110401015B13cc 23cc 0000154cc 253cc 453cc 0000 0000000100000100000143cc OOOE4. 矩陣的標準形矩陣的標準形 其特點是其特點是: 左上角是一個單位左上角是一個單位矩陣，其余元素全為矩陣，其余元素全為0. 000100100100結論：結論：對于對于

14、矩陣矩陣 ，總可經(jīng)過初等變換把它，總可經(jīng)過初等變換把它化為標準形化為標準形nm A.nmrOOOEF 16例例1 下列四個矩陣中，哪些是行最簡形？下列四個矩陣中，哪些是行最簡形？,0000110010101 A.0000110010113 A解解1A矩陣矩陣 和和 是行最簡形矩陣是行最簡形矩陣.4A,1110101010013 A,0000111010112 A17例例2 設設 ，把，把 化成行最簡形化成行最簡形. 032203120A),(EA解解 ),(EA 10003201020300112021rr 31rr 111111 將將 元元化為化為1)1 , 1( 111111123rr 3

15、23130 132rr 322250 10003201020318)2(2 r 322250111111646260 32401032rr 將將 元元化為化為1)2 , 2(235rr 32401011111112818200 這已是階梯形矩這已是階梯形矩陣陣,再化為行最簡再化為行最簡形形 )2(3 r 64910032401031rr 21rr 436001 649100324010111111 111111323130 322250 ),(XE 19特別注意特別注意v把矩陣化為行最簡形，不可以用初等列變換把矩陣化為行最簡形，不可以用初等列變換.v把最后的行最簡形記作把最后的行最簡形記作 ，

16、則有下面的結論：，則有下面的結論：),(XE可以驗證得可以驗證得 即即,EAX .1 AX說明說明 ),(EA).,(1 AEr 是是 的行最簡形，即的行最簡形，即EAA;Er在下節(jié)將證明：對任何方陣在下節(jié)將證明：對任何方陣 的充要的充要條件是條件是 可逆，并且當可逆，并且當 可逆時，可逆時，,AAAAEr20五、小結五、小結v利用初等行變換，把一個矩陣化為行階梯形矩陣利用初等行變換，把一個矩陣化為行階梯形矩陣 和行最簡形矩陣，是一種十分重要的運算和行最簡形矩陣，是一種十分重要的運算. 由引由引 例可知，要解線性方程組只需將增廣矩陣化為行例可知，要解線性方程組只需將增廣矩陣化為行 最簡形最簡形

17、.v行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的比較行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的比較行階梯形矩陣行階梯形矩陣行最簡形矩陣行最簡形矩陣自上而下，每個非零行自上而下，每個非零行的首非零元前面的零的的首非零元前面的零的個數(shù)依次增加；零行在個數(shù)依次增加；零行在最下方最下方.是階梯形矩陣；非零行的是階梯形矩陣；非零行的第一個非零元（首非零元）第一個非零元（首非零元）為；首非零元所在的列的為；首非零元所在的列的其它元素都為其它元素都為特點特點作用作用 );( . 1ARA的秩的秩求矩陣求矩陣.A. 2關組關組的列向量組的最大無的列向量組的最大無求求);( . 1ARA的秩的秩求矩陣求矩陣;A. 2組組的列向量組的最大無關

18、的列向量組的最大無關求求;A. 3的列向量組的線性關系的列向量組的線性關系求求礎礎解解系系；求求解解線線性性方方程程組組，求求基基. 4;)E(A,. 51 AA的的行行最最簡簡形形求求可可逆逆時時，用用當當?shù)牡慕饨獾牡男行凶钭詈喓喰涡吻笄笥糜肂AX )B(A,. 6.1BAX 21一、初等矩陣一、初等矩陣 第二節(jié)第二節(jié) 初等矩陣初等矩陣1. 定義定義由單位矩陣由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣初等矩陣.E2. 三種初等矩陣三種初等矩陣1）對調(diào)兩行或對調(diào)兩列對調(diào)兩行或對調(diào)兩列),(jiE jirr )(jicc 或或行行第第i行行第第j列列第第i列

