折痕在折疊問題中的應(yīng)用

1、利用折痕解簡單的折疊問題利用折痕解簡單的折疊問題線與線重合線與線重合點(diǎn)與點(diǎn)重合點(diǎn)與點(diǎn)重合折痕折痕折痕與重合兩線平行（線與折痕與重合兩線平行（線與線平行）線平行）折痕是重合兩線夾角的角平折痕是重合兩線夾角的角平分線（線與線相交）分線（線與線相交）折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線直平分線演示折紙演示折紙 直觀感知直觀感知一、由折痕得平行或角相等一、由折痕得平行或角相等1、如圖，在平行四邊形、如圖，在平行四邊形ABCD中，中，A=70，將平行四邊形，將平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)折疊，使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)分別落在點(diǎn)E、F處（點(diǎn)處（點(diǎn)E、F都在都在AB所在的直線上），折痕為所在的直

2、線上），折痕為MN，則，則AME等于（等于（ ）A 70 B 40 C 30 D 50CDABEFNMB探索規(guī)律探索規(guī)律 歸納方法歸納方法2、如圖，把一張長方形的紙片按如圖所示的方式折疊，、如圖，把一張長方形的紙片按如圖所示的方式折疊，EM、FM為折痕，為折痕，折疊后的折疊后的C點(diǎn)落在點(diǎn)落在BM或或BM的延長線上，的延長線上，那么那么EMF的度數(shù)是（的度數(shù)是（ ）A85 B90 C95 D100B3、如圖，、如圖， 將矩形紙片將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)沿過點(diǎn)B的直線折疊，的直線折疊，使點(diǎn)使點(diǎn)A落在落在BC邊上的點(diǎn)邊上的點(diǎn)F處，折痕為處，折痕為BE（如圖（如圖）；）；再沿過點(diǎn)再沿過點(diǎn)E的直線折疊，

3、使點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)D落在落在BE上的點(diǎn)上的點(diǎn)D 處，處，折痕為折痕為EG（如圖（如圖）；再展平紙片（如圖）；再展平紙片（如圖）求圖求圖中中 的大小的大小 a=22.5a二、折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線二、折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線1、重合兩點(diǎn)則線段被折痕垂直平分、重合兩點(diǎn)則線段被折痕垂直平分2、折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)的距離相等、折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)的距離相等3、重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線是折痕、重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線是折痕4、重合兩點(diǎn)關(guān)于折痕成軸對稱、重合兩點(diǎn)關(guān)于折痕成軸對稱4、如圖，在、如圖，在ABC中，中，C90，將，將ABC沿直線沿直線MN翻折后，頂點(diǎn)翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在恰好落在

4、AB邊上的點(diǎn)邊上的點(diǎn)D處，處，已知已知MNAB，MC6，NC2則四邊形則四邊形MABN的面積是（的面積是（ ） 思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：A 6 B 12 C 18 D 24重合兩點(diǎn)則線段被折痕垂直平分重合兩點(diǎn)則線段被折痕垂直平分OC二、折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線二、折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線1、重合兩點(diǎn)則線段被折痕垂直平分、重合兩點(diǎn)則線段被折痕垂直平分2、折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)的距離相等、折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)的距離相等3、重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線是折痕、重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線是折痕4、重合兩點(diǎn)關(guān)于折痕成軸對稱、重合兩點(diǎn)關(guān)于折痕成軸對稱連接重合兩點(diǎn)連接重合兩點(diǎn)，5、如圖，將正方形、如圖，將正

