第12章 非線性動(dòng)態(tài)電路的暫態(tài)過(guò)程

1、 由前兩章得知，描述線性動(dòng)態(tài)電路的方程是線性微分方程。工程上還廣泛存在用非線性微分方程來(lái)描述的電路，稱為非線性動(dòng)態(tài)電路。本章簡(jiǎn)要介紹一些常用的非線性動(dòng)態(tài)電路計(jì)算方法，包括數(shù)值分析法、分段線性分析法、小信號(hào)分析法和狀態(tài)平面分析法。結(jié)合具體電路討論平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的判斷方法、介紹跳變與振蕩現(xiàn)象。 提要 12.1 非線性電容與非線性電感非線性電容與非線性電感 12.2 非線性動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)方程非線性動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)方程12.3 數(shù)值分析法數(shù)值分析法 12.4 分段線性分析法分段線性分析法 12.5 小信號(hào)分析法小信號(hào)分析法 12.6 狀態(tài)平面分析法狀態(tài)平面分析法 12.7平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性

2、 12.1非線性電容與非線性電感 壓控型壓控型:電荷是電荷是電壓的單值函電壓的單值函數(shù)數(shù),而電壓是電而電壓是電荷的多值函數(shù)荷的多值函數(shù)須以電壓須以電壓為控制量為控制量非線性電容非線性電容：電容器所儲(chǔ)存的電荷與極板間電壓不成正電容器所儲(chǔ)存的電荷與極板間電壓不成正比關(guān)系。比關(guān)系。(a)電壓電荷電壓電荷關(guān)系曲線關(guān)系曲線基本要求基本要求：了解非線性電容與非線性電感的特性。：了解非線性電容與非線性電感的特性。)(uqq 荷控型荷控型:電壓是電壓是電荷的單值函數(shù)電荷的單值函數(shù),而電荷是電壓的而電荷是電壓的多值函數(shù)多值函數(shù))(quu 須以電荷須以電荷為控制量為控制量單調(diào)型單調(diào)型:電荷與電電荷與電壓之間是嚴(yán)格

3、單調(diào)壓之間是嚴(yán)格單調(diào)關(guān)系關(guān)系,電壓與電荷電壓與電荷均可作為控制量均可作為控制量可記作可記作)(quuCC)(Cuqq (b)(c)注：本章不討論含回線型非線性電容的電路。注：本章不討論含回線型非線性電容的電路。0),(Cuqf電荷與電壓電荷與電壓關(guān)系不能用關(guān)系不能用顯函數(shù)表示顯函數(shù)表示回線型非線性回線型非線性電容電容(例如用鈦酸鋇例如用鈦酸鋇作介質(zhì)的電容作介質(zhì)的電容)電荷與電壓關(guān)系電荷與電壓關(guān)系uCqO分類(lèi)分類(lèi))(Li 流控型流控型表示表示為為)(iiLL鏈控型鏈控型表示為表示為波形波形單調(diào)型單調(diào)型)(Li )(iiLL表示為表示為波形波形回線型回線型無(wú)顯函數(shù)表達(dá)無(wú)顯函數(shù)表達(dá)0),(Lif表示

4、表示為為波形波形非線性電感非線性電感：穿過(guò)線圈的磁鏈與流過(guò)的電流不是正比關(guān)系穿過(guò)線圈的磁鏈與流過(guò)的電流不是正比關(guān)系 。非線性動(dòng)態(tài)電路非線性動(dòng)態(tài)電路：含有非線性元件：含有非線性元件(獨(dú)獨(dú)立電源除外立電源除外)的動(dòng)態(tài)電路。列寫(xiě)非線性的動(dòng)態(tài)電路。列寫(xiě)非線性動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)方程，過(guò)程如下動(dòng)態(tài)電路的狀態(tài)方程，過(guò)程如下由由KVL得得SuuuLR代入得代入得S)(dduRitL)(iiLL)(RiRiuLRRtuLdd推廣到一般推廣到一般),(ddtxftx一階非線性動(dòng)一階非線性動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)方態(tài)電路狀態(tài)方程的一般形式程的一般形式狀態(tài)變狀態(tài)變量量基本要求基本要求：了解非線性動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)方程的列寫(xiě)、一般形式和：了

