經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分邊際與彈性

1、一、邊際的概念二、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)五、小結(jié) 思考題三、彈性的概念 第六節(jié) 邊際與彈性四、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù) 一、 邊際的概念定義1例1解1. 邊際本錢1)邊際本錢二、 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)2)邊際平均本錢：解(1)生產(chǎn)900個(gè)單位時(shí)的總本錢為平均本錢為2生產(chǎn)900個(gè)單位到1000個(gè)單位時(shí)總本錢的 平均變化率為2. 邊際收益定義：解解3. 邊際利潤定義：邊際利潤表示：假設(shè)已經(jīng)生產(chǎn)了Q單位產(chǎn)品，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總利潤上述結(jié)果說明當(dāng)生產(chǎn)量為每月20噸時(shí)，再增加一噸，利潤將增加50元，當(dāng)產(chǎn)量為每月25噸時(shí)，再增加一噸，利潤不變；當(dāng)產(chǎn)量為35噸時(shí)，再增加一噸，利潤將減少100此處說

2、明，對(duì)廠家來說，并非生產(chǎn)的產(chǎn)品越多，利潤越高.解4. 邊際需求定義解它的經(jīng)濟(jì)意義時(shí)價(jià)格為4時(shí)，價(jià)格上漲或下降1個(gè)單位，需求量將減少或增加8個(gè)單位.1. 彈性的定義三、彈性的概念定義.彈性函數(shù)的定義2 常見函數(shù)的彈性a,b,c,為常數(shù)3 彈性的四那么運(yùn)算4 函數(shù)彈性的圖解方案圖 2 - 21. 需求彈性1)需求的價(jià)格彈性 需求的價(jià)格彈性是指當(dāng)價(jià)格變化一定的百分比以后引起的需求量的反響程度.用公式表示為四、 經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)注因?yàn)樾枨罅颗c價(jià)格的變化總沿著相反的方向，需求的價(jià)格彈性算出來總是負(fù)值，為了討論方便，取其絕對(duì)值。另外，在實(shí)際應(yīng)用中，也常用符號(hào) 表示。例1解(一)幾種特殊的價(jià)格彈性從理

3、論上來說，有以下四種特殊的需求彈性：(二)需求彈性與總收益市場(chǎng)銷售總額的關(guān)系 當(dāng)需求價(jià)格彈性大于1時(shí)，降價(jià)增加銷售收入；當(dāng)需求價(jià)格彈性小于1時(shí)，降價(jià)反而會(huì)減少銷售收入 此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度大與價(jià)格變動(dòng)的幅度，邊際收益小于0，即價(jià)格上漲，總收益減少，價(jià)格下跌，總收益增加； 此時(shí)，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，邊際收益大于0，即價(jià)格上漲，總收益增加，價(jià)格下跌，總收益減少；當(dāng)需求價(jià)格彈性等與1時(shí)，當(dāng)價(jià)格的變化時(shí)，總收益不變3. 供給彈性定義： 解：解：4. 收益彈性解解：解解法二解法三五小結(jié)思考題邊際的根本概念1 邊際本錢2 邊際收益3 邊際利潤4 邊際需求彈性的根本概念1 需求彈性2 供給彈性

4、3 收益彈性邊際函數(shù)的計(jì)算彈性函數(shù)的計(jì)算思考題解法一解法二練習(xí)題 練習(xí)題答案稱為協(xié)整回歸(cointegrating)或靜態(tài)回歸(static regression)。 的單整性的檢驗(yàn)方法仍然是DF檢驗(yàn)或者ADF檢驗(yàn)。 由于協(xié)整回歸中已含有截距項(xiàng)，那么檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭袩o需再用截距項(xiàng)。如使用模型1 進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，拒絕零假設(shè)H0：=0，意味著誤差項(xiàng)et是平穩(wěn)序列，從而說明X與Y間是協(xié)整的。 需要注意是，這里的DF或ADF檢驗(yàn)是針對(duì)協(xié)整回歸計(jì)算出的誤差項(xiàng)，而非真正的非均衡誤差t進(jìn)行的。 而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因此估計(jì)量是向下偏倚的，這樣將導(dǎo)致拒絕零假設(shè)的時(shí)機(jī)比實(shí)際情形大。 于是對(duì)et平穩(wěn)性檢驗(yàn)

