第4章自動控制原理根軌跡法

1、2022-6-264-1 4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念4-2 4-2 繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則4-3 4-3 控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法 學習指導與小結學習指導與小結2022-6-264-1 4-1 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念 rkkdktkqitpiteBeAAtckki110)sin()( qirkkkkimjjsspszsabsRsCs1122100)2()()()()()( 反饋控制系統(tǒng)的性質取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)。只反饋控制系統(tǒng)的性質取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)。只要求解出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，系統(tǒng)響應的變化規(guī)律要求解出閉環(huán)系統(tǒng)的

2、特征根，系統(tǒng)響應的變化規(guī)律就知道了。但是對于就知道了。但是對于3階以上的系統(tǒng)求根比較困難。階以上的系統(tǒng)求根比較困難。如果系統(tǒng)中有一個可變參數(shù)時，求根就更困難了。如果系統(tǒng)中有一個可變參數(shù)時，求根就更困難了。 2022-6-26 1948年，年，提出了一種提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法。在已知。在已知分布的基礎上，當某些參數(shù)變化時，利用分布的基礎上，當某些參數(shù)變化時，利用該圖解法可以非常方便的確定閉環(huán)極點。該圖解法可以非常方便的確定閉環(huán)極點。當系統(tǒng)當系統(tǒng)開環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從0 時，時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s 平面上的變化軌跡，

3、就稱作平面上的變化軌跡，就稱作。一般取一般?。ǜ壽E增益（根軌跡增益KgKg）作為可）作為可變參數(shù)。變參數(shù)。2022-6-26式中，式中，K為系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。為系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。 Kg = 2K 稱為系統(tǒng)的開稱為系統(tǒng)的開環(huán)環(huán)。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：ggKssKs 2)(2 )2()2(2)15 . 0( ssKssKssKsGg Ks(0.5s+1)+R(s)C(s) 解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為2022-6-26 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： s2 + 2s + Kg = 0 求得閉環(huán)特征根為：求得閉環(huán)特征根為：gKs112,

4、1(1) Kg= 0：s1 = 0,s2 = 2,是根跡的起點是根跡的起點(),用用“ ”表表示。示。 2 j 0 1(2) 0 Kg1：112, 1 gKjsKg= 0Kg= 0Kg=1KgKg )2( ssKsGg2022-6-26 根據(jù)根據(jù)2階系統(tǒng)根軌跡的特點，可以推得階系統(tǒng)根軌跡的特點，可以推得n階系統(tǒng)，會有如下的階系統(tǒng)，會有如下的結論：結論：（1）n階系統(tǒng)有階系統(tǒng)有n個根，根軌跡有個根，根軌跡有n條分支條分支 ；（2）每條分支的起點）每條分支的起點 (Kg= 0)位于開環(huán)極點處；位于開環(huán)極點處；（3）各分支的終點）各分支的終點(Kg )或為開環(huán)零點處或為無限點；或為開環(huán)零點處或為無限

5、點；（4）重根點，稱為分離點或匯合點。）重根點，稱為分離點或匯合點。 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg1. 1. 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 當當Kg從從0 時，圖中時，圖中的根軌跡不會越過虛軸進入的根軌跡不會越過虛軸進入s右半平面，因此二階系統(tǒng)右半平面，因此二階系統(tǒng)對所有的對所有的Kg值都是穩(wěn)定的。值都是穩(wěn)定的。2022-6-26 如果高階系統(tǒng)的根軌跡如果高階系統(tǒng)的根軌跡有可能進入有可能進入s 右半平面，此右半平面，此時根跡與虛軸交點處的時根跡與虛軸交點處的Kg 值，值，成為成為。 開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，系統(tǒng)屬于一個極點，系統(tǒng)屬于系統(tǒng)，系統(tǒng)，因而根規(guī)跡上的因而