5、解非線性動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)方程的列寫(xiě)、一般形式和分類(lèi)。分類(lèi)。電路如圖所示，設(shè)電容的初始電壓為電路如圖所示，設(shè)電容的初始電壓為 ，二極管的電壓，二極管的電壓電流關(guān)系近似表示為電流關(guān)系近似表示為 ，求，求 時(shí)的電壓時(shí)的電壓 uC 。0)0(UuC2buaui0t解22ddCCCbuaubuautuCi0t 時(shí)的電流為時(shí)的電流為 伯努利伯努利方程方程兩邊除以兩邊除以C2ddCCCuCbuCatu兩邊除以兩邊除以CbuCatuuCCC)1(dd)1(2或或CbuCautCC)1()1(dd2Cu由已知條件得由已知條件得 01)0(1)0(1UKabuuCCCbuCautCC)1()1(dd其通解為其通解為

6、tCaCKabue10001aUbUaabUK解得解得將將K值代入值代入tCaCaUbUaabue )(100兩邊取倒數(shù)兩邊取倒數(shù) )0(e )(100taUbUaabutCaC電路如圖所示，非線性電感是鏈控型，即電路如圖所示，非線性電感是鏈控型，即 ，非線性，非線性電阻是壓控的，即電阻是壓控的，即 。列出狀態(tài)方程。列出狀態(tài)方程。 )(222fi )(444ufi 解對(duì)節(jié)點(diǎn)對(duì)節(jié)點(diǎn)列列KCL方程方程 選電容電壓選電容電壓 u1 和電感磁鏈和電感磁鏈 2 為狀態(tài)變量。為狀態(tài)變量。 對(duì)回路對(duì)回路l 列列KVL方程方程 S42111iiiuCi3122uuu)()(14444ufufi)(223233

7、fRiRu)(222fi )(/ )()(22312S14221fRuCiuffu非線性狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式非線性狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 自治方程：方程中不明顯地含有時(shí)間自治方程：方程中不明顯地含有時(shí)間t的微分方程組。的微分方程組。自治網(wǎng)絡(luò)：可用自治方程描述的電網(wǎng)絡(luò)。自治網(wǎng)絡(luò)：可用自治方程描述的電網(wǎng)絡(luò)。平衡點(diǎn)：自治方程的穩(wěn)態(tài)解，即平衡點(diǎn)：自治方程的穩(wěn)態(tài)解，即 的解。對(duì)應(yīng)的電路狀的解。對(duì)應(yīng)的電路狀態(tài)稱為平衡狀態(tài)。在平衡點(diǎn)處狀態(tài)變量態(tài)稱為平衡狀態(tài)。在平衡點(diǎn)處狀態(tài)變量0)(tX0 )(tXG( )( )( )ttt,XF XV推廣到一般推廣到一般狀態(tài)狀態(tài)向量向量輸入輸入向量向量V(t)是常量是常量( )(

8、 )ttXG X直流激勵(lì)或零輸入直流激勵(lì)或零輸入),(ttXGX 外加激勵(lì)是時(shí)間函數(shù)外加激勵(lì)是時(shí)間函數(shù)非自治方程非自治方程非自治網(wǎng)絡(luò)非自治網(wǎng)絡(luò))(/ )()(22312S14221fRuCiuffu12.3數(shù)值分析法數(shù)值分析法：數(shù)值分析法：根據(jù)響應(yīng)的初始值和根據(jù)響應(yīng)的初始值和 t0 時(shí)的激勵(lì)，逐步遞推響應(yīng)時(shí)的激勵(lì)，逐步遞推響應(yīng)在離散時(shí)刻的近似值。以一階電路為例介紹如下。在離散時(shí)刻的近似值。以一階電路為例介紹如下。一階電路一階電路狀態(tài)方程狀態(tài)方程),(ddtxftx兩邊乘以兩邊乘以dt再取定積分再取定積分11d),(d)()(kkkktttxtxttxfxkkttkkStxttxftxtxkk)

