數(shù)學(xué)分析習(xí)題PPT學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)分析習(xí)題數(shù)學(xué)分析習(xí)題（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場論初步（三）場論初步 第1頁/共45頁曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對面積的對面積的曲面積分曲面積分對坐標(biāo)的對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分對弧長的對弧長的曲線積分曲線積分對坐標(biāo)的對坐標(biāo)的曲線積分曲線積分定義定義計算計算定義定義計算計算聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系（一）（一）曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分第2頁/共45頁 曲曲 線線 積積 分分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分定定義義 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQd

2、xyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 聯(lián)聯(lián)系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 計計算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定 (與方向有關(guān))第3頁/共45頁與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉曲線閉曲線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3

3、(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題第4頁/共45頁 曲曲 面面 積積 分分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 聯(lián)聯(lián)系系 RdxdyQdzdxPdydz計計 算算一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān)) 一代,二投,三定向 (與側(cè)有關(guān)) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,第5頁/共45頁定積分定積分曲線積分曲線積分重

4、積分重積分曲面積分曲面積分計算計算計算計算計算計算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系第6頁/共45頁點函數(shù)點函數(shù))(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 時時上區(qū)間上區(qū)間當(dāng)當(dāng).),()(,2 DdyxfdMfDR 時時上區(qū)域上區(qū)域當(dāng)當(dāng)定積分定積分二重積分二重積分第7頁/共45頁 dVzyxfdMfR),()(,3 時時上區(qū)域上區(qū)域當(dāng)當(dāng).),()(,3 dszyxfdMfR 時時上空間曲線上空間曲線當(dāng)當(dāng).),()(,3 SdSzyxfdMfSR 時時上曲面上曲面當(dāng)當(dāng)曲面積分曲面積分

5、曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 時時上平面曲線上平面曲線當(dāng)當(dāng)曲線積分曲線積分第8頁/共45頁)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121體元素體元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲線元素線元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影線元素線元素第9頁/共45頁 xyDyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxf

6、dxdyzyxR),(,),(其中其中dsRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsQPQdyPdxL)coscos( )(曲曲面元素面元素ds)(投影投影面元素面元素dxdy第10頁/共45頁1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式第11頁/共45頁3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高

7、斯公式高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式第12頁/共45頁 DLdxdykArotsdA)( DLdxdyAdivdsnA)( dSnArotdSA)( RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx dvAdivdsnA)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( DLdxdyyPxQQdyPdx)( DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推廣推廣為平面向量場為平面向量場)(MA為空間向量場為空間向量場)(MA第13頁/共45頁梯度梯度kzuj

8、yuixugradu 通量通量旋度旋度環(huán)流量環(huán)流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三）（三）場論初步場論初步第14頁/共45頁例例 1 1 計算計算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其中其中L為由點為由點)0 , 0(O到點到點)1 , 1(A的曲線的曲線xy2sin . .思路思路: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI閉合閉合非閉非閉閉合閉合 DdxdyyPxQI)(非閉非閉補充曲線或用公補充曲線或用公式式第15頁/共4

9、5頁解解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11A dyyxdxxyxI)()2(422由由第16頁/共45頁例例 2 2 計算計算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, ,其中其中L為由點為由點)0 ,(a到點到點)0 , 0(的上半圓周的上半圓周0,22 yaxyx. .解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xQyP 即即( (如下圖如下圖) )第17頁/共45頁xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,8

10、2am 0)(00 medxxaAO, 0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI第18頁/共45頁曲面面積的計算法曲面面積的計算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab第19頁/共45頁曲頂柱體的表面積曲頂柱體的表面積 LDyxdsyxfdffS),()11(22 xzyo),(yxfz LD如圖曲頂柱體，如圖曲頂柱體，第20頁/共45頁例例 3 3 求柱面求柱面13232 yx在球面在球面1222 zyx內(nèi)內(nèi)的側(cè)面積的側(cè)面積. .解解由對