5、的DF與ADF臨界值應(yīng)該比正常的DF與ADF臨界值還要小。 MacKinnon(1991)通過模擬試驗(yàn)給出了協(xié)整檢驗(yàn)的臨界值，表是雙變量情形下不同樣本容量的臨界值。 例 檢驗(yàn)中國居民人均消費(fèi)水平CPC與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC的協(xié)整關(guān)系。 在前文CPC與GDPPC都是I(2)序列，而中已給出了它們的回歸式： R2 通過對(duì)該式計(jì)算的殘差序列作ADF檢驗(yàn)，得適當(dāng)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?(3.93) (3.05) LM(1)=0.00 LM(2)=0.00 t=-4.47-3.75=ADF，拒絕存在單位根的假設(shè)，殘差項(xiàng)是穩(wěn)定的，因此中國居民人均消費(fèi)水平與人均GDP是(2,2)階協(xié)整的，說明了該兩變量間存在長期穩(wěn)

6、定的“均衡關(guān)系。 2.多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)擴(kuò)展的E-G檢驗(yàn) 多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)要比雙變量復(fù)雜一些，主要在于協(xié)整變量間可能存在多種穩(wěn)定的線性組合。 假設(shè)有4個(gè)I(1)變量Z、X、Y、W，它們有如下的長期均衡關(guān)系：(*)其中，非均衡誤差項(xiàng)t應(yīng)是I(0)序列： (*) 然而，如果Z與W，X與Y間分別存在長期均衡關(guān)系： 那么非均衡誤差項(xiàng)v1t、v2t一定是穩(wěn)定序列I(0)。于是它們的任意線性組合也是穩(wěn)定的。例如：(*)一定是I(0)序列。 由于vt象*式中的t一樣，也是Z、X、Y、W四個(gè)變量的線性組合，由此*式也成為該四變量的另一穩(wěn)定線性組合。 1, -0,-1,-2,-3是對(duì)應(yīng)于*式的協(xié)整向量，1

7、,-0-0,-1,1,-1是對(duì)應(yīng)于*式的協(xié)整向量。 對(duì)于多變量的協(xié)整檢驗(yàn)過程，根本與雙變量情形相同，即需檢驗(yàn)變量是否具有同階單整性，以及是否存在穩(wěn)定的線性組合。 在檢驗(yàn)是否存在穩(wěn)定的線性組合時(shí)，需通過設(shè)置一個(gè)變量為被解釋變量，其他變量為解釋變量，進(jìn)行OLS估計(jì)并檢驗(yàn)殘差序列是否平穩(wěn)。 檢驗(yàn)程序：如果不平穩(wěn)，那么需更換被解釋變量，進(jìn)行同樣的OLS估計(jì)及相應(yīng)的殘差項(xiàng)檢驗(yàn)。 當(dāng)所有的變量都被作為被解釋變量檢驗(yàn)之后，仍不能得到平穩(wěn)的殘差項(xiàng)序列，那么認(rèn)為這些變量間不存在d,d階協(xié)整。 同樣地，檢驗(yàn)殘差項(xiàng)是否平穩(wěn)的DF與ADF檢驗(yàn)臨界值要比通常的DF與ADF檢驗(yàn)臨界值小，而且該臨界值還受到所檢驗(yàn)的變量個(gè)數(shù)