9、(d),()()(11)(kktxx )(11kktxxkkttkkSxttxfxxkk1d),(1基本迭基本迭代公式代公式基本要求：基本要求：了解教材中介紹的數(shù)值分析法的原理和特點(diǎn)。了解教材中介紹的數(shù)值分析法的原理和特點(diǎn)。1前向歐拉法前向歐拉法(Forward Euler method) ),(),()(1kkkkkkktxhftxfttS如圖所示，本法用高度為如圖所示，本法用高度為 矩形面積近似代替曲邊梯形面矩形面積近似代替曲邊梯形面積積 ，即令，即令 ),(kktxfkS代入代入 得得 ),(1kkkktxhfxxkkttkkSxttxfxxkk1d),(1前向歐拉法前向歐拉法迭代公式迭

10、代公式kktth1步長(zhǎng)步長(zhǎng)2后向歐拉法后向歐拉法(Backward Euler method) ),(),()(11111kkkkkkktxhftxfttS如圖所示，本法用高度為如圖所示，本法用高度為 矩形面積近似代替曲邊梯形矩形面積近似代替曲邊梯形面積面積 ，即令，即令 ),(11kktxfkS),(111kkkktxhfxx代入代入 得得 kkttkkSxttxfxxkk1d),(1后向歐拉法后向歐拉法迭代公式迭代公式3梯形法梯形法(trapezoidal method) 如圖所示，本法梯形面積近似代替曲邊梯形面積如圖所示，本法梯形面積近似代替曲邊梯形面積 ，即令，即令 kS),(),(5

11、 . 0),(),()(5 . 011111kkkkkkkkkkKtxftxfhtxftxfttS),(),(5 . 0111kkkkkktxftxfhxx代入代入 得得 kkttkkSxttxfxxkk1d),(1梯形法梯形法迭代公式迭代公式4預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)-校正法校正法(prediction correction method) 對(duì)梯形法稍加改造，以減小計(jì)算量而又保持較高的計(jì)算精度：對(duì)梯形法稍加改造，以減小計(jì)算量而又保持較高的計(jì)算精度：先用前向歐拉法求出先用前向歐拉法求出 作為預(yù)報(bào)值，然后把它代入梯形法迭代作為預(yù)報(bào)值，然后把它代入梯形法迭代公式的公式的 作校正。其迭代公式為作校正。其迭代公式為

12、1kx1kx),(,(5 . 0),(1111kkkkkkkkkktxftxfhxxtxhfxx電路如圖所示，設(shè)電路如圖所示，設(shè) ，非線性電阻特性為，非線性電阻特性為 (單位：?jiǎn)挝唬篈,V)。試用預(yù)報(bào)。試用預(yù)報(bào)-校正法求出校正法求出0到到1s(步長(zhǎng)取步長(zhǎng)取h=0.2s)各時(shí)刻的響應(yīng)值各時(shí)刻的響應(yīng)值 u 。F1,V10)0(Cu201. 01 . 0RRRuui解由圖列出由圖列出 t0 時(shí)的電路方程時(shí)的電路方程 RitutuCdd1dd代入非線性電阻特性代入非線性電阻特性 )(),()01. 01 . 0(dd2uftufuutu根據(jù)根據(jù)預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)-校正法迭代公式校正法迭代公式得得 2)(01.