19、列第第j 1101111011 E 11111111222）以數(shù)）以數(shù) 乘某行或某列乘某行或某列0 k列列第第i行行第第ikri 1111k)( kiE kci 或或 11111E說明說明 ),(jiE 是由是由 經(jīng)過對調(diào)第經(jīng)過對調(diào)第 兩行（或第兩行（或第兩列），得到的初等矩陣兩列），得到的初等矩陣.Eji,ji,E)( kiE 是是以數(shù)以數(shù) 乘乘 第第 行行(或第或第 列列)，得到的初等矩陣得到的初等矩陣.ii0 k說明說明 233）將某行（列）的）將某行（列）的 倍加到另一行（列）上倍加到另一行（列）上k行行第第i行行第第j列列第第i列列第第j 1111Ejikrr 1111kijkcc

20、或或)(kijE 說明說明 )(kijE 是將是將 的第的第 行的行的 倍加到第倍加到第 行行（或是將（或是將 的第的第 列的列的 倍加到第倍加到第 列），得列），得到的初等矩陣到的初等矩陣. EEiijkkj243.初等矩陣的逆矩陣初等矩陣的逆矩陣初等矩變換對應初等矩陣，由初等變換可逆，可初等矩變換對應初等矩陣，由初等變換可逆，可知初等矩陣可逆，并且此初等變換的逆變換也就知初等矩陣可逆，并且此初等變換的逆變換也就對應此初等矩陣的逆矩陣：對應此初等矩陣的逆矩陣：初等變換初等變換初等矩陣初等矩陣逆變換逆變換逆矩陣逆矩陣jirr jicc ),(jiEjirr jicc ),(jiEkri kci

21、 )( kiEkir1 kic1 )(1kiEjikrr ijkcc )(kijEjikrr ijkcc )(kijE 25二、二、.初等矩陣與初等變換的聯(lián)系初等矩陣與初等變換的聯(lián)系引例引例 0010010010000001 1514131211aaaaa4544434241aaaaa3534333231aaaaa2524232221aaaaa)4 , 2(4E 4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaa

22、aaaa說明說明 用用 左左乘矩陣乘矩陣 ，相當于對矩陣，相當于對矩陣 施行施行一次初等一次初等行行變換：將變換：將 的第的第 2、4 兩行對調(diào)兩行對調(diào). )4 , 2(4EAAA26 1000000010001000100000001 1512131411aaaaa4542434441aaaaa3532333431aaaaa2522232421aaaaa)4 , 2(5E 4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa說明說明 用用 右右乘矩陣乘矩陣 ，相當于對矩陣，相當于對矩陣 施行施行一次初等一次初等列列變換：將變

23、換：將 的第的第 2、4 兩列對調(diào)兩列對調(diào). )4 , 2(5EAAA 4544434241353433323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa271. 用初等矩陣用初等矩陣 左乘矩陣左乘矩陣 ，其結果相，其結果相當于將矩陣當于將矩陣 的第的第 兩行對調(diào)；兩行對調(diào)；),(jiEmnmA Aji, 用初等矩陣用初等矩陣 右乘矩陣右乘矩陣 ，其結果相，其結果相當于將矩陣當于將矩陣 的第的第 兩列對調(diào)；兩列對調(diào)；),(jiEnnmA Aji,)( kiEmnmA k2.用用 左乘矩陣左乘矩陣 ，其結果相當于以數(shù)，其結果相當于以數(shù)乘矩陣的第乘矩陣的第 行

24、；行；i 用用 右乘矩陣右乘矩陣 ，其結，其結果相當于以數(shù)果相當于以數(shù) 乘矩陣的第乘矩陣的第 列列.)( kiEnnmA ki3. 用用 左乘矩陣左乘矩陣 ，其結果相當于把，其結果相當于把 的第的第 行的行的 倍加到第倍加到第 行上；行上；)(kijEmnmA kiAj 用用 右乘矩陣右乘矩陣陣陣 ，其結果相當于把，其結果相當于把 的第的第 列的列的 倍加到第倍加到第 列上列上.)(kijEnnmA kAij28定理定理1 設設 是一個是一個 矩陣，對矩陣，對 施行一次初等行變施行一次初等行變 換，換，相當于在相當于在 的左邊乘以相應的的左邊乘以相應的 階初等矩陣；對階初等矩陣；對 施行一次初

