第二章數(shù)值數(shù)組及其運算

1、1第二章、數(shù)值數(shù)組及其運算2 本章集中敘述了一維、二維、任意高維雙精度數(shù)值數(shù)組的生成和操作。這是MATLAB最常用、最基本、最傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)類型，定義在此類“對象”上的“方法”就是最具魅力的數(shù)組運算。32.1 引導 數(shù)組是指由一組實數(shù)或復數(shù)排成的長方陣列。它可以是一維的“行”或“列”，可以是二維的“矩形”，也可以是三維的“若干同維矩陣的堆疊”，甚至更高的任意維。 數(shù)組運算是指：無論在數(shù)組上實施什么運算（加減乘除或函數(shù)），總認定那種運算對被運算數(shù)組中的每個元素平等的操作。4數(shù)組和數(shù)組運算的目的在于： 使計算程序簡單、易讀，使程序指令更接近于教科書上的數(shù)學計算公式 提高程序的向量化程度，提高計算效率，

2、節(jié)省計算機開銷。52.2 一維數(shù)組的創(chuàng)建和尋訪 2.2.1 一維數(shù)組的創(chuàng)建（1）逐個元素輸入法 x=2 pi/2 sqrt(3) 3+5ix = 2.0000 1.5708 1.7321 3.0000 + 5.0000i6（2） 冒號成長法 這是通過“步長”設定，生成一維“行”數(shù)組的方法。 x=a:inc:b a是數(shù)組的第一個元素；inc是采樣點之間的間隔，即步長。若(b-a)是inc的整數(shù)倍，則所生成的最后一個元素等于b，否則小于b。7（3）定數(shù)線形采樣法 該法在設定的“總點數(shù)”下，均勻采樣生成一維“行”數(shù)組。 格式：x=linspace(a,b,n) 其中，a,b分別是生成數(shù)組的第一個和最

3、后一個元素。n是采樣總點數(shù)。x=linspace(10,20,11)x =10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 82.2.2 一維數(shù)組的子數(shù)組尋訪和賦值（1）子數(shù)組的尋訪 x(index) 尋找什么樣的子數(shù)組，取決于下標index，其取值范圍是（1，數(shù)組長度）之間的正整數(shù)或正整數(shù)數(shù)組。eg: x=rand(1,5)x = 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 x(3)ans = 0.6068 x(1 2 5)ans = 0.9501 0.2311 0.89139（2）子數(shù)組的賦值eg: x(3)=0 x = 0.9501 0.2311

4、 0 0.4860 0.8913 x(1 4)=1 1x = 1.0000 0.2311 0 1.0000 0.8913102.3 二維數(shù)組的創(chuàng)建2.3.1 直接輸入法 規(guī)則： 整個輸入數(shù)組必須用 括住 數(shù)組元素必須用逗號或空格分隔 在 內(nèi)數(shù)組的行與行之間必須用分號分隔或按Enter鍵分割11 數(shù)組元素可以是數(shù)字或任何matlab表達式 ，表達式不可包含未知的變量；可以是實數(shù) ，也可以是復數(shù)，復數(shù)可用特殊函數(shù)i輸入。 例：1. a=1 2 3;4 5 6 2. b=2 pi/2;sqrt(3) 3+5i 3. x=9; y=pi/6; %定義x,y變量 A=3 5 sin(y) cos(y)

5、x2 7 x/2 5 1 %產(chǎn)生數(shù)組A說明：%為Matlab注釋的開始標志，后面的文字不進行計算122.3.2 利用M文件創(chuàng)建和保存數(shù)組 針對比較大而復雜的數(shù)組步驟：（1）打開文件編輯調(diào)試器，并在空白填寫框中輸入數(shù)組；（2）保存文件，命名為*.m;（3）在MATLAB指令窗口中，運行*.m文件，數(shù)組自動保存在MATLAB內(nèi)存中。132.4 二維數(shù)組元素的標識2.4.1 “全下標”標識 即指出 “第幾行，第幾列”的元素eg: a=rand(2,3)a = 0.7621 0.0185 0.4447 0.4565 0.8214 0.6154 a(2,3)ans = 0.6154142.4.2 “單下