6、根規(guī)跡上的Kg 值就是靜值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)態(tài)速度誤差系數(shù)Kv。如果。如果給給定系統(tǒng)對定系統(tǒng)對ess 有要求，則對有要求，則對Kg有要求，由根跡圖可以確定有要求，由根跡圖可以確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。閉環(huán)極點位置的容許范圍。 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg2022-6-26 2 j 0 1Kg= 0Kg= 0Kg=1KgKg 由圖可見，由圖可見，閉環(huán)極點均位于負實軸上，閉環(huán)極點均位于負實軸上，系統(tǒng)為系統(tǒng)為系統(tǒng)，單位階躍響應為非周期過程。系統(tǒng)，單位階躍響應為非周期過程。 當當 時，閉環(huán)兩時，閉環(huán)兩個實極點重合，系統(tǒng)為個實極點重合，系統(tǒng)為系統(tǒng)，單位階躍響系統(tǒng)，單位階躍響應為

7、非周期過程。應為非周期過程。 當當時，閉環(huán)極時，閉環(huán)極點為一對共軛復數(shù)極點，點為一對共軛復數(shù)極點，系統(tǒng)為系統(tǒng)為系統(tǒng)，單位系統(tǒng)，單位階躍響應為阻尼振蕩過程。階躍響應為阻尼振蕩過程。2022-6-26 研究下圖所示反饋控制系統(tǒng)的一般結構。研究下圖所示反饋控制系統(tǒng)的一般結構。)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)+H(s)該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為: D(s) = 1 G(s)H(s) = 0 或或 G(s)H(s) = 1若將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)若將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)寫成如下形式：寫成如下形

8、式： njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(2022-6-26 式中式中。上述方程又可寫為：。上述方程又可寫為：gnjjmiiKpszs1)()(11 由于滿足上式的任何由于滿足上式的任何s都是系統(tǒng)的閉環(huán)極點，所以當系統(tǒng)的結構都是系統(tǒng)的閉環(huán)極點，所以當系統(tǒng)的結構參數(shù)，如參數(shù)，如Kg在某一范圍內連續(xù)變化時，由上式制約的在某一范圍內連續(xù)變化時，由上式制約的s在在s平面上描平面上描畫的軌跡就是系統(tǒng)的根軌跡。因此上式稱之為系統(tǒng)的畫的軌跡就是系統(tǒng)的根軌跡。因此上式稱之為系統(tǒng)的。根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅值方程：gnjjmiiKpszs111 2022-6-26根軌跡的

9、幅角方程：根軌跡的幅角方程：)64()12()()(11 kpszsnjjmii式中，式中，k=0，1，2，（全部整數(shù)）。（全部整數(shù)）。（4-6）通常稱為）通常稱為（4-7） 根據(jù)這兩個條件，可完全確定根據(jù)這兩個條件，可完全確定s平面上根軌跡平面上根軌跡及及根軌跡上任一根軌跡上任一點對應的點對應的Kg值。值。是確定是確定s平面上根軌跡的平面上根軌跡的，因此，因此，繪制根軌跡時，只需要使用幅角條件；而當需要確定根軌跡上各點繪制根軌跡時，只需要使用幅角條件；而當需要確定根軌跡上各點的的Kg值時，才使用幅值條件。值時，才使用幅值條件。)74(2)()(11 kpszsnjjmiignjjmiiKps

10、zs1)()(11 2022-6-26已知負反饋系統(tǒng)開環(huán)零極點已知負反饋系統(tǒng)開環(huán)零極點分布如圖示。分布如圖示。p2p3 j 0p1z1s1 1 1 2 3 在在s平面找一點平面找一點s1 ，畫出各開環(huán)零、極點到畫出各開環(huán)零、極點到s1點的向量。點的向量。 檢驗檢驗s1是否滿足幅角條件：是否滿足幅角條件： (s1 z1) (s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3) = 1 1 2 3 = (2k+1) ？ 如果如果s1點滿足幅角條件，則是根軌跡上的一點。點滿足幅角條件，則是根軌跡上的一點。尋找尋找2022-6-26在在s 平面內滿足幅角條件的所有平面內滿足幅角條件的所有s1 點，將這