5、方形ABCD折疊，使點(diǎn)折疊，使點(diǎn)B落在落在CD邊上一點(diǎn)邊上一點(diǎn)E處（不與處（不與C、D重合），壓平得折痕重合），壓平得折痕MN，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，求時(shí)，求 的值。的值。思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)的距離相等折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)的距離相等二、折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線二、折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線1、重合兩點(diǎn)則線段被折痕垂直平分、重合兩點(diǎn)則線段被折痕垂直平分 連接重合兩點(diǎn)連接重合兩點(diǎn)2、折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)的距離相等、折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)的距離相等 3、重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線是折痕、重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線是折痕4、重合兩點(diǎn)關(guān)于折痕成軸對稱、重合兩點(diǎn)關(guān)于折痕成軸對稱連接折痕上的點(diǎn)

6、與重合點(diǎn)連接折痕上的點(diǎn)與重合點(diǎn)6、如圖、如圖，在矩形，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使中，將矩形折疊，使B落在邊落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊，這時(shí)折痕與邊BC或者邊或者邊CD（含端點(diǎn)）交于（含端點(diǎn)）交于F,然后展開鋪平，則以然后展開鋪平，則以B、E、F為頂點(diǎn)的為頂點(diǎn)的BEF稱為矩形稱為矩形ABCD的的“折痕三角形折痕三角形” (1)由由“折痕三角形折痕三角形”的定義可知，矩形的定義可知，矩形ABCD的任意一個(gè)的任意一個(gè)“折痕折痕BEF”是一個(gè)是一個(gè)_三角形三角形 (2)如圖如圖，在矩形，在矩形ABCD中中,AB=2,BC=4.當(dāng)它的當(dāng)它的“折痕折痕BE

7、F”的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)E位于位于AD的中點(diǎn)時(shí)，畫出這個(gè)的中點(diǎn)時(shí)，畫出這個(gè)“折痕折痕BEF”，并求出點(diǎn)并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； CO（B）ADEFCADBEFEADC圖圖點(diǎn)撥：連接點(diǎn)撥：連接BE，作，作BE的垂直平分線的垂直平分線二、折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線二、折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線1、重合兩點(diǎn)則線段被折痕垂直平分、重合兩點(diǎn)則線段被折痕垂直平分 連接重合兩點(diǎn)連接重合兩點(diǎn)2、折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)的距離相等、折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)的距離相等 連接折痕上的點(diǎn)與重合點(diǎn)連接折痕上的點(diǎn)與重合點(diǎn)3、重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線是折痕、重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線是折痕4、重合兩點(diǎn)關(guān)于折痕成軸對稱、重合兩點(diǎn)關(guān)于

8、折痕成軸對稱作線段的垂直平分線作線段的垂直平分線A0BCABxC0 xyy7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCO的邊長為的邊長為6，兩邊，兩邊OA、OC分別落在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)分別落在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)E在射線在射線BC上，且上，且BE=2CE，將，將ABE沿直線沿直線AE翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落在點(diǎn)落在點(diǎn)B1處。處。（1）請?jiān)趫D中作出點(diǎn)）請?jiān)趫D中作出點(diǎn)B1及翻轉(zhuǎn)后圖形及翻轉(zhuǎn)后圖形.（2）如果題設(shè)中的條件）如果題設(shè)中的條件“BE=2CE”改為：若點(diǎn)改為：若點(diǎn)E從點(diǎn)從點(diǎn)B開始在射線開始在射線BC上運(yùn)動。設(shè)上運(yùn)動。設(shè)BE=t, ABE翻折后與正方形翻折后與正方形ABCO的

9、重疊部分面的重疊部分面積為積為y,試寫出試寫出y與與t的函數(shù)關(guān)系式。的函數(shù)關(guān)系式。并求出當(dāng)并求出當(dāng)y=12時(shí)，時(shí)，BE的值的值。點(diǎn)撥：找到折痕，作點(diǎn)撥：找到折痕，作B點(diǎn)關(guān)于折痕的對稱點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于折痕的對稱點(diǎn)提示：有兩種情況提示：有兩種情況二、折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線二、折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線1、重合兩點(diǎn)則線段被折痕垂直平分、重合兩點(diǎn)則線段被折痕垂直平分 連接重合兩點(diǎn)連接重合兩點(diǎn)2、折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)的距離相等、折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)的距離相等 連接折痕上的點(diǎn)與重合點(diǎn)連接折痕上的點(diǎn)與重合點(diǎn)3、重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線是折痕、重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線是折痕 作線段的垂直平分線作線段的垂直