6、標”標識 即用一個下標來指明元素在數(shù)組中的位置。 首先進行“一維編號”，把二維數(shù)組按先左后右的次序、首尾相接排成一維長列；然后，自上而下對元素位置進行編號。 MATLAB在實現(xiàn)兩種標識方法間的轉(zhuǎn)換命令有： sub2ind 全下標單下標 ind2sub 單下標全下標152.4.3 “邏輯1”標識eg: A=zeros(2,5)A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A(:)=-4:5A = -4 -2 0 2 4 -3 -1 1 3 5 L=abs(A)3L = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 islogical(L) %判斷L是否是邏輯值數(shù)組ans = 1 x=A(L) %把L

7、中邏輯值為1對應的A元素取出 x = -4 4 5162.5 二維數(shù)組的子數(shù)組尋訪和賦值A=zeros(2,4) A = 0 0 0 0 0 0 0 0 A(:)=1:8 %全元素賦值法全元素賦值法 A = 1 3 5 7 2 4 6 8 s=2 3 5;A(s)Sa=10 20 30A(s)=Sa ans = 2 3 5Sa = 10 20 30A = 1 20 30 7 10 4 6 8 A(:,2 3)=ones(2) A = 1 1 1 7 10 1 1 8 例:不同賦值方式示例。同一維數(shù)組的子數(shù)組尋訪和賦值的方法172.6 執(zhí)行數(shù)組運算的常用函數(shù)MATLAB典典型函數(shù)型函數(shù)含義含義M

8、ATLAB典型函數(shù)典型函數(shù)含義含義abs(x)求絕對值求絕對值tan(x)正切值正切值sqrt(x)求平方根值求平方根值cot(x)余切值余切值exp(x)指數(shù)運算指數(shù)運算atan(x)反正切值反正切值sin(x)正弦值正弦值acot(x)反余切值反余切值cos(x)余弦值余弦值log(x)自然對數(shù)自然對數(shù)asin(x)反正弦值反正弦值Log2(x)以以2為底的對數(shù)為底的對數(shù)acos(x)反余弦值反余弦值Log10(x)常用對數(shù)常用對數(shù)182.7 數(shù)組運算和矩陣運算 從外觀形狀和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上看，二維數(shù)組和（數(shù)學中的）矩陣沒有區(qū)別。但是，矩陣作為一種變換或映射算子的體現(xiàn)，矩陣運算有著明確的數(shù)學規(guī)則

9、；數(shù)組運算是MATLAB軟件所定義的規(guī)則，其目的是為了數(shù)據(jù)管理方便、操作簡單、指令形式自然和執(zhí)行計算的有效。雖然數(shù)組運算尚缺乏嚴謹?shù)臄?shù)學推理，數(shù)組運算本身仍在完善和成熟中。19201. 直接輸入矩陣的創(chuàng)建 規(guī)則： 矩陣元素必須用 括住 矩陣元素必須用逗號或空格分隔 在 內(nèi)矩陣的行與行之間必須用分號分隔或按Enter鍵分割21 矩陣的修改 直接修改 可用鍵找到所要修改的矩陣，用鍵移動到要修改的矩陣元素上即可修改。 指令修改 可以用A(,)= 來修改。22例如 a=1 2 0;3 0 5;7 8 9a =1 2 0 3 0 5 7 8 9 a(3,3)=0a =1 2 0 3 0 5 7 8 02

10、32.用matlab函數(shù)創(chuàng)建和修改矩陣 Matlab提供了大量的函數(shù)來創(chuàng)建一些常用的特殊矩陣，例如對角陣、單位陣和零矩陣 例1：0-1分布的隨機矩陣，利用rand函數(shù)產(chǎn)生任意行列的隨機矩陣 a=rand(5,5)24例2 利用diag產(chǎn)生對角陣 diag（M）M為矩陣或向量，對于矩陣，取對角元產(chǎn)生一個列向量；對于向量則產(chǎn)生一個對角陣 a=rand(5,5)a = 0.7027 0.7948 0.9797 0.1365 0.6614 0.5466 0.9568 0.2714 0.0118 0.2844 0.4449 0.5226 0.2523 0.8939 0.4692 0.6946 0.880