11、些點連成光滑點，將這些點連成光滑曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。 在在19481948年，年，（W.R.Evdns）提出了用圖解法繪提出了用圖解法繪制根跡的一些制根跡的一些，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，在根軌跡草圖的基礎上，必要時可用幅角條件跡草圖，在根軌跡草圖的基礎上，必要時可用幅角條件使其精確化，從而使整個根規(guī)跡的繪制過程大為簡化。使其精確化，從而使整個根規(guī)跡的繪制過程大為簡化。2022-6-264-2 繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則4.2.1 4.2.1 繪制繪制180180根軌跡的基本法則根軌跡的基本法則 由于根軌跡增益是連續(xù)的，根也是連

12、續(xù)的，根軌跡當然也是連由于根軌跡增益是連續(xù)的，根也是連續(xù)的，根軌跡當然也是連續(xù)的。利用這一性質，只要精確畫出幾個特征點，描點連線即可續(xù)的。利用這一性質，只要精確畫出幾個特征點，描點連線即可畫出整個根軌跡。畫出整個根軌跡。gnjjmiiKpszs111 )64()12()()(11 kpszsnjjmii在下面的討論中，假定系統(tǒng)變化的參數(shù)是開環(huán)根軌跡增益在下面的討論中，假定系統(tǒng)變化的參數(shù)是開環(huán)根軌跡增益KgKg，這種根軌跡習慣上稱之為這種根軌跡習慣上稱之為。繪制常規(guī)根軌跡的基本方法。繪制常規(guī)根軌跡的基本方法如下：如下：2022-6-26 由于閉環(huán)特征根是實數(shù)或者共軛復數(shù)，因此根軌跡是由于閉環(huán)特征

13、根是實數(shù)或者共軛復數(shù)，因此根軌跡是關于實軸對稱的。利用這一性質，只要繪制出實軸上部關于實軸對稱的。利用這一性質，只要繪制出實軸上部的根軌跡，實軸下部的根軌跡可由對稱性繪出。的根軌跡，實軸下部的根軌跡可由對稱性繪出。 n階系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程有階系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程有n個根。當個根。當Kg 從從0連續(xù)連續(xù)變化時，變化時，n個根將繪出個根將繪出有有n條軌跡分支。因此根軌跡的條條軌跡分支。因此根軌跡的條數(shù)或分支數(shù)等于其閉環(huán)特征根的個數(shù)，即系統(tǒng)的階數(shù)。數(shù)或分支數(shù)等于其閉環(huán)特征根的個數(shù)，即系統(tǒng)的階數(shù)。2022-6-26 j 0K= 0K= 0KK 0j 0j Kg Kg Kg 2022-6-26 0 j

14、 0 j -1-2 j12022-6-26 根軌跡上根軌跡上的點為起點，的點為起點，時的點為終點。時的點為終點。 njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(0)()(11 njmiigjzsKps1 + G(s)H(s) = 0證明：證明： 當當 Kg= 0 時，有時，有 s = pj ( j =1, 2, , n) 上式說明上式說明Kg= 0時，閉環(huán)特征方程的根就是開環(huán)極點。時，閉環(huán)特征方程的根就是開環(huán)極點。2022-6-26 當當 Kg 時，有時，有 s = zi ( i =1, 2, , m) 所以根軌跡必終止于開環(huán)零點。所以根軌跡必終止于開環(huán)零點。 在實際

15、系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中在實際系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中 m n ，有，有m 條根軌跡終條根軌跡終點為開環(huán)零點處，另有點為開環(huán)零點處，另有n m條根軌跡的終點將在無窮遠處，條根軌跡的終點將在無窮遠處，可以認為可以認為。 0)()(111 njmiijgzspsK將特征方程改寫為：將特征方程改寫為：2022-6-26 根據(jù)根據(jù)，當開環(huán)傳遞函數(shù)中，當開環(huán)傳遞函數(shù)中m 0Kg0否？否？) 分分離點上根軌跡的分離角為離點上根軌跡的分離角為90。 0j 如果方程的階次高時，可用如果方程的階次高時，可用試探法試探法確定分離點（或極大確定分離點（或極大值方法）。值方法）。d1 = 0.472)5)(1()( sssKsG