25、等列變換，相當于在施行一次初等列變換，相當于在 的右邊乘以相的右邊乘以相應的應的 階初等矩陣階初等矩陣.Anm AAmAAn注意注意以上結論都遵循以上結論都遵循“左行右列左行右列”的規(guī)則的規(guī)則.29三、初等矩陣的應用三、初等矩陣的應用1. 有關結論有關結論定理定理2 方陣方陣 可逆的充要條件是存在有限個初等可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣矩陣 ，使，使AlPPP,21.21lPPPA 證證 析：這是一條十分重要的定理，它反映了可逆析：這是一條十分重要的定理，它反映了可逆矩陣的一個特性：可以分解為初等矩陣的乘積矩陣的一個特性：可以分解為初等矩陣的乘積.先證充分性先證充分性.,21lPPPA 設

26、設A 因為初等矩陣可逆，有限個因為初等矩陣可逆，有限個可逆矩陣的乘積仍可逆，故可逆矩陣的乘積仍可逆，故 可逆可逆.再證必要性再證必要性.設設 階方陣階方陣 可逆，且可逆，且 的標準形矩陣為的標準形矩陣為 ，nAAF則有則有 ，也就是，也就是 經(jīng)過有限次初等行變換和經(jīng)過有限次初等行變換和AFF30初等列變換可化為初等列變換可化為 ， 根據(jù)定理根據(jù)定理1知，即有初等矩知，即有初等矩陣陣 使使A,;,121lssPPPPP .21lPPPA 因為因為 可逆，可逆， 也都可逆，所以也都可逆，所以AlPPP,21可逆，即有可逆，即有F, 0 F因此在因此在 中既沒有零行又沒有零列，中既沒有零行又沒有零列

27、，F(xiàn)再注意到再注意到F是矩陣是矩陣 的標準形，故必有的標準形，故必有 ，從而，從而AEF APFPPPPlss 121說明說明上述的證明顯示，可逆矩陣的標準形為單位陣；其上述的證明顯示，可逆矩陣的標準形為單位陣；其實還可以證明可逆矩陣的行最簡形也是單位陣實還可以證明可逆矩陣的行最簡形也是單位陣.31推論推論1推論推論2 方陣方陣 可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是A.ErA 矩陣矩陣 與與 等價的充分必要條件是等價的充分必要條件是存在存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 及及 階可逆矩陣階可逆矩陣 ，使使nm ABmPnQ.BPAQ 證明證明證明證明322. 初等變換法初等變換法求可逆矩陣的逆陣和

28、矩陣方程的解求可逆矩陣的逆陣和矩陣方程的解問題：問題：.BAXXBsnAn 使使求求矩矩陣陣，矩矩陣陣及及階階矩矩陣陣設設有有當當 不可逆時，在后面章節(jié)討論；不可逆時，在后面章節(jié)討論；A當當 可逆時可逆時A,2121llPPPAPPP 使使有初等矩陣有初等矩陣,111211 PPPAl BABPPPEAPPPll1111211112112),(),(111121BAEBAPPPl 333 BABPPPEAPPPll1111211112112),(),(111121BAEBAPPPl 3由于由于 是初等矩陣，是初等矩陣，所以所以 也是初等矩陣也是初等矩陣. 因此因此kP1 kP 式表明式表明 經(jīng)