11、1 0.8757 0.1991 0.0648 0.6213 0.1730 0.7373 0.2987 0.9883 D=diag(d) %向量產(chǎn)生矩陣D = 0.7027 0 0 0 0 0 0.9568 0 0 0 0 0 0.2523 0 0 0 0 0 0.1991 0 0 0 0 0 0.9883 d=diag(a) %矩陣產(chǎn)生列向量d = 0.7027 0.9568 0.2523 0.1991 0.988325Matlab中用于產(chǎn)生特殊矩陣的函數(shù)zeros(m,n) mn的零矩陣，全部元素都為0ones(m,n) 全部元素都為1的mn的矩陣rand(m,n) 隨機矩陣eye(m,n)

12、 單位矩陣magic(n) n維magic方陣空陣 matlab允許輸入空陣，當一項操作無結(jié)果時，返回空陣。26 還有伴隨矩陣、稀疏矩陣、范德蒙等矩陣的創(chuàng)建等等注意：matlab嚴格區(qū)分大小寫字母，因此a與A是兩個不同的變量。 matlab函數(shù)名必須小寫。273 矩陣的基本數(shù)值運算（1）矩陣加、減法運算規(guī)則： 相加、減的兩矩陣必須有相同的行和列兩矩陣對應元素相加減。 允許參與運算的兩矩陣之一是標量。標量與矩陣的所有元素分別進行加減操作。MATLAB表達式加a+b減a-b乘a*b除a/b 或 ab冪ab28（2） 矩陣乘（）運算規(guī)則：A矩陣的列數(shù)必須等于B矩陣的行數(shù)例a=1 2 3;4 5 6;

13、7 8 0;b=1;2;3;c=a*bc =14 32 23標量可與任何矩陣相乘 例 d=-1;0;2;f=pi*d f = -3.1416 0 6.283229在matlab中矩陣除的運算有兩種矩陣除運算MATLAB用“/” 代表右除(常用除法)和“”左除運算。這兩種運算的差別如下：例如：2/5 表示0.4， 25 表示2.5；對于矩陣，A/B 表示AB-1，即A*inv(B)；BA 表示B-1A，即inv(B)*A。矩陣除法可以看作矩陣乘法的逆運算（3） 矩陣除運算30例例左除解方程組左除解方程組ax=b的解的解 ：x=ab a=rand(5); %產(chǎn)生（5*5)的均勻分布隨機矩陣 b=o

14、nes(5,1); %產(chǎn)生全為1的5元列向量 x1=inv(a)*bx1 = -0.1734 0.5573 0.0309 0.7208 0.8147 x2=abx2 = -0.1734 0.5573 0.0309 0.7208 0.814731 a p a 自乘p次冪 方陣方陣1的整數(shù)的整數(shù)（4） 矩陣乘方 an,ap,pa 對于p的其它值,計算將涉及特征值和特征向量，如果p是矩陣，a是標量ap使用特征值和特征向量自乘到p次冪；如a,p都是矩陣，ap則無意義。32 a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2 ans =30 36 42 66 81 96 102 126 150當一個方陣有復數(shù)

15、特征值或負實特征值時，非整數(shù)冪是復數(shù)陣。33 a0.5 ans = 0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i 1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i 1.5873 - 0.5940i 1.9503 - 0.1611i 2.3134 + 0.2717i34inv 矩陣求逆size 矩陣的大?。ㄐ辛袛?shù)）det 行列式的值eig 矩陣的特征值rank 矩陣的秩 矩陣轉(zhuǎn)置sqrt 矩陣開方svd矩陣的奇異值分解（5） 矩陣的其它運算 35（6）矩陣的一些特殊操作矩陣的變維 a=1:1

16、2;b=reshape(a,3,4) c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩陣的變向 rot90:旋轉(zhuǎn); fliplr:上翻; flipud:下翻矩陣的抽取 diag:抽取主對角線;tril: 抽取主下三角; triu:抽取主上三角362.8 數(shù)組構(gòu)作技法綜合賦值擴展法賦值擴展法A=reshape(1:9,3,3) A = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 A(5,5)=111 A = 1 4 7 0 0 2 5 8 0 0 3 6 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 111 A(:,6)=222 A = 1 4 7 0 0 222 2 5 8 0 0 222 3 6 9