16、gkkd/180 2022-6-26 例例4-34-3 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為)3)(2()1()( ssssKsG試繪制系統(tǒng)的根軌跡。試繪制系統(tǒng)的根軌跡。 解：解： 0j 213)1(32011 mnzpmiinjja 2212 ka3121111 ddddd = 2.5 左左= 0.67 右右= 0.4d = 2.01 左左= 0.99 右右= 99.49d = 2.25 左左= 0.8 右右= 3.11d = 2.47 左左= 0.68 右右= 0.65d = 2.472022-6-26 若根軌跡與虛軸相交（臨界穩(wěn)定狀態(tài)），則交點上的坐標（若根軌跡與虛軸相交（臨界穩(wěn)定狀態(tài)）

17、，則交點上的坐標（）可按下述兩種方法求出：）可按下述兩種方法求出： 方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。 例例4-54-5 求例求例4-1系統(tǒng)的根軌跡與系統(tǒng)的根軌跡與s平面虛軸的交點的交點坐標。平面虛軸的交點的交點坐標。 解：解：0)5)(1(1)()(1)( sssKsHsGsDg方法一：方法一： s3 + 6s 2 + 5s + Kg = 0令令s=j，則，則 (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + Kg = 02022-6-26 3 + 5 = 0 62 + Kg= 05, 0 Kg= 0()， Kg= 30方法二：方法二： s3 + 6s 2 + 5s + K

18、g= 0勞斯表為勞斯表為s3 1 5s2 6 Kgs1 (30 Kg)/6s0 Kg 當當Kg=30時，時，s1行全零，勞斯表第一列不變號，系統(tǒng)行全零，勞斯表第一列不變號，系統(tǒng)存在共軛虛根。共軛虛根可由存在共軛虛根。共軛虛根可由s2行的輔助方程求出：行的輔助方程求出： 6s 2+ Kg= 05js (j)3 + 6(j)2 + 5 (j) + Kg = 02022-6-26 0 j d = 0.472 Kg= 305jKg Kg Kg j2.24 Kg= 30)5)(1()( sssKsGgk2022-6-26 根軌跡離開根軌跡離開處的切線與正實軸方向的夾角，稱為出處的切線與正實軸方向的夾角，

19、稱為出射角射角(起始角起始角)，用，用 nxjjjxmiixpppzpx, 11)()(180 mxiiixnjjxzzzpzx, 11)()(180 xp xz 根軌跡進入根軌跡進入處的切線與正實軸方向的夾角，稱為入處的切線與正實軸方向的夾角，稱為入射角射角(終止角終止角)，用，用 表示；表示；求出這些角度可按如下關系求出這些角度可按如下關系表示。表示。 證明：設開環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復數(shù)極點證明：設開環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復數(shù)極點px,x+1 。在十分靠近待。在十分靠近待求起始角的復數(shù)極點求起始角的復數(shù)極點px 的根軌跡上取一點的根軌跡上取一點s1 。pxpx 1zxzx 12022-6-26pxP

20、x+1 j 0s1xp 由于由于s1無限接近無限接近 px，因此，因此，除除px 外，所有其它開環(huán)零、極點外，所有其它開環(huán)零、極點到到s1點的向量幅角，都可以用它們點的向量幅角，都可以用它們到到px 的向量幅角來代替，而的向量幅角來代替，而px到到s1點的向量幅角即為起始角。根據(jù)點的向量幅角即為起始角。根據(jù)s1點必滿足幅角條件，應有點必滿足幅角條件，應有移項后，立即得到法則中的公式。移項后，立即得到法則中的公式。 證畢證畢180)()(, 11 xpnxjjjxmiixppzp 180)()()(1, 1111 xnxjjjmiipspszs2022-6-26 0 j -1-2 j1試繪制出系