29、過一系列初等行變換可化為經(jīng)過一系列初等行變換可化為 ；AE1 式表明式表明 經(jīng)過與上面相同的一系列初等行變換經(jīng)過與上面相同的一系列初等行變換 可化為可化為 ；2BBA1 式表明對矩陣式表明對矩陣 作初等行變換，當把作初等行變換，當把 化化 成成 時，時， 就化成就化成3),(BAAEB.1BA 34初等變換法解矩陣方程初等變換法解矩陣方程 ：BAX 1）寫分塊矩陣）寫分塊矩陣 ；),(BA2）用初等行變換化為行最簡形；）用初等行變換化為行最簡形；A3）寫出結果：如果）寫出結果：如果 的行最簡形為的行最簡形為 ， 即即 ，則，則 可逆，且可逆，且),(BA),(XE),(BA),(XEr.1BA

30、X 說明說明 的行最簡形不是的行最簡形不是 的情形，后面討論；的情形，后面討論；),(BA),(XE當當 時，上述的過程就是求可逆矩陣時，上述的過程就是求可逆矩陣 的逆的逆 陣陣EB A.1 A當當 時，上述的過程就是求方程組時，上述的過程就是求方程組 的的 唯一解唯一解 B Ax.1 Ax35 21,sPP PAE 即，即， 1, AEEA，初等行變換初等行變換 1AEEA初初等等列列變變換換或或,可逆時AEA行sPP,1存在初等矩陣EPPPs)(1212PPPs.1 A1AE同樣的行變換36. ,343122321 1 AA求求設設 解解例例 103620012520001321 1003

31、43010122001321EA213123rrrr 1232r rr r 37 111100012520011201 111100563020231001.111253232311 A10013235010322001111 132325rrrr 23( 2)( 1)rr 38例例.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩陣求矩陣解解.1BAXA 可逆，則可逆，則若若方法方法1：先求出先求出 ，再計算，再計算 。1A 1A B 方法方法2：直接求直接求 。1A B 1()()A BE A B 初等行變換初等行變換39132325rrrr 1232r rr r 2

32、13123rrrr 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 31100640202300113223 .13XA B 23( 2)( 1)rr ， 31100320102300140例例 求解矩陣方程求解矩陣方程 ，其中，其中XAAX 010312022A解解XAAX AXAX AXEA )(),(AEA 110302021 010312022在矩陣運算時，在矩陣運算時，要注意左乘與右要注意左乘與右乘乘41),(AEA 122rr 022021332340 010110 32rr 01011031230202202142122r

33、r 33234001011002202132rr 234rr 022021010110 312100 )1(3 r),(AEA 01011031230202202143 312100010110022021234rr )1(3 r32rr 312100302010022021212rr ),(AEA 010110312302022021122rr 33234001011002202132rr 4432rr 312100302010622001212rr ),(AEA 010110312302022021122rr 33234001011002202132rr 31210001011002202

34、1234rr )1(3 r45可見可見 ，EEAr 因此因此 可逆，且可逆，且EA 312100302010622001AEAX1)( .312302622 46總結總結 這個例題是一個非常簡單的矩陣方程求解問題，這個例題是一個非常簡單的矩陣方程求解問題，但與上一章計算方法不同，這里是用初等變換法，但與上一章計算方法不同，這里是用初等變換法，具體方法是具體方法是),(),(BEAEAr ,)(1AEAB 則則即解決了即解決了是可逆的，是可逆的，EA )1),()2AEA BBBE滿足滿足中中的行最簡形的行最簡形),(,)(1AEA 這比上一章先判定這比上一章先判定 的可逆性，的可逆性，進而求其

35、逆，再計算乘積進而求其逆，再計算乘積 計算上要簡計算上要簡單許多單許多.在解類似問題時多采用此方法。在解類似問題時多采用此方法。,)(1AEA EA 47矩陣方程矩陣方程 的初等變換解法：的初等變換解法：BXA 1. 用初等列變換用初等列變換 XEBAc則則 ，EAc且且.1 BAX2. 用初等行變換用初等行變換BXA TTTBXA ),(),(YEBArTTEArT則則 ，且且,)(1TTBAY .1TYBAX 48四、小結四、小結v初等矩陣是比較重要的一類矩陣，它與初等變換初等矩陣是比較重要的一類矩陣，它與初等變換 的聯(lián)系是：的聯(lián)系是：對對 施行一次初等施行一次初等行變換行變換，相當于在，相當于在