學(xué)而思教師版第六講數(shù)陣圖

1、第六講數(shù)陣圖教學(xué)目標(biāo)數(shù)陣圖問題千變?nèi)f化，一般沒有特定的解法，往往需要綜合運(yùn)用掌握的各種數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題。本講除了要講授 填數(shù)真陣圖的主要技巧，還有以下注意點(diǎn)：1 .引導(dǎo)學(xué)生從整體到局部對(duì)問題進(jìn)行觀察和判斷；2 .教授巧妙利用容斥原理、余數(shù)的性質(zhì)、整體性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法；3 .鍛煉學(xué)生利用已知信息枚舉，嘗試的能力；4 .培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)，分析問題，找問題關(guān)鍵，解決問題的能力。經(jīng)典精講數(shù)陣圖問題千變?nèi)f化，這一類問題要求數(shù)陣中填入了一些數(shù)以后，能保證數(shù)陣中特定關(guān)系線（或關(guān)系區(qū)域）上的數(shù)的和相等，解決這類問題可以按以下步驟解決問題：第一步：區(qū)分?jǐn)?shù)陣圖中的普通點(diǎn)（或方格），和交叉點(diǎn)（方格）第二

2、步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)（一般是交叉點(diǎn)）上設(shè)置未知數(shù)，計(jì)算各個(gè)點(diǎn)與該點(diǎn)被重復(fù)計(jì)算次數(shù)之積得和得代數(shù)式，即數(shù)陣圖關(guān)系線（關(guān)系區(qū)域）上喝的中和，這個(gè)合適關(guān)系線（關(guān)系區(qū)域）的個(gè)數(shù)的整數(shù)倍。第三步：判斷少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)上可以填入的數(shù)的余數(shù)性質(zhì)，并得出相應(yīng)的數(shù)陣圖關(guān)系線（關(guān)系區(qū)域）和。第四步：運(yùn)用已經(jīng)得到的信息進(jìn)行嘗試：數(shù)陣圖還有一類題型比較少見，解決這一類問題需要理清數(shù)陣中數(shù)與數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，找出問題關(guān)鍵，基本類型的數(shù)陣圖【例1】將16填入左下圖的六個(gè)。中，是三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于k ,請(qǐng)指出k的取值范圍?！痉治觥吭O(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字之和為S,因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)屬于兩條邊公有，所以把三條邊的數(shù)字和加

3、起來，等于將1至6加一遍，同時(shí)將三個(gè)頂點(diǎn)數(shù)字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6） + s= 3k ,化簡(jiǎn)后為S 21 3k。由于S是三個(gè)數(shù)之和，故最小為 1+2+3=6,最大為4+5+6=15,由此求出9 k 12。S和k有四組取值：k 9 k 10 k 11 k 12s 6 s 9 s 12 s 15通過實(shí)驗(yàn)，每組取值都相應(yīng)一種填數(shù)方法（見右上圖） 。點(diǎn)亮設(shè)計(jì)：（1）求數(shù)陣問題的關(guān)鍵是找到關(guān)鍵數(shù)，也就是重復(fù)數(shù)，教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)找關(guān)鍵詞的方法是最重要的。（2）設(shè)計(jì)問題：三角形每條邊之和等于16的和嗎？為什么？不等于，因?yàn)槿龡l邊上所有數(shù)相加的過程中三個(gè)角上的數(shù)都被重復(fù)加一次，也就是說三個(gè)角上的