10、平分線4、重合兩點(diǎn)關(guān)于折痕成軸對稱、重合兩點(diǎn)關(guān)于折痕成軸對稱作一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)作一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)練習(xí)練習(xí)8已知，已知，AB是是 O的直徑，點(diǎn)的直徑，點(diǎn)P在弧在弧AB上（不含點(diǎn)上（不含點(diǎn)A、B）把把AOP沿沿OP對折，點(diǎn)對折，點(diǎn)A的的對應(yīng)點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)C恰好落在恰好落在 O上，上，（1）當(dāng)）當(dāng)P、C都在都在AB上方時(shí)，上方時(shí)，如圖如圖判斷判斷PO與與 BC的位置的位置關(guān)系。關(guān)系。（2）當(dāng)）當(dāng)P在在AB上方而上方而C在在AB下方時(shí)，如圖下方時(shí)，如圖（1）中）中的結(jié)論還成立嗎？的結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論。證明你的結(jié)論。圖圖OABPCPAC BO運(yùn)用方法 解決問題運(yùn)用方法 解決問題已知矩形紙片已知

11、矩形紙片OACB，將該紙片放在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，將該紙片放在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4,0），點(diǎn)），點(diǎn)B（0,2），），P為為BC邊上一動點(diǎn)，設(shè)邊上一動點(diǎn)，設(shè)BP=t,如圖如圖1，經(jīng)過，經(jīng)過OP折疊該紙片，得點(diǎn)折疊該紙片，得點(diǎn)B1和折痕和折痕OP，連接，連接PB1，并延長交，并延長交OA于于D點(diǎn)，若點(diǎn)，若OPD為等邊三角形，為等邊三角形，求求P點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo). 求證求證B1在在AC得垂直平分線上得垂直平分線上.如圖如圖2，以經(jīng)過，以經(jīng)過P點(diǎn)的直線點(diǎn)的直線PE為折痕折疊該紙片為折痕折疊該紙片,使得使得O點(diǎn)落在點(diǎn)落在BC邊上的邊上的F點(diǎn)，點(diǎn)，若以點(diǎn)若以點(diǎn)P、O、F、E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求為頂點(diǎn)的四邊

12、形為菱形，求t 的取值范圍的取值范圍.如圖如圖3，以經(jīng)過，以經(jīng)過P點(diǎn)的直線點(diǎn)的直線PE為折痕折疊該紙片，使得為折痕折疊該紙片，使得O點(diǎn)落在點(diǎn)落在AC的上點(diǎn)的上點(diǎn)G(不與不與A、C重合重合)，如果如果G為中點(diǎn)，求折痕為中點(diǎn)，求折痕PE的解析式的解析式 . 如果如果CGAG=12，求，求BPOE . 如果如果CGAG=nm,求求BPOE.FxyO BCA PEB1xyO BCA PEGB1xyO A CBDPB1練習(xí)練習(xí)9線與線重合線與線重合點(diǎn)與點(diǎn)重合點(diǎn)與點(diǎn)重合折痕折痕折痕與重合兩線平行（線與折痕與重合兩線平行（線與線平行）線平行）折痕是重合兩線夾角的角平折痕是重合兩線夾角的角平分線（線與線相交）分線（線與線相交）折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂折痕是重合兩點(diǎn)連線的垂直平分線直平分線1、重合兩點(diǎn)連線被折痕垂直平分（、重合兩點(diǎn)連線被折痕垂直平分（連接重合點(diǎn)連接重合點(diǎn)）2、折痕上的點(diǎn)到重合兩點(diǎn)