第三章拉普拉斯變換ppt課件

1、 第三章第三章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 3.1 3.1 引言引言 3.2 3.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 3.3 3.3 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域 3.4 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換 3.5 3.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 3.6 3.6 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)拉普拉斯變換的根本性質(zhì) 小小 結(jié)結(jié) 3.1 3.1 引言引言 傅立葉分析工具在研討信號和線性時不變系傅立葉分析工具在研討信號和線性時不變系統(tǒng)的很多問題時，是極為有用的。但傅立葉變統(tǒng)的很多問題時，是極為有用的。但傅立葉變換有缺乏之處。換有缺乏之處。1 1、要求信號、要求信號f(t)f(t

2、)絕對可積。而有些常用絕對可積。而有些常用信號不滿足該條件。信號不滿足該條件。2、有些重要函數(shù)如、有些重要函數(shù)如eat (a0) 的傅立葉變換的傅立葉變換不存在，無法用傅立葉分析方法處置。不存在，無法用傅立葉分析方法處置。而拉氏變換作為傅氏變換的推行，處理了上述缺乏。而拉氏變換作為傅氏變換的推行，處理了上述缺乏。拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系：拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系：1、傅立葉變換是將時間函數(shù)、傅立葉變換是將時間函數(shù)f(t)分解為無窮分解為無窮多項虛指數(shù)信號多項虛指數(shù)信號ejt之和。之和。 deFtftj)(21)(2、拉普拉斯變換是將時間函數(shù)、拉普拉斯變換是將時間函數(shù)f(t)分解為無窮多項復(fù)分解

3、為無窮多項復(fù)指數(shù)信號指數(shù)信號est之和。其中之和。其中s=+j s稱為復(fù)頻率稱為復(fù)頻率 dsesFjtfts)(21)( 3、拉普拉斯變換是傅立葉變換的推行、拉普拉斯變換是傅立葉變換的推行 3.1 3.1 引言引言 3.2 3.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換1 1、傅立葉變換定義、傅立葉變換定義當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(t)滿足狄里赫利條件時滿足狄里赫利條件時 deFtftj)(21)( dtetfFtj )()(2 2、當(dāng)函數(shù)不滿足絕對可積條件時、當(dāng)函數(shù)不滿足絕對可積條件時0)(lim ttetf tetf )(F F)( bF dteetft

4、jt )( dtetftj)()( )1()()( dtetfsFstb一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換te稱為收斂因子稱為收斂因子其中其中dtetfst)(令令s=+j由于上式中由于上式中t為積分變量為積分變量,故積分結(jié)果必為故積分結(jié)果必為s的函數(shù)的函數(shù)將將f(t)乘以衰減因子乘以衰減因子e-t ( 為為 一實常數(shù)一實常數(shù) ) ，恰當(dāng)?shù)剡x取，恰當(dāng)?shù)剡x取 的值的值 就有可以使就有可以使f(t)e-t 變得絕對可積，即變得絕對可積，即令令s=+j，,因因為常數(shù)，所以為常數(shù)，所以d = 1/j ds，且，且當(dāng)當(dāng)時，時，s j 進展積分換元進展積分換元用傅立葉反變換的定義

5、方法求拉氏反變換用傅立葉反變換的定義方法求拉氏反變換 desFetftjbt)(21)( deesFtftjtb)(21)(兩邊同乘兩邊同乘et)2()(21)( jjtsbdsesFjtf (1)式和式和(2)式為雙邊拉普拉斯變換對式為雙邊拉普拉斯變換對一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換二、拉普拉斯變換定義二、拉普拉斯變換定義1 1、雙邊拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換)2()(21)( jjtsbdsesFjtf )1()()( dtetfsFstbs稱復(fù)頻率，稱復(fù)頻率，F(xiàn)b(s)稱信號的復(fù)頻譜稱信號的復(fù)頻譜2 2、單邊拉普拉斯變換、單邊拉普拉斯變換f(t)為有始函

6、數(shù)，即為有始函數(shù)，即t0,幅度發(fā)散幅度發(fā)散 0的任何值，都有的任何值，都有0)(lim ttetu 所以其收斂域為所以其收斂域為s平面的右半面平面的右半面3. 線性增長信號線性增長信號 tn0lim tntet 對于對于0的任何值，都有的任何值，都有所以其收斂域為所以其收斂域為s平面的右半面平面的右半面 3.3 3.3 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域4. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)0lim ttatee 3.3 3.3 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域te只需當(dāng)只需當(dāng) 時，才有時，才有所以其收斂域為所以其收斂域為s平面上平面上 的部分的部分. 3.4 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用