4、數(shù)是重復(fù)數(shù)，三個(gè)重復(fù)數(shù)的和可求為：3k （1 2 . 5 6） 3k 21。（3）強(qiáng)調(diào)分組法與試驗(yàn)法：知道了三個(gè)數(shù)的和，通過分組可以知道k的取值范圍，進(jìn)一步采用實(shí)驗(yàn)法，將它們一一進(jìn)行試驗(yàn)，選擇正確的結(jié)果。（4）小結(jié)：對(duì)于封閉型的數(shù)陣，重復(fù)數(shù)其本上都是兩條線相交的點(diǎn)，就在后面的例題中有大量體現(xiàn)。【鋪墊】將16六個(gè)自然數(shù)分別填入下圖的。內(nèi)，使三角形每邊上的三數(shù)之和都等于11.【分析】此圖是封閉 33圖，因?yàn)槊織l邊上的和都為11,那么三條邊上的數(shù)字之和為11 3 33,而1+2+5+6=21.所以三角形的三個(gè)數(shù)之和等于33-21=12,在16中選3個(gè)和為12的數(shù)，且其中任意兩個(gè)的和不等于11,這樣的

5、組合有：12=2+4+6=3+4+5,經(jīng)試驗(yàn)，填法如圖。像例題中的數(shù)陣圖，它的各邊相互連接，形成封閉圖形，我們稱它們?yōu)椤胺忾]型數(shù)陣圖”天這樣的圖形，主要是頂點(diǎn)數(shù)字，抓住條件提供的關(guān)系方式，進(jìn)行分析，用試驗(yàn)的方法確定頂點(diǎn)數(shù)以及各邊上的數(shù)字之和，最后填出數(shù)陣圖。一般地，有 m條邊，每條有n個(gè)數(shù)的圖形稱為封閉型(或輻射型或復(fù)合型)m n圖，封閉型m n圖有m個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。對(duì)于封閉型數(shù)陣圖，因?yàn)橹丿B一次，所以：已知各數(shù)之和+重疊之和=每邊各數(shù)之和 邊數(shù)【例2】把10至20這11個(gè)數(shù)分別填入下圖的各圓圈內(nèi)，是每條線上3個(gè)圓內(nèi)所填的和都相等。如果中心圓內(nèi)填的數(shù)相等，那么就視為同一種填法，請(qǐng)寫

6、出所有可能的填法。分析將五條邊上的和相加，得數(shù)一定是 5的倍數(shù)，其中中間的數(shù)被重復(fù)計(jì)算了 5次，而10+11+12+20=165.所 以中間的數(shù)必須是 5的倍數(shù)，才能使在中間的數(shù)多被計(jì)算了 4次后，綜合仍能被 5整除。所以中間的數(shù)只能是 10、15、20.o亮點(diǎn)設(shè)計(jì)：(1)建議老師首先讓學(xué)生進(jìn)行試做，并讓學(xué)生嘗試多種填法。(2)當(dāng)要求將20、22、24、38、40 H一個(gè)數(shù)字填入數(shù)陣，應(yīng)該怎么填？分析：如例題。將五條邊上的和相加，得數(shù)一定是5的倍數(shù)，其中中間的數(shù)被重復(fù)計(jì)算了5次，而20+22+24+40=330,所以中間的必須是 5的倍數(shù)，才能使在中間的數(shù)多被計(jì)算了4次后，總和仍能被 5整除。

7、所以中間的數(shù)只能是20、30、40.(3)將這個(gè)數(shù)陣進(jìn)行變形，變?yōu)槿缦滦问剑禾钊?1020十一個(gè)數(shù)，使得每條線斷和每個(gè)圓周上所有數(shù)的和相等，如果中心圓內(nèi)填的數(shù)相等，那么就視為同一種填法。問中間的數(shù)有多少種填法？分析：計(jì)算7個(gè)和的和，這個(gè)和一定是 7的倍數(shù)，其中中心圓上的數(shù)被計(jì)算了5遍，其它數(shù)只是被計(jì)算了 2遍，設(shè)中心圓上的數(shù)為X,因此這個(gè)數(shù)等于(10 11 +19+20) 2+ x 3 165 x 3, x 3 取 3l+7k, 3l + 3k 可以被 3 整除，經(jīng)試驗(yàn)，x 只能是 15。鋪墊將17這七個(gè)數(shù)字，分別填入圖中各個(gè)。內(nèi)，使每條線段上的三個(gè)。 內(nèi)數(shù)的和相等?！痉治觥吭O(shè)中心。內(nèi)填a,由