8、的影響。 表給出了MacKinnon(1991)通過模擬試驗(yàn)得到的不同變量協(xié)整檢驗(yàn)的臨界值。3、多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)JJ檢驗(yàn)Johansen于1988年，以及與Juselius于1990年提出了一種用極大或然法進(jìn)行檢驗(yàn)的方法，通常稱為JJ檢驗(yàn)。 ?高等計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)?清華大學(xué)出版社，2000年9月P279-282.E-views中有JJ檢驗(yàn)的功能。三、誤差修正模型 前文已經(jīng)提到，對(duì)于非穩(wěn)定時(shí)間序列，可通過差分的方法將其化為穩(wěn)定序列，然后才可建立經(jīng)典的回歸分析模型。 例如：建立人均消費(fèi)水平Y(jié)與人均可支配收入X之間的回歸模型： 1、誤差修正模型式中， vt= t- t-1差分X,Y成為平穩(wěn)序列建立差分

9、回歸模型 如果Y與X具有共同的向上或向下的變化趨勢(shì)然而，這種做法會(huì)引起兩個(gè)問題：(1)如果X與Y間存在著長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系： Yt=0+1Xt+t且誤差項(xiàng)t不存在序列相關(guān)，那么差分式： Yt=1Xt+t 中的t是一個(gè)一階移動(dòng)平均時(shí)間序列，因而是序列相關(guān)的； (2)如果采用差分形式進(jìn)行估計(jì)，那么關(guān)于變量水平值的重要信息將被忽略，這時(shí)模型只表達(dá)了X與Y間的短期關(guān)系，而沒有揭示它們間的長期關(guān)系。 因?yàn)?，從長期均衡的觀點(diǎn)看，Y在第t期的變化不僅取決于X本身的變化，還取決于X與Y在t-1期末的狀態(tài)，尤其是X與Y在t-1期的不平衡程度。 例如，使用Yt=1Xt+t回歸時(shí)，很少出現(xiàn)截距項(xiàng)顯著為零的情況，即我

10、們常常會(huì)得到如下形式的方程： 在X保持不變時(shí)，如果模型存在靜態(tài)均衡static equilibrium，Y也會(huì)保持它的長期均衡值不變。(*)但如果使用*式，即使X保持不變，Y也會(huì)處于長期上升或下降的過程中(Why?)，這意味著X與Y間不存在靜態(tài)均衡。 這與大多數(shù)具有靜態(tài)均衡的經(jīng)濟(jì)理論假說不相符。 可見，簡(jiǎn)單差分不一定能解決非平穩(wěn)時(shí)間序列所遇到的全部問題，因此，誤差修正模型便應(yīng)運(yùn)而生。 誤差修正模型Error Correction Model，簡(jiǎn)記為ECM是一種具有特定形式的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。

11、通過一個(gè)具體的模型來介紹它的結(jié)構(gòu)。 假設(shè)兩變量X與Y的長期均衡關(guān)系為: Yt=0+1Xt+t 該模型顯示出第t期的Y值，不僅與X的變化有關(guān)，而且與t-1期X與Y的狀態(tài)值有關(guān)。 由于現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中X與Y很少處在均衡點(diǎn)上，因此實(shí)際觀測(cè)到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關(guān)系，假設(shè)具有如下(1,1)階分布滯后形式： 由于變量可能是非平穩(wěn)的，因此不能直接運(yùn)用OLS法。對(duì)上述分布滯后模型適當(dāng)變形得： 或， 式中， * 如果將*中的參數(shù)，與Yt=0+1Xt+t中的相應(yīng)參數(shù)視為相等，那么*式中括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)就是t-1期的非均衡誤差項(xiàng)。 *式說明：Y的變化決定于X的變化以及前一時(shí)期的非均衡程度。同時(shí)，*式也彌補(bǔ)了簡(jiǎn)單差

12、分模型Yt=1Xt+t的缺乏，因?yàn)樵撌胶杏肵、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已對(duì)前期的非均衡程度作出了修正。 稱為一階誤差修正模型(first-order error correction model)。 *式可以寫成： *其中:ecm表示誤差修正項(xiàng)。由分布滯后模型：知，一般情況下|1 ，由關(guān)系式=1-得：01。可以據(jù)此分析ecm的修正作用： (1)假設(shè)(t-1)時(shí)刻Y大于其長期均衡解0+1X，ecm為正，那么(-ecm)為負(fù)，使得Yt減少； (2)假設(shè)(t-1)時(shí)刻Y小于其長期均衡解0+1X ，ecm為負(fù)，那么(-ecm)為正，使得Yt增大。 *表達(dá)了長期非均衡誤差對(duì)的控制。