13、01 . 0)(kkkuuuf)(1kkkuhfuu2111)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)()(5 . 011kkkkufufhuu% 例題例題12.3的的MATLAB語(yǔ)言程序語(yǔ)言程序uk=10;h=0.2; % 賦初值、設(shè)定步長(zhǎng)。賦初值、設(shè)定步長(zhǎng)。for t=h:h:1 % 循環(huán)體控制。起始時(shí)刻：步長(zhǎng)：終止時(shí)刻。循環(huán)體控制。起始時(shí)刻：步長(zhǎng)：終止時(shí)刻。 fk=(-0.1*uk-0.01*uk2); uk1=uk+h*fk; % 用前向歐拉法進(jìn)行預(yù)報(bào)。用前向歐拉法進(jìn)行預(yù)報(bào)。 fk1=(-0.1*uk1-0.01*uk12); uk=uk+0.5*h*(fk+fk1); %用梯形法進(jìn)

14、行校正。用梯形法進(jìn)行校正。 t, uk % 顯示迭代計(jì)算值。顯示迭代計(jì)算值。end % 循環(huán)結(jié)束。循環(huán)結(jié)束。2)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)(1kkkuhfuu2111)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)()(5 . 011kkkkufufhuu0.8-1.68218.56348.5721 8.5727 -1.58970.6-1.77948.88988.8994 8.8998 -1.67930.4-1.88519.23489.2454 9.2457 -1.77630.2-2.00009.60009.6117 9.6118 -1.88161.0-1.59228.25428.

15、2621 8.2628 -1.50670.0010.000010.0000 10.0000 02)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)(1kkkuhfuu2111)(01. 01 . 0)(kkkuuuf)()(5 . 011kkkkufufhuu時(shí)間時(shí)間(s)f (uk)u(tk+1)uk+1具體迭代過(guò)程如下具體迭代過(guò)程如下1ku)(1kuf12.4分段線性分析法基本要求：掌握分段線性分析法的基本原理和計(jì)算步驟。基本要求：掌握分段線性分析法的基本原理和計(jì)算步驟。t0時(shí)的電路方程為時(shí)的電路方程為 )(ddddufiituCtuCCR上上u，i關(guān)系近似為關(guān)系近似為記作記作 i=f(u) 上

16、述方程的解對(duì)應(yīng)著上述方程的解對(duì)應(yīng)著u-i平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)(u，i)，稱之為，稱之為。動(dòng)態(tài)點(diǎn)移動(dòng)的路徑動(dòng)態(tài)點(diǎn)移動(dòng)的路徑(包括方向包括方向)稱為稱為。以下圖為例以下圖為例分段線性分段線性RC 電路電路1. 確定動(dòng)態(tài)路徑確定動(dòng)態(tài)路徑 設(shè)設(shè)uC(0-)=U0，則動(dòng)態(tài)路徑的起始點(diǎn)就是，則動(dòng)態(tài)路徑的起始點(diǎn)就是P0點(diǎn)點(diǎn)Citudd)(ddddufiituCtuCC由由得得i0du/dt0i0動(dòng)態(tài)點(diǎn)左移動(dòng)態(tài)點(diǎn)左移動(dòng)態(tài)點(diǎn)右移動(dòng)態(tài)點(diǎn)右移P0 P1 O得動(dòng)態(tài)得動(dòng)態(tài)路徑為路徑為新的新的穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)分段線性分段線性RC 電路電路1I2I2PO1P0PAB1U0U2U1SUui2. 計(jì)算動(dòng)態(tài)點(diǎn)位于計(jì)算動(dòng)態(tài)點(diǎn)位于AB段的響