8、于三條線上的數(shù)字和相加應(yīng)是3的倍數(shù)，其中a一共加了 3次，所以 1+2+3+4+5+6+7+2 a =28+2 a一定是3的倍數(shù)。而28 3 9 1 ,那么2 a 3的余數(shù)應(yīng)該是 2,因此，a 1, 4 或7.9,只要把 2, 3, 4, 5, 6, 7,六(1) 當(dāng)a 1,28+2=30, 30 3 10, 10-1=9,除中心外，其它兩數(shù)的和應(yīng)是個(gè)數(shù)按“和”是9分成三組填入相應(yīng)的，。內(nèi)就可以了。填法如圖(1)(2) 當(dāng) a 4時(shí)，28+8=36, 36 3 12。填法如圖(2)(3) 當(dāng) a 7時(shí)，28+14=42, 42 3 14。填法如圖(3)像例題中的數(shù)陣圖，它的特點(diǎn)是從一個(gè)中心出發(fā)

9、，想外作了一些射線，我們把這種數(shù)陣圖叫做輻射型數(shù)陣圖。填輻射型數(shù)陣圖的關(guān)鍵是確定中心數(shù)以及每條線段上的幾個(gè)數(shù)的和，然后通過對(duì)各數(shù)的分析，進(jìn)行試驗(yàn)填數(shù)求解。輻射型數(shù)陣圖只有一個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)是“直線條數(shù)” -1,即m 1,對(duì)于輻射型數(shù)陣圖，有已知各數(shù)之和+重疊數(shù)重疊次數(shù)直線上各數(shù)之和直線條數(shù)。【例3】下圖中有三個(gè)正三角形，將19填入它們頂點(diǎn)處的九個(gè)。種，要求每個(gè)正三角形頂點(diǎn)的三數(shù)之和都相等，并且通過四個(gè)。的每條直線上的四數(shù)之和也相等。(45+15) 3 20。將19九個(gè)數(shù)分為三個(gè)一組，且每組三個(gè)數(shù)的和為15只有如下兩種分法：(1) 1,5,9;2,6,7;3,4, 8;(2) 1,6,8;2,

10、4,9;3,5, 7;對(duì)于(1),中心小正三角形三個(gè)頂點(diǎn)數(shù)為1, 5, 9時(shí)，可得中間圖的解；對(duì)于(2),中心小三角形三個(gè)頂點(diǎn)數(shù)為3, 5, 7時(shí)，可得右上圖的解?！眷柟獭繉?9填入下圖的九個(gè)。內(nèi)，使得每個(gè)圓周和每條直線上的三數(shù)之和都相等，并且7, 8, 9依次位于小、中、大圓周上?！痉治觥棵總€(gè)圓周和每條直線上三數(shù)之和應(yīng)為15,其中有9的只有9+1+5和9+2+4.分別對(duì)應(yīng)右上圖的兩個(gè)解。像例題中的數(shù)陣圖既有輻射型數(shù)陣圖的特點(diǎn)，又有封閉型數(shù)陣圖的要求，所以叫做“復(fù)合型數(shù)陣圖”，我們?cè)谒伎紨?shù)陣圖問題時(shí)，首先要確定所求的和與關(guān)鍵數(shù)間的關(guān)系，再用試驗(yàn)的方法，找到相等的和與關(guān)鍵字。其他類型的書陣圖【例