21、統(tǒng)的根軌跡。試繪制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：解：)5 . 15 . 0)(5 . 15 . 0)(5 . 2()2)(2)(5 . 1()()(jsjsssjsjssKsHsG 起始角與終止角起始角與終止角 1 2 3 1 3 2 nxjjjxmiixpppzpx, 11)()(180 = 180 + 1 + 2 + 3 1 2 3=180 + 56.5 + 19 + 59 108.5 37 90 = 79 2022-6-26 0 j -1-2 j1 mxiiixnjjxzzzpzx, 11)()(180=180 117 90 + 153 + 63.5 + 119 + 121 =149.5 202

22、2-6-26試繪制出系統(tǒng)的根軌跡。試繪制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：三個開環(huán)極點解：三個開環(huán)極點 p1= 0、p2,3 = 1 j 漸近線：漸近線： 3條條32332111 pppmnzpnjmiija 35 312 ， mnka 0 j )22()()(2 sssKsHsGg2p2022-6-262js 根軌跡與虛軸交點根軌跡與虛軸交點：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s3 + 2s2 + 2s + Kg= 0 勞斯表勞斯表s3 1 2s2 2 Kgs1 (4 Kg)/2s0 Kg 令令s1系數(shù)為系數(shù)為0，得，得 Kg = 4代入輔助方程代入輔助方程 2s2 + Kg= 0 實軸上根軌

23、跡實軸上根軌跡：(，0 0)，即整個負實軸。，即整個負實軸。45)()(18032122 ppppp 出射角出射角：)22()(2 sssKsGgk2022-6-26繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。 0 j 1 2Kg Kg Kg j1.414 Kg = 4)22()(2 sssKsGgk2022-6-26 繪制根軌跡，或利用根軌跡進行系統(tǒng)性能分析時，可利用該法則。繪制根軌跡，或利用根軌跡進行系統(tǒng)性能分析時，可利用該法則。 若開環(huán)傳函分母階次若開環(huán)傳函分母階次n比分子階次比分子階次m高高2次或次或2次以上，即次以上，即n m 2，則則。證明：證明： )()()()()()(

24、ijggpszsKsNsMKsHsGnnnnmmmmgasasasbsbsbsK 111111)(nnniiniiapap)1(111 式中式中()mmmjjmjjbzbz)1(111 2022-6-26根據(jù)高階方程系數(shù)與根的關系式，根據(jù)高階方程系數(shù)與根的關系式，若若n m 2 ，則，則0)()()()(1)(111111 mmmmgnnnnbsbsbsKasasassHsGsD 利用上述基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，對需利用上述基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，對需要準確繪制的根軌跡，可根據(jù)幅角方程條件使其精確化，一般而言，要準確繪制的根軌跡，可根據(jù)幅角方程條件使其精

25、確化，一般而言，應盡可，應盡可能的準確繪制。能的準確繪制。 niiniipas111證畢證畢 -a1稱為系統(tǒng)閉環(huán)極點或開環(huán)極點的稱為系統(tǒng)閉環(huán)極點或開環(huán)極點的。表明當。表明當Kg變化時，一變化時，一些根增大時，另一些必然減??；即一些根軌跡右行，一些必然左些根增大時，另一些必然減??；即一些根軌跡右行，一些必然左行，重心保持不變。行，重心保持不變。 2022-6-26試繪制出系統(tǒng)的根軌跡。試繪制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：解：例例4-74-7 設負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為15 . 0)15 . 0()()(2 sssKsHsGg22)2()()(2 sssKsHsGg2022-

26、6-26 0 j -1-2 j1jdjdd 111121 d = 0.59(舍去舍去) d = 3.41 結論：由兩個極點和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，結論：由兩個極點和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，當，當K從從0 時，時，閉環(huán)根軌跡的復數(shù)部分，是以有限零點為圓心，以有限零閉環(huán)根軌跡的復數(shù)部分，是以有限零點為圓心，以有限零點到分離點為半徑的一個圓，或圓的一部分。點到分離點為半徑的一個圓，或圓的一部分。d22)2()()(2 sssKsHsGg2022-6-26 0 j -1 -4 -2 j1試繪制出系統(tǒng)的根軌跡。試繪制出系統(tǒng)的根軌跡。 解：解： 例例4-84-8 設負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設負

