數(shù)學(xué)物理方程(波動)演示教學(xué)

1、第二章 波動方程 1 方程的導(dǎo)出及其定解條件 2 一維波動方程的初值問題 3 半無界弦的自由振動問題 4 高維波動方程的初值問題 5 混合問題的別離變量法一、弦的自由振動方程的建立問題：均勻柔軟且拉緊的細(xì)弦，在平衡位置附近作微小橫振動，求不同時刻弦線的形狀。1、方程的導(dǎo)出及其定解條件分析與假設(shè)：1)柔軟的細(xì)弦：弦上的任意一點僅有的張力且沿弦的切線方向。2)拉緊：指弦線在彈性范圍內(nèi)，服從虎克定律。3)橫振動：指振動只有沿u軸方向的位移，可用u(x,t)表示。4)微?。褐赶疑细鼽c位移與弦長相比很小，夾角很小，即用微元法及牛頓運動定律推導(dǎo)：橫向：縱向：其中：得：其中：由：得：弦線無伸長，T不隨時間變

2、化，即一維弦振動方程或 一維波動方程令：-非齊次方程自由項-齊次方程忽略重力和外力作用： 假設(shè)在平面上放一個框架，其上一塊均勻的緊張的薄膜，離開靜止水平位置作垂直于水平位置的微小振動，那么用類似的方法可導(dǎo)出其運動規(guī)律滿足稱為二維波動方程或膜振動方程其中：u(x,y,t)表示在 t 時刻、膜在 (x,y) 點處的位移f (x,y,t)表示單位質(zhì)量所受的外力a2=T/ ： T表示張力、 為線密度對三維波動方程或聲波方程可寫出為1、初始條件及柯西問題邊界條件是弦在兩個端點的狀態(tài)或受到的約束情況，一般有三種2、邊界條件及邊值問題其中函數(shù) 分別表示弦振動的初始位置和初始速度二、定解條件主要有初始條件和邊

3、界條件第一類邊界條件：端點處弦的位移運動規(guī)律第二類邊界條件：端點處弦所受的垂直于弦線的外力，第三類邊界條件：具有彈性支承的端點處弦的位移和所受的垂直于弦線的外力2、一維波動方程的初值問題 其特征方程為：得特征曲線：作變換：代入原方程可化為：從而：一、達朗貝爾公式 無界弦的自由振動問題：一維波動方程的達朗貝爾公式 代回原變量：利用初始條件：積分得：解：將初始條件代入達朗貝爾公式例1：解定解問題例2、 求解Cauchy問題解：原方程的特征方程為令：故兩特征線是：原方程化為：其通解為：帶回原變量得：利用初值條件得：積分得：聯(lián)立求解得：即：帶回u得：結(jié)論：達朗貝爾解表示沿x 軸正、反向傳播的兩列波速為

4、 a 波的疊加，故稱為行波法。 代表以速度a 沿x 軸正向傳播的波，稱為正行波 代表以速度a 沿x 軸負(fù)向傳播的波，稱為反行波二、 解的物理意義影響區(qū)域決定區(qū)域依賴區(qū)間特征線特征變換行波法又叫特征線法幾個相關(guān)概念一點的影響區(qū)域三、非齊次問題的處理利用疊加原理將問題進行分解：齊次化原理：假設(shè) 是滿足下述定解問題的解：那么：對u2可利用齊次化原理求解是下述定解問題的解從而原問題的解為令：為求解定解問題化為：3、半無界弦的自由振動問題 一、一端固定定解問題為將邊界條件代入達朗貝爾公式，得由初速度和初始位移的獨立性，得故兩函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，可作奇延拓如下于是原定解問題變?yōu)橐痪S波動方程的初值問題由達朗貝爾