7、函數(shù)的拉普拉斯變換設(shè)設(shè)f(t)為有始函數(shù)，只討論單邊拉氏變換為有始函數(shù)，只討論單邊拉氏變換1、單位階躍信號、單位階躍信號u(t)L L )(tu 0dtest|0sests1 即即stu1)(L L ate 0dteestatas 1即即L L ateas 12、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)te3、 tn n為正整數(shù)為正整數(shù) L L nt 0dtetstn 010|dtentseeststnststn 01dtetsnstnL L nt1! nsn即即L L t21s 3.4 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換4、正弦函數(shù)、正弦函數(shù))(21sintjtjeejt t sinL L那那么

8、么 )(21tjtjeej LL)11(21 jsjsj 22 s 3.4 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換即即 22sin stL L同理同理 22cos sstL L 3.4 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換5、沖激函數(shù)、沖激函數(shù)(t) 1)()(0 dtettst L L 1)( t L L即即同理同理 0)(0stett L L 3.4 3.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換常用函數(shù)的拉普拉斯變換 3.5 3.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 利用拉氏變換進展系統(tǒng)分析時，經(jīng)常需求從象函利用拉氏變換進展系統(tǒng)分析時，經(jīng)常需求從象函數(shù)數(shù)F(s)求出原函數(shù)求出原

9、函數(shù)f(t)。 一、部分分式法一、部分分式法01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsNsFnnnnmmmm 其中，其中，ai ,bj均為實數(shù)，均為實數(shù)，m，n為正整數(shù)為正整數(shù) 部分分式法的本質(zhì)：將部分分式法的本質(zhì)：將F(s)展開為簡單分式之和，展開為簡單分式之和，再逐項求出其拉氏反變換。再逐項求出其拉氏反變換。一、當(dāng)一、當(dāng)m mn n時時 設(shè)設(shè)N(s)比比D(s)高高r階階 將將F(s)化為化為s的多項式與真分式之和的多項式與真分式之和 )()()(2210sBsAsgsgsggsFrr 那么其拉氏反變換為：那么其拉氏反變換為： )()()()()()(1)(10sBsA

10、tgtgtgtfrrL 一、部分分式法一、部分分式法二、二、F(s)F(s)為真分式的情況為真分式的情況1、D(s)=0 的根為單實根的根為單實根)()()()()()(21nnpspspsasNsDsNsF 將上式展開為將上式展開為 n個簡單分式之和，即個簡單分式之和，即 )()()()(1)(2211nniinpskpskpskpskasF niiinpska1)(1其中，其中，ki為待為待定系數(shù)定系數(shù) 一、部分分式法一、部分分式法 1.為了確定為了確定ki，在方程兩端同時乘以因子，在方程兩端同時乘以因子(s-pi) ，再令再令s=pi ，那么，那么) 35 . 3()()()(ipsin

11、isDsNpsak 一、部分分式法一、部分分式法iipsniniiinpsipspskkpspskpspskasDpssN)()()()()()(1)()(2211或用羅比塔法那么導(dǎo)出另一公式：或用羅比塔法那么導(dǎo)出另一公式： 當(dāng)當(dāng)s=pi時，時， (s-pi)和和D(s)均為零，所以均為零，所以 由羅比塔法那么由羅比塔法那么可以求得可以求得)()()(lim)()()(limsDdsdsNpsdsdasDsNpsakipsnipsniii)45 . 3()()(ipsnisDsNak 一、部分分式法一、部分分式法 確定了確定了ki 之后，求出各簡單分式對應(yīng)的之后，求出各簡單分式對應(yīng)的時間函數(shù)，

12、迭加后即為時間函數(shù)，迭加后即為f(t)nitpinniiintuekapskatfi111)(11)(L 一、部分分式法一、部分分式法例：知例：知231)(2 sssF求求f(t)解：解：)2)(1(23)(2 sssssD有兩個互異實根有兩個互異實根將將F(s)展開為部分分式：展開為部分分式：21)(21 sksksF 一、部分分式法一、部分分式法21)(21 sksksF1) 2)(1(1) 1()() 1(|111 ssssssFsk1) 2)(1(1) 2()() 2(|222 ssssssFsk2111)( sssF即即 一、部分分式法一、部分分式法所以：所以： )()(2tueet

13、ftt 、D(s)=0 的根為重實根的情況的根為重實根的情況設(shè)設(shè)p1為為r重實根重實根)()()()()()(1)(11111211211) 1( 111nnrrrrrrnpskpskpskpskpskpskasF 式中：含有單極點因子的部分分式系數(shù)求法與前述同式中：含有單極點因子的部分分式系數(shù)求法與前述同 一、部分分式法一、部分分式法1)()()(11psrnrsDsNpsak 1)()()(1)1(1psrnrsDsNpsdsdak 1)()()()!(1)()(1psririrnisDsNpsdsdirak 含有重極點因子的部分分式系數(shù)求法如下：含有重極點因子的部分分式系數(shù)求法如下： 一

