多維隨機變量（精）

1、第三章 多維隨機變量及其分布第一節(jié) 二維隨機變量及其分布函數(shù)第二節(jié) 二維離散型隨機變量及其分布律第三節(jié) 二維連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)第四節(jié) 相互獨立的隨機變量第五節(jié) 條件分布第六節(jié) 二維隨機變量函數(shù)的分布第一節(jié) 二維隨機變量定義 設是定義在同一個樣本空間上的隨機變量，則稱由它們構成的二維向量為二維隨機向量，亦稱為二維隨機變量.二維隨機變量的性質不僅與各自的性質有關,而且還依賴于它們之間的相互關系,因此必須把它們作為一個整體來研究.為了描述二維隨機變量整體的統(tǒng)計規(guī)律性,我們引入聯(lián)合分布函數(shù)的概念.定義 設(X,Y)為二維隨機變量,稱二元函數(shù)為(X,Y)的分布函數(shù),或 X與Y的聯(lián)合分布函數(shù).可視

2、為隨機點落在以為頂點的左下方的無窮矩形的概率.設,則有圖2二維隨機變量分布函數(shù)的根本性質設是二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù),則1)關于與都是右連續(xù)的,即3)對任意有 可以證明,以上三條性質是二元函數(shù)能否成為某二維隨機變量分布函數(shù)的充分必要條件.2) 由于X與Y本身也是一個隨機變量,因此也有各自的分布函數(shù),并且分別稱為(X,Y)關于與的邊緣分布函數(shù). 例1 設二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為稱此分布為二維指數(shù)分布,其中參數(shù)易得,關于和的邊緣分布函數(shù)分別為 注意 邊緣分布與參數(shù) 無關！這說明研究多維隨機變量,僅僅研究邊緣分布是不夠,而必須將他們作為一個整體來研究. 整體大于局部之和! 第二節(jié)

3、二維離散型隨機變量 定義 如果二維隨機變量(X,Y)只取有限對或可列無窮多對值,那么 稱(X,Y)為二維離散型隨機變量. 假設(X,Y)的可能取值為 ,并且那么稱上式為(X,Y)的分布律,或稱為X與Y的聯(lián)合分布律.分布律也常寫成如下表格的形式:顯然有由于故關于X的邊緣分布律為:同理關于 的邊緣概率密度為 可以將聯(lián)合分布律與邊緣分布律寫成下述形式: 例1 假設5件產品中有3件正品,2件次品,從中取兩次,每次取一件,記分別對有放回抽樣和無放回抽樣兩種情況,求(X1,X2)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律.解 (1)有放回的情形.此時類似的,可求得其它的 ,最后可得 的聯(lián)合分布律與邊緣分布律如下表:0101

4、(2)無放回的情形.此時類似的,可求得其它的 ,最后可得 的聯(lián)合分布律與邊緣分布律如下表:0101 注:兩種情形的邊緣分布律是相同的!例2 設二維隨機變量 的分布律為0.10.4已知試求常數(shù)的值.解 由以及解得第三節(jié) 二維連續(xù)型隨機變量 定義 設 是二維隨機變量 的聯(lián)合分布函數(shù),如果存在一個非負函數(shù) ,使得則稱 是二維連續(xù)型隨機變量,稱 為 的概率密度,或者稱為 與 的聯(lián)合概率密度.聯(lián)合概率密度的根本性質:1)2)1)設 為任意平面區(qū)域, 有2) 在 的連續(xù)點 處,有3)若平面區(qū)域 的面積為0,則概率密度還有如下性質:由于所以,關于X的邊緣概率密度為:同理,關于Y 的邊緣概率密度為:例1 設(