17、應(yīng)段的響應(yīng) AB段非線性電阻的電壓、電流關(guān)系段非線性電阻的電壓、電流關(guān)系為為1S11S2121UiRUiIIUUu對(duì)應(yīng)的分段線性模型如右圖，其中對(duì)應(yīng)的分段線性模型如右圖，其中 021211IIUUR根據(jù)三要素公式，圖中電容電壓為根據(jù)三要素公式，圖中電容電壓為 )0(e )(11S01S1ttUUUuCRtCR1t1的響應(yīng)為（零輸入）的響應(yīng)為（零輸入）tt1OU1U0uCUS1分段線性電路模型分段線性電路模型電壓電壓 uC 的波形的波形電路如圖電路如圖(a)所示，設(shè)所示，設(shè)IS=1.5A，C=1F，非線性電阻的電壓電流關(guān)，非線性電阻的電壓電流關(guān)系如圖系如圖 (b)所示。所示。uC(0-)=2.5

18、V，求，求t0時(shí)的電容電壓時(shí)的電容電壓uC 。 (a) (b) 解RCRCuuiItuCSddt0時(shí)由圖時(shí)由圖 (a)得得 所以所以 CiItuRR/ )(ddS根據(jù)已知初始值根據(jù)已知初始值uC(0-)=2.5V得得 V5 . 2)0()0()0(CCRuuu故動(dòng)態(tài)路徑的起始點(diǎn)為故動(dòng)態(tài)路徑的起始點(diǎn)為AB 直線段的直線段的P0點(diǎn)。點(diǎn)。 i ISduR/dt0i0動(dòng)態(tài)點(diǎn)左移動(dòng)態(tài)點(diǎn)左移動(dòng)態(tài)點(diǎn)右移動(dòng)態(tài)點(diǎn)右移i= ISduR/dt=0平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)CP3，P2AP1P1，P2，P3P2BP3，OP1(a) (b) AB直線段的直線方程為直線段的直線方程為 A5 . 2S5 . 0RRui對(duì)應(yīng)該段的線性電路

19、模型如對(duì)應(yīng)該段的線性電路模型如圖圖(C) 由此圖得由此圖得 11pS/pp0.50.512s00.5S1(2.5A)2V0.5S(0 )(0 )e2(2.52)e(20.5e)V 0CtCCCCttCuIuuuutt 設(shè)設(shè)t1為動(dòng)態(tài)點(diǎn)到達(dá)為動(dòng)態(tài)點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)刻，點(diǎn)的時(shí)刻，則則 s386. 1V3V)e5 . 02()(15 . 011ttutC分段線性電路模型分段線性電路模型t 時(shí)，時(shí)，動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)點(diǎn)趨近平衡點(diǎn)點(diǎn)趨近平衡點(diǎn)P3當(dāng)當(dāng)tt1時(shí)，動(dòng)態(tài)點(diǎn)位于時(shí)，動(dòng)態(tài)點(diǎn)位于BC段上。段上。 BC直線段的直線方程為直線段的直線方程為 5 . 05 . 0RRui由此圖得由此圖得 1)(5 . 0)(5 . 0

20、/ )(1p1pSp2Ve4e )43(4e)()(V4)5 . 0(5 . 01s25 . 01121tttutuuuIuCttttttCCCCC對(duì)應(yīng)該段的線性電路模型如圖對(duì)應(yīng)該段的線性電路模型如圖 (d)。 12.5小信號(hào)分析法基本要求：掌握小信號(hào)分析法分析法的原理和步驟?；疽螅赫莆招⌒盘?hào)分析法分析法的原理和步驟。+LLLCCCRRRRRRiIiuUuiIiuUu,小信號(hào)分析法主要包括主要步驟：小信號(hào)分析法主要包括主要步驟：確定電路平衡狀態(tài)解答確定電路平衡狀態(tài)解答計(jì)算小信號(hào)解答計(jì)算小信號(hào)解答1. 計(jì)算電路平衡狀態(tài)解答計(jì)算電路平衡狀態(tài)解答 線性部分EeRuCuLiRi線性部分E0eRUL

