第三章 非慣性參考系

1、第三章 非慣性參考系觀察小球的運(yùn)動(dòng)觀察小球的運(yùn)動(dòng)勻速運(yùn)動(dòng)車(chē)上的人觀察勻速運(yùn)動(dòng)車(chē)上的人觀察地面上的人觀察地面上的人觀察豎直上拋運(yùn)動(dòng)豎直上拋運(yùn)動(dòng)斜拋運(yùn)動(dòng)斜拋運(yùn)動(dòng) 0v同一質(zhì)點(diǎn)對(duì)不同參考系的運(yùn)動(dòng)不同，當(dāng)參考系之間的運(yùn)動(dòng)已知時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)不同參考系的運(yùn)動(dòng)服從什么樣的變化規(guī)律？這就是相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。定參考系定參考系: 相對(duì)觀察者靜止的參考系相對(duì)觀察者靜止的參考系, 或靜參考系或靜參考系 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng): 物體相對(duì)定參考系的運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)定參考系的運(yùn)動(dòng)動(dòng)參考系動(dòng)參考系: 相對(duì)觀察者運(yùn)動(dòng)的參考系相對(duì)觀察者運(yùn)動(dòng)的參考系 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng): 物體相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)一、一、平動(dòng)

2、平動(dòng)參考系參考系在任意時(shí)刻，兩個(gè)相對(duì)在任意時(shí)刻，兩個(gè)相對(duì)平動(dòng)參考系的直角坐標(biāo)平動(dòng)參考系的直角坐標(biāo)軸的相對(duì)取向保持不變。軸的相對(duì)取向保持不變。注意：平動(dòng)不一定是直線運(yùn)動(dòng)！注意：平動(dòng)不一定是直線運(yùn)動(dòng)！y o O 系系 z x yo zO系系xy o O 系系 z x y o O 系系 z x y o O 系系 z x ( )( )( )tr tr tr t xyo zO系系P ry o O 系系z(mì) x r rt質(zhì)點(diǎn)位矢合成原理質(zhì)點(diǎn)位矢合成原理r指指靜系中靜系中觀察者所看到觀察者所看到動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P P的位矢的位矢trr稱(chēng)為稱(chēng)為絕對(duì)位矢絕對(duì)位矢稱(chēng)為稱(chēng)為牽連位矢牽連位矢稱(chēng)為稱(chēng)為相對(duì)位矢相對(duì)位矢指指靜系中靜

3、系中觀察者所看到觀察者所看到動(dòng)系原點(diǎn)動(dòng)系原點(diǎn)OO的位矢的位矢指指動(dòng)系中動(dòng)系中觀察者所看到觀察者所看到動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P P的位矢的位矢( )( )( )tr tr tr t QPxyo zO系系 r r rtO 系系y o z x P正交分解式：正交分解式：xiyjzkr ttttx iy jz kr xyzrijk將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，速度關(guān)系為將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，速度關(guān)系為( )( )( )tv tv tv t 稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)P 相對(duì)相對(duì)O系的速度系的速度 （絕對(duì)速度）（絕對(duì)速度） 稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)P 相對(duì)相對(duì)O 系的速度（相對(duì)速度）系的速度（相對(duì)速度） 稱(chēng)為稱(chēng)為O 系相對(duì)于系相對(duì)于O系的速度系的速度

4、 （牽連速度）（牽連速度）( )v t ( )v t ( )tv t 其中：其中：將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，加速度關(guān)系為將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，加速度關(guān)系為( )( )( )ta ta ta t ( )( )( )( ),( ),( )ttdv tdv tdv ta ta ta tdtdtdt 其中：其中：絕對(duì)加速度絕對(duì)加速度相對(duì)加速度相對(duì)加速度牽連加速度牽連加速度trrr正交分解式：正交分解式：xiyjzkr ttttx iy jz kr xyzrijk x z yyOOzxrrtrP二、二、 轉(zhuǎn)動(dòng)參照系轉(zhuǎn)動(dòng)參照系 對(duì)于任意單位旋轉(zhuǎn)矢量對(duì)于任意單位旋轉(zhuǎn)矢量 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)先考察先考察0limAAtdeedt