27、反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)204)(4()()(2 ssssKsHsGg漸近線：漸近線： a = 2 a = 45 , 135 分離點：分離點： d = 2 d = 2 j2.45與虛軸交點：與虛軸交點：Kg=260 s = j3.162022-6-26 njjmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(此時研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為此時研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為 D(s) = 1 G(s)H(s) = 0或或gnjjmiiKpszs1)()(11 此時的根軌跡稱為此時的根軌跡稱為2022-6-26根軌跡的幅角方程：根軌跡的幅角方程： kpszsnjjmi

28、i2)()(11 gnjjmiiKpszs111 根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅值方程：繪制繪制0 0 根軌跡的基本法則如下：根軌跡的基本法則如下： 2022-6-26 當開環(huán)傳函中當開環(huán)傳函中m a； （3 3）b=a （4 4）ba時，起始于時，起始于坐標原點的兩條根軌跡的坐標原點的兩條根軌跡的漸近線位于右半漸近線位于右半s平面，平面，系統(tǒng)結構不穩(wěn)定。系統(tǒng)結構不穩(wěn)定。)()()(2assbsKsHsGg 0 j a(b a)/2 0 j b2022-6-26 （3）b=a時，起始于坐標原點的兩條根軌跡為與虛時，起始于坐標原點的兩條根軌跡為與虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。P=-a和

29、和z=-b構成開環(huán)偶極子。構成開環(huán)偶極子。221)()()(sKassbsKsHsGgg j 0 j b=-a2022-6-26 （4）ba時，起始于坐標原點的兩條根軌跡的漸近時，起始于坐標原點的兩條根軌跡的漸近線位于左半線位于左半s平面，系統(tǒng)結構穩(wěn)定。平面，系統(tǒng)結構穩(wěn)定。 0 j a(b a)/2 0 j b)()()(2assbsKsHsGg 2022-6-26 （5）b=0，a為有限量時，系統(tǒng)為沒有開環(huán)零點的為有限量時，系統(tǒng)為沒有開環(huán)零點的二階系統(tǒng)，結構穩(wěn)定。二階系統(tǒng)，結構穩(wěn)定。)(1)()()(2assKassbsKsHsGgg j 0 j -a-a/22022-6-26 從上例可以看

30、出，增加一個開環(huán)零點對系統(tǒng)的根軌從上例可以看出，增加一個開環(huán)零點對系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：跡有如下影響： （1）改變了實軸上根軌跡的分布。）改變了實軸上根軌跡的分布。 （2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實軸交點的坐）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實軸交點的坐標及夾角的大小。標及夾角的大小。 （3）使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定）使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。度，有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。 （4）開環(huán)零點和極點重合或相近時，二者構成開環(huán)）開環(huán)零點和極點重合或相近時，二者構成開環(huán)偶極子偶極子,抵消有損系統(tǒng)性能的極點對系統(tǒng)的不利影響。抵消有損系統(tǒng)性能的

31、極點對系統(tǒng)的不利影響。 分析例分析例4-10的根軌跡圖可以看出，增加一個開環(huán)極的根軌跡圖可以看出，增加一個開環(huán)極點對系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：點對系統(tǒng)的根軌跡有如下影響： （1）改變了實軸上根軌跡的分布。）改變了實軸上根軌跡的分布。2022-6-26 （2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實軸交點的坐標及）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實軸交點的坐標及夾角的大小。夾角的大小。 （3）使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移。降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，）使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移。降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有損于系統(tǒng)的動態(tài)特性，使得系統(tǒng)相應的快速性變差有損于系統(tǒng)的動態(tài)特性，使得系統(tǒng)相應的快速性變差。 開環(huán)偶極子開環(huán)偶極子(零極點重合或相