17、 0 0 222 0 0 0 0 0 222 0 0 0 0 111 222 多次尋訪擴展法多次尋訪擴展法AA=A(:,1:6,1:6) AA = 1 4 7 0 0 222 1 4 7 0 0 222 2 5 8 0 0 222 2 5 8 0 0 222 3 6 9 0 0 222 3 6 9 0 0 222 0 0 0 0 0 222 0 0 0 0 0 222 0 0 0 0 111 222 0 0 0 0 111 222 合成擴展法合成擴展法B=ones(2,6) B = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB_r=A;B AB_r = 1 4 7 0 0 222 2

18、5 8 0 0 222 3 6 9 0 0 222 0 0 0 0 0 222 0 0 0 0 111 222 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB_c=A,B(:,1:5) AB_c = 1 4 7 0 0 222 1 1 2 5 8 0 0 222 1 1 3 6 9 0 0 222 1 1 0 0 0 0 0 222 1 1 0 0 0 0 111 222 1 1 （1）數(shù)組的擴展37（2）單下標尋訪和reshape 指令演示clearA=reshape(1:16,2,8) 變一維數(shù)組為（變一維數(shù)組為（28）數(shù)組）數(shù)組 A = 1 3 5 7 9 11 13 15 2 4

19、 6 8 10 12 14 16 reshape(A,4,4) ans = 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 s=1 3 6 8 9 11 14 16;定義單下標數(shù)組定義單下標數(shù)組A(s)=0 對元素賦值對元素賦值 A = 0 0 5 7 0 0 13 15 2 4 0 0 10 12 0 0 38（3）邏輯函數(shù)的運用R=randn(3,6) R = 0.8644 0.8735 -1.1027 0.1684 -0.5523 -0.6149 0.0942 -0.4380 0.3962 -1.9654 -0.8197 -0.2546 -0.8519 -0

20、.4297 -0.9649 -0.7443 1.1091 -0.2698 L=abs(R)1.5% 不等式條件運算，結(jié)果給出邏輯數(shù)組不等式條件運算，結(jié)果給出邏輯數(shù)組 L = 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 R(L)=0% “邏輯邏輯1”對應的元素賦對應的元素賦0值值 R = 0.8644 0.8735 -1.1027 0 -0.5523 -0.6149 0 0 0 0 -0.8197 0 -0.8519 0 -0.9649 -0.7443 1.1091 0 s=(find(R=0) %利用利用find獲得符合關(guān)系等式條件的元素的獲得符合關(guān)系等式條件的元素

21、的“單下標單下標” s = 2 5 6 8 10 11 17 18 R(s)=111 利用利用“單下標單下標”定位賦值定位賦值 R = 0.8644 0.8735 -1.1027 111.0000 -0.5523 -0.6149 111.0000 111.0000 111.0000 111.0000 -0.8197 111.0000 -0.8519 111.0000 -0.9649 -0.7443 1.1091 111.0000 ii,jj=find(R=111); %利用利用find獲得符合關(guān)系等式條件的元素的獲得符合關(guān)系等式條件的元素的“雙下標雙下標” disp(ii),disp(jj)

22、2 2 3 2 1 2 2 3 1 2 2 3 4 4 6 6 392.9 高維數(shù)組2.9.1 高維數(shù)組的創(chuàng)建方法：直接通過“全下標”元素賦值方法由若干相同的低維數(shù)組合成由函數(shù)ones,zeros,rand,randn直接創(chuàng)建借助cat,repmat,reshape等函數(shù)構(gòu)作40 【例1】“全下標”元素賦值方式創(chuàng)建高維數(shù)組演示。A(2,2,2)=1 A(:,:,1) = 0 0 0 0A(:,:,2) = 0 0 0 1 B(2,5,:)=1:3 B(:,:,1) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1B(:,:,2) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2B(:,:,3) = 0 0

23、 0 0 0 0 0 0 0 3 41【例2】低維數(shù)組合成高維數(shù)組。clear; A=ones(2,3);A(:,:,2)=ones(2,3)*2;A(:,:,3)=ones(2,3)*3 A(:,:,1) = 1 1 1 1 1 1A(:,:,2) = 2 2 2 2 2 2A(:,:,3) = 3 3 3 3 3 3 42【例3】由函數(shù)ones, zeros, rand, randn直接創(chuàng)建標準高維數(shù)組的示例。rand(2,4,3) ans(:,:,1) = 0.6278 0.9748 0.2585 0.6949 0.2544 0.2305 0.0313 0.1223ans(:,:,2)