11、稱性由對稱性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx參數(shù)方程為參數(shù)方程為第21頁/共45頁,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 第22頁/共45頁在第一卦限部分的上側(cè)在第一卦限部分的上側(cè)為平面為平面為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)其中其中計算計算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例xyoz111 解解利用兩類曲面積分之

12、間的關(guān)系利用兩類曲面積分之間的關(guān)系,1 , 1, 1 n的法向量為的法向量為.31cos,31cos,31cos第23頁/共45頁dszzyxfyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 dszyx)(31 xyDdxdy3131.21 第24頁/共45頁向量點積法向量點積法 ,1,),(:yxffyxfz 法向量為法向量為設(shè)設(shè) RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx1 , dsnA0, dxdydzdxdydzRQP.1,dxdyffRQPxoyyx 面投影面投影在在將將第25頁/共45頁所截部分的外側(cè)所截部分的外側(cè)被平面被平面錐面錐面為為其中其中計算計算2, 1

13、,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例解解,2222yxyfyxxfyx D 利用向量點積法利用向量點積法第26頁/共45頁 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyDdxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyI 1 ,2222241:22 yxDxy第27頁/共45頁例例 6 6 計算曲面積分計算曲面積分yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , ,其中其中 是由曲線是由曲線)31(01 yxyz繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量與它的法向量與y軸正向的夾角恒大于軸正向的夾角恒大于2 . .解解22101xzyyx

14、yz 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為繞繞( (如下圖如下圖) )第28頁/共45頁xyzo132 * *I且有且有dxdydzzRyQxP)(* dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzDxzdydxdz3122 3120202dydd第29頁/共45頁 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 第30頁/共45頁.2, 1, . 7 2222外側(cè)外側(cè)所圍成立體整個表面的所圍成立體整個表面的和和為錐面為錐面其中其中計算計算 zzyxzdxdyyxez解解 , 0, 022yxeRQPz 由高斯

15、公式得到由高斯公式得到dxdyyxez 22 dvyxez)00(22rdrrdzedzz 0 2 1 2 0 1 .22e zDzdxdyyxedz222 1 ):(222zyxDz O2 xzy3 2 第31頁/共45頁 1 ( coscoscos ),3cos ,cos,cos .Vxyzds證明封閉曲面所包圍的體積為其中是曲面的外法向量的方向余弦證明證明,zRyQxP dszyx)coscoscos( dvzRyQxP)( dv3 .)coscoscos(31 dszyxV 所以所以.3V 由高斯公式，得到由高斯公式，得到例例8第32頁/共45頁. , . 9222的上側(cè)的上側(cè)是上半球

16、面是上半球面其中其中計算計算yxRzxzdydz 解解. 2221的下側(cè)的下側(cè)平面上的圓域平面上的圓域是是設(shè)設(shè)RyxxOy , 0, 0, RQxzP 1xzdydz dvxzx)( zdxdydz drrddRsincos2 0 2 0 2 0 .44R xzdydz 所以所以 1xzdydz 1xzdydz044 R ）（01 xzdydz.44R 由高斯公式，得到由高斯公式，得到第33頁/共45頁.)0()()()( .10 22外側(cè)外側(cè)空間區(qū)域的整個邊界的空間區(qū)域的整個邊界的所圍成的所圍成的及平面及平面為曲面為曲面其中其中計算計算 hhzyxzdxdyyxdzdxxzdydzzy解解1

17、 上的部分上側(cè)為上的部分上側(cè)為在在記記hz上：上：在在22 yxz .)(0)(0)(0)(05432 為為左側(cè)左側(cè)的部分的部分，為為右側(cè)右側(cè)的部分的部分，為為后側(cè)后側(cè)的部分的部分，為為前側(cè)前側(cè)的部分的部分yyxx4 y1 5 2 xzO3 第34頁/共45頁 dydzzy)( dydzzy 123)(; 0)()(0 yzyzDDdydzzydydzzy同同理理可可得得; 0)( dzdxxz而而ydxdyx )( 321)()( dxdyyxdxdyyx. 0)()( xyxyDDdxdyyxdxdyyx . 0)()()( dxdyyxdzdxxzdydzzy所以所以（或由高斯公式得到所