11、4】如下圖，五圓相連，每個(gè)位置的數(shù)字都是按一定規(guī)律填寫地，請(qǐng)找出規(guī)律，并求出X所代表的數(shù)?！痉治觥拷?jīng)觀察，圖中所填數(shù)的規(guī)律為兩個(gè)圓相交部分的數(shù)等于與它相鄰兩部分里的和得一半。比如：（26+18）2 22. （30 26） 2 28. （24 30） 2 27 .所以 x 18 17 2, x 16。經(jīng)檢驗(yàn)，16和 24 相力口除以 2,也恰好等于20.【拓展】找規(guī)律求X2 倍。比如：（26-18）【分析】經(jīng)觀擦，圖中所填數(shù)的規(guī)律為兩個(gè)圓相交部分的數(shù)等于與它相鄰兩部分里的數(shù)的差的2 16。（30-26） 2 12。因?yàn)?52 2 26 24,所以X 26 24 50。經(jīng)檢驗(yàn)，（50-18）2=6

12、4.【例5】將110分別填入圖中，使得每個(gè)小三角形3個(gè)頂點(diǎn)上數(shù)字之和為圖中所表示的數(shù)值。【分析】先確定中間 5個(gè)重復(fù)數(shù)，它們的和為(20+16+12+13+10) (1+2+10) =16,所以中間5個(gè)重復(fù)只能 是1, 2, 3, 4, 6的組合。又因?yàn)橛幸粋€(gè)和為 20,相應(yīng)三角形上的三個(gè)數(shù)只能只能是 4, 6, 10,逐一試驗(yàn)，答案 如右上圖?！句亯|】能否將數(shù) 0, 1, 2,，9分別填入下圖的各個(gè)圓圈中，使得各陰影三角形的3個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和相等？圖【分析】0+ - +9=45, 45中心數(shù)=3個(gè)陰影三角形的3個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和，所以中心數(shù)必須是3的倍數(shù)，只能是0, 13, 6, 9.枚舉法

13、實(shí)驗(yàn)，中心數(shù)只能是 3, 6,答案如右上圖?！就卣埂繄D中有大、中、小 3個(gè)正方形，組成了 8個(gè)三角形。現(xiàn)在先把 1, 2, 3, 4分別填在大正方形的 4個(gè)頂點(diǎn) 上，再把1, 2, 3, 4分別填在中正方形的 4個(gè)頂點(diǎn)上，最后把1, 2, 3, 4分別填在小正方形的 4個(gè)頂點(diǎn)上。(1) 能否使8個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和都相等？如果能，請(qǐng)給出填數(shù)方法；如果不能，請(qǐng)說明理由。(2) 能否使8個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和各不相同？給出填數(shù)方法：如果不能，請(qǐng)說明理由?！痉治觥?1)不能，如果能，則 8個(gè)三角形頂點(diǎn)和的總數(shù)和應(yīng)該是8的倍數(shù)，但是這個(gè)綜合有三組 1、2、3、4組成，其中一組數(shù)被計(jì)算三次， 一組數(shù)被

14、計(jì)算兩次，一組數(shù)僅被計(jì)算一次， 因此該總和的值為 6 (1 2 3 4) 60 ,不是8的倍數(shù)，產(chǎn)生矛盾，因此沒有任何填法使8個(gè)三角形頂點(diǎn)上數(shù)字之和都相等。(2)能，見右上圖?！纠?】如圖十奧林匹克的五環(huán)標(biāo)志，其中 a,b,c,d,e, f ,g,h,i處分別填入整數(shù)1至9,如果每個(gè)圓環(huán)內(nèi)所填的個(gè)數(shù)之和都相等，那么這個(gè)相等的和最大是多少，最小是多少？ 圖【分析】計(jì)算五個(gè)圈內(nèi)個(gè)數(shù)之和的和，其中b,d, f ,h被計(jì)算了兩遍，所以這個(gè)和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+b d f h,而這個(gè)和一定能被 5整除，所以b,d, f ,h中填入大數(shù)時(shí)能使這個(gè)和取得最大值，最大是6、7、8、9各圓圈內(nèi)