21、ICURI小信號(hào)小信號(hào)電源電源 e不作用不作用利用直利用直流電路流電路方法方法求解平衡狀態(tài)解求解平衡狀態(tài)解如如UR、UC和和IL小信號(hào)基爾霍夫定律小信號(hào)基爾霍夫定律2. 計(jì)算小信號(hào)解答計(jì)算小信號(hào)解答類(lèi)似得出結(jié)論：各支路電壓增量須滿足類(lèi)似得出結(jié)論：各支路電壓增量須滿足KVL，即，即上兩代數(shù)和中包括小信號(hào)電流上兩代數(shù)和中包括小信號(hào)電流(壓壓)源。源。0ku線性部分EeRuCuLiRi由由KCL得得0)(kkkkkiIiIi平衡狀態(tài)時(shí)平衡狀態(tài)時(shí) 0kI得得0ki元件方程的增量形式元件方程的增量形式動(dòng)態(tài)電容動(dòng)態(tài)電容CUuCuquqCCCddd動(dòng)態(tài)電阻或動(dòng)態(tài)電阻或動(dòng)態(tài)電導(dǎo)動(dòng)態(tài)電導(dǎo)dddRiuiuRRIi

22、RRRRdd1ddRuiuiGRRUuRRRR動(dòng)態(tài)電感動(dòng)態(tài)電感LIidiiLLLdd 綜上所述，由小信號(hào)電源作用所產(chǎn)生的綜上所述，由小信號(hào)電源作用所產(chǎn)生的小信號(hào)電壓、電流分別服從小信號(hào)電壓、電流分別服從KCL和和KVL，小信號(hào)元件方程為近似的線性方程。據(jù)此小信號(hào)元件方程為近似的線性方程。據(jù)此可作出線性的小信號(hào)等效電路，如右圖所可作出線性的小信號(hào)等效電路，如右圖所示。其中示。其中 e為小信號(hào)電源，各非線性元件為小信號(hào)電源，各非線性元件均用其動(dòng)態(tài)參數(shù)表示。解此線性電路便可均用其動(dòng)態(tài)參數(shù)表示。解此線性電路便可得到小信號(hào)的近似解。得到小信號(hào)的近似解。 3.3.把平衡狀態(tài)解答與小信號(hào)解答相加便得到電路的

23、近似全解把平衡狀態(tài)解答與小信號(hào)解答相加便得到電路的近似全解 LLLCCCRRRRRRiIiuUuiIiuUu,圖為非線性動(dòng)態(tài)電路圖為非線性動(dòng)態(tài)電路, 設(shè)非線性電阻電壓電流關(guān)系為設(shè)非線性電阻電壓電流關(guān)系為 iR= 1.389 10-3 uR2, (uR 0) (單位單位:A,V), 非線性電感非線性電感 =1.067 10-3iL2 (單位單位: Wb, A), 直流電壓源直流電壓源US=60V, 階躍電壓源階躍電壓源 uS=3 (t)V。求。求t0時(shí)時(shí)的響應(yīng)的響應(yīng)uR。 動(dòng)態(tài)電阻和動(dòng)態(tài)電感分別為動(dòng)態(tài)電阻和動(dòng)態(tài)電感分別為 H2dd6ddd1dLLRIiLUuiLuiR畫(huà)出直流電源單獨(dú)作用時(shí)計(jì)算平

24、衡狀態(tài)的等效電路如圖，畫(huà)出直流電源單獨(dú)作用時(shí)計(jì)算平衡狀態(tài)的等效電路如圖，求得求得 解A253A56010389. 1V60S23SUIIIUURLRR代入三要素公式得代入三要素公式得 0Ve2e)()0()(tuuuuttRRRR平衡狀態(tài)解答與小信號(hào)解相加得平衡狀態(tài)解答與小信號(hào)解相加得 )0(V)e260(tuUutRRR小信號(hào)線性等效電路如圖小信號(hào)線性等效電路如圖 所示。它是一階線性動(dòng)態(tài)電路，所示。它是一階線性動(dòng)態(tài)電路，并且為零狀態(tài)。由圖得并且為零狀態(tài)。由圖得 s 1330)(V2)0(3)0(ddddSddRRLRLuuRRuRR12.6狀態(tài)平面分析法基本要求：了解狀態(tài)平面的概念和狀態(tài)軌跡