5、公式得所以得解：二、一端自由定解問題為類似的，將邊界條件代入達朗貝爾公式，得由初速度和初始位移的獨立性，得故兩函數(shù)應(yīng)為偶函數(shù)，可作偶延拓如下于是原定解問題變?yōu)橐痪S波動方程的初值問題由達朗貝爾公式得所以得解：4 高維波動方程的初值問題一、三維波動方程的球平均法考慮柯西問題改寫一維達朗貝爾公式 上兩式恰是兩函數(shù)在以x為中心，以at為半徑的區(qū)域 上的算術(shù)平均值。在以p為中心，以at為半徑的球面上作初始函數(shù) 和 的平均值，分別為：于是問題的形式解就應(yīng)該是：其中S代表以P為中心，以r=at為半徑的球面，上式稱為三維波動方程柯西問題的泊松公式，此法也稱為球面平均法 p r為計算方便，可將公式化為球坐標(biāo)下的

6、累次積分，球面的方程為設(shè)M為球面上的點，那么有 p r解：將初始條件代入泊松公式得例：求解三維波動方程二、二維波動方程的求解-降維法二維波動方程的初始問題其解u(x,y,t)可看成是三維柯西問題解u(x,y,z,t)與z無關(guān)的量由三維公式得 由于初始函數(shù)是與z無關(guān)的柱函數(shù)，故在球面上的積分可化為球面在z=0平面上投影區(qū)域上的積分由球面上的面積元素和其投影元素的關(guān)系及兩面積元素法線方向的夾角余玄得： p r將上下球面上的曲面積分都化為同一圓域上的二重積分，得二維齊次波動方程柯西問題的Poisson公式 使用時，可將其化為極坐標(biāo)依賴區(qū)域與影響區(qū)域依賴區(qū)域影響區(qū)域三、Poisson公式的物理意義1、

7、三維Huygens原理無后效原理對于空間任一點P只有當(dāng) t=d/a 時，點P才受到影響當(dāng) td/a 時，擾動在P點的影響已消失點擾動D0Pdmindmax當(dāng) t dmin/a 時，擾動尚未到達P點當(dāng) dmin/a t dmax/a 時，擾動在P點的影響消失當(dāng)初始擾動限制在一個有界區(qū)域D0時，三維波有清晰的前陣面和后陣面，這個現(xiàn)象稱為Huygens原理無后效原理擾動后恢復(fù)原狀未擾動區(qū)域D0依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域、特征錐依賴區(qū)域影響區(qū)域2、二維情況波的彌散現(xiàn)象:對于空間任一點P當(dāng) t dmin/a 時，擾動影響P點并永不消失D0Pdmin未擾動區(qū)域D0當(dāng)初始擾動限制在一個有界區(qū)域D0時，二維

8、波有清晰的前陣面，而無后陣面，此時Huygens原理不成立，這種現(xiàn)象稱為波的彌散現(xiàn)象5 混合問題的別離變量法對兩端固定的弦自由振動問題 對上述有界區(qū)域上求解偏微分方程定解問題的根本方法是別離變量法, 理論根底是富里葉級數(shù)展開和疊加原理.一 預(yù)備知識1、富里葉展開 在適當(dāng)條件下,一個函數(shù)可以按泰勒展開成為冪級數(shù),也可以按富里葉展開成為三角級數(shù). 設(shè)f(x)是以2l為周期的函數(shù)，在-L，L上滿足狄利克萊條件，那么可在-L，L上展開成富里葉三角級數(shù). 特別，當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時， 當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時，2、二階常系數(shù)常微分方程的通解 由根的取值可得相應(yīng)的解為 ：令帶入方程：令帶入邊界條件考慮兩端固定的弦自由振動問題二、定解問題的求解特征固有值問題：分情況討論：1）2）3） 令 ， 為非零實數(shù) 由初始條件 ： 相當(dāng)于函數(shù)按奇函數(shù)展開，可得系數(shù)為：別離變量求特征值和特征函數(shù)求另一個函數(shù)求通解確定常數(shù)解法小結(jié)三、 解的物理意義 x=x0時：其中：駐波法 t=t0時：在考察的弦上，各點以同樣的角頻率作簡諧振動，各點的初相相同、振幅那么隨點的位置改變，在任一時刻弦的外形是一正弦曲線，并在下述點保持不動四、非齊次方程及非齊次邊界條件的情形1、非齊次方程齊次邊界條件的定解問題利用齊次化原理可得解：其中 是下述混合問題的解令：為求解定解問題化為：從而原問題的解為