15、的和也取得 15,由于15=6+9=7+8,所以滿足條件的所有數(shù)無法配成15,當(dāng)和為14時(shí)可以找出滿足條件的填法，所以和最大為 14,當(dāng)b,d,f,h取1、2、3、4時(shí)這個(gè)和取得最小值，各圓圈內(nèi)的和也取得最小值11.【鞏固】9分別填入小三角形（每個(gè)小三角形只填一個(gè)數(shù)），要求靠近大三角形三條邊的每五個(gè)數(shù)相加和相等。想一想，怎樣填這些數(shù)才能使五個(gè)數(shù)的和盡可能大一些？【分析】1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 ,用S表示靠近大三角形三條邊的五個(gè)數(shù)的和。因?yàn)橛腥齻€(gè)小三角形所填的數(shù)在 求和時(shí)只用了一次（用 a,b,c來表示這三個(gè)數(shù)），其余均用了兩次，于是， 45 2 （a b c） 3s。要使s盡

16、可能大，只要a b c盡可能小。所以a b c 1 2 3 6,于是90-6= 3s, s=28。剩下的六個(gè)數(shù)分成三組，并且 每組中兩數(shù)的和是三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，那么：4+8=12; 6+7=13; 5+9=14.經(jīng)過調(diào)配可得到幾十種填法，右上圖是填法之一?！纠?】在下圖的七個(gè)圓圈內(nèi)填上一個(gè)數(shù)，要求每條線上的三個(gè)數(shù)中，當(dāng)中的數(shù)是兩邊兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，現(xiàn)在已填 好兩個(gè)數(shù)，求X是多少？【分析】為了便于說明問題，我們用字母表示各個(gè)圓圈內(nèi)所表示的數(shù)。如中間圖所示。根據(jù)題意，我們觀察，因?yàn)槊恳粭l直線上的三個(gè)數(shù)種,當(dāng)中的數(shù)是兩邊的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。所以可以得出:D (13 17) 2 15。還可以得出以下三式:C

17、 (B 15) 2,A (13 B) 2，C(A將上述三個(gè)算式進(jìn)行變形，變成下面三個(gè)算式:2CB 15 ，2 A=13+ B，2c A 17用式減去式得出:2c 2A 2, C A 1, CA 1,將C A 1代入式得到:2(A 1) A 17, A 15.則 C16,因止匕16(13 x) 2,所以 x 19?！纠?】在下圖中的10個(gè)。內(nèi)填入09這10個(gè)數(shù)字，使得按順時(shí)針循環(huán)式成立:O-°=OO產(chǎn)o 6。© ©©Q_ o Q-z-xQ- ®【分析】五個(gè)等式中有四個(gè)減式，設(shè)四個(gè)減數(shù)為 a,b,c,d,五個(gè)等式的值為 k ,則有(0+1+2+。+

18、9) -2(a b c d) 5k,即9-2 (a b c d) 5 k ,所以(a b c d )必能被5整除，故k為奇數(shù)。又abcd 0 1 2 3 6 5,所以k得可能取值為1,3或5.經(jīng)試算，當(dāng)k 1或5時(shí)有如右上圖兩解【拓展】在下圖中的10個(gè)。內(nèi)填入09這10個(gè)數(shù)字，使得循環(huán)式成立：【分析】共有五個(gè)和式，其中兩式的和大于另三式的和。設(shè)較大的和為a ,較小的和為b ,則有 2a 3b 0 1 29 45,由上式知b必為奇數(shù)，又由b最小為5,最大為7,可知如右上圖兩解?！纠?】在下列各圖中，分別從 18中選擇六個(gè)數(shù)填入口內(nèi)，使得按順時(shí)針方向計(jì)算的各關(guān)系式成立: 圖651*3+72X4二3