5、t 0t 0當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，Ae將與將與Ae垂直垂直0dlimdAAteett AAee0limAAteet AeAeAeODAeAe注：注：OD線為線為靜系靜系觀察者看觀察者看Ae旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)角度的基線基線ddAAeet求得：求得：為為靜系靜系觀察者看到觀察者看到的的角速度角速度Ae對(duì)于任意旋轉(zhuǎn)矢量對(duì)于任意旋轉(zhuǎn)矢量AdAdt的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)AdAdtAe()AAdAeAedt*AdAd AedddttAdAAt絕對(duì)微商絕對(duì)微商 = 相對(duì)微商相對(duì)微商 + 牽連微商牽連微商A大小恒定時(shí)大小恒定時(shí)dAAdt為為靜系靜系觀察者看到觀察者看到()Ad AedtAAdAetdteAdd*d AdtA的的總角速度

6、總角速度Ae質(zhì)點(diǎn)的速度合成原理質(zhì)點(diǎn)的速度合成原理?yè)?jù)速度定義式據(jù)速度定義式/vdr dttdrdrdtvdttrrr質(zhì)點(diǎn)位矢合成原理質(zhì)點(diǎn)位矢合成原理考慮到考慮到rrr e的大小和方向皆在變化的大小和方向皆在變化可得可得即即tevvvrvvrtdrrdrdtedttrrdrderdtdtdredt絕對(duì)速度絕對(duì)速度= =相對(duì)速度相對(duì)速度+ +牽連速度牽連速度 x z yyOOzxrrtrP為為靜系靜系觀察者看到質(zhì)點(diǎn)觀察者看到質(zhì)點(diǎn)P P的的角速度角速度tevvvrvv質(zhì)點(diǎn)速度合成原理質(zhì)點(diǎn)速度合成原理各項(xiàng)物理含義：各項(xiàng)物理含義：vtvvretvvr是是靜系靜系觀察者看到動(dòng)質(zhì)點(diǎn)觀察者看到動(dòng)質(zhì)點(diǎn)P的速度，的

7、速度，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)絕對(duì)速度絕對(duì)速度是是靜系靜系觀察者看到動(dòng)質(zhì)點(diǎn)觀察者看到動(dòng)質(zhì)點(diǎn)P跟隨動(dòng)系的平動(dòng)速度，跟隨動(dòng)系的平動(dòng)速度，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)速度平動(dòng)速度是是靜系靜系觀察者看到動(dòng)質(zhì)點(diǎn)觀察者看到動(dòng)質(zhì)點(diǎn)P的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度角速度，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度轉(zhuǎn)動(dòng)角速度是是動(dòng)系動(dòng)系觀察者看到動(dòng)質(zhì)點(diǎn)觀察者看到動(dòng)質(zhì)點(diǎn)P的位矢，的位矢，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)位矢相對(duì)位矢是是動(dòng)系動(dòng)系觀察者看到動(dòng)質(zhì)點(diǎn)觀察者看到動(dòng)質(zhì)點(diǎn)P的速度，的速度，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)速度相對(duì)速度稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)牽連速度牽連速度質(zhì)點(diǎn)的加速度合成原理質(zhì)點(diǎn)的加速度合成原理?yè)?jù)速度定義式據(jù)速度定義式dvadt()tddddtdtvrtvad質(zhì)點(diǎn)的速度

8、合成原理質(zhì)點(diǎn)的速度合成原理考慮到考慮到tevvvrvvtdddadtdtdvrrt*AdAd AedddttAdAAt可得可得即即()2tecdarrtaaadaav絕對(duì)加速度絕對(duì)加速度=牽連加速度牽連加速度+科里奧利加速度科里奧利加速度+相對(duì)加速度相對(duì)加速度tdddadtdtdtrarv( )(tdarravtvd(2)tvdarrdta于是于是質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)加加速速度度合合成成原原理理2()er Oter稱(chēng)為稱(chēng)為向軸加速度向軸加速度drdt稱(chēng)為稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)加速度轉(zhuǎn)動(dòng)加速度2cav稱(chēng)為稱(chēng)為科里奧利加速度科里奧利加速度ta是是靜系靜系觀察者看到質(zhì)點(diǎn)觀察者看到質(zhì)點(diǎn)P P隨隨動(dòng)系的平動(dòng)加速度，動(dòng)系的平動(dòng)加速