13、其主要原因在于變量對(duì)數(shù)的差分近似地等于該變量的變化率，而經(jīng)濟(jì)變量的變化率常常是穩(wěn)定序列，因此適合于包含在經(jīng)典回歸方程中。 需要注意的是：在實(shí)際分析中，變量常以對(duì)數(shù)的形式出現(xiàn)。于是: (1)長期均衡模型 Yt=0+1Xt+t中的1可視為Y關(guān)于X的長期彈性long-run elasticity (2)短期非均衡模型 Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t中的1可視為Y關(guān)于X的短期彈性short-run elasticity。 如具有季度數(shù)據(jù)的變量，可在短期非均衡模型： Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t中引入更多的滯后項(xiàng)。 更復(fù)雜的誤差修正模型可依照一階誤差修正模型類似地建立。 引入二

14、階滯后的模型為： 經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮獾茸冃危傻萌缦露A誤差修正模型： (*) 引入三階滯后項(xiàng)的誤差修正模型與*式相仿，只不過模型中多出差分滯后項(xiàng)Yt-2，Xt-2，。 多變量的誤差修正模型也可類似地建立。 如三個(gè)變量如果存在如下長期均衡關(guān)系：那么其一階非均衡關(guān)系可寫成： 于是它的一個(gè)誤差修正模型為： 1Granger 表述定理 誤差修正模型有許多明顯的優(yōu)點(diǎn)：如： a一階差分項(xiàng)的使用消除了變量可能存在的趨勢(shì)因素，從而防止了虛假回歸問題； b一階差分項(xiàng)的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題；2、誤差修正模型的建立 c誤差修正項(xiàng)的引入保證了變量水平值的信息沒有被無視； d由于誤差修正項(xiàng)本身的平穩(wěn)性，使

15、得該模型可以用經(jīng)典的回歸方法進(jìn)行估計(jì)，尤其是模型中差分項(xiàng)可以使用通常的t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)來進(jìn)行選取；等等。 因此，一個(gè)重要的問題就是：是否變量間的關(guān)系都可以通過誤差修正模型來表述？ 如果變量X與Y是協(xié)整的，那么它們間的短期非均衡關(guān)系總能由一個(gè)誤差修正模型表述：01 *式中，t-1是非均衡誤差項(xiàng)或者說成是長期均衡偏差項(xiàng)， 是短期調(diào)整參數(shù)。 Engle 與 Granger 1987年提出了著名的Grange表述定理Granger representaion theorem： 對(duì)于(1,1)階自回歸分布滯后模型： Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t 如果 YtI(1), XtI(1) ; 那么，

16、的左邊Yt I(0) ，右邊的Xt I(0) ，因此，只有Y與X協(xié)整，才能保證右邊也是I(0)。 首先對(duì)變量進(jìn)行協(xié)整分析，以發(fā)現(xiàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系，即長期均衡關(guān)系，并以這種關(guān)系構(gòu)成誤差修正項(xiàng)。 然后建立短期模型，將誤差修正項(xiàng)看作一個(gè)解釋變量，連同其他反映短期波動(dòng)的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。 因此，建立誤差修正模型，需要： 注意，由于， Y=lagged(Y, X)+ t-1 +t 01中沒有明確指出Y與X的滯后項(xiàng)數(shù)，因此，可以是多個(gè)；同時(shí)，由于一階差分項(xiàng)是I(0)變量，因此模型中也允許使用X的非滯后差分項(xiàng)Xt 。 Granger表述定理可類似地推廣到多個(gè)變量的情形中去。 由協(xié)