14、、部分分式法一、部分分式法 nritpintprrrrniekaektktrktrkatf111122) 1( 1111)!2()!1(1)(1 一、部分分式法一、部分分式法、D(s)=0 的根為共軛復(fù)根的情況的根為共軛復(fù)根的情況由于由于D(s)的系數(shù)均為實數(shù)，所以有復(fù)的系數(shù)均為實數(shù)，所以有復(fù)根出現(xiàn)時，必為成對的共軛復(fù)根。根出現(xiàn)時，必為成對的共軛復(fù)根。 一、部分分式法一、部分分式法設(shè)設(shè))( js 那那么么)()()()(1sDjsjssNsF )()()()(1sDjsjssNsF 用上面所講方法進展部分分式展開用上面所講方法進展部分分式展開這種方法要進展復(fù)數(shù)運算，比較費事這種方法要進展復(fù)數(shù)運

15、算，比較費事配方法配方法)()()()(122sDsMsbassF 一、部分分式法一、部分分式法知正弦函數(shù)知正弦函數(shù) 22)()(sin stutetL L 22)()(cos sstutetL L余弦：余弦：所以，可以把含有共軛復(fù)根的部分分式用配方所以，可以把含有共軛復(fù)根的部分分式用配方法寫成如下方式：法寫成如下方式：22)( s或或22)( ss 一、部分分式法一、部分分式法例：例：52)(2ssssFjs21 極點為極點為222) 1(11)(sssF22222) 1(2212) 1(1sss)(2sin21)(2cos)(tutetutetftt 一、部分分式法一、部分分式法 3.6

16、3.6 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)拉普拉斯變換的根本性質(zhì)1、線性性質(zhì)、線性性質(zhì)假假設(shè)設(shè) , )()(11sFtf L L )()(22sFtf L L那那么么 )()()()(22112211sFasFatfatfa L L2、時間平移、時間平移假假設(shè)設(shè) )()(sFtf L L那那么么 0)()()(00stesFttuttf L L例：周期函數(shù)例：周期函數(shù)f(t)，周期為，周期為T，假設(shè)，假設(shè)f1(t)表示從表示從t=0開開場場 的第一個周期的波形，且的第一個周期的波形，且f1(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F1(s)， 求求f (t)的拉氏變換的拉氏變換解：解： )2()2()()()()(1

17、11TtuTtfTtuTtftftf且且 ,)()(11sFtf L L sTsTesFesFsFtf2111)()()()(L L)1)(21 sTsTeesFsTesF 11)(1 3.6 3.6 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)拉普拉斯變換的根本性質(zhì)3、s域平移域平移假假設(shè)設(shè) )()(sFtf L L那那么么 )()(00ssFetfts L L4、尺度變換、尺度變換假假設(shè)設(shè) )()(sFtf L L那那么么 0)(1)( aasFaatfL L 3.6 3.6 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)拉普拉斯變換的根本性質(zhì)5、時域微分、時域微分假假設(shè)設(shè) )()(sFtf L L那那么么)0()()( fssFdt

18、tdfL L)0()0()()(222 fsfsFsdttfdL L)0()0()0()()()1(21 nnnnnnffsfssFsdttfdL L 3.6 3.6 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)拉普拉斯變換的根本性質(zhì) 當(dāng)當(dāng)f(t)為有始函數(shù)時，為有始函數(shù)時，f(0-), f(0-), f(n-1)(0-)均為均為0，此時，此時)()(sFsdttfdnnn L L 3.6 3.6 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)拉普拉斯變換的根本性質(zhì)6、時域積分、時域積分假假設(shè)設(shè) )()(sFtf L L那那么么ssFdft)()(0 L LsdfssFdft 0)()()( L L 3.6 3.6 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)

19、拉普拉斯變換的根本性質(zhì)7、s域微分特性域微分特性假假設(shè)設(shè) )()(sFtf L L那那么么)()()(tftdssdF )()()(tftdssFdnnn 3.6 3.6 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)拉普拉斯變換的根本性質(zhì)8、s域積分特性域積分特性假假設(shè)設(shè) )()(sFtf L L那那么么ttfdssFs)()(11 9、初值定理、初值定理假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)f (t)存在拉氏變換，那么存在拉氏變換，那么f(t)的初的初值為：值為：)(lim)(lim)0(0ssFtffst 3.6 3.6 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)拉普拉斯變換的根本性質(zhì)10、終值定理、終值定理假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(t)及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)f (t)存在拉氏變換，且存在拉氏變換，且sF(s)的的一切極點都位于一切極點