32、近零極點重合或相近)，提供相同的幅角，提供相同的幅角和幅值，根據(jù)根軌跡方程，對根軌跡的影響為：和幅值，根據(jù)根軌跡方程，對根軌跡的影響為： （1）開環(huán)偶極子不影響根軌跡的形狀；）開環(huán)偶極子不影響根軌跡的形狀； （2）開環(huán)偶極子不影響根軌跡上各點的根軌跡增益）開環(huán)偶極子不影響根軌跡上各點的根軌跡增益值，但可能影響根軌跡上各點開環(huán)比例系數(shù)的值；值，但可能影響根軌跡上各點開環(huán)比例系數(shù)的值； （3）合理配置偶極子中的開環(huán)零極點，可以在不）合理配置偶極子中的開環(huán)零極點，可以在不影響動態(tài)性能的基礎上，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。影響動態(tài)性能的基礎上，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。2022-6-26增加一對離原點很近的零極點構

33、成開環(huán)偶極子，則增加一對離原點很近的零極點構成開環(huán)偶極子，則ccccnvijmjjgcpzKpzpzKK 11)()(若取若取zc=-0.1, pc=-0.01, 則則Kc=10K。不影響動態(tài)性不影響動態(tài)性能但提高了穩(wěn)態(tài)性能能但提高了穩(wěn)態(tài)性能2022-6-26 1.基本要求基本要求 通過本章學習，應當做到：通過本章學習，應當做到： （1）掌握開環(huán)根軌跡增益）掌握開環(huán)根軌跡增益Kg變化時系統(tǒng)閉環(huán)變化時系統(tǒng)閉環(huán) 根軌跡根軌跡的繪制方法。理解和熟記根軌跡的繪制法則。會利用幅的繪制方法。理解和熟記根軌跡的繪制法則。會利用幅值方程求特定的值方程求特定的Kg值。值。 （2）了解閉環(huán)零、極點的分布和系統(tǒng)階躍

34、響應的定）了解閉環(huán)零、極點的分布和系統(tǒng)階躍響應的定性關系及系統(tǒng)根軌跡分析的基本思路。性關系及系統(tǒng)根軌跡分析的基本思路。 （3）掌握）掌握0根軌跡、參變量根軌跡及非最小相位根軌跡、參變量根軌跡及非最小相位根軌跡繪制的基本思路和方法。根軌跡繪制的基本思路和方法。 2.內容提要內容提要 本章主要介紹了根軌跡的基本概念、控制系統(tǒng)根軌本章主要介紹了根軌跡的基本概念、控制系統(tǒng)根軌跡的繪制方法以及根軌跡法在控制系統(tǒng)分析中的應用。跡的繪制方法以及根軌跡法在控制系統(tǒng)分析中的應用。2022-6-261)()(11 njjmiigpszsK系統(tǒng)根軌跡的幅值方程為系統(tǒng)根軌跡的幅值方程為gnjjmiiKpszs111

35、系統(tǒng)根軌跡的幅角方程為系統(tǒng)根軌跡的幅角方程為 minjjikpszs11)12()()( 1）根軌跡的基本概念）根軌跡的基本概念 根軌跡是當系統(tǒng)中某參數(shù)由根軌跡是當系統(tǒng)中某參數(shù)由0變化時，系統(tǒng)的閉變化時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點在環(huán)極點在s平面上移動的軌跡。平面上移動的軌跡。 2 2）根軌跡方程）根軌跡方程 負反饋系統(tǒng)根軌跡方程的一般形式為負反饋系統(tǒng)根軌跡方程的一般形式為2022-6-26 3）繪制系統(tǒng)軌跡的基本法則）繪制系統(tǒng)軌跡的基本法則 根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡方程式，按照繪制系統(tǒng)根軌跡的基根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡方程式，按照繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則，即可由系統(tǒng)開環(huán)零極點的分布直接繪制出閉環(huán)系本法則，即可由系統(tǒng)開環(huán)零極點的分布直接繪制出閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。統(tǒng)的概略根軌跡。 4）控制系統(tǒng)的根軌跡分析）控制系統(tǒng)的根軌跡分析 控制系統(tǒng)的根軌跡分析即應用閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，控制系統(tǒng)的根軌跡分析即應用閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、計算系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，或分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、計算系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，或在根軌跡圖上可以進行反饋系統(tǒng)的綜合或校正。在根軌跡圖上可以進行反饋系統(tǒng)的綜