25、的畫(huà)法?；疽螅毫私鉅顟B(tài)平面的概念和狀態(tài)軌跡的畫(huà)法。狀態(tài)平面：狀態(tài)平面：以以(x1，x2)為坐標(biāo)點(diǎn)的為坐標(biāo)點(diǎn)的x1x2平面。平面。狀態(tài)軌跡：狀態(tài)軌跡：將將t看作參變量，并設(shè)看作參變量，并設(shè) t=0+，t1，t2 ， 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)x1和和x2將在將在x1x2平面上描繪出一條以平面上描繪出一條以x1(0+)，x2 (0+)為起點(diǎn)的軌為起點(diǎn)的軌跡，稱為狀態(tài)軌跡。跡，稱為狀態(tài)軌跡。 如果已知狀態(tài)變量的如果已知狀態(tài)變量的初始值和，由式初始值和，由式(12.29)可可求得求得 t0 時(shí)的解，記作時(shí)的解，記作 )()(2211txxtxx(12.30),(dd),(dd21222111xxftxxxftx(1

26、2.29)設(shè)二階非線性自治設(shè)二階非線性自治電路的狀態(tài)方程為電路的狀態(tài)方程為繪制狀態(tài)軌跡的方法：繪制狀態(tài)軌跡的方法：在給定初始值在給定初始值x1(0+)及及x2 (0+) 的情況下，求出微分方程的情況下，求出微分方程(12.31)的解的解x2=F(x1) ，根據(jù)這一解答畫(huà)出狀態(tài)軌跡。，根據(jù)這一解答畫(huà)出狀態(tài)軌跡。 (1) 求出方程求出方程(12.29)的解的解x1(t)和和x2 (t) ，令，令t=0+，t1，t2 ，求出，求出相應(yīng)的相應(yīng)的x1和和x2 便可繪制狀態(tài)軌跡。便可繪制狀態(tài)軌跡。(12.31),(),(dd21121212xxfxxfxx(2) 通過(guò)求出通過(guò)求出x1與與x2的函數(shù)關(guān)系繪制

27、狀態(tài)軌跡。為此將式的函數(shù)關(guān)系繪制狀態(tài)軌跡。為此將式(12.29)中兩式相除得中兩式相除得狀態(tài)平面分析法：狀態(tài)平面分析法：在狀態(tài)平面上繪制狀態(tài)軌跡，通過(guò)分析在狀態(tài)平面上繪制狀態(tài)軌跡，通過(guò)分析狀態(tài)軌跡的幾何性質(zhì)，進(jìn)而研究動(dòng)態(tài)電路的特性的方法。狀態(tài)軌跡的幾何性質(zhì)，進(jìn)而研究動(dòng)態(tài)電路的特性的方法。畫(huà)出圖示電路的狀態(tài)軌跡。畫(huà)出圖示電路的狀態(tài)軌跡。 解電路的狀態(tài)方程為電路的狀態(tài)方程為 CLLCuLtiiCtu1dd1dd(1) 二式相除得二式相除得CLLCuiCLiudd(2) 分離變量并求定積分得分離變量并求定積分得 )()0()()0(ddtiiLLtuuCCLLCCiLiuCu)0()0(2222LL

28、CCiiLuuC(3) 令令LLiCuKCLiCuKLCLC/)0()0(/)0()0(222221(5) 1222212KiKuLC簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化成成 (5) 1222212KiKuLC上式表明狀態(tài)軌跡是垂直半軸上式表明狀態(tài)軌跡是垂直半軸為為K1、水平半軸為、水平半軸為K2的橢圓。的橢圓。 K1 、 K2與初始值有關(guān)，不同的與初始值有關(guān)，不同的初始值對(duì)應(yīng)不同的橢圓軌跡，初始值對(duì)應(yīng)不同的橢圓軌跡，LCiCtu1dd由上式得知，當(dāng)由上式得知，當(dāng)iL0 時(shí)，時(shí)，duC /dt0，uC遞減；當(dāng)遞減；當(dāng)iL0 ，uC 遞增。所以狀態(tài)軌跡方向?yàn)轫槙r(shí)針。遞增。所以狀態(tài)軌跡方向?yàn)轫槙r(shí)針。如圖所示，圖中狀態(tài)軌跡方向