17、整與誤差修正模型的的關(guān)系，可以得到誤差修正模型建立的E-G兩步法： 第一步，進(jìn)行協(xié)整回歸OLS法，檢驗(yàn)變量間的協(xié)整關(guān)系，估計(jì)協(xié)整向量長期均衡關(guān)系參數(shù)； 第二步，假設(shè)協(xié)整性存在，那么以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項(xiàng)參加到誤差修正模型中，并用OLS法估計(jì)相應(yīng)參數(shù)。 2Engle-Granger兩步法 需要注意的是：在進(jìn)行變量間的協(xié)整檢驗(yàn)時(shí)，如有必要可在協(xié)整回歸式中參加趨勢(shì)項(xiàng)，這時(shí)，對(duì)殘差項(xiàng)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)就無須再設(shè)趨勢(shì)項(xiàng)。 另外，第二步中變量差分滯后項(xiàng)的多少，可以殘差項(xiàng)序列是否存在自相關(guān)性來判斷，如果存在自相關(guān)，那么應(yīng)參加變量差分的滯后項(xiàng)。3直接估計(jì)法 也可以采用翻開誤差修整模型中非均衡誤差項(xiàng)括號(hào)的

18、方法直接用OLS法估計(jì)模型。 但仍需事先對(duì)變量間的協(xié)整關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)。如對(duì)雙變量誤差修正模型:可翻開非均衡誤差項(xiàng)的括號(hào)直接估計(jì)下式：這時(shí)短期彈性與長期彈性可一并獲得。 需注意的是，用不同方法建立的誤差修正模型結(jié)果也往往不一樣。 經(jīng)濟(jì)理論指出，居民消費(fèi)支出是其實(shí)際收入的函數(shù)。 以中國國民核算中的居民消費(fèi)支出經(jīng)過居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)縮減得到中國居民實(shí)際消費(fèi)支出時(shí)間序列C； 以支出法GDP對(duì)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)縮減近似地代表國民收入時(shí)間序列(GDP)。 時(shí)間段為19782000表 例 中國居民消費(fèi)的誤差修正模型 1對(duì)數(shù)據(jù)lnC與lnGDP進(jìn)行單整檢驗(yàn) 容易驗(yàn)證lnC與lnGDP是一階單整的，它們適合的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

19、如下： (3.81) LM(1)=0.38 LM(2)=0.67 LM(3)=2.34 LM(4)=2.46 首先，建立lnC與lnGDP的回歸模型:2檢驗(yàn)lnC與lnGDP的協(xié)整性，并建立長期均衡關(guān)系 (57.48) R2=0.994 DW=0.744 發(fā)現(xiàn)有殘關(guān)項(xiàng)有較強(qiáng)的一階自相關(guān)性。考慮參加適當(dāng)?shù)臏箜?xiàng)，得lnC與lnGDP的分布滯后模型: R2 自相關(guān)性消除，因此可初步認(rèn)為是lnC與lnGDP的長期穩(wěn)定關(guān)系。 (*) 殘差項(xiàng)的穩(wěn)定性檢驗(yàn)： R2 t=-4.32-3.64=ADF 說明lnC與lnGDP是1，1階協(xié)整的，*式即為它們長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系: (*)以穩(wěn)定的時(shí)間序列 如下:3建立誤差修正模型 做為誤差修正項(xiàng)，可建立誤差修正模型: (2.96) (-1.91) (-3.15) R2(*) 可得lnC關(guān)于lnGDP的長期彈性： ； 由*式可得lnC關(guān)于lnGDP的短期彈性：由(*)式: 用翻開誤差修正項(xiàng)括號(hào)的方法直接估計(jì)誤差修正模型，適當(dāng)估計(jì)式為: (-2.99) (2.88) R2 寫成誤差修正模型的形式如下: (*) 由*式知，lnC關(guān)于lnGDP的短期彈性為，長期彈性為。 可見兩種方法的結(jié)果非常接近。 4預(yù)測(cè)由(*)式:給出1998年關(guān)于長期均衡點(diǎn)的偏差：=ln(18230)-0.152-