18、求積分值為（或由高斯公式得到所求積分值為0）4 y1 5 2 xzO3 第35頁/共45頁一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 設(shè)設(shè)L為為230,0 yxx, ,則則 Lds4的值為的值為( ).( ). (A) (A)04x， (B) (B),6 (C) (C)06x. .2 2、 設(shè)設(shè)L為直線為直線0yy 上從點上從點),0(0yA到點到點),3(0yB的的有向直線段有向直線段, ,則則 Ldy2=( ).=( ). (A (A)6; (B) )6; (B) 06y; (C)0.; (C)0.3 3、 若若L是上半橢圓是上半橢圓 ,sin,costbytax取順時針方向取順時針方向, ,則

19、則 Lxdyydx的值為的值為( ).( ). (A (A) )0 0; (B); (B)ab2 ; (C); (C)ab . .測驗題測驗題第36頁/共45頁4 4、設(shè)、設(shè)),(,),(yxQyxP在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)內(nèi)有一階連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), ,則在則在D內(nèi)與內(nèi)與 LQdyPdx路徑無關(guān)的條件路徑無關(guān)的條件 DyxyPxQ ),(,是是( ).( ). (A) (A)充分條件充分條件; (B); (B)必要條件必要條件; (C); (C)充要條件充要條件. .5 5、設(shè)、設(shè) 為球面為球面1222 zyx, ,1 為其上半球面為其上半球面, ,則則 ( ) ( )式正確式

20、正確. . (A) (A) 12zdszds; ; (B) (B) 12zdxdyzdxdy; ; (C) (C) 1222dxdyzdxdyz. .第37頁/共45頁6 6、若、若 為為)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 則則 ds等于等于( ).( ). (A) (A) rrdrrd022041 ;(B);(B) 2022041rdrrd ; ; (C)(C) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 為球面為球面2222Rzyx 的外側(cè)的外側(cè), ,則則 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRyx22222;

21、 ; (B) (B) 2 2 xyDdxdyyxRyx22222; ; (C) 0(C) 0 . .第38頁/共45頁8 8、曲面積分、曲面積分 dxdyz2在數(shù)值上等于在數(shù)值上等于( ).( ).(A)(A) 向量向量iz2穿過曲面穿過曲面 的流量；的流量；(B)(B) 面密度為面密度為2z的曲面的曲面 的質(zhì)量；的質(zhì)量；(C)(C) 向量向量kz2穿過曲面穿過曲面 的流量的流量 . .9 9、設(shè)、設(shè) 是球面是球面2222Rzyx 的外側(cè)的外側(cè), ,xyD是是xoy面面 上的圓域上的圓域222Ryx , ,下述等式正確的是下述等式正確的是( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRy

22、xzdsyx2222222； (B) (B) xyDdxdyyxdxdyyx)()(2222； (C) (C) xyDdxdyyxRzdxdy2222. .第39頁/共45頁1010、若、若 是空間區(qū)域是空間區(qū)域 的外表面的外表面, ,下述計算中運用奧下述計算中運用奧- -高高 公式正確的是公式正確的是( ).( ). (A) (A) 外側(cè)外側(cè)dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)22(； (B) (B) 外側(cè)外側(cè)zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； (C) (C) 內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdyd

23、zx)12(. .第40頁/共45頁二、計算下列各題二、計算下列各題: :1 1、求、求 zds, ,其中其中 為曲線為曲線 ,sin,costzttyttx)0(0tt ；2 2、求、求 Lxxdyyedxyye)2cos()2sin(, ,其中其中L為上為上 半圓周半圓周222)(ayax , ,0 y, ,沿逆時針方向沿逆時針方向 . .三、計算下列各題三、計算下列各題: :1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面Hzz 及及0 之間的圓柱面之間的圓柱面222Ryx ；第41頁/共45頁2 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222， 其中其中 為錐面為錐面)0(22hzyxz 的外側(cè)；的外側(cè)；3