9、度，稱(chēng)為稱(chēng)為平動(dòng)加速度平動(dòng)加速度為為靜系靜系觀察者看到質(zhì)點(diǎn)觀察者看到質(zhì)點(diǎn)P P的的角速度角速度(2)taavdarrdt22sincavv科里奧利加速度產(chǎn)生的原因：科里奧利加速度產(chǎn)生的原因：由由可知可知:0ca 00v v(0, 0)vca是因?yàn)閯?dòng)系的轉(zhuǎn)動(dòng)和質(zhì)點(diǎn)相對(duì)動(dòng)系運(yùn)動(dòng)共同引起是因?yàn)閯?dòng)系的轉(zhuǎn)動(dòng)和質(zhì)點(diǎn)相對(duì)動(dòng)系運(yùn)動(dòng)共同引起vvcdabOABOABB直觀描述直觀描述(科里奧利加速度分成兩部分科里奧利加速度分成兩部分)：質(zhì)點(diǎn)以相對(duì)速度質(zhì)點(diǎn)以相對(duì)速度沿著恒定角速度沿著恒定角速度v轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)的半徑運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)的半徑運(yùn)動(dòng)3.2 3.2 平動(dòng)參考系中的慣性力平動(dòng)參考系中的慣性力 牛頓定律只在慣性系中成立，要

10、在非慣性系中用牛頓定律求解物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，只要引進(jìn)適當(dāng)?shù)膽T性力就可以。 特例：特例： 如圖1所示，在靜止的火車(chē)箱內(nèi)的光滑臺(tái)面上，放一小球，當(dāng)火車(chē)加速前進(jìn)時(shí)，因小球水平方向不受力，它應(yīng)相對(duì)于地面靜止，故相對(duì)于火車(chē)加速后退。即00F,a.O系：牛頓定律成立。00F,a.O系：牛頓定律不成立。若設(shè)想小球受一力intinfmaFfma . 于是這樣，在平動(dòng)非慣性系中牛頓第二定律也成立 。OOtaa圖圖1infOOta圖圖2 如圖2所示：當(dāng)火車(chē)加速前進(jìn)時(shí)，小球在彈力的作用下，相對(duì)于地面加速前進(jìn)，而相對(duì)于火車(chē)靜止。即tFma ,O系：牛頓第二定律成立。00F,a.O系：而牛頓第二定律不成立。若設(shè)想小球受一

11、力0intinfmaFf. 于是同樣，牛頓第二定律在平動(dòng)非慣性系中也成立 。Finf一般描述：一般描述：設(shè) 動(dòng)系 相對(duì)于靜系 以加速度 作平動(dòng)，物體相對(duì)于動(dòng)系以加速度 運(yùn)動(dòng)。根據(jù)相對(duì)性原理有taaaOOtaatFmam aaO系：tFmama則inFfmaO系：intfma 令稱(chēng)為慣性力 可見(jiàn)，引入慣性力后，就可以在非慣性系中應(yīng)用牛頓定律求解物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。 慣性力是虛擬力，慣性力是虛擬力，和真實(shí)力不同，它不是物體與物體間和真實(shí)力不同，它不是物體與物體間的相互作用力，沒(méi)有施力物體，因而沒(méi)有反作用力。的相互作用力，沒(méi)有施力物體，因而沒(méi)有反作用力。理論依據(jù)理論依據(jù): intinfma ,Ffma

12、. 方法方法: 先分析真實(shí)力,后分析慣性力，其他做法同前。例例 3.2.1 非慣性系中的擺非慣性系中的擺 汽車(chē)以加速度 向前行駛，在車(chē)中用線懸掛一個(gè)小球。求穩(wěn)定時(shí)懸線與豎直方向的夾角。ta 解：解：取汽車(chē)為參考系，穩(wěn)定時(shí)小球所受的合力為零，如圖所示。taTmginf水平方向sin0tTma豎直方向cos0Tmg解得arctantag例例 3.2.2 滑快與光滑斜面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)滑快與光滑斜面的相對(duì)運(yùn)動(dòng) 光滑楔子以加速度 沿水平地面滑動(dòng),質(zhì)量為 的滑快沿楔子的光滑斜面滑下。求滑快相對(duì)于地面的加速度和對(duì)斜面的壓力。tam 解：解：取楔子為參考系，沿斜面建立直角坐標(biāo)系，對(duì)滑快進(jìn)行受力分析，如圖所示。Nm