5、X,Y)的概率密度為求:1) 常數(shù) ;2)聯(lián)合分布函數(shù) ;4)(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)為頂點的正方形內概率;5) 邊緣密度函數(shù)3)解 1)2)3)4) 設D為如下圖的單位正方形區(qū)域,那么所求的概率為O11(1,1)5)同理注意:在本例中,有兩個重要的分布一.二維均勻分布 設D為平面有界區(qū)域,其面積為SD,假設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為則稱 服從區(qū)域D上的均勻分布. 若 服從區(qū)域 D上的均勻分布,則對于D中任一子區(qū)域G,有GD 于是 落在D中任一子區(qū)域G的概率與G的面積成正比,而與G的形狀和位置無關。在這個意義上我們說,服從某區(qū)域上均勻分布的二維隨機

6、變量在該區(qū)域內是“等可能”的。例3 設(X,Y)服從單位圓上的的均勻分布，求X與Y的邊緣概率密度。 解 由題意知,(X,Y)的概率密度為于是，有-11-11由對稱性可知注意此時二.二維正態(tài)分布 定義 若二維隨機變量 的聯(lián)合概率密度為其中 是實數(shù),則稱 服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布,記作稱上述的 為二維正態(tài)概率密度. 可以證明,若則 也就是說,二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍然為正態(tài)分布,而且其邊緣分布不依賴于參數(shù) .因此可以斷定參數(shù) 描述了 與 之間的某種關系!第四節(jié) 相互獨立的隨機變量 定義 設(X,Y)是二維隨機變量,如果對于任意的實數(shù)x 和y,隨機事件 和 相互獨立,即則稱隨機變量 和 相互獨立

7、.1.假設離散型隨機變量(X,Y)的可能取值為并且對任意的 和 ,事件與相互獨立,即那么X與Y相互獨立. 下面給出離散型和連續(xù)型時的兩個重要結論. 2.設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為關于X 和Y的邊緣概率密度分別為和如果對任意實數(shù)x和y,成立那么X 和Y相互獨立.重要結論:設那么 X與Y相互獨立的充分必要條件為 .例1 設二維隨機變量 的聯(lián)合分布律為:1 2 31 2且X與Y相互獨立,試求 和解 由于X與Y獨立,所以有又由分布律的根本性質,有所以,有例2.設隨機變量 X與Y相互獨立,下表列出了二維隨機變量(X,Y)聯(lián)合分布律及關于X和關于Y的邊緣分布律中的局部數(shù)值,試將其余數(shù)值

8、填入表中的空白處. 1分析 定理 設X與Y是相互獨立的隨機變量, h(x)和g(y)均為連續(xù)或單調函數(shù),那么隨機變量h(X)與g(Y)也是相互獨立的.例如,若 與 是相互獨立的,則相互獨立;相互獨立;相互獨立 等等 例3 假設 的聯(lián)合概率密度為問X與Y 是否相互獨立?11解 與 不相互獨立.第五節(jié) 條件分布一.離散型隨機變量的條件分布 設二維隨機變量 的分布律為稱為 的條件下, 的條件分布律;為 的條件下, 的條件分布律. 例1 一射手進行射擊,單發(fā)擊中目標的概率為 射擊進行到擊中目標兩次為止.以 表示第一次擊中目標所需射擊的次數(shù),以 表示總共進行的射擊次數(shù).試求 的聯(lián)合分布律及條件分布律.

9、解 由題意知, (X,Y)的可能取值為(i, j),其中或并且于是而所以,當時,有當時,有 -1 0 2 -1 2 1/8 3/16 1/16 1/4 c 5/16解 (1) 因為所以2邊緣分布為其余完全類似 第六節(jié) 二維隨機變量函數(shù)的分布 根本任務: 二維隨機變量或(X,Y)的分布,求隨機變量 Z(X,Y)的分布. 例1 設 的聯(lián)合分布律為分別求 和 的分布律.解 的可能取值為-3,-2,-1,0,并且的可能取值為0,1,2,3,其分布律為 例2 設隨機變量(X,Y)相互獨立,并且,試證證明 顯然 的可能取值為0,1,2,并且即 例3 設隨機變量X,Y相互獨立,其概率密度分別為 試求Z=X+Y的概率密度.解 先求分布函數(shù)或者以上兩個公式稱為卷積公式. 例4 設X,Y相互獨立且均服從標準正態(tài)分布,求Z