29、的根據(jù)是如圖所示，圖中狀態(tài)軌跡方向的根據(jù)是12.7平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性1.利用動(dòng)態(tài)路徑判斷一階電路平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性利用動(dòng)態(tài)路徑判斷一階電路平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 1p2p (a) (b)穩(wěn)定平穩(wěn)定平衡狀態(tài)衡狀態(tài)不穩(wěn)定不穩(wěn)定平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)總結(jié)：如果平衡狀態(tài)附近的動(dòng)態(tài)路徑方向均指向平衡狀態(tài)，總結(jié)：如果平衡狀態(tài)附近的動(dòng)態(tài)路徑方向均指向平衡狀態(tài)，則該平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。則該平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。 基本要求：了解平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的概念及判別方法?；疽螅毫私馄胶鉅顟B(tài)穩(wěn)定性的概念及判別方法。平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性：平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性：若由于某種擾動(dòng)使電路工作狀態(tài)偏離了若由于某種擾動(dòng)使電路工作狀態(tài)

30、偏離了平衡狀態(tài)，擾動(dòng)結(jié)束后，如果電路能夠恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀平衡狀態(tài)，擾動(dòng)結(jié)束后，如果電路能夠恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱該平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；否則為不穩(wěn)定的。態(tài)，則稱該平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；否則為不穩(wěn)定的。 圖圖(a)為一弧光燈電路，為一弧光燈電路，US為直流電壓源，弧光燈為一為直流電壓源，弧光燈為一非線性電阻，其特性為流控型，記作非線性電阻，其特性為流控型，記作 u = u(i) ，如圖，如圖 (b)所所示。判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。示。判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 (a) (b) RiUu S)(iuu USABMiuO利用圖解法解上述方程，求得各平衡狀態(tài)利用圖解法解上述方程，求得各平衡狀態(tài)M、A、B點(diǎn)。點(diǎn)

31、。 先確定全部平衡狀態(tài)。先確定全部平衡狀態(tài)。由于在平衡狀態(tài)時(shí)由于在平衡狀態(tài)時(shí)di/dt=0 ，有，有解)(SiuuRiUu(12.32)RiUu S)(iuu USABMiuO由上式可判定由上式可判定 M 和和 B 對(duì)應(yīng)穩(wěn)定平衡狀態(tài)；對(duì)應(yīng)穩(wěn)定平衡狀態(tài)；而而 A 對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。(2) 確定動(dòng)態(tài)路徑。設(shè)電路處于非平衡狀態(tài)，其確定動(dòng)態(tài)路徑。設(shè)電路處于非平衡狀態(tài)，其KVL方程為方程為 uRiUtiLSdd或?qū)懽骰驅(qū)懽?LuRiUti/ )(ddS(12.33)2.2.利用小信號(hào)分析法判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性利用小信號(hào)分析法判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性其中其中 I(s)表示表示 i 的象函數(shù)，的象函數(shù)， U (s)表示表示US的象函數(shù)。由的象函數(shù)。由式式(12.34)求得小信號(hào)等效電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為求得小信號(hào)等效電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為 psLsUsIsH/1)()()(S(12.35) 設(shè)例設(shè)例12.7電路處于平衡狀態(tài)時(shí)受到微小電路處于平衡狀態(tài)時(shí)受到微小擾動(dòng)，記作擾動(dòng)，記作 uS，它疊加在，它疊加在US上。上。Rd為