13、ginfa0axy滑快的運(yùn)動(dòng)方程為 sincos1cossin02ttmgmamaNmgma由方程（1）解得sincostaga 由方程（2）解得cos +sintNmgma滑快對(duì)斜面的壓力的大小與 相等。N滑快相對(duì)于地面的絕對(duì)加速度矢量為taaa如圖所示，由幾何關(guān)系可得絕對(duì)加速度的大小為0aaa220222cos 180sintttaaaa aga絕對(duì)加速度與水平方向夾角 為gsincossintan =coscossintttaaaaga由質(zhì)點(diǎn)的加速度合成原理由質(zhì)點(diǎn)的加速度合成原理()2tdaarrvadt可得可得:()()()( 2)tdaaarrvdt 3.3 3.3 轉(zhuǎn)動(dòng)參考系轉(zhuǎn)動(dòng)參

14、考系兩邊同乘被研究對(duì)象的質(zhì)量可得兩邊同乘被研究對(duì)象的質(zhì)量可得:()()()( 2)tdmamamamrmrmvdt 代入慣性系中牛頓第二定律得到代入慣性系中牛頓第二定律得到:()()()( 2)tdmaFmamrmrmvdt 質(zhì)點(diǎn)的非慣性質(zhì)點(diǎn)的非慣性系動(dòng)力學(xué)方程系動(dòng)力學(xué)方程比較比較maF知知:()()()( 2)tdFFmamrmrmvdt 從量綱上看從量綱上看2mv都具有力學(xué)的量綱，于是我們引入都具有力學(xué)的量綱，于是我們引入“慣性力慣性力”的概念的概念dmrdttma()mr，由于參考系本身相對(duì)于慣性參考系作加速度運(yùn)動(dòng)由于參考系本身相對(duì)于慣性參考系作加速度運(yùn)動(dòng)所引起的非相互作用力，所引起的非

15、相互作用力，稱(chēng)為稱(chēng)為慣性力慣性力tma平動(dòng)慣性力平動(dòng)慣性力dmrdt轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力()mr慣性離心力慣性離心力2mv科里奧利力科里奧利力()()()( 2)itdfmamrmrmvdt 現(xiàn)在具體討論慣性力的方向：現(xiàn)在具體討論慣性力的方向：由動(dòng)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度變化引起的慣性力由動(dòng)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度變化引起的慣性力,方向方向加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則慣性力的方向與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則慣性力的方向與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反減速轉(zhuǎn)動(dòng)，則慣性力的方向與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同減速轉(zhuǎn)動(dòng)，則慣性力的方向與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同tma平動(dòng)慣性力平動(dòng)慣性力由平動(dòng)引起的慣性力由平動(dòng)引起的慣性力,與平動(dòng)加速度與平動(dòng)加速度ta方向相反方向相反dmrdt轉(zhuǎn)動(dòng)慣性

16、力轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力dmrdtmrOresindmremeddmrdttt Oe()mrr2()mrme 方向沿離心方向方向沿離心方向Ov2mv科里奧利力總是使質(zhì)點(diǎn)偏離原來(lái)運(yùn)動(dòng)的方向科里奧利力總是使質(zhì)點(diǎn)偏離原來(lái)運(yùn)動(dòng)的方向方向與方向與和和v構(gòu)成的平面垂直構(gòu)成的平面垂直,且滿足右手螺旋且滿足右手螺旋()mr慣性離心力慣性離心力2mv科里奧利力科里奧利力由動(dòng)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度引起的慣性力由動(dòng)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度引起的慣性力由動(dòng)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和相對(duì)速度引起的慣性力由動(dòng)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和相對(duì)速度引起的慣性力質(zhì)點(diǎn)的非慣性系動(dòng)力學(xué)方程質(zhì)點(diǎn)的非慣性系動(dòng)力學(xué)方程(非慣性系下牛二定律非慣性系下牛二定律):imaFFf()()()( 2)itdfmamrmrmvdt 在非慣性系下，要求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)：在非慣性系下，