19、【分析】（方法一）除了只有四種可能：8 4 2,2, 8 2 4和6 2 3,其余后兩種情況乘法式了將無法滿足，前兩種情況對(duì)應(yīng)著如右上圖兩種填法。（方法二）小于10且能表示成兩個(gè)不同的數(shù)的乘積的數(shù)只有 的數(shù)可以是6和8,左邊和下邊對(duì)應(yīng)填上 3和6,剩下1、6和8,如此可確定左下角的數(shù)為 2,左上角和右下角5、7如此即可試出結(jié)果。【拓展】在下列各圖的空格中填入適當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)和+,符號(hào)，使橫行的四個(gè)等式及豎列的四個(gè)等式都成立:【分析】（1）橫行的前三個(gè)等式分別由三個(gè) 2、三個(gè)3和三個(gè)4組成。經(jīng)過四則運(yùn)算，三個(gè) 2可以得到1, 2, 3, 6, 8;三個(gè)3可以得到2,3,4,6,12,27;三個(gè)4可以

20、彳#到3,4, 5,12,20,64.由此可知，最后一列等式只能是 12 5 10, 據(jù)此可填上前三行的等式。 由2, 3, 4經(jīng)過四則運(yùn)算可得到 1, 2, 3, 9, 10, 14和24,最后一行只能是 24-14 1=10. 據(jù)此可填上前三列等式。（2） （4）與（1）類似。答案如下：【例10】下面圖形包括六個(gè)加法算式，要求圓圈里填上不同的自然數(shù)，使六個(gè)算式都成立，那么最右邊圓圈中的數(shù) 最少是幾？【分析】為便于說理，各圓圈內(nèi)欲填的數(shù)依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右圖）。經(jīng)觀察,I A B C D。題目要I盡可能小，最極端的想法，希望 A B、C、D只占用1、2、3、

21、4。但這會(huì)產(chǎn)生矛盾。 因?yàn)?總要和2、3、4種的某兩個(gè)實(shí)施加法，但 1+2給予G、H、E與A、B、C、D中已有的4沖突；所以 A B、C、D 不能是 1、2、3、4。那么退而求之，不妨先設(shè)A 1。如先考慮B, B盡可能小，最好，B=2,從而決定了E 3,C 3, D 3。這樣一來，C, D只能取4和5.但如C 4導(dǎo)致G 5和D 5沖突，而C 5,D 4 ,又導(dǎo)致G A C 6和H B D 2 4 6 沖突。再碰到釘子后，回看在A 1設(shè)定后，不應(yīng)隨隨便便先填B的值。從結(jié)構(gòu)上看，因?yàn)锽,C地位對(duì)稱，不妨先考慮 D.D盡可能小，最好設(shè) D 2, B、C至少取3、5,若如此，由B D或C D產(chǎn)生的5會(huì)

22、與B、C中已有的5矛盾。所以B、C可能取3、6.從而形成了 A 1,D2、B C取3、6 （ B,C地位對(duì)稱）。這樣一來其他字母所代表的值就立即退出，不妨設(shè)B 3,C 6,A B E 4,C D 6 2 8 F; A C 1 6 7 G,B D 3 2 5 H，恰好滿足E F 4 8 12 I ;G H 7 5 12 I ;綜上所述：A 1,D 2,B 3,C 6決定了其他值，且決定了I 12.是一個(gè)較小的I德值，自然要問I值還可能比12小嗎？分析I的值有三種不同的獲得方式：I A B C D E F GH。H , 7、8的情況。3I A B C D E F G而8個(gè)字母最少是代表1、2、3I 1 2 7 8 36, I 12?，F(xiàn)已推出了使I 12得一種填法，所以是最佳方案了。鞏固精練1 .將17七個(gè)數(shù)字填入下圖的七個(gè)。內(nèi)，使每個(gè)圓周上每天直線上的三個(gè)數(shù)之和都相等?！痉治觥吭O(shè)中心數(shù)為 a,各條直線和各個(gè)圓周上的三個(gè)數(shù)之和均為k。因?yàn)閍屬于三條直線公有，其余數(shù)各屬于一條直線和一個(gè)圓周，于是得到2 (1 27) a 5k,化簡(jiǎn)為a 56 5k。因?yàn)? a 7,a 56