24、= 0.4889 0.3898 0.8489 0.0587 0.9138 0.3071 0.4260 0.6331ans(:,:,3) = 0.2802 0.2073 0.7438 0.2714 0.4051 0.2033 0.4566 0.2421 43【例 4】借助cat, repmat, reshape等函數(shù)構(gòu)作高維數(shù)組。cat(3,ones(2,3),ones(2,3)*2,ones(2,3)*3) %第一個輸入宗量填寫的數(shù)字是第一個輸入宗量填寫的數(shù)字是“表示串連接方向的維數(shù)表示串連接方向的維數(shù)”ans(:,:,1) = 1 1 1 1 1 1ans(:,:,2) = 2 2 2 2

25、2 2ans(:,:,3) = 3 3 3 3 3 3 repmat(ones(2,3),1,1,3) 第一個輸入宗量是第一個輸入宗量是”模塊數(shù)組模塊數(shù)組”; 第二個輸入宗量是第二個輸入宗量是“各維方向各維方向”鋪放鋪放“模塊數(shù)組模塊數(shù)組”的的 數(shù)目數(shù)目ans(:,:,1) = 1 1 1 1 1 1ans(:,:,2) = 1 1 1 1 1 1ans(:,:,3) = 1 1 1 1 1 1 reshape(1:12,2,2,3) 第一個輸入宗量是第一個輸入宗量是“待重組待重組”的數(shù)組；第二、三、四是的數(shù)組；第二、三、四是“行數(shù)、列數(shù)、頁數(shù)行數(shù)、列數(shù)、頁數(shù)”ans(:,:,1) = 1 3

26、 2 4ans(:,:,2) = 5 7 6 8ans(:,:,3) = 9 11 10 12 442.9.2 高維數(shù)組的標識（1）數(shù)組維數(shù)和ndims指令（2）數(shù)組的大小和size指令、length指令eg:clear;A=reshape(1:24,2,3,4);dim_A=ndims(A) %維數(shù)size_A=size(A) %大小L_A=length(A) %長度(等價max(size(A) dim_A = 3size_A = 2 3 4L_A = 4 452.10 “非數(shù)”和“空”數(shù)組2.10.1 非數(shù) NaN 根據(jù)IEEE數(shù)學標準,0/0,0/, 0* 等運算都會產(chǎn)生非數(shù)（ Not

27、a Number ）。該非數(shù)在MATLAB中用NaN或nan記述。 性質(zhì)：（1） NaN參與運算所得的結(jié)果也是NaN，即具有傳遞性（2）非數(shù)沒有大小的概念，即兩個非數(shù)不能比較大小。46非數(shù)的功能（1）真實記述0/0,0/, 0* 運算的結(jié)果（2）避免可能因為0/0,0/, 0* 運算而造成程序執(zhí)行的中斷（3）在數(shù)據(jù)可視化中，用來剪裁圖形472.10.2 “空”數(shù)組 “空”數(shù)組由MATLAB 的生成器確定，并有它自己的特性。空數(shù)組是簡單的，它們是MATLAB 大小為零的變量 ?！翱铡睌?shù)組的功能：（1）在沒有“空”數(shù)組參與的運算時，計算結(jié)果中的“空”可以合理地解釋“所得結(jié)果的含義”（2）運用“空”數(shù)組對其他非空數(shù)組賦值，可以改變數(shù)組得大小，但不能改變數(shù)組得維數(shù)。482.11 關(guān)系操作和邏輯操作 關(guān)系操作符 邏輯操作符 關(guān)系與邏輯函數(shù) 各種運算符的優(yōu)先級 49(1) 關(guān)系操作符 關(guān)系運算符該運算符的功能關(guān)系運算符該運算符的功能=大于等于 大于=等于=小于等于=約等于關(guān)系操作符及其功能 50(2) 邏輯操作符邏輯操作符功 能&與|或非邏輯操作符及其功能 51(3) 關(guān)系與邏輯函數(shù) 關(guān)系與邏